2026年江苏淮安市中考数学自编练习卷

2026年江苏省淮安市中考数学自编练习卷 一、单选题 1．的相反数是（    ） A． B． C． D．2026 2．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 4．若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 5．如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点．若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB的度数为(     ) A．15° B．20° C．25° D．30° 6．已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．4 7．如图，已知点A与点分别在反比例函数与的图象上且，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 8．如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 9．在实数范围内分解因式：______． 10．和互为相反数，那么_______． 11．因式分解：________________． 12．如图，在中，，且点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则________． 13．如图，点是矩形内部一个动点，为上一点且，当，时，则的最小值为________． 14．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，则的长为_______． 15．如图，在中，，是中点，点在上，连接．若，，，则______． 16．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______． 三、解答题 17．（1）计算：﹣（π﹣1）0﹣sin30°； （2）解不等式组：． 18．先化简，再求值：，其中． 19．如图，．求证：． 20．近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行   B．自行车   C．电动自行车 D．私家车   E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 (1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图； (2)若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； (3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 21．小明同学做光的折射物理实验：如图，一束入射光线从点O处射入一个矩形水槽，折射光线射到水槽底部在点B处形成一个光斑，是法线，入射角与折射角满足若水深，当入射角为时，折射光线长度为多少？(结果精确到，参考数据：) 22．已知是等边三角形 (1)正方形内接于（正方形四个顶点都在三角形的边上，其中在上），请在图中作出点、，尺规作图，保留作图痕迹，并简要写出作图步骤； (2)写出（1）中的的边长与正方形的边长比值为______． 23．如图，在平行四边形中，用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图，在边上找一点，使得； (2)如图，在边上找一点，使得． 24．【探索发现】 数学兴趣小组成员在学习矩形的性质这节课时探究发现：如图1，四边形为矩形，为平面内任意一点，． 兴趣小组给出了证明，理由如下： 如图2，过点作交于点，垂足为，则， 四边形为矩形， ∴， ， 在中，， 同理可得：，，，…， （1）请你补全余下的证明过程． 【初步应用】 （2）如图3，在矩形中，点在对角线所在直线上，且，连接、，则______． 【迁移应用】 （3）如图4，在四边形中，，，，是的中点，则的面积的最大值为_______． 【操作思考】 （4）如图5，已知点为内定点，，分别为圆上动点，，记的最大值为，在直线上作一点使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年江苏省淮安市中考数学自编练习卷》参考答案 1．A 【分析】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解： 的相反数为． 故选：A． 2．D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：． 3．B 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法则，积的乘方，幂的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选B． 4．C 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键．根据三角形三边关系求出a的取值范围，选择再此范围内的选项即可． 【详解】解：由三角形三边关系可得：， 即， 故选：C． 5．B 【分析】连接CB,根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA=∠CBA，再根据直径的性质得∠ACB=90°，由此即可解决问题． 【详解】如图，连接CB， ∵∠ACD=40°，CA=CD， ∴∠CAD=∠CDA=（180°-40°）=70°， ∴∠B=∠ADC=70°， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°-∠B=20°， 故选B． 【点睛】本题考查圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题． 6．A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，整式的乘法运算，通过消元法将代数式化简为二次函数的形式是解题的关键． 由已知可得，将其代入得到，而，得到，再转化为二次函数求最值处理． 【详解】解：∵当时，该多项式的值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵，当时，， ∴， 故选：A． 7．A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键；分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得，然后可证，则有，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示： ∵点A与点分别在反比例函数与的图象上， ∴根据反比例函数k的几何意义可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 8．A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为4， 故选：A． 9． 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；此题可根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为． 10．1 【分析】根据相反数的性质，得，整理，得，代入求值即可． 本题考查了相反数的性质，求代数式的值，熟练掌握相反数的性质，整体计算是解题的关键． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：1． 11． 【分析】先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【详解】 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，求角的正切值，相似三角形的性质与判定．过A、B作轴，轴，根据条件得到：，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，过A、B作轴，轴，垂足分别为C、D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容．在上截取，先证，得到，从而得出，当且仅当C、F、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号， ∵，且， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， 在中，， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 14． 【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，根据弧长公式计算即可． 【详解】连接OB、OC， 由圆周角定理得，∠BOC=2∠BAC=120°， ∵⊙O的半径为2， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键． 15． 【分析】根据中点的定义及勾股定理得，，继而得到，证明得，求得，，可得答案． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．20 【分析】设小孔到的距离为，根据光学原理，得到，得到，继而得到，列式解答即可． 本题考查了跨学科综合，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设小孔到的距离为，根据光学原理，得到， 故， 故， 故， 解得． 故答案为：20． 17．（1）；（2）1＜x≤2 【分析】（1）先计算算术平方根、零指数幂、三角函数值，再计算加减即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式＝3﹣1﹣， ＝； （2） 解不等式4x﹣8≤0，得：x≤2， 解不等式＞3﹣x，得：x＞1， 不等式组的解集为1＜x≤2． 【点睛】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟记三角函数值、和0指数幂，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．， 【分析】本题考查的知识点是分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式混合运算的法则． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， 将代入， 则原式 ． 19．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ∴（）． 20．(1)36；135；图见解析 (2)450人 (3)见解析 【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图的综合应用，解题的关键是从两种统计图中提取有效信息，理清各部分数量与总数之间的关系． （1）根据“公共交通”所占百分比计算其对应扇形的圆心角度数；根据总人数和电动自行车所占百分比计算其人数，并补全条形统计图； （2）用样本中私家车所占比例去估计总体中私家车接送孩子的家长人数； （3）根据统计图信息分析拥堵原因并提出合理建议． 【详解】（1）解：， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为； 人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人； ∴时间段12：00-12：10骑电动车的人数为人， 补全统计图如下所示： 故答案为：36；135； （2）解：估计用私家车接送孩子的家长人数为人； （3）解：由扇形统计图可知用电动自行车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥堵； 由条形统计图可知，在时间段12：00-12：10内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段 12：00-12：10． 21．折射光线长度约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用．易得的值，进而可得与的比值，设出相应的未知数，利用勾股定理求得用未知数表示的代数式，根据的值即可求得x的值，进而可得的长度． 【详解】解：当时，， ∴， ∴， 设长，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：折射光线长度约为． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的平分线交于点，再作的平分线交于点，然后以点为圆心，以为半径作交于点，则点，为所求作的点； （2）在中，设，根据得，则，进而得，由此即可得出的边长与正方形的边长比值． 【详解】（1）①作的平分线交于点， ②作的平分线交于点， ③以点为圆心，以为半径作交于点， 则点，为所求作的点，如图1所示： 理由如下： 过点，作的垂线交于点，交于点，连接，如图2所示： ，， 是等边三角形， ， 是的平分线， ，，， 由作图可知：， ， ， 在△和△中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形是矩形，， 是等边三角形， ， 是的平分线， ， 在中，， ， ， ， ， 矩形是正方形， 点，为所求作的点； （2）在中，设， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ． 的边长与正方形的边长比值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，正方形的判定和性质，尺规作图，理解等边三角形的性质，熟练掌握正方形的判定和性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 23．(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的作法和性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）在的延长线上截取，可得，由可得，即可得，故点即为所求； （）作的垂直平分线，交于点，可得，即得，故点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 24．（1）见解析；（2）或；（3）；（4）见解析 【分析】（1）过点作交于点，垂足为，则，由勾股定理可得，，，， 表示出，，证明四边形、为矩形，得出，，即可得证； （2）作于，延长交于，证明，得出，再分两种情况：当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；分别求解即可； （3）延长至，使得，连接、、，证明四边形为矩形，由（1）可得，出，由得出，即当最大时，最大，再由三角形面积公式计算即可得解； （4）作的垂线、的垂线，交于点，连接，证明四边形为矩形，得出，连接，，由（1）可得，得出的长为定值，由，得出当、、在同一直线上时，的值最大，为，此时的值也最大，以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，点或即为所作． 【详解】（1）证明：如图2，过点作交于点，垂足为，则， ，四边形为矩形， ∴， ， 在中，， 同理可得：，，， ∴，， ∵， ∴四边形、为矩形， ∴，， ∴； （2）如图，作于，延长交于， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形、为矩形， ∴，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵点在对角线所在直线上，且， ∴当点在线段上时，， ∴； 当点在的延长线上时，， ， ∴； 综上所述，或； （3）如图，延长至，使得，连接、、， ， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 由（1）可得， ∵，， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∴当最大时，最大， 当时，最大，为， ∴的面积的最大值为； （4）如图，作的垂线、的垂线，交于点，连接， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 连接，， 由（1）可得：， ∵、、的长为定值， ∴的长为定值， ∵， ∴当、、在同一直线上时，的值最大，为，此时的值也最大， 以点为圆心，为半径画弧交直线于，则， ∴， 以点为圆心，为半径画弧交直线于， 故综上所述，点或即为所作． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、尺规作图—作垂线、三角形三边关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $