专题05 五类圆锥曲线题型-2026年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（全国通用）

专题05 五大类圆锥曲线题型-2026年高考数学大题秒杀技巧及专项训练 【题型1 圆锥曲线中的轨迹方程问题】 【题型2 圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题】 【题型3 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【题型4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】 【题型5 圆锥曲线中的极点与极线】 【题型1：圆锥曲线中的轨迹方程问题】 一、轨迹方程核心定义 动点按给定几何条件运动，满足的横纵坐标关系式，就是轨迹方程；求轨迹方程本质：把几何条件翻译成代数方程。 二、高考必考5种核心方法（题型全覆盖） 1、直译法（定义法/直接法） 适用：题目直接给距离、垂直、平分、和差、斜率等几何关系，无中间动点。 步骤： （1）设动点 P(x,y) （2）把题目几何条件直接写成坐标等式 （3）化简方程、剔除不合题意的点 2、定义法（圆锥曲线第一、第二定义） 适用：满足椭圆、双曲线、抛物线原始定义，不用硬算，直接判曲线类型写方程。 椭圆：到两定点距离之和为定值 2a，2a>|F1F2| 双曲线：到两定点距离之差绝对值为定值 2a，2a<|F1F2| 抛物线：到定点与定直线距离相等 3、相关点代入法（转移法/伴随点法） 适用：动点 P 随已知曲线上的动点 Q 运动。 步骤： （1）设所求轨迹点 P(x,y)，已知曲线动点 Q(x0,y0) （2）用 x,y 表示 x0,y0 （3）把 x0,y0 代入 Q 所在已知曲线方程 （4）整理得 P 轨迹方程 4、参数法 适用：很难直接找 x,y 关系，可引入角度、斜率、时间、截距等参数。 步骤： （1）设参数θ,k,t 等 （2）写出 参数方程 （3）消去参数，得普通方程 5、交轨法 适用：两条动直线交点的轨迹问题。 步骤： （1）写出两条含参动直线方程 （2）联立方程组，消去参数 （3）化简得交点轨迹 三、高考求轨迹方程通用四步法（万能模板） 1、建系：无坐标系先建合适平面直角坐标系 2、设点：设动点 P(x,y)，定点设为字母 3、列式：翻译几何条件→坐标等式 4、化简+检验：整理方程；去掉多余点、挖去间断点、限制范围 四、高考高频易错点（必扣分点） 1、只化简方程，不写范围、不剔除特殊点（直线与曲线交点、顶点、端点） 2、斜率存在性忽略：设斜率要讨论斜率不存在情况 3、双曲线定义忘记绝对值，漏一支轨迹 4、定义法判错 2a 与焦距大小关系，判错椭圆/双曲线 5、相关点法搞反主动点、被动点关系 6、分母不为零、根式有意义、距离为正隐含条件漏掉 五、高考常考题型归类 1、距离和差型 → 定义法 2、中点、分点、对称点 → 相关点代入法 3、两条动直线交点 → 交轨法 4、旋转、角度变化、动角问题 → 参数法 5、垂直、向量数量积、圆切线条件 → 直译法 六、答题规范句式（高考可直接套用） 设动点坐标为 P(x,y)，由题意几何条件可得： 列出等式，整理化简得：…… 由题意可知 x 取值范围为……，故所求轨迹方程为：…… 在平面直角坐标系中，，是两定点，动点与、连线的斜率之积为. (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与的轨迹相交于点，，直线，与直线分别交于点，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）记，，的面积分别为，，，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）或. 【详解】（1）设点，由知，，化简得. 又与、不能重合，所以动点的轨迹方程为； （2）（ⅰ）可设直线方程为，点， 联立得，， ， 则，， 又直线、方程分别为，， 分别与联立，得，. ∴，， ∴ 所以，. （ⅱ）先证明，在任意三角形中，若，， 三角形的面积 ， 由（ⅰ）知，， ∴，同理. ∴. 又 ， 因为，， 所以， 故，故， 由知，，解得. 所以直线的方程为或. 已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知，动圆圆心到点和到的距离相等， 故动圆圆心的轨迹C是以为焦点，为准线的抛物线， 故动圆圆心的轨迹C的方程为； （2）由题意可知，直线的倾斜角均不为和， 故直线的斜率均存在且不为0， 因为，所以，即，即， 若直线的斜率为，则与抛物线只有一个交点，不符合题意； 故设，， 联立，得， 则， 则， 得， 则直线恒过点. 在直角坐标系中，已知点和，点是轴上方的一个动点，且直线与的斜率之积为定值． (1)求动点的轨迹的方程； (2)当时，直线与轴交于点，求点的坐标； (3)设的垂心为，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设，由题意得，整理得，即，         又点在轴上方，故的方程为． （2）记，． 由题意可知，且、．         因为，所以， 所以，解得．            故直线的方程为，得． （3）设点，则，过点P的x轴的垂线为①， 直线的方程为， 过点作的垂线，则垂线方程为②， 结合①②式，得两条垂线的交点即为．          又点在上，所以，即，故点， 则，               解法一：平方得． 设， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，取得最大值，所以的最大值为．      解法二：设， 则． 设，， 则， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 故当，即时，取得最大值． 所以的最大值为． 1．已知动点到定点的距离比它到直线 的距离小 (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交的轨迹于两点，若，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设动点，根据题意，到的距离 比到直线的距离小，即： 分析绝对值范围： 若，则，代入得： 两边平方并化简： ， 化简可得， 若，则，代入得右边为负，而左边根号非负，无解， 因此，动点的轨迹方程为； （2）由题意可知，直线的倾斜角均不为和， 故直线，的斜率存在且不为， 因为，所以，即， 即， 若直线的斜率为，则与抛物线只有一个交点，若斜率不存在，则重合，均不符合题意； 故设，， 联立，得， 则， 则 ， 得， 则直线恒过点. 2．已知椭圆经过和两点，分别为椭圆上、下顶点，点在椭圆上运动（点与，不重合），点满足，． (1)求椭圆的标准方程； (2)求动点的轨迹的方程； (3)若，不过原点且斜率为的直线与曲线交于两点，直线分别与轴交于点，（直线斜率大于）． （i）求证：直线的斜率之和为； （ii）线段的中点为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)（i）证明过程见解析（ii） 【详解】（1）设椭圆的方程为， 代入点和得， 解得， 因此椭圆的标准方程为. （2）由椭圆得上下顶点，设，由，得， ， 所以 两式相减得，代入第一式得， 又在上，， 代入化简得 舍去（对应与重合）， 因此的轨迹方程为 . （3） （i）证明：设直线，交于，联立得 由韦达定理， 斜率和 ， 代入， 分子化简得， 因此，得证. (3)（ii）设，则，可得， ​中点，向量， 则 ， ​令，平方得 ， ​因，故​​，当即时取等号，最小值为 . 3．在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为． (1)求动点P的轨迹方程； (2)直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长； (3)若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设交点P的坐标为，因为直线AP与BP的斜率之积为， 所以，所以，则， 故动点P的轨迹方程为． （2）由与椭圆联立，可得， 设，则，       所以弦长． （3）设直线的方程为， 由得， 所以，， 因为恰好被x轴平分，所以，                所以直线的斜率与直线的斜率存在且， 即，整理得， 即，因，解得，即直线经过定点， 所以的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以面积的取值范围是． 4．平面直角坐标系中，动点P到点的距离与它到直线的距离之比为． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点M的直线l与轨迹C交于A，B两点，且点A在第一象限，点，与的面积之比为，求的内切圆半径． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设动点P的坐标为，由题意可得， 即，化简得， 即动点P的轨迹C的方程为； （2）设，，点A在第一象限，则，， 若直线l的斜率不存在，由椭圆对称性可知与的面积之比为1，不符合题意； 故直线l的斜率必存在且不为0，可设直线l的方程为， 联立，得：， 直线l经过椭圆内一点，必有， ∴， 由于点，与的面积之比为， 故，即，即， 则，则， 结合，可得， 化简得，结合，则，故， 故，则， 又为椭圆的两焦点， 的面积为, 的周长为 ， 设的内切圆半径为r，则， 即，故. 5．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹 (1)求轨迹的方程； (2)点为坐标原点，过的直线交的右支于两点，过点作直线的垂线，垂足为. ①已知，当最小时，求直线的方程； ②求面积的最小值. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由，则 两边平方整理得： （2）① 共线时取等. ，即； ②易知斜率不为0，设，则. 由，则 ， 法一：由，直线，由对称性，直线若过定点必在轴上， 令，则， 解得 又，所以，则 过定点 又过的直线交的右支于两点 解得 令，则 又，则，当时取等号. 的最小值为. 法二：，设与交于，令 ，其它同法一. 法三：， 设点到直线的距离为，则， 而， ，其它同法一. 法四： ，其它同法一. 【题型2：圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题】 一、适用题型 过圆锥曲线上一个定点P，作两条动直线PA、PB，设两条直线斜率为k1、k2； 题目给出或求解：k1+k2为定值、k1-k2为定值、直线AB过定点、求轨迹方程等题型。 核心特征：定点在曲线上、双弦共定点、考斜率和与积。 二、齐次化核心思想 1、平移坐标系，把曲线上定点移为新原点； 2、将曲线方程与直线方程联立，凑成二次齐次方程； 3、齐次方程两边同除以x²，构造关于k=y/x的一元二次方程； 4、利用韦达定理直接读出斜率和、斜率积，避开繁琐联立求交点。 三、标准通用解题步骤 1、设圆锥曲线上定点P(x0,y0)； 2、坐标平移：令x'=x-x0，y'=y-y0，则x=x'+x0，y=y'+y0； 3、把x、y代入原圆锥曲线方程，展开整理； 4、设过定点P的动直线AB方程，整理为mx'+ny'=1的形式； 5、用直线一次式对曲线常数项、一次项升次，配凑成全二次齐次式，每一项次数均为2； 6、齐次式两边同时除以x'²，令k=y'/x'； 7、整理得到关于k的一元二次方程Ak²+Bk+C=0； 8、由韦达定理得k1+k2=-B/A，k1k2=C/A，直接求解定值或定点。 四、关键口诀 定点在曲线，平移变原点； 直线化等一，整体来升次； 凑齐二次式，同除x平方； 构出斜率方程，韦达直接用。 五、常见适配曲线形式 1、椭圆x²/a²+y²/b²=1 定点在椭圆上，平移后代入，用直线方程乘一次、常数项，统一升为二次，构造齐次。 2、抛物线y²=2px 顶点或曲线上任意定点，同样平移+升次齐次化，处理双弦斜率和积极简便。 3、双曲线 用法完全一致，仅曲线方程系数不同，操作步骤不变。 六、齐次化优势 1、不用联立直线与曲线求交点坐标，计算量大幅减少； 2、斜率和、斜率积一步韦达得出，适合高考选填、大题秒杀； 3、套路固定，模板化做题，无需每次重新推导。 七、使用限制与易错点 1、仅适用于定点在圆锥曲线上；定点在曲线外不建议用齐次化，改用常规联立、点差法； 2、必须严格凑纯二次齐次式，次数不统一不能除x'²； 3、平移后注意逻辑，最后求直线过定点要还原原坐标系； 4、需单独检验直线斜率不存在、直线与曲线相切等特殊情况； 5、不要遗漏变量取值范围、直线与曲线相交的判别式隐含条件。 八、高考标准答题话术可直接套用 将坐标原点平移至曲线上定点P，令x'=x-x0，y'=y-y0，代入圆锥曲线方程；设动直线方程并整理为一次式等于1的形式，配凑二次齐次方程；两边同除以x'²，设k=y'/x'，构造关于k的一元二次方程；由韦达定理可得斜率之和、斜率之积，代入条件化简求解即可。 已知双曲线：（，）的离心率，其上顶点为，过点作斜率为的直线与双曲线的两支分别相交于，两点（在双曲线的上支）且与轴相交于点，直线与轴相交于点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)是否存在直线使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在； 【详解】（1）因为，所以，即， 因为上顶点为，所以，则， 所以双曲线的标准方程为. （2）设直线的方程为，直线的方程为． 联立直线与双曲线方程，整理得， 解得，所以，所以， 设直线的方程为， 因为，则有， 整理得，同理可得， 所以，是方程的两根，所以. （3）假设存在使得，所以， 设直线，的倾斜角分别为，，直线的倾斜角为， 当时， 则，所以， 又，是方程的两根，则，， 所以， 所以，整理得，即，解得． 当时，结合对称性同理可得，，满足条件． 故存在直线使得，此时． 已知双曲线过点，且渐近线方程为． (1)求的标准方程； (2)点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）过定点，证明见解析. 【详解】（1）双曲线过点，渐近线方程为， ，解得； 的标准方程为. （2）（ⅰ），的左顶点； 直线过点，设直线方程为，，； ，联立方程得， ， 则，； 直线与的左支交于，两点，，； 即，解得； 综上所述，的值为. （ⅱ）直线过点，设直线的方程为，，，则； ，联立方程得， 则，得； ； 同理可求得，； ①当直线斜率存在时，如图所示： ,,三点共线，，即， 则，化简得; 令，即，即直线过定点; ②当直线斜率不存在时，如图所示： 此时，则，解得，； 直线的方程为，也过定点； 直线恒过定点. 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. (1)求的方程； (2)若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）4 【详解】（1）由题意知的渐近线方程为， 设，则. 因为，所以， 所以的方程为. （2）（i）证明：由（1），得，，设，，， 直线的斜率，直线的斜率. 因为，所以. 因为，， 所以. 因为，所以， 所以，即为定值. （ii）解：若直线的斜率为0，根据对称性，直线与直线的交点应在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率不为0，又，不重合，故可设直线的方程为. 联立得， 由题意得且，即， 由韦达定理，得，. 由（i）得， 故， 所以， 化简，得. 因为，所以，解得. 所以直线的方程为，因此直线恒过点， 所以当时，坐标原点到直线的距离取得最大值4. 1．已知双曲线过点，其渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)圆与轴交于、两点.记直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为.过坐标原点作，垂足为. （i）求直线和直线的斜率之积； （ii）若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）因双曲线渐近线方程为，所以设双曲线方程为 ​， 因为已知双曲线过点，代入方程得，得. 所以双曲线方程为，即. （2）（i）因为圆与轴交于、两点，令， 得，设，由韦达定理得，且， 所以，，所以. 因此直线和直线的斜率之积为. （ii）设直线斜率为，则由（i）得直线的斜率​， 将直线方程代入双曲线方程， 得，因为直线与双曲线一个交点为， 所以由韦达定理可得，， 再代入直线方程得，所以. 同理得，又因为，所以. 所以 ， 直线的方程为， 令得，， 所以直线PQ恒过定点. 设直线的斜率为，则，且过点，所以直线的方程为， 又因为，所以的直线方程为，代入， 解得，， 又因为直线的方程为，令得，同理可得， 由圆的圆心，得， 所以，，， 所以 令，则， 令，， 令，得，解得或（舍去，因为） 所以当时，；当时，. 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以函数有极小值也是最小值. 因为若恒成立，所以，故的取值范围为. 2．已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点. (1)求椭圆方程； (2)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）当最大时，求直线方程. 【答案】(1) (2)（ⅰ）为定值（ⅱ） 【详解】（1）由题意短轴长为2，，即，因为椭圆经过点， 所以，则.所以椭圆方程为 （2）（ⅰ）证明：由题意可得，因为点关于原点的对称点为，所以,点，点为中点，即，设. 直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以①， 因为在椭圆上，所以，解得②， 同理因为点在椭圆上，所以③， 将②③代入①式，得（为定值）. 综上，为定值. （ⅱ）又因为既在椭圆上又在的延长线上， 所以， 又因为 所以，则， 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， ，， 所以， 则， 当且仅当，即，解得（因为）时等号成立，即此时最大. 所以直线方程为． 3．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求C的方程； (2)已知点，，点A在C上，直线AP与C交于另外一点B，直线AQ与C交于另外一点D，且，． （ⅰ）证明：直线BD恒过定点； （ⅱ）记直线AP，AQ的斜率分别为，，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）记C的半焦距为c，由题意知，， 解得，， 所以C的方程为． （2）    （ⅰ）证明：设，，， 由，得， 则，， 即，， 同理得，， 由对称性可知，若直线BD过定点，则直线BD过的定点在x轴上，设其为， 由B，D，M三点共线，得， 则． 故直线BD恒过定点． （ⅱ）解：因为B在椭圆上，则， 所以，则， 又A在椭圆上，则，所以， 又，则，① 同理得，② 由，得， 由，得， 则，． 因为，，所以， 又，则， 所以 ． 4．已知双曲线过点和． (1)求双曲线的方程； (2)是双曲线上一点，设，，直线交于另一点，直线交于另一点，且，（各点均不重合）． （ⅰ）证明：直线过轴上的定点； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）因为双曲线过点，所以点是双曲线的右顶点，得， 又因为双曲线过点，所以，解得. 所以双曲线的方程为. （2）（i）设点，，，，，如图： 因为， 由得，即. 又因为， 由得，即. 设直线过轴上的定点，则,, 所以直线过轴上的定点 （ⅱ）解法一：（设点法一相关点） 设点，，，由得① 因为点在上，所以，即②，如图： 由①②得 又点在上，所以，即 由题意知，所以③ 同理得④ 由③-④得， 因为，即⑤ 由得，即⑥ 联立⑤⑥解得， 所以 解法二：（设点法——定比点差） 设点，， 由得①，由得② 一方面，由得③ 将①②代入③得④ 另一方面，由得⑤ 将①代入⑤得⑦ 联立①⑦得⑧，同理得⑨ 联立⑧⑨得⑩ 由④⑩得 所以 . 解法三：（设线法一设线解点） 设点，，，一方面，由得① 另一方面，联立得（其中） 所以 所以② 由①②得，即③ 同理得④ 由得⑤ 由③-④得⑥ 联立⑤⑥得 所以 解法四：（设线法——韦达定理） 由（ⅰ）可设直线 联立得由韦达定理得③ 由①②得 ④ 将③代入④得⑤ 又因为点在上，所以⑥ 联立⑤⑥得,, ，解得⑦或（舍） 所以 . 所以. 5．已知点分别为椭圆：的左、右顶点，且，的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求弦长； (3)若直线：与椭圆C交于两点，设直线，的斜率分别为，且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得，即， 由离心率，所以. 故椭圆方程为：. （2）由（1）左顶点 ，直线​倾斜角为，斜率， 故直线方程为 ， 联立椭圆方程消去得： ， 又，由韦达定理，得​， 由弦长公式得： （3）如图，作出符合题意的图形， 由题意可知直线：与椭圆交于,， 设，，，， 与椭圆联立方程，消去可得. 则，， 根据，可得，即， 整理得：， 即， 可得：， 因为，为常数，则不恒成立， 则，解得. 【题型3：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】 一、核心适用场景 圆锥曲线与直线相交，形成弦、交点、定点构成的三角形、四边形求面积、最值、范围、定值，是高考大题高频考点。 二、圆锥曲线面积三大核心公式（必背） 1、通用弦长公式 设直线与圆锥曲线交于A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂) 弦长 弦长 2、三角形面积万能公式 1、底乘高型：S= × 弦长|AB| × 点到直线AB的距离d 2、坐标行列式公式（最常用）：已知三点O、A、B，S△OAB=|x₁y₂ - x₂y₁| 3、夹角正弦型：S=|PA|·|PB|·sinθ （θ为两直线夹角） 3、四边形面积常用处理 （1）对角线分割法：四边形拆成两个三角形面积相加 （2）对角线垂直：S= × 对角线1长 × 对角线2长 （3）平行四边形：S=底×高 或 向量叉乘形式 （4）梯形：S=(上底+下底)×高 三、高考通用解题固定步骤 1、设直线：设直线方程y=kx+m 或 x=my+t（优先设x=my+t，避免讨论斜率不存在） 2、联立方程：直线与椭圆/双曲线/抛物线联立 3、韦达定理：写出x₁+x₂，x₁x₂ 或 y₁+y₂，y₁y₂ 4、求弦长：套弦长公式 5、求高：求定点到直线距离d 6. 代入面积公式化简，求定值、最值、取值范围 四、分类题型解法 题型1：原点与两交点构成三角形△OAB 直接用公式：S=|x₁y₂−x₂y₁| 不用求距离、不用求弦长，计算最简。 题型2：任意定点P与弦AB构成△PAB 标准套路：S=1/2·|AB|·d；d是点P到直线AB的距离。 题型3：四边形面积 （1）普通四边形：连接一条对角线，分成两个三角形，S总=S₁+S₂ （2）平行四边形：利用对边平行，弦长相等+距离公式 （3）对角线互相垂直：直接 五、简化计算的高分技巧 1、直线优先设 x=my+t，规避斜率不存在分类讨论 2、能用电坐标行列式就不用弦长加高，大幅减少计算量 3、面积最值常用：基本不等式、二次函数配方法、导数求最值 4、遇到对称、中点、定点，优先几何性质，少硬联立 六、高频易错点 1、忽略直线与曲线相交条件：联立后判别式Δ>0 2、距离公式带错符号，绝对值不能丢 3、四边形不会拆分，硬算复杂坐标 4、求最值忘记自变量取值范围 5、抛物线面积忽略定义转化距离，浪费计算时间 七、高考万能答题模板句式 设直线方程，与圆锥曲线联立，整理一元二次方程； 由韦达定理得x₁+x₂、x₁x₂； 利用弦长公式求得弦长，再求点到直线距离； 代入三角形/四边形面积公式，化简即可求得面积定值、最值或取值范围。 在平面直角坐标系中，点到直线的距离的平方比点到点的距离的平方大记动点P的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知为上不同的三点. （i）若线段的中点坐标为，求的面积; （ii）若直线和直线均与圆相切，证明：直线与圆相切. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）设动点的坐标为， 由已知点到的距离的平方比到原点的距离平方大， 所以 化简可得， 所以的方程为， （2）（i）设， 因为都在上，故， 所以， 所以直线​的斜率， 因为​中点为，所以， 所以，直线的方程为，即， 联立直线与抛物线方程： ， 方程的判别式 由韦达定理得， 所以 所以的面积(是直线在轴截距)； （ii）设， 所以直线的方程为， 圆的圆心为，半径， 因为​与圆相切，故圆心到直线距离等于， 所以，即， 所以， 同理， 所以，​是一元二次方程的两个根， 故，​是方程， 方程的判别式 由韦达定理得，， 对直线，同理得圆心到的距离平方为， 又，故 ， 所以，即，故直线与圆相切. 已知椭圆：的一个长轴端点和一个短轴端点，且线段的中点为. (1)求的方程； (2)已知垂直于的直线与在第四象限交于点，点在上，且与共线. （i）若点的横坐标为1，求四边形的面积； （ii）若直线与交于另外一点，判断直线是否过定点，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）直线过定点，证明见解析 【详解】（1）因为为的长轴端点，为的短轴端点，且线段的中点为， 所以，，所以，， 所以的方程为. （2）（i）由（1）知，，，直线的方程为， 因为与共线，所以线段的中点在上， 所以四边形的面积. 因为点的横坐标为1，代入的方程可得， 所以点到的距离， 所以， 所以四边形的面积. （ii）设，，直线的方程为， 由得， 所以， 且，. 因为，关于直线对称， 设，则 解得，， 因为，，且，，共线，所以， 所以 ， 整理得 ， 整理得. 若，则，直线为，此时，两点重合，不合题意， 所以，即，代入得， 所以直线过定点. 已知椭圆的离心率为，椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与不重合）．设直线的斜率为，直线的斜率为，且． （i）求证：； （ii）设弦的中点为，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）椭圆经过点，， 设椭圆的半焦距为，则，，， 椭圆的方程为：. （2）（i）连接，由椭圆方程知：，，设，， ，， ， 又，，即，； （ii）易知直线斜率不为，可设直线方程为：， 由得：，则， ，， ，， 即， ， 又，， 整理可得：，解得：， ，，，， 当时，与轴重合，即，此时； 当时，， ，则直线，即， 由得：，， 则点到直线的距离分别为，，且与异号； ， ， ， ，且，即； 综上所述：的取值范围为. 1．已知抛物线C：经过点是抛物线C上异于点A的动点，且 (1)求直线AB的斜率(用表示)； (2)设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线的斜率之和为1. ①求证：直线l恒过定点Q； ②若向量，且，求的面积S的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）根据题意，将点代入抛物线方程， 得，所以抛物线C：， 则，由于，则， 所以； （2）①设，直线的方程为， 所以， 联立，消去并化简得：， 所以，， 所以， 即， 所以，所以， 所以直线的方程为，即 所以直线过定点，该点坐标为； ②由，，可得轴，且， 联立与，并令，得， 则，且由得， 由，即， 得， 由于得，且， 则的面积 ， 而 ， 由于，得，而即， 即，所以，且，则且， 由于在单调递减，在单调递增， 所以，当，当， 当， 故面积S的取值范围为. 2．某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点P的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知恰好与曲线相切． (1)求曲线和的方程； (2)直线与曲线的另一交点为，直线与曲线另一交点为，求的面积； (3)作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线，当直线与曲线交于两点，与曲线交于两点时，点关于原点的对称点为，若为的中点，点，记直线和直线的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)为定值． 【详解】（1）设点， 由得的轨迹方程为， 即曲线的方程为，它是以为圆心，以为半径的圆． 因为与相切，所以， 所以， 则， 得， 所以曲线方程为； （2）由（1）知，， 所以轴，则， 直线的斜率为，直线的方程为，与椭圆联立得， ； （3）设直线， 将直线与椭圆联立得 则 所以， 又点恰为圆的圆心，而为弦CD的中点，由垂径定理知， 所以，则， 所以， 即为定值． 3．已知椭圆的焦距为2，且过点． (1)求椭圆C的方程. (2)设B为椭圆C的右顶点，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于点B）． （ⅰ）记直线的斜率分别为，证明：为定值. （ⅱ）求的面积的取值范围. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【详解】（1）由椭圆的焦距为2，得， 由点在椭圆上，得，联立解得， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）由（1）得，直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，， 则， 所以为定值. （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 令，，函数在上单调递增， 函数的值域为，即，因此， 所以面积的取值范围是. 4．如图，已知椭圆，点在椭圆上且，，分别经过的左、右焦点，，且，． (1)若，求点的坐标； (2)证明：是定值，并求出的值； (3)求四边形面积最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【详解】（1），，则， 由，则，故， 故，化简得，又， 则，解得，则， 故或（负值舍去），即点的坐标为； （2）由，，则， 故，则有， 化简得， 由，则， 整理得， 则或（负值舍去）； ，则，由，则， 故，则有， 化简得， 由，则， 整理得， 则或（负值舍去）； 故， 故是定值，且； （3），， 则 ， 则， 由，，则， 又， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故四边形面积最大值为. 5．已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点. (1)证明：； (2)若存在异于点的定点，使得恒成立，请求出点的坐标，并求出面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)  8 【详解】（1）证明：设直线的方程为， 由，得，即， 因为，所以， ， 所以，所以. （2）因为，所以， 由角平分线的性质可知，为的角平分线，由抛物线对称性可得，在轴上， 设，， 因为在轴上，所以，， 整理得，由，代入可得， 即，由于上式对任意恒成立，所以，即. ， 到直线的距离为：，面积， 当时，面积有最小值8. 【题型4：圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】 一、核心本质总纲 圆锥曲线定点、定值、定直线问题本质都是：变量在变化，但某点坐标、某表达式值、某直线方程恒不变。 解题核心思想：设参→联立→韦达定理→化简消参→得出不变量。 三大题型通用套路：特殊探路、一般证明；先取特殊位置猜出定点/定值/定直线，再常规推导验证。 二、三大题型定义识别 1、定点问题 直线/曲线随参数变化，恒过某一个固定不变的点，与参数无关。 常见形态：动直线过定点、动弦过定点、动圆过定点。 2、定值问题 线段长度、斜率和/积、向量数量积、面积、比值、距离等代数式，随动点/动直线变化但结果恒为常数。 3、 定直线问题 动点恒在某条固定直线上运动；或动直线恒与某定直线平行/垂直；或距离、轨迹约束下锁定一条固定直线（多为对称轴、准线、渐近线、坐标轴平行线）。 三、通用解题四步法（万能模板） 1、设点设线 设动直线方程（斜率存在设 y=kx+m，斜率不存在单独讨论）、设交点 A(x1,y1),B(x2,y2)。 2、联立方程 直线代入椭圆/双曲线/抛物线，整理一元二次方程：ax2+bx+c=0。 3、韦达定理 写出 x1+x2=-，x1x2=，判别式>0 保证有交点。 4、化简消参 把目标式（斜率、向量、距离、直线方程）用韦达整体代换，消去参数 k,m，得到不变点、不变值、不变直线。 四、经典结论二级结论（高考直接用） （一）椭圆定点定值 设椭圆(a>b>0) 1、若椭圆上两点 A,B 与顶点 P(a,0) 连线斜率之积 kPA kPB=-； 2、过椭圆内定点的动弦，满足斜率和/积为定值时，直线恒过定点； 3、椭圆上任意一点与长轴两端点连线斜率积为定值。 （二）双曲线定点定值 双曲线 1、双曲线上一点与实轴两端点斜率积为定值； 2、渐近线相关：动直线与双曲线相交，斜率满足特定关系时，恒过定点或平行定渐近线。 （三）抛物线定点定值（高频） 抛物线 y2=2px(p>0) 1、 过焦点 F(，0) 的直线交抛. 2、 物线于 A,B： x1x2=，y1y2=-p2（定值） 弦长、倒数和均为定值 2、若直线与抛物线交于两点，满足 y1y2=常数，则直线恒过定点。 五、各类题型专属解法技巧 1、定点问题两种解法 方法一：特殊值法（秒杀探路） 取直线斜率为0、斜率不存在两种特殊位置，求两条直线交点，即为定点，再代入一般情况验证。 方法二：参数分离法 把整理后的直线方程写成： 令，解出定点坐标。 2、定值问题解法 目标式全部转化为x1+x2,x1x2整体代换； 不单独求x1,x2，全程韦达整体化简； 化简后参数全部抵消，剩余常数即为定值。 3、定直线问题解法 求动点轨迹方程，化简后为直线方程，即为定直线； 利用距离相等、斜率平行、垂直约束，消参得固定直线； 常见定直线：准线 x=、对称轴 x=0，y=0、平行坐标轴直线。 六、易错避坑要点 1、务必讨论直线斜率存在与不存在两种情况，漏情况会丢分； 2、联立后必须写>0，保证直线与曲线有两个交点； 3、设直线尽量少设参数，能用 k,m 不设多个变量； 4、向量、斜率、面积优先整体代换，不单独解根； 5、双曲线注意两支交点限制，抛物线注意定义域范围。 七、高考出题常设考法 1、动直线过椭圆/抛物线定点； 2、斜率和、斜率积、向量数量积为定值； 3、动点轨迹在某定直线上； 4、三角形面积、弦长比值、距离倒数和为定值； 5、结合向量垂直、共线条件考定点定值。 已知为坐标原点，点是焦距为的双曲线上的三个点，分别是线段的中点，是的两条互相垂直的渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与分别交于和，求证：； (3)判断的外接圆是否过定点；若是，请写出定点坐标并证明；若否，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)外接圆过定点，证明见详解 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 由题意两条渐近线互相垂直，因此斜率乘积为：， 已知双曲线焦距，故，又双曲线满足， 代入得：， 因此双曲线的方程为：. （2）由题可知，只需证明为线段中点， 当斜率不存在时，为等腰直角三角形，为线段中点显然成立． 当斜率存在时，设，分别与交于 和，线段中点为； 联立与，计算得：， 设，由韦达定理： 则中点的横坐标为：，代入直线方程得纵坐标：， 故，为中点，证毕． （3）由对称性可知，若外接圆过定点，则定点为坐标原点， 下面证明：四点共圆. 注意到，和中，至少有两条直线的斜率存在，不妨设的斜率存在， 设 由（2）知，， 则，， 又为的中点三角形，故 ，即， ，故， 即四点共圆， 故外接圆过定点. 已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，． (1)证明：直线过定点； (2)若以为圆心的圆与直线相切，切点为的中点，求该圆的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，则． 又因为，所以．则切线的斜率为，故， 整理得．设，同理得. 都满足直线方程． 于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线， 所以直线方程为，即. 当时等式恒成立．所以直线恒过定点． （2）由（1）得直线的方程为． 由可得，则． 设为线段的中点，则． 当时，直线为，中点，直线，两直线垂直，半径为. 当时，因为，则. 因为，所以，所以，无解. 综上，圆的方程为． 已知双曲线的渐近线方程为，过点且与轴不重合的动直线交于、两点，当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使为定值，若存在，求出的坐标及的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点，定值为 【详解】（1）由的渐近线方程为，得①， 由，根据双曲线的对称性，不妨设，则②， 由①②得，，所以双曲线的方程为． （2）根据题意设直线的方程为， 将的方程代入双曲线方程，得， 且， 设点、，由韦达定理得，， 假设存在满足题意， 则 要使为定值，则上式需与无关，则，解得，此时． 所以存在点使得为定值，定值为． 1．在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点. （i）证明：为定值； （ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）存在， 【详解】（1）设，由题意可知， 化简整理得：， 故的方程为. （2）（i）由题意可知，设， 则直线，直线， 因为在直线上，所以，代入直线方程，可知， 故点的坐标为，同理可得点的坐标为. 当直线斜率不存在时，显然不符合题意， 故设直线，代入双曲线方程中， 可得， 所以， 又 ， 所以. （ii）由四点共圆可知，， 又，即， 故， 即，所以. 所以，又，由， 则，整理可得， 所以， 故，即，所以点坐标为. 2．已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于两点，为的中点，为坐标原点.设的斜率为，直线的斜率为，. (1)求椭圆的方程； (2)若为直角三角形，求的值； (3)直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）设，则，两式相减，得，即. 因为为的中点，所以， 所以直线的斜率为，所以， 所以，即. 因为椭圆的焦距为，所以，又因为， 解得，所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为.设，如图： 将代入方程，消得， ，解得. 则. 若时，有，即，, 即， 所以，化简整理得，解得，符合； 若时，则，即，所以. 又因为，联立方程组解得或（舍去）， 所以，所以，符合. 若时，则，即，所以. 又因为，联立方程组解得或（舍去）， 所以，所以，符合. 综上，或. （3）由直线的方程，知. 因为点为点关于轴的对称点，所以，所以直线的方程为， 令，得点的横坐标为，因为， 所以， 所以为定值. 3．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N， （ⅰ）求切线，的方程： （ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ）为定值，定值为90°. 【详解】（1）由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为. （2）（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，联立， 消去y并整理得， 由，即，解得，. 所以切线方程分别为，. （ⅱ）设且，则且，联立， 所以，则， 由相切关系知，则， 所以，则， 由，则， 所以，则，得， 所以，即， 由，联立直线得，则， 由，联立直线得，，则， 因为，，， 所以，即， 故为定值，且定值为90°. 4．设椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知圆是以点为圆心，为半径的圆，过椭圆C的下顶点作圆的两条切线，这两条切线分别与椭圆相交于点，（异于点）．设直线交轴于G点． （ⅰ）设，直线的斜率分别为，，求的值及点的坐标． （ⅱ）设点（与G点不同）满足：，，求证：在定直线上运动，并求出定直线方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ）证明见解析，定直线方程为. 【详解】（1）由题意，设椭圆的标准方程为， 已知椭圆右焦点，故，离心率， 得，又， 因此椭圆的标准方程为：； （2）（ⅰ）椭圆的下顶点，圆：， 设过的切线方程为， 由切线性质，圆心到切线的距离等于半径， 所以，整理得， 由根与系数关系得：， 将代入椭圆方程得，同理， 所以直线的斜率， ，所以， 令可得， 因此点坐标为； （ⅱ）设， 因为，所以， 由，可得， 所以， 结合， 化简得：， 所以，代入， 可得， 所以， 因此恒在定直线上. 5．已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)是，直线 【详解】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 因为是的重心， 所以或或或； （3）由题可知的斜率存在，可设的方程为． 由，得， 则，得，则，． 直线的方程为，直线的方程为， 则． 由，，得， 则，得， 故点在定直线上. 【题型5：圆锥曲线中的极点与极线】 一、定义（通俗+代数） 1、通俗定义 对给定圆锥曲线（椭圆/双曲线/抛物线），平面内一点P(x0，y0)叫极点，对应唯一一条直线l，叫极线；反之，任一直线对应唯一极点，二者一一对偶。 2、代数定义（核心替换法则） 圆锥曲线一般式： Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 极点P(x0,y0)→极线（一次式）： A x0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0 替换口诀： x2 → x0x ， y2→y0y ， x →， y →，常数不变。 二、三大标准曲线极线方程（必背） 1、椭圆 极点P(x0,y0) →极线： 2、双曲线 极点P(x0,y0)→极线： 3、抛物线y2=2px 极点P(x0,y0)→极线：y0y=p(x+x0) 三、几何意义（位置关系） 设极点P(x0,y0)，极线l： 1、P在曲线上：极线l为过P的切线（极点在极线上）。 2、P在曲线外：极线l为P引两条切线的切点弦（极线与曲线交于两切点）。 3、P在曲线内：极线l与曲线相离，是过P的弦两端切线交点的轨迹。 四、核心性质（高考解题利器） 1、配极原则（最常用） 若P的极线过Q ⇨ Q的极线过P（对偶互过）。 两点连线的极点 = 两点极线的交点；两直线交点的极线 = 两直线极点的连线。 2、自极三点形 内接四边形对角线交点P、对边交点Q/R，△PQR为自极三点形：P的极线是QR，Q的极线是PR，R的极线是PQ。 3、中点弦与极线 椭圆，以P(x0,y0) 为中点的弦方程：（极线特例，右边换为中点代入值）。 五、高考常见模型（结论+用法） 1、定点→定直线（极线） 例：椭圆 ，定点P(2,1)，极线：即x+2y-2=0（切点弦）。 2、定直线→定点（极点） 例：椭圆，直线l：x+2y-2=0，对比极线式，得x0=2,y0=1，极点(2,1)。 3、定值/定点背景 过极点的直线交曲线于A/B ⇒ 极线与AB交点满足调和分割（比例定值）。 极线恒过定点 ⇨ 极点在定直线上（配极对偶）。 六、答题规范（高考不扣分） 1、大题不能直接写极点极线结论，需先推导或用常规方法（设点/联立）证明。 2、小题/选填可直接套用极线方程快速秒杀（如切点弦、中点弦、定点定值）。 七、易错提醒 抛物线极线方程别记错： y0y=p(x+x0)（不是y0y=2p(x+x0)） 配极原则方向别反：P极线过Q ⇨ Q极线过P（双向成立）。 极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应椭圆的极线为.已知，为椭圆的左右焦点，点为上动点，若，则对应椭圆的极线经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若动点对应椭圆的极线交于两点，求证：以为直径的圆恒过，； (3)若为曲线上的动点，且点对应椭圆的极线交椭圆于两点，判断四边形的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是定值， 【详解】（1）由点为椭圆上的动点，则将点坐标值代入椭圆方程得， 又由极点极线定义可知，点对应椭圆的极线 极线过点，所以， 联立方程解得，所以椭圆的方程为. （2）由（1）知动点对应椭圆的极线， 联立方程，解得或， 不妨令，， 由椭圆的方程易知，，所以，， 又因为点在椭圆上，则，，所以， 同理可知，所以，所以以为直径的圆恒过，； （3）由题意知曲线的方程为，又在曲线上， 点对应椭圆的极线， 联立，，即， ，不妨令，，，， 设为的中点所以，， 所以点同时为的中点，即四边形为平行四边形.即. ， 点到直线的距离， 所以， . 某同学利用导数方法求出了过椭圆上一点的切线的方程为.事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点和一条直线，将点和直线分别称为椭圆的极点和极线.一般地，当点在椭圆上时，极线为椭圆在点处的切线；当点在椭圆外时，极线为过从点作椭圆的两条切线的切点的弦所在的直线；当点在椭圆内时，极线在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题： (1)已知点和直线分别为椭圆的极点和极线， ①求极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作椭圆的割线交椭圆于两点，记所在直线的斜率依次为，求证：. (2)给定椭圆和点，过点作斜率为的直线和椭圆相交于两点，分别连接交于点，记和轴的交点依次为，，求证：为线段的中点. 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）①因为，故在椭圆外，故极线为即直线的方程为. ②设，设直线的方程为：， 又椭圆方程可化为， 故， 由得： ， 设， 则（★） 故为（★）的两个解， 所以 因为过，故，故， 故 . （2） 由（1）可得椭圆的以点为极点的极线方程为， 故点在极线上，同样记，连接， 由（1）中的结论可知，，且， 故即三点共线， 如图所示，设， 则， 由（1）中②知，故， 故，故为线段的中点. 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为，已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点. (1)若，，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为线段的中点，求出此时的极线方程 (3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）右顶点为，， 双曲线的一条渐近线方程为：，由，， 双曲线的标准方程 点在直线上， 设，根据阅读材料可得极线为：， 整理有：， 则由，得，定点为. （2）设，，则， 由点差法可得：， 又因为定点为的中点，所以，， 所以，解得：， 所以极线方程为，即. （3），，，所以直线方程为：， 由题意，设，则极线为：即， 由，得， 设，则由韦达定理可得，， 因为，， 所以直线，得， 直线，得， 因为、满足，，， 所以 . 1．阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， (1)若，，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 (3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）右顶点为，， 双曲线的一条渐近线方程为：， 由，， 双曲线的标准方程 点在直线上， 设， 根据阅读材料可得极线为：， 整理有：， 则由，，定点为. （2）若定点为的中点，设，，则， 由点差法可得： 又因为：，，所以 解得：，所以极线方程为：. （3）   ，，，所以直线方程为：， 由题意，设：则极线为：即， 由 设， 由韦达定理可得，， 直线，得， 直线，得， ， 、满足，，， 且，， 所以原式化为： . 2．如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.    (1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程. (2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答) 极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点. ①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点； ②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)， (2)①证明过程见解析②证明过程见解析，定点坐标为 【详解】（1）由题意焦点在轴上，所以，解得，即的范围为， 且，解得， 所以椭圆方程为. （2）    ①首先由于Q在P的极线上，故由引理有，， 而， 所以，这表明Q是和的交点， 又由于，故， 设，而，，， 所以，也就是E是的中点； ②设，那么，所以， 这表明的方程是，即， 所以恒过点. 3．极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）. (1)求极线的方程； (2)求证：； (3)已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析；定点 【详解】（1）由椭圆的长轴长为， 则，解得， 又因为椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合， 所以，解得. 所以椭圆的方程为. 由题意可知，对于椭圆， 极点对应的极线的方程为，即. （2）证明：设，由题意知过的直线的斜率必存在， 故设直线，， 联立方程，消去得， ， ，即， 所以，， 则 . 又，所以，得证.    （3）当中有横坐标为时，纵坐标为， 则或， 直线或与椭圆相切，不符合题意，所以的斜率都存在. 由（2）得，，又， 所以，所以是和的交点. 因为，所以，设， 则，所以，直线的方程为， 即， 令得，所以恒过定点.    4．阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质､定理 ①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线； ②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程； (2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【详解】（1）因为椭圆过点P(4,0)， 则，得，又， 所以，所以， 所以椭圆C的方程为. 根据阅读材料，与点P对应的极线方程为，即； （2）由题意，设点Q的坐标为(,)， 因为点Q在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外， 又QM，QN都与椭圆C相切， 所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点Q(,)对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得， 所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上. 当时，T是线段MN的中点， 设，直线MN的斜率为， 则，两式相减，整理得，即， 所以当时，直线MN的方程为，即. 5．阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线G的一对极点和极线．事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x；以替换，以替换y，即可得到对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为．即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系． （二）极点与极线的基本性质、定理：①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是从点P向曲线G所引两条切线的切点所在的直线l(即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹．结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆． (1)点P是直线上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由． (2)点P在圆上，过点P作椭圆G的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最大值． 【答案】(1)存在， (2) 【详解】（1）设点，由点P在直线上运动，得，    由，消去y并整理得， 显然， 即此方程组无实数解，于是直线与椭圆G相离，即点P在椭圆G外， 又PM，PN都与椭圆G相切，因此点P和直线MN是椭圆G的一对极点和极线， 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 显然定点T的坐标与的取值无关，即有，解得， 所以存在定点恒在直线MN上， 当时，T是线段MN的中点且在椭圆G内，设直线MN的斜率为k， 则，两式相减并整理得，即， 所以当时，直线MN的方程为，即． （2）由（1）知直线AB的方程为，由题意知，    由，消去y并整理得：， 而，则， 设，则， 所以， 点P到直线AB的距离为：， 因此面积， 当时，令， 求导得，即在单调递增，则的最大值为， 由对称性可知当时，的最大值也为，所以面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司2 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 五大类圆锥曲线题型-2026年高考数学大题秒杀技巧及专项训练 【题型1 圆锥曲线中的轨迹方程问题】 【题型2 圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题】 【题型3 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【题型4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】 【题型5 圆锥曲线中的极点与极线】 【题型1：圆锥曲线中的轨迹方程问题】 一、轨迹方程核心定义 动点按给定几何条件运动，满足的横纵坐标关系式，就是轨迹方程；求轨迹方程本质：把几何条件翻译成代数方程。 二、高考必考5种核心方法（题型全覆盖） 1、直译法（定义法/直接法） 适用：题目直接给距离、垂直、平分、和差、斜率等几何关系，无中间动点。 步骤： （1）设动点 P(x,y) （2）把题目几何条件直接写成坐标等式 （3）化简方程、剔除不合题意的点 2、定义法（圆锥曲线第一、第二定义） 适用：满足椭圆、双曲线、抛物线原始定义，不用硬算，直接判曲线类型写方程。 椭圆：到两定点距离之和为定值 2a，2a>|F1F2| 双曲线：到两定点距离之差绝对值为定值 2a，2a<|F1F2| 抛物线：到定点与定直线距离相等 3、相关点代入法（转移法/伴随点法） 适用：动点 P 随已知曲线上的动点 Q 运动。 步骤： （1）设所求轨迹点 P(x,y)，已知曲线动点 Q(x0,y0) （2）用 x,y 表示 x0,y0 （3）把 x0,y0 代入 Q 所在已知曲线方程 （4）整理得 P 轨迹方程 4、参数法 适用：很难直接找 x,y 关系，可引入角度、斜率、时间、截距等参数。 步骤： （1）设参数θ,k,t 等 （2）写出 参数方程 （3）消去参数，得普通方程 5、交轨法 适用：两条动直线交点的轨迹问题。 步骤： （1）写出两条含参动直线方程 （2）联立方程组，消去参数 （3）化简得交点轨迹 三、高考求轨迹方程通用四步法（万能模板） 1、建系：无坐标系先建合适平面直角坐标系 2、设点：设动点 P(x,y)，定点设为字母 3、列式：翻译几何条件→坐标等式 4、化简+检验：整理方程；去掉多余点、挖去间断点、限制范围 四、高考高频易错点（必扣分点） 1、只化简方程，不写范围、不剔除特殊点（直线与曲线交点、顶点、端点） 2、斜率存在性忽略：设斜率要讨论斜率不存在情况 3、双曲线定义忘记绝对值，漏一支轨迹 4、定义法判错 2a 与焦距大小关系，判错椭圆/双曲线 5、相关点法搞反主动点、被动点关系 6、分母不为零、根式有意义、距离为正隐含条件漏掉 五、高考常考题型归类 1、距离和差型 → 定义法 2、中点、分点、对称点 → 相关点代入法 3、两条动直线交点 → 交轨法 4、旋转、角度变化、动角问题 → 参数法 5、垂直、向量数量积、圆切线条件 → 直译法 六、答题规范句式（高考可直接套用） 设动点坐标为 P(x,y)，由题意几何条件可得： 列出等式，整理化简得：…… 由题意可知 x 取值范围为……，故所求轨迹方程为：…… 在平面直角坐标系中，，是两定点，动点与、连线的斜率之积为. (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与的轨迹相交于点，，直线，与直线分别交于点，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）记，，的面积分别为，，，且，求直线的方程. 已知动圆过定点，且与直线相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点． 在直角坐标系中，已知点和，点是轴上方的一个动点，且直线与的斜率之积为定值． (1)求动点的轨迹的方程； (2)当时，直线与轴交于点，求点的坐标； (3)设的垂心为，求的面积的最大值． 1．已知动点到定点的距离比它到直线 的距离小 (1)求动点的轨迹方程； (2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交的轨迹于两点，若，求证：直线恒过定点． 2．已知椭圆经过和两点，分别为椭圆上、下顶点，点在椭圆上运动（点与，不重合），点满足，． (1)求椭圆的标准方程； (2)求动点的轨迹的方程； (3)若，不过原点且斜率为的直线与曲线交于两点，直线分别与轴交于点，（直线斜率大于）． （i）求证：直线的斜率之和为； （ii）线段的中点为，求的最小值． 3．在平面直角坐标系中，已知点，直线AP与BP相交于点P，且两直线的斜率之积为． (1)求动点P的轨迹方程； (2)直线与动点P的轨迹交于C，D两点，求弦长； (3)若动点P的轨迹为闭合曲线，点，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M，N，使得恰好被x轴平分，求面积的取值范围． 4．平面直角坐标系中，动点P到点的距离与它到直线的距离之比为． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点M的直线l与轨迹C交于A，B两点，且点A在第一象限，点，与的面积之比为，求的内切圆半径． 5．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹 (1)求轨迹的方程； (2)点为坐标原点，过的直线交的右支于两点，过点作直线的垂线，垂足为. ①已知，当最小时，求直线的方程； ②求面积的最小值. 【题型2：圆锥曲线中齐次化处理斜率乘积问题】 一、适用题型 过圆锥曲线上一个定点P，作两条动直线PA、PB，设两条直线斜率为k1、k2； 题目给出或求解：k1+k2为定值、k1-k2为定值、直线AB过定点、求轨迹方程等题型。 核心特征：定点在曲线上、双弦共定点、考斜率和与积。 二、齐次化核心思想 1、平移坐标系，把曲线上定点移为新原点； 2、将曲线方程与直线方程联立，凑成二次齐次方程； 3、齐次方程两边同除以x²，构造关于k=y/x的一元二次方程； 4、利用韦达定理直接读出斜率和、斜率积，避开繁琐联立求交点。 三、标准通用解题步骤 1、设圆锥曲线上定点P(x0,y0)； 2、坐标平移：令x'=x-x0，y'=y-y0，则x=x'+x0，y=y'+y0； 3、把x、y代入原圆锥曲线方程，展开整理； 4、设过定点P的动直线AB方程，整理为mx'+ny'=1的形式； 5、用直线一次式对曲线常数项、一次项升次，配凑成全二次齐次式，每一项次数均为2； 6、齐次式两边同时除以x'²，令k=y'/x'； 7、整理得到关于k的一元二次方程Ak²+Bk+C=0； 8、由韦达定理得k1+k2=-B/A，k1k2=C/A，直接求解定值或定点。 四、关键口诀 定点在曲线，平移变原点； 直线化等一，整体来升次； 凑齐二次式，同除x平方； 构出斜率方程，韦达直接用。 五、常见适配曲线形式 1、椭圆x²/a²+y²/b²=1 定点在椭圆上，平移后代入，用直线方程乘一次、常数项，统一升为二次，构造齐次。 2、抛物线y²=2px 顶点或曲线上任意定点，同样平移+升次齐次化，处理双弦斜率和积极简便。 3、双曲线 用法完全一致，仅曲线方程系数不同，操作步骤不变。 六、齐次化优势 1、不用联立直线与曲线求交点坐标，计算量大幅减少； 2、斜率和、斜率积一步韦达得出，适合高考选填、大题秒杀； 3、套路固定，模板化做题，无需每次重新推导。 七、使用限制与易错点 1、仅适用于定点在圆锥曲线上；定点在曲线外不建议用齐次化，改用常规联立、点差法； 2、必须严格凑纯二次齐次式，次数不统一不能除x'²； 3、平移后注意逻辑，最后求直线过定点要还原原坐标系； 4、需单独检验直线斜率不存在、直线与曲线相切等特殊情况； 5、不要遗漏变量取值范围、直线与曲线相交的判别式隐含条件。 八、高考标准答题话术可直接套用 将坐标原点平移至曲线上定点P，令x'=x-x0，y'=y-y0，代入圆锥曲线方程；设动直线方程并整理为一次式等于1的形式，配凑二次齐次方程；两边同除以x'²，设k=y'/x'，构造关于k的一元二次方程；由韦达定理可得斜率之和、斜率之积，代入条件化简求解即可。 已知双曲线：（，）的离心率，其上顶点为，过点作斜率为的直线与双曲线的两支分别相交于，两点（在双曲线的上支）且与轴相交于点，直线与轴相交于点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)是否存在直线使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 已知双曲线过点，且渐近线方程为． (1)求的标准方程； (2)点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. (1)求的方程； (2)若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 1．已知双曲线过点，其渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)圆与轴交于、两点.记直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为.过坐标原点作，垂足为. （i）求直线和直线的斜率之积； （ii）若恒成立，求的取值范围. 2．已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点. (1)求椭圆方程； (2)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）当最大时，求直线方程. 3．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求C的方程； (2)已知点，，点A在C上，直线AP与C交于另外一点B，直线AQ与C交于另外一点D，且，． （ⅰ）证明：直线BD恒过定点； （ⅱ）记直线AP，AQ的斜率分别为，，求的值． 4．已知双曲线过点和． (1)求双曲线的方程； (2)是双曲线上一点，设，，直线交于另一点，直线交于另一点，且，（各点均不重合）． （ⅰ）证明：直线过轴上的定点； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 5．已知点分别为椭圆：的左、右顶点，且，的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求弦长； (3)若直线：与椭圆C交于两点，设直线，的斜率分别为，且，求的值. 【题型3：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】 一、核心适用场景 圆锥曲线与直线相交，形成弦、交点、定点构成的三角形、四边形求面积、最值、范围、定值，是高考大题高频考点。 二、圆锥曲线面积三大核心公式（必背） 1、通用弦长公式 设直线与圆锥曲线交于A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂) 弦长 弦长 2、三角形面积万能公式 1、底乘高型：S= × 弦长|AB| × 点到直线AB的距离d 2、坐标行列式公式（最常用）：已知三点O、A、B，S△OAB=|x₁y₂ - x₂y₁| 3、夹角正弦型：S=|PA|·|PB|·sinθ （θ为两直线夹角） 3、四边形面积常用处理 （1）对角线分割法：四边形拆成两个三角形面积相加 （2）对角线垂直：S= × 对角线1长 × 对角线2长 （3）平行四边形：S=底×高 或 向量叉乘形式 （4）梯形：S=(上底+下底)×高 三、高考通用解题固定步骤 1、设直线：设直线方程y=kx+m 或 x=my+t（优先设x=my+t，避免讨论斜率不存在） 2、联立方程：直线与椭圆/双曲线/抛物线联立 3、韦达定理：写出x₁+x₂，x₁x₂ 或 y₁+y₂，y₁y₂ 4、求弦长：套弦长公式 5、求高：求定点到直线距离d 6. 代入面积公式化简，求定值、最值、取值范围 四、分类题型解法 题型1：原点与两交点构成三角形△OAB 直接用公式：S=|x₁y₂−x₂y₁| 不用求距离、不用求弦长，计算最简。 题型2：任意定点P与弦AB构成△PAB 标准套路：S=1/2·|AB|·d；d是点P到直线AB的距离。 题型3：四边形面积 （1）普通四边形：连接一条对角线，分成两个三角形，S总=S₁+S₂ （2）平行四边形：利用对边平行，弦长相等+距离公式 （3）对角线互相垂直：直接 五、简化计算的高分技巧 1、直线优先设 x=my+t，规避斜率不存在分类讨论 2、能用电坐标行列式就不用弦长加高，大幅减少计算量 3、面积最值常用：基本不等式、二次函数配方法、导数求最值 4、遇到对称、中点、定点，优先几何性质，少硬联立 六、高频易错点 1、忽略直线与曲线相交条件：联立后判别式Δ>0 2、距离公式带错符号，绝对值不能丢 3、四边形不会拆分，硬算复杂坐标 4、求最值忘记自变量取值范围 5、抛物线面积忽略定义转化距离，浪费计算时间 七、高考万能答题模板句式 设直线方程，与圆锥曲线联立，整理一元二次方程； 由韦达定理得x₁+x₂、x₁x₂； 利用弦长公式求得弦长，再求点到直线距离； 代入三角形/四边形面积公式，化简即可求得面积定值、最值或取值范围。 在平面直角坐标系中，点到直线的距离的平方比点到点的距离的平方大记动点P的轨迹为. (1)求的方程. (2)已知为上不同的三点. （i）若线段的中点坐标为，求的面积; （ii）若直线和直线均与圆相切，证明：直线与圆相切. 已知椭圆：的一个长轴端点和一个短轴端点，且线段的中点为. (1)求的方程； (2)已知垂直于的直线与在第四象限交于点，点在上，且与共线. （i）若点的横坐标为1，求四边形的面积； （ii）若直线与交于另外一点，判断直线是否过定点，并证明你的结论. 已知椭圆的离心率为，椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与不重合）．设直线的斜率为，直线的斜率为，且． （i）求证：； （ii）设弦的中点为，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，求四边形面积的取值范围． 1．已知抛物线C：经过点是抛物线C上异于点A的动点，且 (1)求直线AB的斜率(用表示)； (2)设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线的斜率之和为1. ①求证：直线l恒过定点Q； ②若向量，且，求的面积S的取值范围. 2．某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点P的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知恰好与曲线相切． (1)求曲线和的方程； (2)直线与曲线的另一交点为，直线与曲线另一交点为，求的面积； (3)作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线，当直线与曲线交于两点，与曲线交于两点时，点关于原点的对称点为，若为的中点，点，记直线和直线的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 3．已知椭圆的焦距为2，且过点． (1)求椭圆C的方程. (2)设B为椭圆C的右顶点，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于点B）． （ⅰ）记直线的斜率分别为，证明：为定值. （ⅱ）求的面积的取值范围. 4．如图，已知椭圆，点在椭圆上且，，分别经过的左、右焦点，，且，． (1)若，求点的坐标； (2)证明：是定值，并求出的值； (3)求四边形面积最大值． 5．已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点. (1)证明：； (2)若存在异于点的定点，使得恒成立，请求出点的坐标，并求出面积的最小值. 【题型4：圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】 一、核心本质总纲 圆锥曲线定点、定值、定直线问题本质都是：变量在变化，但某点坐标、某表达式值、某直线方程恒不变。 解题核心思想：设参→联立→韦达定理→化简消参→得出不变量。 三大题型通用套路：特殊探路、一般证明；先取特殊位置猜出定点/定值/定直线，再常规推导验证。 二、三大题型定义识别 1、定点问题 直线/曲线随参数变化，恒过某一个固定不变的点，与参数无关。 常见形态：动直线过定点、动弦过定点、动圆过定点。 2、定值问题 线段长度、斜率和/积、向量数量积、面积、比值、距离等代数式，随动点/动直线变化但结果恒为常数。 3、 定直线问题 动点恒在某条固定直线上运动；或动直线恒与某定直线平行/垂直；或距离、轨迹约束下锁定一条固定直线（多为对称轴、准线、渐近线、坐标轴平行线）。 三、通用解题四步法（万能模板） 1、设点设线 设动直线方程（斜率存在设 y=kx+m，斜率不存在单独讨论）、设交点 A(x1,y1),B(x2,y2)。 2、联立方程 直线代入椭圆/双曲线/抛物线，整理一元二次方程：ax2+bx+c=0。 3、韦达定理 写出 x1+x2=-，x1x2=，判别式>0 保证有交点。 4、化简消参 把目标式（斜率、向量、距离、直线方程）用韦达整体代换，消去参数 k,m，得到不变点、不变值、不变直线。 四、经典结论二级结论（高考直接用） （一）椭圆定点定值 设椭圆(a>b>0) 1、若椭圆上两点 A,B 与顶点 P(a,0) 连线斜率之积 kPA kPB=-； 2、过椭圆内定点的动弦，满足斜率和/积为定值时，直线恒过定点； 3、椭圆上任意一点与长轴两端点连线斜率积为定值。 （二）双曲线定点定值 双曲线 1、双曲线上一点与实轴两端点斜率积为定值； 2、渐近线相关：动直线与双曲线相交，斜率满足特定关系时，恒过定点或平行定渐近线。 （三）抛物线定点定值（高频） 抛物线 y2=2px(p>0) 1、 过焦点 F(，0) 的直线交抛. 2、 物线于 A,B： x1x2=，y1y2=-p2（定值） 弦长、倒数和均为定值 2、若直线与抛物线交于两点，满足 y1y2=常数，则直线恒过定点。 五、各类题型专属解法技巧 1、定点问题两种解法 方法一：特殊值法（秒杀探路） 取直线斜率为0、斜率不存在两种特殊位置，求两条直线交点，即为定点，再代入一般情况验证。 方法二：参数分离法 把整理后的直线方程写成： 令，解出定点坐标。 2、定值问题解法 目标式全部转化为x1+x2,x1x2整体代换； 不单独求x1,x2，全程韦达整体化简； 化简后参数全部抵消，剩余常数即为定值。 3、定直线问题解法 求动点轨迹方程，化简后为直线方程，即为定直线； 利用距离相等、斜率平行、垂直约束，消参得固定直线； 常见定直线：准线 x=、对称轴 x=0，y=0、平行坐标轴直线。 六、易错避坑要点 1、务必讨论直线斜率存在与不存在两种情况，漏情况会丢分； 2、联立后必须写>0，保证直线与曲线有两个交点； 3、设直线尽量少设参数，能用 k,m 不设多个变量； 4、向量、斜率、面积优先整体代换，不单独解根； 5、双曲线注意两支交点限制，抛物线注意定义域范围。 七、高考出题常设考法 1、动直线过椭圆/抛物线定点； 2、斜率和、斜率积、向量数量积为定值； 3、动点轨迹在某定直线上； 4、三角形面积、弦长比值、距离倒数和为定值； 5、结合向量垂直、共线条件考定点定值。 已知为坐标原点，点是焦距为的双曲线上的三个点，分别是线段的中点，是的两条互相垂直的渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与分别交于和，求证：； (3)判断的外接圆是否过定点；若是，请写出定点坐标并证明；若否，请说明理由. 已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，． (1)证明：直线过定点； (2)若以为圆心的圆与直线相切，切点为的中点，求该圆的方程． 已知双曲线的渐近线方程为，过点且与轴不重合的动直线交于、两点，当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使为定值，若存在，求出的坐标及的值；若不存在，说明理由． 1．在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点. （i）证明：为定值； （ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2．已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于两点，为的中点，为坐标原点.设的斜率为，直线的斜率为，. (1)求椭圆的方程； (2)若为直角三角形，求的值； (3)直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？ 3．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N， （ⅰ）求切线，的方程： （ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 4．设椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知圆是以点为圆心，为半径的圆，过椭圆C的下顶点作圆的两条切线，这两条切线分别与椭圆相交于点，（异于点）．设直线交轴于G点． （ⅰ）设，直线的斜率分别为，，求的值及点的坐标． （ⅱ）设点（与G点不同）满足：，，求证：在定直线上运动，并求出定直线方程． 5．已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【题型5：圆锥曲线中的极点与极线】 一、定义（通俗+代数） 1、通俗定义 对给定圆锥曲线（椭圆/双曲线/抛物线），平面内一点P(x0，y0)叫极点，对应唯一一条直线l，叫极线；反之，任一直线对应唯一极点，二者一一对偶。 2、代数定义（核心替换法则） 圆锥曲线一般式： Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 极点P(x0,y0)→极线（一次式）： A x0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0 替换口诀： x2 → x0x ， y2→y0y ， x →， y →，常数不变。 二、三大标准曲线极线方程（必背） 1、椭圆 极点P(x0,y0) →极线： 2、双曲线 极点P(x0,y0)→极线： 3、抛物线y2=2px 极点P(x0,y0)→极线：y0y=p(x+x0) 三、几何意义（位置关系） 设极点P(x0,y0)，极线l： 1、P在曲线上：极线l为过P的切线（极点在极线上）。 2、P在曲线外：极线l为P引两条切线的切点弦（极线与曲线交于两切点）。 3、P在曲线内：极线l与曲线相离，是过P的弦两端切线交点的轨迹。 四、核心性质（高考解题利器） 1、配极原则（最常用） 若P的极线过Q ⇨ Q的极线过P（对偶互过）。 两点连线的极点 = 两点极线的交点；两直线交点的极线 = 两直线极点的连线。 2、自极三点形 内接四边形对角线交点P、对边交点Q/R，△PQR为自极三点形：P的极线是QR，Q的极线是PR，R的极线是PQ。 3、中点弦与极线 椭圆，以P(x0,y0) 为中点的弦方程：（极线特例，右边换为中点代入值）。 五、高考常见模型（结论+用法） 1、定点→定直线（极线） 例：椭圆 ，定点P(2,1)，极线：即x+2y-2=0（切点弦）。 2、定直线→定点（极点） 例：椭圆，直线l：x+2y-2=0，对比极线式，得x0=2,y0=1，极点(2,1)。 3、定值/定点背景 过极点的直线交曲线于A/B ⇒ 极线与AB交点满足调和分割（比例定值）。 极线恒过定点 ⇨ 极点在定直线上（配极对偶）。 六、答题规范（高考不扣分） 1、大题不能直接写极点极线结论，需先推导或用常规方法（设点/联立）证明。 2、小题/选填可直接套用极线方程快速秒杀（如切点弦、中点弦、定点定值）。 七、易错提醒 抛物线极线方程别记错： y0y=p(x+x0)（不是y0y=2p(x+x0)） 配极原则方向别反：P极线过Q ⇨ Q极线过P（双向成立）。 极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应椭圆的极线为.已知，为椭圆的左右焦点，点为上动点，若，则对应椭圆的极线经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若动点对应椭圆的极线交于两点，求证：以为直径的圆恒过，； (3)若为曲线上的动点，且点对应椭圆的极线交椭圆于两点，判断四边形的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由． 某同学利用导数方法求出了过椭圆上一点的切线的方程为.事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点和一条直线，将点和直线分别称为椭圆的极点和极线.一般地，当点在椭圆上时，极线为椭圆在点处的切线；当点在椭圆外时，极线为过从点作椭圆的两条切线的切点的弦所在的直线；当点在椭圆内时，极线在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题： (1)已知点和直线分别为椭圆的极点和极线， ①求极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作椭圆的割线交椭圆于两点，记所在直线的斜率依次为，求证：. (2)给定椭圆和点，过点作斜率为的直线和椭圆相交于两点，分别连接交于点，记和轴的交点依次为，，求证：为线段的中点. 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为，已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点. (1)若，，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为线段的中点，求出此时的极线方程 (3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 1．阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， (1)若，，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 (3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 2．如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.    (1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程. (2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答) 极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点. ①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点； ②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标. 3．极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）. (1)求极线的方程； (2)求证：； (3)已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标. 4．阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质､定理 ①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线； ②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程； (2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 5．阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线G的一对极点和极线．事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x；以替换，以替换y，即可得到对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为．即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系． （二）极点与极线的基本性质、定理：①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；②当P在G外时，其极线l是从点P向曲线G所引两条切线的切点所在的直线l(即切点弦所在直线）；③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹．结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆． (1)点P是直线上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由． (2)点P在圆上，过点P作椭圆G的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最大值． 17 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $