第16题 圆锥曲线解答题 分类训练——2026届高考数学三轮冲刺

2026年新高考第16题分类训练 圆锥曲线综合（大题） 考点 3年考题 考情分析 圆锥曲线综合（大题） 2025年新高考Ⅰ卷第18题 2025年新高考Ⅱ卷第16题 2024年新高考Ⅰ卷第16题 2024年新高考Ⅱ卷第19题 2023年新高考Ⅰ卷第22题 2023年新高考Ⅱ卷第21题 圆锥曲线在新高考中主要以单选、多选、解答题形式考查，解答题难度偏中上。结合近三年新高考真题来看，圆锥曲线大题呈现明显趋势：回归点、直线、面积等基础公式相关问题，减少了对射影几何结论的探索类考查；即便作为压轴题，也会结合其他知识点，核心仍围绕基础公式与概念。据此预测，2026 年新高考圆锥曲线将继续聚焦基础公式和概念，同时计算难度大概率会有所提升。 1.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第18题）设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求点的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 2.（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第16题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． . 3．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第16题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 4.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第19题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意的正整数， 5.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第22题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 6.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解 2.若直线与圆雉曲线相交于，两点， 由直线与圆锥曲线联立，消元得到（）则： 则：弦长 或 3.圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理） 设直线方程为: (特殊情况要对 进行讨论), 圆锥曲线的方程为: , 把直线方程代入曲线方程, 可化为 , 设直线和曲线的两交点为 , 求根公式为 (1) 若消去 y, 得 则弦长公式为: (2) 若消去 则弦长公式为: 4.三角形的面积处理方法 （1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） （2）水平宽·铅锤=高 （3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为． 5.根据抛物线的弦所在的直线的斜率与坐标之间的关系， 可设 将点A,B的坐标分别代入抛物线方程可得​,​ 两式相减可得. 同理 所以​. 根据前面的探究可知 ​, 所以 若替换成，同理可得 6.若四点均在抛物线上，且直线AB与直线DC分别与x轴交于点，当直线AB的斜率存在时，有 ​, 即​. 7. 8.中点弦模型 已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 证明（点差法）：设，，则，，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ②两式相减得：，整理得∴ 9.椭圆焦点在轴上时， 10.∵A，B在双曲线上，代入A，B坐标得 ①， ②两式相减得：，整理得 ∴ 11.已知A，B是抛物线两点，且直线AB不垂直于轴，则有 12.通过椭圆的垂径定理转换 椭圆弦长、面积问题 1.（吉林省长春市2026届高三质量监测（一））已知椭圆的离心率为，右焦点.. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 2.（湖南名校大联盟2026届高三月考卷）已知椭圆的离心率为，且过点，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 3.（山东省名校考试联盟2026届高三下学期2月份核心素养评估）已知椭圆的右焦点为，且过点，直线过点交椭圆于两点． （1）求椭圆的方程； （2）线段的垂直平分线与轴的交点为，若点为椭圆的左顶点，求的面积． 4..(福建泉州市2026届高中毕业班质量检测（一）)在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若关于轴的对称点为，求的面积的最大值. 5.（河北唐山市2026届高三第一次模拟演练）已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N. (1)求C的方程； (2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 6.（湖南名校大联盟2026届高三月考卷）已知在中，角的对边分别为，若且. (1)求角的大小； (2)设函数，求函数的单调递减区间. 椭圆定值、定点、取值问题 1.（山东济宁市2026年高考第一次模拟）已知椭圆的两焦点分别为，离心率为，为椭圆上三个不重合的点，且直线经过点与关于轴对称. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标； (3)求内切圆半径的取值范围. 2.（重庆市名校联盟2026届高三下学期第一次联考）已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点.    (1)若是椭圆上的一个动点，求的最大值； (2)设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 3.（2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一））已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点. （ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. （ⅱ）求面积的最大值. 4.（甘肃省2026届高三第一次模拟考试）如图所示，焦点在轴上的椭圆的顶点分别为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆上任意一点作四边形的内切圆的两条切线，切点分别为，当切线斜率存在时，记切线斜率分别为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)若切线与椭圆的另一个交点分别为，求的最小值. 4.（辽宁省大连市2026年高三双基模拟考试）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线（斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)过两点分别作椭圆的切线，设与交点为. （i）求点的轨迹方程； （ii）记直线的斜率分别为，证明：为定值. 5.（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））已知椭圆和圆，当椭圆与圆恰好只有两个交点时，或4． (1)求椭圆的方程； (2)当时，设直线与圆交于两点，与椭圆交于两点，且点不在轴上． （i）若为中点，求； （ii）求的最大值． 6.（2026届江苏省G4联考12月）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在上，为的左、右顶点. （1）求的方程； （2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线分别交轴于两点. （i）试探究：是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）当面积取最大值时，求的值. 7.（宁波市2025学年第一学期期末考试）已知椭圆：离心率为，且过点，F是的右焦点，O为坐标原点. （1）求的方程； （2）设，过点P的直线与依次交于A，B两点（点A在第二象限），直线，分别与交于另一点C，D. （i）当C，D两点重合时，求直线的方程； （ii）当C，D两点不重合时，直线与x轴交点为Q，求面积的最大值. 双曲线 1.（山东省烟台市2026届高三下学期高考诊断性测试）已知双曲线经过点，且离心率为2． (1)求的方程； (2)过的右焦点且斜率不为0的直线与交于两点，设分别为的左、右顶点，且直线的斜率分别为，判断：是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由． 2.（福建省福州市2026届高三三月质量检测）已知双曲线：的右顶点为A.请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，使得C存在且唯一. 条件①：的离心率为2； 条件②：的渐近线方程为； 条件③：的右焦点与点A的距离为1. (1)求的方程； (2)若过点的直线交C的右支于点M，且的面积为3，求的方程. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分. 3.（江西赣州市2025-2026学年高三下学期摸底）已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点. (1)证明：； (2)若存在异于点的定点，使得恒成立，请求出点的坐标，并求出面积的最小值. 4.（浙江省强基联盟2026年1月高三联考）已知双曲线 (1)，求双曲线的渐近线方程. (2)设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； (3)已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. 5.（湖北宜昌市2026届高三下学期3月调研）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 6.（江苏省九校2026届高三下学期一模联考）已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)证明：的外接圆的圆心在定直线上. 7.（湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末）已知双曲线的左、右顶点分别为A(，0)和B(2，0)，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于M，N两点，其中点M在第一象限，. （1）求E的方程. （2）已知点P，Q在直线AM上，满足，记点P的横坐标为m. （ⅰ）求点Q的坐标（用m表示）； (ⅱ)若PQ的中点S在的外接圆内，求的取值范围. 8.（浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价）已知平面直角坐标系上一动点满足，，． （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点． ①求直线，的斜率之和； ②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由． 抛物线 1.（浙江金丽衢十二校2026届高三第一次联考）已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 2.（江苏省镇江市2026届高三第一学期零模）已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限. ①直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； ②是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. 3.（Z20名校联盟2026届高三第二次联考）已知抛物线： ，焦点为F，直线y=x+1与抛物线有且只有一个交点。 （1）求抛物线的方程； （2）设抛物线的准线与x轴交于点E，过点E作直线l与抛物线交于A,B两点。 （i）若ΔABF的面积为4，求直线l的方程； （ⅱ）设ΔABF内切圆的半径为r，求r的最大值 4.（山东聊城市2026届高三下学期高考模拟）已知抛物线的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，以线段为直径作圆，该圆是否恒过上一定点？若是，求出该点坐标；若否，请说明理由． 5.（九师联盟2025-2026学年高三上学期第五次质量检测（1月））已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点． (1)求线段的长度； (2)若是上两点，是坐标原点，直线的斜率之积等于，求证：直线过定点． 6.（广东广州市天河区2026届普通高中毕业班适应性训练（二模））已知点为抛物线的焦点，点在上. (1)求的方程与点F坐标： (2)过点的直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线相交于两点. （i）若为线段的中点，求证：直线为抛物线的切线； （ii）若直线为抛物线的切线，过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 7.（湖南怀化市2026届高三下学期第一次模拟考试）在抛物线中，直线与交于两点，为的焦点.当直线为时，. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标始终为1，求的取值范围； (3)已知直线与相交于两点，直线与相交于两点（点在轴的上方），若，四边形的外接圆圆心坐标为，求证：. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年新高考第16题分类训练 圆锥曲线综合（大题） 考点 3年考题 考情分析 圆锥曲线综合（大题） 2025年新高考Ⅰ卷第18题 2025年新高考Ⅱ卷第16题 2024年新高考Ⅰ卷第16题 2024年新高考Ⅱ卷第19题 2023年新高考Ⅰ卷第22题 2023年新高考Ⅱ卷第21题 圆锥曲线在新高考中主要以单选、多选、解答题形式考查，解答题难度偏中上。结合近三年新高考真题来看，圆锥曲线大题呈现明显趋势：回归点、直线、面积等基础公式相关问题，减少了对射影几何结论的探索类考查；即便作为压轴题，也会结合其他知识点，核心仍围绕基础公式与概念。据此预测，2026 年新高考圆锥曲线将继续聚焦基础公式和概念，同时计算难度大概率会有所提升。 1.（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第18题）设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求点的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【解析】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 2.（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第16题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【解析】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 3．（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第16题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2） 以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程； 【解析】（1）由题意得，解得， 所以. （2），则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 4.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第19题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意的正整数， 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可； （2）根据等比数列的定义即可验证结论； （3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可. 【解析】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. （3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 5.（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第22题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 【答案】（1） （2）见解析 【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简即可； （2）设矩形的三个顶点，且，分别令，，且，利用放缩法得，设函数，利用导数求出其最小值，则得的最小值，再排除边界值即可. 【解析】（1）设,则，两边同平方化简得， 故. （2）设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0， 则,令， 同理令，且，则， 设矩形周长为,由对称性不妨设，， 则，易知 则令, 令，解得， 当时，，此时单调递减， 当，，此时单调递增， 则， 故,即. 当时,,且，即时等号成立，矛盾，故, 得证. 6.（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】（1） （2）证明见解析. 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【解析】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解 2.若直线与圆雉曲线相交于，两点， 由直线与圆锥曲线联立，消元得到（）则： 则：弦长 或 3.圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理） 设直线方程为: (特殊情况要对 进行讨论), 圆锥曲线的方程为: , 把直线方程代入曲线方程, 可化为 , 设直线和曲线的两交点为 , 求根公式为 (1) 若消去 y, 得 则弦长公式为: (2) 若消去 则弦长公式为: 4.三角形的面积处理方法 （1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） （2）水平宽·铅锤=高 （3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为． 5.根据抛物线的弦所在的直线的斜率与坐标之间的关系， 可设 将点A,B的坐标分别代入抛物线方程可得​,​ 两式相减可得. 同理 所以​. 根据前面的探究可知 ​, 所以 若替换成，同理可得 6.若四点均在抛物线上，且直线AB与直线DC分别与x轴交于点，当直线AB的斜率存在时，有 ​, 即​. 7. 8.中点弦模型 已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 证明（点差法）：设，，则，，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ②两式相减得：，整理得∴ 9.椭圆焦点在轴上时， 10.∵A，B在双曲线上，代入A，B坐标得 ①， ②两式相减得：，整理得 ∴ 11.已知A，B是抛物线两点，且直线AB不垂直于轴，则有 12.通过椭圆的垂径定理转换 椭圆弦长、面积问题 1.（吉林省长春市2026届高三质量监测（一））已知椭圆的离心率为，右焦点.. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由椭圆的离心率为， 可设，，则， 由右焦点，可知，则，， 即椭圆的标准方程为. （2）如图： 过且倾斜角为45°的直线的方程为， 与椭圆联立可得： ，即， 可得，. 所以， 所以. 所以. 2.（湖南名校大联盟2026届高三月考卷）已知椭圆的离心率为，且过点，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意可得，解得， 故椭圆C的方程为； （2）由题意可得直线斜率不为，则可设，设、， 联立，消去得， ， ，； 则， 则， 化简得，即， 则，即直线的方程为. 3.（山东省名校考试联盟2026届高三下学期2月份核心素养评估）已知椭圆的右焦点为，且过点，直线过点交椭圆于两点． （1）求椭圆的方程； （2）线段的垂直平分线与轴的交点为，若点为椭圆的左顶点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为椭圆的右焦点为，且过点， 所以，解得， 则椭圆的方程为； （2）由题意知直线斜率不为零，设方程为：的中点， 联立，消去得， 韦达定理得， 所以，． 由，得，整理得：． 因为，所以， 4..(福建泉州市2026届高中毕业班质量检测（一）)在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若关于轴的对称点为，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设，则，则 ，且， 由，得， 整理，得，即， 故的方程为.（约束条件也可写成） （2）依题意得，则， 所以，从而，所以， 则的面积， 因为点在曲线上，则，所以， 即，当且仅当时取“”. 故面积的最大值为2. 5.（河北唐山市2026届高三第一次模拟演练）已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N. (1)求C的方程； (2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见详解 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，可得，即， 则，， 又因为的面积，即，， 所以椭圆C的方程为. （2）由（1）可知：，， 则直线的斜率，且线段的中点为， 假设存在直线l满足题意，设直线l：，，， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 可得，， 即，则， 可得线段的中点为，直线的斜率， 此时，可知直线与直线不垂直， 这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l满足题意. 6.（湖南名校大联盟2026届高三月考卷）已知在中，角的对边分别为，若且. (1)求角的大小； (2)设函数，求函数的单调递减区间. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由及正弦定理，可得，化简得， ，， 或，即或， 当时，因， 又，不为0，则，得； 当时，有，不合题意； . （2）由（1）及题设知 ， 由解得， 所以的单调递减区间为. 椭圆定值、定点、取值问题 1.（山东济宁市2026年高考第一次模拟）已知椭圆的两焦点分别为，离心率为，为椭圆上三个不重合的点，且直线经过点与关于轴对称. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标； (3)求内切圆半径的取值范围. 【答案】(1)(2)证明见解析，定点为 (3) 【解析】（1）由椭圆的焦点分别为，得， 由离心率，得，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：由直线AC过，设直线AC的方程为， 因为不重合且B与关于轴对称，所以m存在且， 联立，得， 设，则， 则 又直线AB的斜率，所以直线AB的方程为， 整理得 令，得，所以直线AB恒过点. （3）由椭圆的定义得的周长为，则的面积， 所以， 又 令，由，得，则， 所以， 因为在上单调递增， 所以，则， 所以，即内切圆半径的取值范围为. 2.（重庆市名校联盟2026届高三下学期第一次联考）已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点.    (1)若是椭圆上的一个动点，求的最大值； (2)设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； (3)若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在定点. 【解析】（1），，右焦点，， 当且仅当、、共线（介于、之间）时取到， （2）由平行于时，可设直线：，与椭圆联立后得到， 由可知，， 结合韦达定理， 解得， 所以直线方程为或， （3）当直线斜率存在时，设方程为，与：联立得： ， 设，， 由韦达定理得，. 当直线平行于轴时，，因此， 此时在轴上，设. 当直线斜率不存在时，不妨设，， 则有， 解得或（舍）.下面证明点符合条件. 设直线：，要证， 即是的角平分线，只要证明. 而， 而韦达定理可得，因而得证， 综上，存在定点， 3.（2026年沈阳市高中三年级教学质量监测（一））已知椭圆（）的左右焦点分别为，，离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点C，D和E，F.若M，N分别是线段CD和EF的中点. （ⅰ）直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由. （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）直线MN过的定点为.（ⅱ）. 【解析】（1）解：因为椭圆的离心率，且过点， 可得且，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：（ⅰ）由（1）知，椭圆，可得， 设直线的方程为，的方程为，且，， 联立方程组，整理得， 所以，， 因为为的中点，所以，， 即，同理可得， 直线MN的方程为，即， 所以直线MN过的定点为. （ⅱ）由MN过的定点为， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的面积最大值为. 4.（甘肃省2026届高三第一次模拟考试）如图所示，焦点在轴上的椭圆的顶点分别为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆上任意一点作四边形的内切圆的两条切线，切点分别为，当切线斜率存在时，记切线斜率分别为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)若切线与椭圆的另一个交点分别为，求的最小值. 【答案】(1) (2)为定值，为 (3)2 【解析】（1）因为，所以，即， 可设椭圆的方程为，又因为椭圆过点， 代入椭圆的方程得：，解得， 所以椭圆的方程为：； （2）是定值.理由如下： 根据对称性，易知四边形的内切圆的圆心为 因为直线的方程为，所以圆的半径， 设椭圆上任一点，则， 当圆的切线斜率存在时，可设过点的圆的切线方程为， 即， 所以圆的半径， 两边平方化简得： 因为切线的斜率分别为， 所以是方程的两个不同的根， 故； （3）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，设， 因为直线为圆的切线，所以，化简得， 联立方程，消去得：， 显然恒成立，为上式的两个不同的根，且， ， 可得，同理可证. 所以三点共线，故弦恒过点， 所以当与或重合时，. ②当直线或直线的斜率不存在时，易得， 综上可知，. 4.（辽宁省大连市2026年高三双基模拟考试）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线（斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)过两点分别作椭圆的切线，设与交点为. （i）求点的轨迹方程； （ii）记直线的斜率分别为，证明：为定值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）(ⅱ) 【解析】（1）由题意可设，则， 根据椭圆的定义可知的周长为 ， 所以，即椭圆方程为； （2）设点在椭圆上，易知， 所以， 即，当且仅当时取得等号， 即椭圆上有且仅有一点在直线上， 所以过椭圆上一点的切线方程为：； （i）由上知，可设l方程为，， 而直线斜率存在且不为0及椭圆的对称性可知， 则分别为， 联立可得是定值， 又作差可得，整理得， 即，所以M点在定直线上； （ii）易知， 联立得， 所以， 则 ，是定值，证毕.    5.（福建省部分高中学校2026届高考适应性考试（一模））已知椭圆和圆，当椭圆与圆恰好只有两个交点时，或4． (1)求椭圆的方程； (2)当时，设直线与圆交于两点，与椭圆交于两点，且点不在轴上． （i）若为中点，求； （ii）求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）(ⅱ) 【解析】（1）由椭圆与圆恰好只有两个交点时，或4， 如图所示： 由图可得：则，所以椭圆的方程为. （2）（i）由题意如图所示： 设， 将直线的方程与圆联立，得到：， 消去，并整理得， 因为不在轴上， 所以，且，故， 设点， 因为都在椭圆上，所以， 两式相减，得， 因为是中点，所以， 所以， 即， 又，代入得. 因为，所以， 解得，故所求的值为. （ii）作于，如图所示： 由垂径定理知，为中点， 所以， 故 因为，所以由点到直线距离为： ，即，                                                                                                                                                        所以， 所以， 将直线的方程与椭圆联立，得到 消去，并整理得， 其中，， 根据韦达定理，有， 所以 ， 故 ， 令，则 ，， 当且仅当即，即时，等号成立， 故的最大值为. 6.（2026届江苏省G4联考12月）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在上，为的左、右顶点. （1）求的方程； （2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线分别交轴于两点. （i）试探究：是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）当面积取最大值时，求的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）存在（ⅱ）. 【解析】（1）由已知，，解得， 所以C的方程为； （2）（i）设过点的直线， 由，消去x得， ，， ，， 由（1）知， 则直线，， 直线，， ， 所以存在，使得； （ii）法一：， ， 因为，所以， ， 因为M在第一象限，所以， 令， ， 令，解得或， 在上单调递增，在单调递减， 所以当时，取最大值，所以. 7.（宁波市2025学年第一学期期末考试）已知椭圆：离心率为，且过点，F是的右焦点，O为坐标原点. （1）求的方程； （2）设，过点P的直线与依次交于A，B两点（点A在第二象限），直线，分别与交于另一点C，D. （i）当C，D两点重合时，求直线的方程； （ii）当C，D两点不重合时，直线与x轴交点为Q，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】（1）由，及，解得，，即椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，， 直线与椭圆方程联立得， ，， 设，，得. 易知，设的直线方程为，其中， 将直线与椭圆方程联立得， 则. （i）当C，D重合时，，即，， 代入得， 化简得，解得或（舍去）. 因为，所以. 故直线的方程为. （ii）因为，所以. 则直线的方程为， 令，得 ， 将韦达定理代入上式，得 ， 即直线过定点. 的面积为 ， 当，即时，取得的面积的最大值. 双曲线 1.（山东省烟台市2026届高三下学期高考诊断性测试）已知双曲线经过点，且离心率为2． (1)求的方程； (2)过的右焦点且斜率不为0的直线与交于两点，设分别为的左、右顶点，且直线的斜率分别为，判断：是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由． 【答案】（1） (2) 是， 【解析】（1）由题意，可得， 解得. 所以的方程为. （2）由（1）知，的右焦点为，设的方程为， 与方程联立，得. 因为与有两个交点，所以且，解得． 设，则，则有 因，则， 所以，因， 代入可得，，即为定值. 2.（福建省福州市2026届高三三月质量检测）已知双曲线：的右顶点为A.请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，使得C存在且唯一. 条件①：的离心率为2； 条件②：的渐近线方程为； 条件③：的右焦点与点A的距离为1. (1)求的方程； (2)若过点的直线交C的右支于点M，且的面积为3，求的方程. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分. 【答案】（1） (2) 或. 【解析】（1）选择条件①和③： 因为C的离心率为2，点A到C的右焦点的距离为1， 所以，解得 又因为，所以， 所以C的方程为. 选择条件②和③： 因为C的渐近线方程为，点A到C的右焦点的距离为1， 所以由可得 所以C的方程为. 选择条件①和②： 因为的离心率为2， 所以， 所以的渐近线方程为， 由①能推出②，所以C存在但是不唯一，不符合题意； 综上所述：选择条件①和③和选择条件②和③时，的方程，选择条件①和②时，C存在且不唯一. （2）由（1）知，点A坐标为， 又由可得直线的方程为，且. 设点M到直线的距离为d， 因为面积为3，所以，所以. 设过点M且与直线平行的直线为n：. 则n与直线的距离为，故， 解得或， 所以直线n方程为或， 直线与直线关于原点中心对称， 与双曲线左支有两个交点，不合题意，舍去. 由得或 故点M坐标为或， 当M坐标为时，点，所以直线的方程为， 当M坐标为时，点，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 3.（江西赣州市2025-2026学年高三下学期摸底）已知抛物线，过点作直线与抛物线相交于两点，为坐标原点. (1)证明：； (2)若存在异于点的定点，使得恒成立，请求出点的坐标，并求出面积的最小值. 【答案】（1）证明见解析 (2) 8 【解析】（1）证明：设直线的方程为， 由，得，即， 因为，所以， ， 所以，所以. （2）因为，所以， 由角平分线的性质可知，为的角平分线，由抛物线对称性可得，在轴上， 设，， 因为在轴上，所以，， 整理得，由，代入可得， 即，由于上式对任意恒成立，所以，即. ， 到直线的距离为：，面积， 当时，面积有最小值8. 4.（浙江省强基联盟2026年1月高三联考）已知双曲线 (1)，求双曲线的渐近线方程. (2)设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； (3)已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. 【答案】(1) (2)(3)-1 【解析】（1）当时，双曲线的方程为， 则双曲线的渐近线方程为； （2）由题意，设， 则，， 则，， 又点在双曲线上，则，化简得， 又所以； （3）将点代入双曲线方程得，解得：， 故双曲线方程为； 设直线斜率为，则直线斜率为 直线方程为，联立双曲线与直线: ， 其中 即且， 由韦达定理，则， 同理以代，则， 则，， 故. 5.（湖北宜昌市2026届高三下学期3月调研）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ②存在，且点. 【解析】（1）双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）①设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. ②设的外接圆方程为， 则， 由代入， 可得， 可得， 同理可得， 所以、为关于的方程的两根， 又因为、为关于的方程的两根， 所以方程与方程为同解方程， 所以，解得， 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即， 直线与轴的交点为，不妨取点，此时， 则， 故在轴上存在定点，使得为定值. 6.（江苏省九校2026届高三下学期一模联考）已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)证明：的外接圆的圆心在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1）因为双曲线的离心率为，且是上一点， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则，解得，所以或， 且， 因为，可得， 又因为， 可得， 所以 ， 将代入上式得， ， 因为，可得，即， 解得或， 又因为或，所以， 所以直线的方程为. （3）由（2）知，可得的中点的横坐标为， 则点的纵坐标为，即， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 设点的坐标为， 因为，可得 ， 又因为， 代入得， 整理得， 又由，可得， 则，可得， 其中， 则， 整理得， ①当时，两边同除以，可得， 代入，可得，即， 所以的外接圆的圆心在定直线上； ②当时，即时，可得直线的方程为， 此时点满足直线的方程，此时三点共线，不能构成三角形，舍去， 综上可得，的外接圆的圆心在定直线上. 7.（湖南省联考2025-2026学年高三上学期期末）已知双曲线的左、右顶点分别为A(，0)和B(2，0)，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于M，N两点，其中点M在第一象限，. （1）求E的方程. （2）已知点P，Q在直线AM上，满足，记点P的横坐标为m. （ⅰ）求点Q的坐标（用m表示）； (ⅱ)若PQ的中点S在的外接圆内，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）(ⅱ) 【解析】（1）显然， 设， 由，得，则，. ，得， 故的方程为. （2）（ⅰ）由（1）可得，，所以直线，， 设，则， 所以，从而， 于是. （ⅱ）由和，得中点， 且. 设的外接圆的圆心为，由，，可知点在轴上，设， 再由，得，解得，所以， 于是得的外接圆方程为. 由， 解得或，即为圆与直线的两个交点的横坐标. 因为点在的外接圆内，所以. 令，则， 由，得. 所以， 因此，的取值范围是. 另解 由，解得， 所以. 8.（浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价）已知平面直角坐标系上一动点满足，，． （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点． ①求直线，的斜率之和； ②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由． 【答案】（1） （2）①；②必在直线上，理由见解析 【解析】（1）由题意知，， 所以动点的轨迹为双曲线的右支，，， 即，，所以， 所以点的轨迹曲线的方程为. （2）①设直线的方程为，，，直线和的斜率分别为，， 联立得，， 由题意得，解得， 于是，， 所以 ，所以． ②直线中垂线为， 直线的中垂线为， 联立直线方程得：， 消得， 于是， 所以， 代入得， 当时，点在直线上，不符合题意，故， 又消得：，推出， 推出：， 得：， 得：， 又，则， 又，所以， 故外接圆圆心， 令，消去得， 故必在直线上. 抛物线 1.（浙江金丽衢十二校2026届高三第一次联考）已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由抛物线定义可得，因此 所以抛物线的方程为，焦点的坐标为 （2）设直线的方程为，与联立，消元可得， ， 设，则， 所以； 解得. 所以原点到直线的距离为， 所以 2.（江苏省镇江市2026届高三第一学期零模）已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限. ①直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； ②是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）（ii）存在 【解析】（1）由题意点到其准线的距离为，则， 所以抛物线的标准方程为. （2）①设直线的方程为，，，， 联立，得，所以， 设直线的方程为， 联立，得，所以， 所以可得，所以， 所以，化简得，解得， 又因为点在第一象限，所以，则，所以，解得， 所以直线的方程为.    ②假设存在这样的，设，， 所以，即， 化简得， 即， 即对任意恒成立， 所以，解得， 所以假设成立即存在. 3.（Z20名校联盟2026届高三第二次联考）已知抛物线： ，焦点为F，直线y=x+1与抛物线有且只有一个交点。 （1）求抛物线的方程； （2）设抛物线的准线与x轴交于点E，过点E作直线l与抛物线交于A,B两点。 （i）若ΔABF的面积为4，求直线l的方程； （ⅱ）设ΔABF内切圆的半径为r，求r的最大值 【答案】（1） (2)（i）或（ⅱ） 解：（1）由得，由已知可得， 所以抛物线方程为； （2）（i）由（1）得，设，代入得，， 设则. ，所以， 所以直线l的方程为：或； （ii）由（i）得 由得 ， ， 设，则 显然关于m是增函数. 令，则， 两边平方，化简整理得，此时对应的t值满足题意. 由于关于m是递增函数，;， 所以当时，，所以 4.（山东聊城市2026届高三下学期高考模拟）已知抛物线的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，以线段为直径作圆，该圆是否恒过上一定点？若是，求出该点坐标；若否，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点；定点坐标为 【解析】（1）解：由抛物线，可得其焦点为，准线方程为， 因为点在抛物线上，可得，解得， 又因为，根据抛物线的定义，可得，即， 整理得，解得或， 因为，所以，所以抛物线的方程为. （2）解：设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则， ， 假设以线段为直径的圆恒过上的点，则， 因为，且， 所以， 整理得， 因为，所以， 两边同时除以，可得， 即，即， 将代入上式，可得， 整理得， 因为上式对任意恒成立，所以，解得， 当时，可得， 所以以线段为直径的圆恒过抛物线上一定点. 5.（九师联盟2025-2026学年高三上学期第五次质量检测（1月））已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点． (1)求线段的长度； (2)若是上两点，是坐标原点，直线的斜率之积等于，求证：直线过定点． 【答案】(1)8 (2)证明见解析 【解析】（1）由题意得，所以的方程为， 设，， 联立方程，得， 所以，， 由抛物线的定义，得.   （2）易知直线的斜率不为，设直线，，， 联立方程，所以， 所以，，， 因为直线的斜率之积等于，即，即， 又，， 所以，即， 所以，解得， 所以直线过定点．   6.（广东广州市天河区2026届普通高中毕业班适应性训练（二模））已知点为抛物线的焦点，点在上. (1)求的方程与点F坐标： (2)过点的直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线相交于两点. （i）若为线段的中点，求证：直线为抛物线的切线； （ii）若直线为抛物线的切线，过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析 （ii） 【解析】（1）点在，， ，； 点为抛物线的焦点，； （2）（i）过点的直线与抛物线相交于两点，此直线一定存在斜率， 设过点的直线方程为， 将代入，得到， 整理得到， 如图，设，则有， 为线段的中点，， ，， ， 在直线上，， ，，， 在上，，， ， ， ，，， 切点为，， 与切点为的斜率相等，直线为抛物线的切线； （ii）由（i）知，当为抛物线的切线时， ，， ，， 直线的方程为， 如图，作出符合题意的图形， 过点作直线的垂线，垂足为， 在直线上，，， ，，， ，， ，， ， ，， ，，， ，， 设，整理得到， 则，解得， 的最大值为，的最大值为 7.（湖南怀化市2026届高三下学期第一次模拟考试）在抛物线中，直线与交于两点，为的焦点.当直线为时，. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标始终为1，求的取值范围； (3)已知直线与相交于两点，直线与相交于两点（点在轴的上方），若，四边形的外接圆圆心坐标为，求证：. 【答案】(1) (2) （3）证明见解析 【解析】（1）由题意可知， 联立直线与的方程可得， 设,则, 由弦长公式可得：, 化简可得，由于，故，（负值舍去）. 故抛物线的方程为. （2）设直线, 直线与抛物线联立可得， 故， 由于， 故， 因此的取值范围为 （3）抛物线与直线相交于故， 抛物线与直线相交于故， 根据可得， 由于轴，根据对称性可知四边形的外接圆圆心在轴上，故， 由可得， 化简可得， 将代入上式可得， 由于，可得，故，故， 进而. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $