圆锥曲线解答题第一问分类训练-2026届高考数学三轮冲刺

圆锥曲线解答题第一问分类训练 【思维导图】 【核心总结】 1、题型本质 2.解题步骤 题型 1：已知几何性质求标准方程 设方程：先看焦点在 x 轴还是 y 轴，写出标准式 列方程：把题目条件翻译成 a、b、c 的式子 题型 2：轨迹方程 ——直接法 设点：设动点\(M(x,y)\) 翻译条件：把题目文字变成等式 化简：平方、整理成标准形式 抠定义域：去掉不能取的点（如顶点、重合点） 易错点：一定要写 x≠±a 或 y≠0 这种限制 题型 3：轨迹方程 ——定义法 距离和为定值 → 椭圆 距离差绝对值为定值 → 双曲线 到定点距离 = 到定直线距离 → 抛物线 垂直平分线 → 两段距离相等 圆与圆外切 / 内切 → 圆心距相加 / 相减 = 半径和 / 差 题型 4：轨迹方程 —— 相关点法（代入法） 设所求点：M 设已知曲线上的点：P 找关系：用题目条件把P用M表示 代入：P代入已知曲线方程 化简得轨迹方程 题型 5：轨迹方程 —— 几何法 矩形面积 → 长 × 宽 = 定值 圆截 x 轴弦长 → 用勾股定理：\(r^2=x^2+4^2\) 圆的直径 → 圆周角为直角 → 斜率乘积 =−1 3.高频考法 (1) 给 a、b、c、e、点、周长 → 几何性质法 (2)斜率积、距离比 → 直接法 (3)距离和差、垂直平分线、相切 → 定义法 (4)点跟着点动 → 相关点法 (5)矩形、直角、弦长 → 几何法 考点1 圆锥曲线几何性质 1.（2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一））已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； 2.（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））已知椭圆和圆，当椭圆与圆恰好只有两个交点时，或4． (1)求椭圆的方程； 3.（辽宁省大连市2026年高三双基模拟考试）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线（斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，的周长为. (1)求椭圆的方程； 4.（湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末）已知双曲线的左、右顶点分别为A(，0)和B(2，0)，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于M，N两点，其中点M在第一象限，. （1）求E的方程. 5.（2026届辽宁省重点高中协作体调研测试（二））如图，椭圆M：的两焦点为，，A，B是左右顶点，直线l与椭圆交于异于顶点的C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BC斜率之积为． （1）求椭圆M的方程； 考点2 轨迹方程直接法 1.（新课标选择性必修一A版113页例6）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 2.（新课标选择性必修一A版125页例5） 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 3.（湖北武汉市2026届高三下学期四月供题）在平面直角坐标系中，，是两定点，动点与、连线的斜率之积为. (1)求动点的轨迹方程； 4.（山东德州市2025-2026学年高三下学期4月学习质量综合评估）在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为. (1)求的方程； 5.（山东聊城市水城中学2025-2026学年高三下学期第三次质量监测）已知点C到点A的距离与到点B的距离的比为． (1)求点C的轨迹方程； 6.（2026海南部分学校联考）平面内一动点到直线的距离为，到直线的距离为，且，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； 考点3 轨迹方程定义法 1.（新课标选择性必修一A版127页5题）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 2.（安徽江南十校2026届高三3月联考）如果点在运动过程中，总满足关系式设点的轨迹为. (1)求的方程； 3.（江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考）已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； 4.（湖南永州市2026届高三第三次模拟）在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程 5.（新课标选择性必修一A版115页10题）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 6.（湖南长沙市周南中学2026届高三下学期仿真演练）已知点，圆，P为圆上的一个动点，线段PD的中垂线与PC交于点Q，当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为曲线． (1)求的方程； 7.（2026年新疆三月适应性考试）如图（1），四边形是一个矩形，，，M，N分别是，的中点，以某动直线l为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点M都落在边上，记为.过作垂直于交直线l于点P，设点P的轨迹是曲线E.以的中点O为原点，平行于的直线为x轴，直线为y轴建立直角坐标系，如图（2）所示. (1)求曲线E的方程； 8.已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． 考点4 轨迹方程相关点法 1.（新课标选择性必修一A版115页9题）如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 2.（广东省东莞市2025-2026学年上学期期末检测）已知圆：，当点在圆上运动时，作轴，垂足为，点满足．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合） （1）求点的轨迹的方程并写出其简单几何性质（直接写出2个不同类别即可，无需证明）； 3.（2026重庆高考模拟调研（五））已知点在圆上运动，过点作轴的垂线，垂足为，点满足条件. （1）求点的轨迹的方程； 4.（2026重庆沙坪坝3月质量测试）已知动点，分别在直线和上，且，为的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； 考点5 轨迹方程几何法 1.（2026福建三明二模）在平面直角坐标系xOy中，M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限，若四边形OAMB的面积为2． （1）求动点M的轨迹C的方程； 2.（2026云南保山二模）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为8，设动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； 3.（2026年新疆乌鲁木齐二模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点，设动点的轨迹为． （1）求的方程； 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线解答题第一问分类训练 【思维导图】 【核心总结】 1、题型本质 2.解题步骤 题型 1：已知几何性质求标准方程 设方程：先看焦点在 x 轴还是 y 轴，写出标准式 列方程：把题目条件翻译成 a、b、c 的式子 题型 2：轨迹方程 ——直接法 设点：设动点\(M(x,y)\) 翻译条件：把题目文字变成等式 化简：平方、整理成标准形式 抠定义域：去掉不能取的点（如顶点、重合点） 易错点：一定要写 x≠±a 或 y≠0 这种限制 题型 3：轨迹方程 ——定义法 距离和为定值 → 椭圆 距离差绝对值为定值 → 双曲线 到定点距离 = 到定直线距离 → 抛物线 垂直平分线 → 两段距离相等 圆与圆外切 / 内切 → 圆心距相加 / 相减 = 半径和 / 差 题型 4：轨迹方程 —— 相关点法（代入法） 设所求点：M 设已知曲线上的点：P 找关系：用题目条件把P用M表示 代入：P代入已知曲线方程 化简得轨迹方程 题型 5：轨迹方程 —— 几何法 矩形面积 → 长 × 宽 = 定值 圆截 x 轴弦长 → 用勾股定理：\(r^2=x^2+4^2\) 圆的直径 → 圆周角为直角 → 斜率乘积 =−1 3.高频考法 (1) 给 a、b、c、e、点、周长 → 几何性质法 (2)斜率积、距离比 → 直接法 (3)距离和差、垂直平分线、相切 → 定义法 (4)点跟着点动 → 相关点法 (5)矩形、直角、弦长 → 几何法 考点1 圆锥曲线几何性质 1.（2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一））已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； 【答案】(1) 【解析】（1）解：因为椭圆的离心率，且过点， 可得且，解得， 所以椭圆的标准方程为. 2.（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））已知椭圆和圆，当椭圆与圆恰好只有两个交点时，或4． (1)求椭圆的方程； 【答案】（1） 【解析】（1）由椭圆与圆恰好只有两个交点时，或4， 如图所示： 由图可得：则，所以椭圆的方程为. 3.（辽宁省大连市2026年高三双基模拟考试）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线（斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，的周长为. (1)求椭圆的方程； 【答案】（1） 【解析】（1）由题意可设，则， 根据椭圆的定义可知的周长为 ， 所以，即椭圆方程为； 4.（湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末）已知双曲线的左、右顶点分别为A(，0)和B(2，0)，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于M，N两点，其中点M在第一象限，. （1）求E的方程. 【答案】（1） 【解析】（1）显然， 设， 由，得，则，. ，得， 故的方程为. 5.（2026届辽宁省重点高中协作体调研测试（二））如图，椭圆M：的两焦点为，，A，B是左右顶点，直线l与椭圆交于异于顶点的C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BC斜率之积为． （1）求椭圆M的方程； 【答案】（1） 【解析】（1）由题，，设，则， ∴，又， ∴，， ∴椭圆M的方程为：. 考点2 轨迹方程直接法 1.（新课标选择性必修一A版113页例6）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 解：设d是点M到直线的距离，根据题意，动点M轨迹就是集合 ．由此得．将上式两边平方，并化简，得 ，即． 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆． 2.（新课标选择性必修一A版125页例5） 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合 ，由此得． 将上式两边平方，并化简，得，即． 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线． 3.（湖北武汉市2026届高三下学期四月供题）在平面直角坐标系中，，是两定点，动点与、连线的斜率之积为. (1)求动点的轨迹方程； 【答案】 【解析】（1）设点，由知，，化简得. 又与、不能重合，所以动点的轨迹方程为 4.（山东德州市2025-2026学年高三下学期4月学习质量综合评估）在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为. (1)求的方程； 【答案】(1) 【解析】（1）设，由题意可知， 化简整理得：，故的方程为. 5.（山东聊城市水城中学2025-2026学年高三下学期第三次质量监测）已知点C到点A的距离与到点B的距离的比为． (1)求点C的轨迹方程； 【答案】(1)； 【解析】（1）设点， 因为点C到点A的距离与到点的距离的比为， 则，即， 化简整理可得，， 故点C的轨迹方程为. 6.（2026海南部分学校联考）平面内一动点到直线的距离为，到直线的距离为，且，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； 【答案】 (1) 【解析】（1）设，由题意可得，， 因为， 所以，整理得， 即的方程为. 考点3 轨迹方程定义法 1.（新课标选择性必修一A版127页5题）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 【答案】点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线，证明见解析. 【解析】连接QA，如图所示： 因为l为PA的垂直平分线， 所以， 所以为定值， 又因为点A在圆外，所以， 根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线. 2.（安徽江南十校2026届高三3月联考）如果点在运动过程中，总满足关系式设点的轨迹为. (1)求的方程； 【答案】（1） 【解析】（1）由椭圆的定义，点的轨迹是以,为焦点，长轴的椭圆. 所以点的轨迹方程为：. 3.（江西省重点中学协作体2026届高三第一次联考）已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； 【答案】（1） 【解析】（1）由题意可知，点到点和到的距离相等， 故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 故动圆圆心的轨迹C的方程为； 4.（湖南永州市2026届高三第三次模拟）在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程 【答案】(1)； 【解析】（1）由，得点的轨迹是以为左右焦点，实轴长为2的双曲线，实半轴长，半焦距，虚半轴长，因此点的轨迹方程为，设，由，得，于是，即，所以曲线的方程为. 5.（新课标选择性必修一A版115页10题）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 【答案】；椭圆. 【解析】设动圆圆心为，半径为， 设圆和圆的圆心分别为、， 将圆的方程分别配方得：圆，圆 当动圆与圆相外切时，有 …① 当动圆与圆相内切时，有…② 将①②两式相加，得， ∴动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆． 设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为； ∴， ∴ ∴ ∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆． 6.（湖南长沙市周南中学2026届高三下学期仿真演练）已知点，圆，P为圆上的一个动点，线段PD的中垂线与PC交于点Q，当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为曲线． (1)求的方程； 【答案】(1) 【解析】（1）由题意可得，，则， 故点Q的轨迹为椭圆，且，所以， 则曲线的方程为； 7.（2026年新疆三月适应性考试）如图（1），四边形是一个矩形，，，M，N分别是，的中点，以某动直线l为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点M都落在边上，记为.过作垂直于交直线l于点P，设点P的轨迹是曲线E.以的中点O为原点，平行于的直线为x轴，直线为y轴建立直角坐标系，如图（2）所示. (1)求曲线E的方程； 【答案】(1)（） 【解析】（1）连接，由l是线段的垂直平分线得，即点P到点M的距离与点P到直线的距离相等，于是点P的轨迹是以点M为焦点，直线为准线的一段抛物线. 由于，，， 所以曲线E的方程为（）. 8.已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． 【答案】(1) 【解析】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； 考点4 轨迹方程相关点法 1.（新课标选择性必修一A版115页9题）如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点 【解析】设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即， 点P在圆上运动， ， 即点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点. 2.（广东省东莞市2025-2026学年上学期期末检测）已知圆：，当点在圆上运动时，作轴，垂足为，点满足．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合） （1）求点的轨迹的方程并写出其简单几何性质（直接写出2个不同类别即可，无需证明）； 【答案】（1），答案见解析 【解析】（1）设点，，，则，. 因为，所以，， 又点在圆上，所以，代入得， 当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合， 所以点的轨迹为． 简单几何性质如何： 范围：. 对称性：关于原点中心对称，关于坐标轴轴对称. 顶点：. 离心率：，（写出上面的其中两个即可）. 3.（2026重庆高考模拟调研（五））已知点在圆上运动，过点作轴的垂线，垂足为，点满足条件. （1）求点的轨迹的方程； 【答案】（1） 【解析】（1）设，，则， 由，所以有， 则有，又，所以有， 所以点的轨迹的方程：； 4.（2026重庆沙坪坝3月质量测试）已知动点，分别在直线和上，且，为的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； 【答案】(1) 【解析】（1）设，， 由题得①， 设，则，代入①可得，即， 所以曲线的方程为． 考点5 轨迹方程几何法 1.（2026福建三明二模）在平面直角坐标系xOy中，M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限，若四边形OAMB的面积为2． （1）求动点M的轨迹C的方程； 【答案】（1） 【解析】（1）设，由与垂直，得四边形OAMB是矩形，故，即，整理得， 因为A，B两点分别在第一、四象限，所以动点M的轨迹C的方程是：. 2.（2026云南保山二模）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为8，设动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； 【答案】（1） 【解析】（1）设动圆圆心，半径为，动圆过定点， ， 又圆在轴上截得的弦长为8，所以， 联立两式消去得， 动圆圆心的轨迹的方程为． 3.（2026年新疆乌鲁木齐二模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点，设动点的轨迹为． （1）求的方程； 【答案】（1） 【解析】（1）依题意可知圆的圆心在轴上，即圆关于轴对称， 又该圆与轴，轴分别交于，，所以点必在轴右侧， 则为圆的直径，所以为直角三角形，所以，即. 所以的方程为. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $