精品解析：安徽省蚌埠市怀远县新城实验学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2024—2025学年度第二学期八年级期中质量检测数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则为（ ） A. 5 B. 25 C. 7 D. 7或25 6. 如图，在中，点M是AB延长线上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 一个正多边形的每一个外角都是36°，则它是（ ） A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形 8. 若关于一元二次方程的两根互为倒数，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 9. 在，，是边的垂直平分线，垂足为D，交边于点E，连接，则的周长是（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 10. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②③ 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 12. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为________． 13. 、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________． 14. 如图，动点在直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……按这样的运动规律，经过第110次运动后，动点经过的路径长为______． 三、解答题（15－18每题8分，19－20每题10分） 15. 解方程： （1） （2） 16. 小明在化简：时，他是这样化简的：，请你根据小明的化简方法，解决如下问题： 化简并求值：． 17. 已知的三边长为a，b，c，且满足．试判断的形状，并说明理由． 18. 已知在平面直角坐标系中有三点，，，请回答如下问题： （1）在坐标系内描出点、、的位置，连接，，；是__________三角形； （2）画出关于x轴对称的． 19. 如图，在平行四边形中，已知和分别是边的中点，求证：四边形是平行四边形． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的范围； （2）由（1），该方程的两根能否互为相反数？请证明你的结论． 21. 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5． （1）求DB长； （2）在△ABC中，求BC边上高的长． 22. 如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm． （1）求BC边上的高线AD． （2）一动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，请你探究：当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直？ 23 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期八年级期中质量检测数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开放数，大于等于0，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且． 故选：B． 【点睛】本题考查代数式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0，二次根式的被开放数，大于等于0，是解题的关键． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了化简二次根式，二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则与二次根式的化简逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、，故正确； B、，故错误； C、，故错误； D、，故错误； 故选：A． 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握配方法的关键步骤是解题的关键． 将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：， ， ，即， 故选：C． 5. 一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则为（ ） A. 5 B. 25 C. 7 D. 7或25 【答案】D 【解析】 【分析】分x为斜边、4为斜边两种情况，根据勾股定理计算． 【详解】解：当x为斜边时，； 当4为斜边时，． 故选D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 6. 如图，在中，点M是AB延长线上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠ABC的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠CBM的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠D=120°， ∴∠CBM=180°-∠ABC=60°． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．此题比较简单，注意平行四边形的对角相等定理的应用． 7. 一个正多边形的每一个外角都是36°，则它是（ ） A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷36°，计算即可求解． 【详解】这个正多边形的边数：360°÷36°=10， 故选D． 【点睛】考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 8. 若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设、是的两根，根据根与系数的关系，得出，再根据倒数的定义，得出，再利用等量代换，得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的的值． 【详解】解：设、是的两根， ∴根据根与系数的关系，可得：， ∵方程的两根互为倒数， ∴可得， ∴， 解得：， ∵方程有两个实数根， ∴， 当时，， ∴符合题意， 当时，， ∴不符合题意． ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 9. 在，，是边的垂直平分线，垂足为D，交边于点E，连接，则的周长是（　　） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由是边的垂直平分线，可得，又由在，，利用勾股定理即可求得的长，继而由的周长，求得答案． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 的周长， 故选：D． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 10. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③∵，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则，， 则， ， ， ， ， ． 故④正确， 正确的有：②③④． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，直接开配方法解一元二次方程，根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，且二次项系数不等于0”，即可进行求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 因此， 故答案为：． 12. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了同类二次根式，根据同类二根式的定义得到，解方程组后，代入求值即可． 【详解】解∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得， ∴ 故答案为： 13. 、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案． 【详解】解：∵是方程的根 ∴， ∴ ∴k=-4 故答案是-4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键． 14. 如图，动点在直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……按这样的运动规律，经过第110次运动后，动点经过的路径长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、实数的加法，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出动点第次运动的路径长，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：动点第1次运动的路径长为， 动点第2次运动的路径长为， 动点第3次运动的路径长为， 动点第4次运动的路径长为， 则动点第次运动的路径总长为， 观察可知，动点运动的路径长是以为一个循环往复的， ∵， ∴经过第110次运动后，动点经过的路径长为， 故答案为：． 三、解答题（15－18每题8分，19－20每题10分） 15 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）因式分解法解方程即可； （2）公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 ， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 16. 小明在化简：时，他是这样化简的：，请你根据小明的化简方法，解决如下问题： 化简并求值：． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先对各项分母有理化，再计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴ ． 17. 已知的三边长为a，b，c，且满足．试判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】根据绝对值、平方的非负性就可以求出a，b，c的值，然后根据勾股定理的逆定理就可以证明是直角三角形． 【详解】解：是直角三角形． 理由：∵， ，，， ∴，，． ∴，，． ∴，． ∴． ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查绝对值、平方的非负性，二次根式的化简，勾股定理的逆定理，是常考题型。解题的关键是要利用绝对值、平方的非负性就可以求出a，b，c的值． 18. 已知在平面直角坐标系中有三点，，，请回答如下问题： （1）在坐标系内描出点、、的位置，连接，，；是__________三角形； （2）画出关于x轴对称的． 【答案】（1）直角 （2）画图见解析 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，三角形的分类，对称图形的画法及勾股定理的逆定理，理解点的坐标是解答关键． （1）根据点的坐标确定出三点，，，顺次连接这三点，根据勾股定理逆定理判断即可求解； （2）根据关于轴对称的特点画出图形即可． 【小问1详解】 解：先确定出三点，，， 连接，，，画图如下， 由图可知：，,, , 所以是直角三角形． 答案为：直角形． 【小问2详解】 解：根据关于轴对称的特点画图如上图，为所求作． 19. 如图，在平行四边形中，已知和分别是边的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据平行四边形的性质，得到，中点推出，根据有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵和分别是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的范围； （2）由（1），该方程的两根能否互为相反数？请证明你的结论． 【答案】（1）且；（2） 该方程的两根不能互为相反数． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式的意义得到m2≠0，且△≥0，即[2（m-1）]2-4m2≥0，解不等式组即可得到m≤ 且m≠0； （2）由根与系数的关系求出方程的两根互为相反数时m的值，如果m的值在（1）中所求实数m的范围内，那么该方程的两根能够互为相反数；否则不能互为相反数． 【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且，即，， ∴且； （2）如果方程的两根互为相反数，那么， 解得， ∵且时，方程有实数根，而， ∴该方程的两根不能互为相反数． 【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2-4ac和一元二次方程的定义及根与系数的关系，（1）当△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=0，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0，方程没有实数根． 21. 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5． （1）求DB的长； （2）在△ABC中，求BC边上高的长． 【答案】（1）BD=3；（2）BC边上高的长为6． 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理得出BD的长即可； （2）利用三角形中位线定理得出BD=AE，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵DB⊥BC，BC=4，CD=5 ∴BD==3； （2）延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E ∵DB⊥BC，AE⊥BC ∴AE∥DB ∵D为AC边的中点 ∴BD=AE ∴AE=6 即BC边上高长为6． 点睛】本题考查勾股定理；三角形中位线定理． 22. 如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm． （1）求BC边上的高线AD． （2）一动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，请你探究：当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直？ 【答案】（1）AD＝3；（2）当P运动7s或25s秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长； （2）分两种情况进行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，利用勾股定理可得到运动的时间． 【详解】解：（1）作AD⊥BC ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴BD＝BC＝4， ∴AD＝＝3； （2）分两种情况： 当点P运动t秒后有PA⊥AC时， ∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2， ∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2， ∴PD2+32＝（PD+42）﹣52， ∴PD＝2.25， ∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t， ∴t＝7， 当点P运动t秒后有PA⊥AB时，同理可证得PD＝2.25， ∴BP＝4+2.25＝6.25＝0.25t， ∴t＝25． 综上所述，当P运动7s或25s秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直． 【点睛】本题考查等腰三角形底边高线，动线段PA与腰垂直问题，关键是会利用等腰三角形三线合一性质求高，会利用动线段与腰垂直，构造直角三角形，用勾股定理解决问题． 23. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 【答案】（1），，， （2）或 （3）15 【解析】 【分析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题． 【小问1详解】 解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴=2，=3， ∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 【小问3详解】 解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $