8.6 空间直线、平面的垂直 经典题型分类训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以八大题型系统覆盖空间垂直核心内容，通过56道题构建从空间角计算到垂直关系判定与性质的完整逻辑链，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |异面直线所成的角|8题|正方体、直三棱柱模型，选择/填空/解答|空间角计算基础，线线位置关系判断| |线面垂直的判定|8题|位置关系判断、充要条件、证明题|线面垂直定义与判定定理的直接应用| |线面垂直的性质|4题|性质应用、命题判断|线面垂直性质定理的推理与应用| |线面所成的角|10题|正方体、正三棱柱模型，计算与证明|线面角计算，线面垂直性质的延伸| |二面角|8题|折叠问题、正方体模型，计算与证明|面面角计算，空间角体系的深化| |面面垂直的判定|5题|判定定理应用、命题判断|面面垂直判定，线面垂直到面面垂直的转化| |面面垂直的性质|4题|性质应用、命题判断|面面垂直性质，面面垂直到线面垂直的转化| |综合命题|9题|平行垂直关系综合证明|垂直关系与平行关系的综合应用，知识体系整合|

《空间直线、平面的垂直》经典题型分类训练 （八大题型，共56小题） 题型一:异面直线所成的角 1．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，则异面直线AB1与ED所成的角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，E是A1B的中点，D是CC1的中点，AB＝2，AC＝1，则AB与DE所成的角的大小为（　　） A． B． C． D． 4．（多选）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（　　） A．AB∥EF B．CD⊥MN C．MN与AB是异面直线 D．BF与CD成60°角 5．（多选）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论正确的是（　　） A．直线AM与CC1是异面直线 B．直线MN与BD1是共面直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线MN与BN所成角为90° 6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和BC1所成角的大小为 　 　 ． 7．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝4，AB＝2，则直线A1B与直线B1C所成角的余弦值为 　 　 ． 8．直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为 　 　 ． 9．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1．则异面直线A1C，B1C1所成角的大小是 　 　 ． 题型二：直线与平面垂直的判定 10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与直线AD1垂直的平面是（　　） A． 平面DD1C1C B．平面A1DCB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 11．已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条 D．既不充分也不必要条件 12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列棱中与BD垂直的是（　　） A． BC B．AB C．AA1 D．C1D1 13．已知l，m，n是空间中三条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，且m⊂α，n⊂α，l⊂β，m∩n＝A，则“α⊥β”是“l⊥m，l⊥n”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（多选）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P，E，F分别为棱AA1，AB，DD1的中点，Q为线段A1C上的动点，则（　　） A．D1Q∥平面PEF B．D1Q⊥AB1 C．B1Q⊥平面QBC D．D1Q+QB的最小值为 15．（多选）如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧面BCC1B1为正方形，底面ABCD为长方形，M，N，P分别为CC1，DD1，A1D1的中点，则下列结论错误的是（　　） A．A1B∥平面PD1C B．A1B⊥平面AMN C．BC1∥平面AMN D．BC1⊥平面PMN 16．设α、β、r为平面，m、n、l为直线，以下四组条件：①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；②α∩r＝m，α⊥r，β⊥r；③α⊥r，β⊥r，m⊥α；④n⊥α，n⊥β，m⊥α；可以作为m⊥β的一个充分条件是　 　 ． 17． 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，点F为CC1的中点，求证：A1O⊥平面BDF． 18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为AB1，CC1的中点．求证： （1）PQ∥平面ABC； （2）PQ⊥平面ABB1A1． 题型三：直线与平面垂直的性质 19．已知平面α，β满足α∩β＝l，且α，β不垂直，直线m⊥α，那么下列命题中错误的是（　　） A．对任意直线a⊂α，都有m⊥a B．存在直线a⊂β，使得m⊥a C．存在直线a⊂β，使得m∥a D．m与平面β一定不垂直 20．设l，m，n为三条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是（　　） ①若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m ②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α ③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α ④若l∥m，m⊥α，n⊥β，α∥β，则l∥n． A．1 B．2 C．3 D．4 21．用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题，其中真命题的是（　　） ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥y，b∥y，则a∥b； ④若a⊥y，b⊥y，则a∥b． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD为正方形，且PA＝2AB＝4，M为PC上一动点，若PC⊥DM，则MB的长度为（　　） A． B． C． D． 题型四：直线与平面所成的角 23．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 24．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则A1C与侧面BCC1B1所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 25．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，直线MN与平面C1D1DC所成角为（　　） A． B． C． D． 26．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝BB1＝1，则直线A1B与平面A1B1CD所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 27．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为3，点D是侧面BB1C1C的两条对角线的交点，则直线AD与底面ABC所成角的正切值为（　　） A． B． C． D．1 28．（多选）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法正确的是（　　） A．MN∥平面ADD1A1 B．MN⊥AB C．直线MN与平面ABCD所成角为45° D．异面直线MN与DD1所成角为60° 29．已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面的边长分别为3和6，AA1＝3，则直线AA1与平面ABC所成角的正弦值为　 　 ． 30．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为 　 　 ． 31． 在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，则直线PB与平面PAC所成角的大小为 　 　 ． 32．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点． （1）求证：B1C∥平面A1BD； （2）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值． 33．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为AC、AA1的中点，AC＝AA1＝2． （1）求异面直线DE与直线A1B所成角的余弦值； （2）求DE与平面BCC1B1夹角的余弦值． 34．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点． （1）证明：PB∥平面ACM； （2）证明：平面PAD⊥平面PAC； （3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值． 35．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥底面ABCD，PB⊥AC，E，F分别为线段PA，DC的中点． （1）证明：PA＝PC； （2）证明：EF∥平面PBC； （3）若PD＝1，∠DAB＝60°，记PA与平面PBC所成角为θ，求sinθ的最大值． 题型五：二面角 36．如图，已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角D1﹣BC﹣D的大小是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 37．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E、F分别为AB、BD1的中点，则二面角E﹣BF﹣C 的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 38．如图1，在菱形ABCD中，，∠BAD＝60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角B﹣AC﹣D的余弦值为（　　） A． B． C． D． 39．如图所示，在四面体S﹣ABC中，△ABC和△SBC都是等边三角形，且，则二面角S﹣BC﹣A的大小为（　　） A． B． C． D． 40．（多选）如图，棱长为2的正方体中ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（　　） A． 异面直线B1D1与BC1所成的角为60° B．直线A1C与平面C1CDD1所成的角为45° C．二面角B﹣C1D﹣D1平面角的正切值为 D．点A1到平面BDC1的距离为 41．（多选）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为AE的中点，则下列结论正确的是（　　） A．直线CE与A1C1为异面直线 B．CE∥平面BDF C．三棱锥E﹣ABD外接球的体积为36π D．二面角F﹣BD﹣E的余弦值为 42．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2． （1）求证：CD⊥平面PAC； （2）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值． 43．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，BC∥AD，平面PAB⊥平面PBC，且AB＝BC＝1，PA＝AD＝2． （1）若平面PBC与平面PAD相交于直线l，求证：BC∥l； （2）求证：AB⊥BC； （3）求二面角C﹣PD﹣A的余弦值． 题型六：平面与平面垂直的判定 44．已知α、β为两个不同平面，l为直线，且l⊥β，则“l∥α”是“α⊥β”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 45．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是（　　） A．平面PDE⊥平面ABC B．BC∥平面PDF C．DF⊥平面PAE D．平面PAE⊥平面ABC 46．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系正确的是（　　） ①平面PAB⊥平面PAD；②平面PAB⊥平面PBC；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC． A． ①② B．①③ C．②③ D．②④ 47． 如图，在四面体A﹣BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．求证：平面ABC⊥平面SBC． 48．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC为，N，M分别为AB，CC1的中点，且AB＝AC． （1）证明：CN⊥平面ABB1A1． （2）证明：平面AMB1⊥平面ABB1A1． （3）若AA1＝2AB，求二面角A﹣MB1﹣C1的正切值． 49．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1是所有棱长均为2的直三棱柱，D、E分别是棱AB和棱AA1的中点． （1）求三棱柱的体积与表面积； （2）求证：平面B1CD⊥平面ABB1A1； （3）求二面角B1﹣CD﹣E的余弦值的大小． 题型七：平面与平面垂直的性质 50．已知两个平面相互垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中不正确命题的个数（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 51．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　） A．α∥β，l∥α B．α与β相交，且交线平行于l C．α⊥β，l⊥α D．α与β相交，且交线垂直于l 52．已知a、b是不同直线，α、β、γ是不同平面，给出下列命题正确的是（　　） ①若α∥β，a⊂α，则a∥β； ②若a、b与α所成角相等，则a∥b； ③若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ； ④若a⊥α，a⊥β，则α∥β． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④ 53．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（　　） A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若m∥n，n⊂α，则m∥α C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m⊥n，m⊥α，则n∥α 题型八：有关平行垂直关系的综合命题判断与证明 54．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（　　） A．如果m∥α，n∥α，那么m∥n B．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n C．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β D．如果α∥β，直线m与α所成的角和直线n与β所成的角相等，那么m∥n 55．（多选）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若m⊥β，α∥β，则m⊥α B．若n⊥α，n⊥β，则α∥β C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，α⊥β，则m∥β 56．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： （1）PA⊥底面ABCD； （2）平面BEF∥平面PAD； （3）平面BEF⊥平面PCD． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 《空间直线、平面的垂直》经典题型分类训练 （八大题型，共56小题） 题型一:异面直线所成的角 1．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，则异面直线AB1与ED所成的角的余弦值为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，连接A1C1，C1D，C1E，则AB1∥C1D，直线C1D与ED所成的角，即为异面直线AB1与ED所成的角，设角∠C1DE＝θ，在△C1DE中，，，C1E＝3， cosθ． 2．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为（　C　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】 如图所示，取BC1中点E，连接DE，BE，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为A1B1的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE是异面直线BD与AC所成的角（或所成角的补角），∵AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，∴DE，BD＝BE，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE＝60°，∴异面直线BD与AC所成的角为60°． 3．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，E是A1B的中点，D是CC1的中点，AB＝2，AC＝1，则AB与DE所成的角的大小为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，设F是AB中点，连接EF，CF，DE，根据三棱柱的性质可知EF∥DC，EF＝DC，所以四边形CDEF是平行四边形，所以DC∥FC，所以异面直线AB与DE所成角为∠AFC，在直角三角形AFC中，AF＝AC＝1，所以∠AFC． 4．（多选）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（　BC　） A．AB∥EF B．CD⊥MN C．MN与AB是异面直线 D．BF与CD成60°角 【解析】 如图所示，将正方体还原，由图可知，AB与EF异面，A不正确；CD⊥AE，AE∥MN，所以CD与MN垂直，B正确；AB与MN为异面直线，C正确；BF与CD平行，所以BF与CD所成角不为60°，D不正确． 5．（多选）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论正确的是（　AC　） A．直线AM与CC1是异面直线 B．直线MN与BD1是共面直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线MN与BN所成角为90° 【解析】 对于A：直线CC1⊂面CDD1C1，直线AM⊄面CDD1C1，M∉CC1，所以直线AM与CC1，是异面直线，故A正确；对于B：与A判断方法相同，直线MN与BD1是异面直线，故B错误；对于C：与A判断方法相同，直线BN与MB1是异面直线，故C正确；对于D：连接BM，设正方体的棱长为2，在Rt△B1C1M中，由勾股定理得，进一步在Rt△BB1M中，由勾股定理得BM＝3，在Rt△MNC1中由勾股定理得MN，在Rt△BCN中，由勾股定理得BM，在△BNM中，7≠32＝BM2，所以直线MN与直线BN所成角不为90°．故D错误 。 6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和BC1所成角的大小为 　　 ．60° 【解析 如图所示，由正方体的性质知，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，所以∠A1C1B或其补角即为异面直线AC和BC1所成角，因为△A1C1B是等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，即异面直线AC和BC1所成角为60°． 7．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝4，AB＝2，则直线A1B与直线B1C所成角的余弦值为 　　 ． 【解析】 如图所示，连接BC1，交B1C于点O，则O是BC1的中点，取A1C1的中点D，连接OD，则OD∥A1B，所以∠B1OD或其补角即为直线A1B与直线B1C所成角，由题意知，△A1B1C1是边长为2的等边三角形，所以B1D，由勾股定理知，A1B＝C1B2，所以ODA1B，OB1C1B，在△OB1D中，由余弦定理知，cos∠B1OD，即直线A1B与直线B1C所成角的余弦值为． 8．直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为 　　 ． 【解析】 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图所示，BC的中点为O，连结ON，MN，OB，∴MNOB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC＝CA＝CC1，设BC＝CA＝CC1＝2，∴CO＝1，AO，AN， MB，在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO． 9．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1．则异面直线A1C，B1C1所成角的大小是 　　 ．60° 【解析】 如图所示，连接A1B，由题意，得B1C1∥BC，则∠A1CB是异面直线A1C与B1C1所成的角或其补角，不妨令AB＝AC＝AA1＝1，因为AB⊥AC，所以，，又，即△A1BC为正三角形，则∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°． 题型二：直线与平面垂直的判定 10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与直线AD1垂直的平面是（　B　） A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1 C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB 【解析】 由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，可知A1B1⊥平面ADD1A1，又因为AD1⊂平面ADD1A1，所以AD1⊥A1B1，又因为AD1⊥A1D，A1B1∩A1D＝A1，且A1B1，A1D⊂平面 A1DCB1，故 AD1⊥平面 A1DCB1 11．已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（　B　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 “m⊥n”不能推出“m⊥α”，充分性不成立，m⊥α，n⊂α，则m⊥n，必要性成立，故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件． 12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列棱中与BD垂直的是（　C　） A．BC B．AB C．AA1 D．C1D1 【解析】 由图知，在正方体中，棱AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，BC，AB，C1D1与BD所成的角为45°． 13．已知l，m，n是空间中三条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，且m⊂α，n⊂α，l⊂β，m∩n＝A，则“α⊥β”是“l⊥m，l⊥n”的（　B　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 m⊂α，n⊂α，l⊂β，m∩n＝A，若α⊥β，推不出l⊥m，l⊥n，不是充分条件，反之，若l⊥m，l⊥n，则l⊥α，则α⊥β，是必要条件 14．（多选）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P，E，F分别为棱AA1，AB，DD1的中点，Q为线段A1C上的动点，则（　AB　） A．D1Q∥平面PEF B．D1Q⊥AB1 C．B1Q⊥平面QBC D．D1Q+QB的最小值为 【解析】 D1Q⊂面BCD1A1，且PF∥A1D1，PE∥A1B，PF⊄面BCD1A1，A1D1⊂面BCD1A1，则PF∥面BCD1A1，同理PE∥面BCD1A1，PF∩PE＝P，PF⊂面PEF，PE⊂面PEF，故面PEF∥面BCD1A1，而D1Q⊂面BCD1A1，所以D1Q∥平面PEF，A对；根据正方体的结构特征易知AB1⊥面BCD1A1，D1Q⊂面BCD1A1，则D1Q⊥AB1，B对；若B1Q⊥平面QBC，而A1C⊂平面QBC，则B1Q⊥A1C，显然Q在线段A1C上运动过程中不可能恒有B1Q⊥A1C，C错；由正方体性质，当D1QB三点共线时，D1Q+QB取得最小值，最小值为2，D对． 15．（多选）如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧面BCC1B1为正方形，底面ABCD为长方形，M，N，P分别为CC1，DD1，A1D1的中点，则下列结论错误的是（　ABC　） A．A1B∥平面PD1C B．A1B⊥平面AMN C．BC1∥平面AMN D．BC1⊥平面PMN 【解析】 对于A：在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，易得A1B∥D1C，所以A1，B，C，D1四点共面，可得A1B⊂平面A1BD1C，即A1B⊂平面PD1C，所以A不正确；对于B：连接BM，由题意易得四边形ABMN为矩形，因为A1B与AB不垂直，所以A1B与平面ABMN不垂直，所以B不正确；对于C：因为BC1∩平面ABMN＝B，所以BC1与平面ABMN不平行，即BC1与平面AMN不平行，所以C不正确； 对于D：如图所示，易得MN⊥平面BCC1B1，而BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥EF，取B1C1的中点Q，连接QM，PQ，易得PQ∥MN，即P，Q，M，N四点共面，由题意可得QM∥B1C，因为侧面BCC1B1为正方形，所以B1C⊥BC1，所以BC1⊥QM，又因为MN∩QM＝M，MN，QM⊂平面PQMN，所以BC1⊥平面PQMN，即BC1⊥平面PMN，所以D正确． 16．设α、β、r为平面，m、n、l为直线，以下四组条件：①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；②α∩r＝m，α⊥r，β⊥r；③α⊥r，β⊥r，m⊥α；④n⊥α，n⊥β，m⊥α；可以作为m⊥β的一个充分条件是　　 ．④ 【解析】 将题目中的线和面放在正方体中ABCD﹣A1B1C1D1中，则①记面AD1为α，面AC为β，则AD为l，若视AB为m，m⊥l，但m在面β内，故①不满足条件；②若α、β、γ两两垂直，则可以得到m⊥β，但该条件中没有α⊥β，故反例只可能存在于此处，记面AD1为α，面BB1D1D为β，面AC为γ，则AD为m，但m与β成45°角，故②不满足条件；③注意到m⊥α，只要α、β不平行，就得不到m⊥β，记面AD1为α，面BB1D1D为β，面AC为γ，视AB为m，但m与β成45°角，故③不满足条件；④由n⊥α，n⊥β得α∥β，再由m⊥α得m⊥β，故只有④满足条件． 17．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，点F为CC1的中点，求证：A1O⊥平面BDF． 【解析】 证明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥BD，而AC∩AA1＝A，可得BD⊥平面AA1C1C，而A1O⊂平面AA1C1C，则BD⊥A1O，在矩形AA1C1C中，在直角三角形A1AO中，tan∠AOA1，在直角三角形FCO中，tan∠COF，可得tan∠AOA1•tan∠COF＝1，即有∠AOA1+∠COF＝90°，则∠A1OF＝180°﹣90°＝90°，即OF⊥A1O，又BD⊥A1O，而OF∩BD＝O，则A1O⊥平面BDF． 18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为AB1，CC1的中点．求证： （1）PQ∥平面ABC； （2）PQ⊥平面ABB1A1． 【解析】 （1）证明：取AB的中点D，连结PD，CD．在△ABB1中，因为P，D分别为AB1，AB中点，所以PD∥BB1，且． 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，CC1＝BB1．因为Q为棱CC1的中点，所以CQ∥BB1，且．于是PD∥CQ，PD＝CQ．所以四边形PDCQ为平行四边形，从而PQ∥CD．又因为CD⊂平面ABC，PQ⊄平面ABC，所以PQ∥平面ABC． （2）证明：如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC．又CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．因为CA＝CB，D为AB中点，所以CD⊥AB．由（1）知CD∥PQ，所以BB1⊥PQ，AB⊥PQ．因为AB∩BB1＝B，AB⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，所以PQ⊥平面ABB1A1． 题型三：直线与平面垂直的性质 19．已知平面α，β满足α∩β＝l，且α，β不垂直，直线m⊥α，那么下列命题中错误的是（　C　） A．对任意直线a⊂α，都有m⊥a B．存在直线a⊂β，使得m⊥a C．存在直线a⊂β，使得m∥a D．m与平面β一定不垂直 【解析】 如图所示 ，设平面ABCD为平面α，平面A1B1CD为平面β，CD为直线l， 不妨取直线AA1为直线m，∵直线m⊥α，直线a⊂α，∴直线m⊥直线a，故A正确；当a为A1B1时，直线a⊂β，m⊥a，故B正确；若存在直线a⊂β，使得m∥a，则m∥β，与m∩β＝A1矛盾，故C错误；若m⊥β，又m⊥α，∴α∥β，与α∩β＝l矛盾，故D正确． 20．设l，m，n为三条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是（　B　） ①若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m ②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α ③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α ④若l∥m，m⊥α，n⊥β，α∥β，则l∥n． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 ①若l⊥α，m∥β，α⊥β则l⊥m，不正确，由l⊥α，α⊥β可得出l∥β或l⊂β，若m∥β，则l与m的位置关系无法确定；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α，不正确，题设条件中缺少了一项m∩n＝0这样一个条件，不满足线面垂直的判定定理；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α，正确，由l⊥α可知在α内存在两条相交直线与l垂直，又l∥m，m∥n故可得此两直线也与n垂直，再由线面垂直的判定定理即可得出n⊥α④若l∥m，m⊥α，n⊥β，α∥β，则l∥n，正确，由l∥m，m⊥α，可得l⊥α，再由α∥β可得l⊥β，又n⊥β故可得l∥n． 21．用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题，其中真命题的是（　C　） ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥y，b∥y，则a∥b； ④若a⊥y，b⊥y，则a∥b． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【解析】 根据平行直线的传递性可知①正确；在长方体模型中容易观察出②中a、c还可以平行或异面；③中a、b还可以相交；④是真命题 22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD为正方形，且PA＝2AB＝4，M为PC上一动点，若PC⊥DM，则MB的长度为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，由BD⊥平面PAC，有BD⊥PC，又PC⊥DM，故PC⊥平面BDM，可得MB⊥PC，又由BC＝2，BP2，PC2，MB． 题型四：直线与平面所成的角 23．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，连接AC，由AA1⊥平面ABCD，则对角线A1C与平面ABCD所成角为∠A1CA，则 24．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则A1C与侧面BCC1B1所成角的正弦值为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，取B1C1的中点E，连接A1E，CE，则根据题意易得A1E⊥侧面BCC1B1，∴∠A1CE即为所求，又根据题意易知A1E，A1C＝2，∴sin∠A1CE 25．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，直线MN与平面C1D1DC所成角为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 因为平面A1B1BA∥平面C1D1DC，所以直线MN与平面A1B1BA所成角即为直线MN与平面C1D1DC所成角，如图所示取AB的中点O，连接OM，ON，则OM∥BC，由正方体的性质知，BC⊥平面A1B1BA，以OM⊥平面A1B1BA，所以∠ONM即为所求，在Rt△OMN中，ON＝OM，所以∠ONM，即直线MN与平面C1D1DC所成角为． 26．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝BB1＝1，则直线A1B与平面A1B1CD所成角的正弦值为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，设点E为线段B1C的中点，连接BE，A1E．∵在长方体中，DC⊥CB，DC⊥CC1，CB∩CC1＝C，CB⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，∴DC⊥平面BCC1B1，∵BE⊂平面BCC1B1，∴DC⊥BE．又BC＝BB1＝1，且E为线段BC的中点，∴BE⊥B1C，且B1C∩DC＝C，B1C⊂平面A1B1CD，DC⊂平面A1B1CD，∴BE⊥平面A1B1CD，故∠BA1E就是直线A1B与面A1B1CD所成的角．在Rt△BA1E中，，，∴，故直线A1B与平面A1B1CD所成角的正弦值为． 27．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为3，点D是侧面BB1C1C的两条对角线的交点，则直线AD与底面ABC所成角的正切值为（　C　） A． B． C． D．1 【解析】 如图所示，取BC中点E，连接DE，AE，易得∠DAE为直线AD与底面ABC所成角，直线AD与底面ABC所成角的正切值为 28．（多选）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法正确的是（　ABC　） A．MN∥平面ADD1A1 B．MN⊥AB C．直线MN与平面ABCD所成角为45° D．异面直线MN与DD1所成角为60° 【解析】 如图所示，连接BD，B1C，AB1，由M为AC的中点，可得M为BD的中点，又N为A1B的中点，知MN∥A1D，而MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1，故A正确；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面BCC1B1，则AB⊥B1C，∵M，N分别为AC，AB1的中点，则MN∥B1C，∴MN⊥AB，故B正确；直线MN与平面ABCD所成角等于B1C与平面ABCD所成角等于45°，故C正确；∵DD1∥BB1，∴MN与DD1所成角等于B1C与BB1所成角为45°，故D错误． 29．已知正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面的边长分别为3和6，AA1＝3，则直线AA1与平面ABC所成角的正弦值为　　 ． 【解析】 在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，分别取上、下底面的中心，设为O，O1，连接AO，A1O1， 过A作AE⊥平面A1B1C1，垂足为E，由正三棱台的性质可得，E在A1O1上，如图所示， 则四边形AOO1E为矩形，且，又，则，所以，在Rt△A1AE中，，则直线AA1与平面A1B1C1所成角的正弦值为，所以直线AA1与平面ABC所成角的正弦值为． 30．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为 　　 ． 【解析】 因为AA1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以AA1⊥AC，所以直线A1C与平面ABCD所成角即为∠ACA1，因为AB＝1，BC＝2，所以，所以． 31．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，则直线PB与平面PAC所成角的大小为 　　 ． 【解析】 如图所示因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为，所以AC2+BC2＝AB2，即BC⊥AC，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC，所以∠BPC即为直线PB与平面PAC所成角，由PA⊥平面ABC，得PA⊥AC，PA⊥AB，在△PBC中，，所以PC2+BC2＝PB2，且PC＝BC，即△PCB为等腰直角三角形，所以，即直线PB与平面PAC所成角的大小为． 32．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点． （1）求证：B1C∥平面A1BD； （2）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值． 【解析】 （1）证明：设AB1∩A1B＝M，连接DM，因为四边形AA1B1B为平行四边形，所以M为AB1中点，又因为D为AC中点，所以DM∥B1C，因为DM⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD； （2）如图所示，取A1D中点N，连接MN、AN，因为A1A⊥底面ABC，BD⊂平面ABC，所以A1A⊥BD，因为△ABC是正三角形，D是AC的中点，所以BD⊥AC，又因为A1A∩AC＝A， 所以BD⊥平面A1AD，因为AN⊂平面A1AD，所以AN⊥BD，又因为A1A＝AD＝1，所以AN⊥A1D， 又，BD∩A1D＝D，所以AN⊥平面A1BD，所以∠AMN为直线AB1与平面A1BD所成的角，可得sin∠AMN，所以直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为． 33．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为AC、AA1的中点，AC＝AA1＝2． （1）求异面直线DE与直线A1B所成角的余弦值； （2）求DE与平面BCC1B1夹角的余弦值． 【解析】 （1）因为D、E分别为AC、AA1的中点，所以可知DE为△ACA1的中位线，即DE∥CA1， 所以可知∠CA1B为异面直线DE与直线A1B所成角或补角，在△A1BC中，，，BC＝2，根据余弦定理可得，所以异面直线DE与直线A1B所成角的余弦值为； （2） 过点A1作B1C1的垂线，垂足为F，连结CF，做出示意图如图所示：由题易知△ABC是正三角形，所以F为B1C1的中点，因为面A1B1C1⊥面BCC1B1，且面A1B1C1∩面BCC1B1＝B1C1，A1F⊂面A1B1C1，A1F⊥B1C1，所以A1F⊥面BCC1B1，故CF为CA1在平面BCC1B1的射影，所以∠A1CF即为所求角，，，，故，所以DE与平面BCC1B1夹角的余弦值为． 34．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点． （1）证明：PB∥平面ACM； （2）证明：平面PAD⊥平面PAC； （3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值． 【解析】 （1）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO．因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM． （2）证明：因为∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC．又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD．而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC．又AD⊂平面PAD，故平面PAD⊥平面PAC． （3）如图所示，取DO中点N，连接MN，AN．因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MNPO＝1．由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO，则DO．从而ANDO．在Rt△ANM中，tan∠MAN，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为． 35．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥底面ABCD，PB⊥AC，E，F分别为线段PA，DC的中点． （1）证明：PA＝PC； （2）证明：EF∥平面PBC； （3）若PD＝1，∠DAB＝60°，记PA与平面PBC所成角为θ，求sinθ的最大值． 【解析】（1）证明：如图所示，连接BD，设AC∩BD＝O，连接PO，因为，PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故PD⊥AC，而PB⊥AC，PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PDB，故AC⊥平面PDB，而PO⊂平面PDB，故AC⊥PO，由四边形ABCD为平行四边形可得AO＝OC，故△PAC为等腰三角形，即PA＝PC； （2）证明：如图所示，取PD的中点G，连结EG，FG，由中位线性质可得EG∥AD，且AD∥BC，所以EG∥BC，因为EG⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EG∥平面PBC，同理可证FG∥平面PBC，因为EG∩FG＝G，EG⊂平面PBC，FG⊂平面PBC，所以平面EFG∥平面PBC．又EF⊂平面EFG，所以EF∥平面PBC， （3）设AD＝x，x＞0，由（1）可得AC⊥平面PDB，而BD⊂平面PDB，故AC⊥BD，故四边形ABCD为菱形，而∠DAB＝60°，故BD＝AB＝x．因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，故PD⊥AD，故，同理．而BC＝x，故．设d为点A到平面PBC的距离，PA与平面PBC所成的角为θ，故．又，而，故，故，故，当且仅当即时等号成立，所以． 题型五：二面角 36．如图，已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角D1﹣BC﹣D的大小是（　B　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为BC⊥平面DD1C1C，D1C⊂平面DD1C1C，所以D1C⊥BC， 又因为DC⊥BC，所以二面角D1﹣BC﹣D的平面角为∠D1CD，因为DCC1D1为正方形，所以∠D1CD＝45°，故二面角D1﹣BC﹣D的大小是45°． 37．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E、F分别为AB、BD1的中点，则二面角E﹣BF﹣C 的大小为（　B　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】 如图所示，设正方体的棱长为1，取BD中点O，连结OE，OF，AD1，∴OF∥AD，EF∥AD1，又∵AD⊥AB，∴OF⊥AB，∵AB⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴AB⊥AD1， 又∵EF∥AD1，∴EF⊥AB，∴∠EFO为所求二面角的平面角，∵，∴∠EFO＝45°． 38． 如图1，在菱形ABCD中，，∠BAD＝60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角B﹣AC﹣D的余弦值为（　A　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，取AC的中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，可知∠BOD为二面角B﹣AC﹣D的平面角，在△AOB中，AO⊥BO，AB，AO，则BO，同理可得DO，在△BOD中，由余弦定理可得：．∴二面角B﹣AC﹣D的余弦值为． 39．如图所示，在四面体S﹣ABC中，△ABC和△SBC都是等边三角形，且，则二面角S﹣BC﹣A的大小为（　C　） A． B． C． D． 【解析】 在四面体S﹣ABC中，如图所示，取BC中点，连接AO，SO，因为△ABC和△SBC都是等边三角形，则SO⊥BC，AO⊥BC，所以二面角S﹣BC﹣A的平面角为∠SOA，又，则BC＝2，，所以，所以二面角S﹣BC﹣A的大小为． 40．（多选）如图，棱长为2的正方体中ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（　AC　） A．异面直线B1D1与BC1所成的角为60° B．直线A1C与平面C1CDD1所成的角为45°C．二面角B﹣C1D﹣D1平面角的正切值为 D．点A1到平面BDC1的距离为 【解析】 对于A：如图所示，连接AD1，AB1，∵AB∥CD∥C1D1，AB＝CD＝C1D1， ∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴BC1∥AD1，∴异面直线B1D1与BC1所成角即为直线B1D1与AD1所成角，即∠AD1B1（或其补角），∵，∴△AB1D1为等边三角形，∴∠AD1B1＝60°，∴异面直线B1D1与BC1所成角为60°，故A正确；对于B：如图所示，连接CD1，∵A1D1⊥平面C1CDD1，∴直线A1C与平面C1CDD1所成角为∠A1CD1，∵A1D1＝2，，∵AD⊥面CDDC，CD⊂面CDDC，∴A1D1⊥CD1，∴，∴∠A1CD1≠45°，∴直线A1C与平面C1CDD1所成角不是45°，故B错误；对于C：如图所示，连接CD1，交C1D于点O，连接OB，BD1，∵四边形C1CDD1为正方形，∴CD1⊥C1D，O为C1D，CD1中点，∵，∴OB⊥C1D，∴二面角B﹣C1D﹣D1的平面角为∠BOD1，∵BC⊥平面C1CDD1，OC⊂平面C1CDD1，∴BC⊥OC，∵，BC＝2，∴，∴，∴二面角B﹣C1D﹣D1的正切值为，故C正确；对于D：如图所示，连接A1C1，A1B，A1D，∵，，∴，又，∴，设点A1到平面BDC1的距离为d，••d2d，解得，即点A1到平面BDC1的距离为，故D错误． 41．（多选）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为AE的中点，则下列结论正确的是（　BCD　） A．直线CE与A1C1为异面直线 B．CE∥平面BDF C．三棱锥E﹣ABD外接球的体积为36π D．二面角F﹣BD﹣E的余弦值为 【解析】 对于A：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E∥CC1，所以A1，E，C，C1四点共面，所以直线CE与A1C1不是异面直线，故A错误；对于B：如图所示，连接AC，交BD于点O，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC的中点，又E为AA1的中点，F为AE的中点，所以FO∥CE， 又CE⊄面BDF，FO⊂面BDF，所以CE∥面BDF，故B正确；对于C：如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，分别在BB1，CC1，DD1上取中点P，N，M，并依次连接EP，PN，NM，ME， 由题知四棱柱ABCD﹣FPNM为长方体，三棱锥E﹣ABD的外接球是长方体ABCD﹣FPNM的外接球，且外接球的直径为长方体体对角线的长，又长方体ABCD﹣FPNM体对角线长为6， 所以外接球的半径为3，所以三棱锥E﹣ABD的外接球的体积为4πr2＝36π，故C正确；对于D：如图所示，连接AC，交BD于点O，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为AC的中点，连接EO，FO，因为△EBD，△FBD都是等腰三角形，所以EO⊥BD，FO⊥BD，所以∠EOF为二面角F﹣BD﹣E的平面角，又EF＝1，FO3，EO2，所以由余弦定理可得cos∠EOF，故D正确． 42．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2． （1）求证：CD⊥平面PAC； （2）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值． 【解析】 （1）证明：由底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1， 结合勾股定理计算可得， 取AD的中点F，如图所示连接CF，因为∠BAD＝90°，AB＝BC＝AF＝1，AF∥BC，所以四边形ABCF为正方形，所以CF＝1，故DF＝AD﹣AF＝2﹣1＝1，再由勾股定理可得：，又因为AD＝2，则由AC2+CD2＝2+2＝4＝AD2，所以AC⊥CD，因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为PA∩AC＝A，且PA、AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC． （2）因为CD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，所以PC⊥CD，又因为AC⊥CD，所以∠PCA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，在Rt△PAC中，，PA＝AD＝2，，所以，因此二面角P﹣CD﹣A的余弦值为． 43．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，BC∥AD，平面PAB⊥平面PBC，且AB＝BC＝1，PA＝AD＝2． （1）若平面PBC与平面PAD相交于直线l，求证：BC∥l； （2）求证：AB⊥BC； （3）求二面角C﹣PD﹣A的余弦值． 【解析】 （1）证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，且平面PBC与平面PAD相交于直线l，所以BC∥l． （2）证明：在平面PAB内作AH⊥PB于H，因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB， 所以AH⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AH⊥BC，因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又PA∩AH＝A，PA、AH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC． （3）如图所示，取AD的中点O，连接OC，则OA＝1＝BC，因为OA∥BC，且AB⊥BC，所以四边形OABC是矩形，所以OC⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，OC⊂平面ABCD，所以OC⊥PA，又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以OC⊥平面PAD，过O作OE⊥PD于E，连接CE，则∠OEC是二面角C﹣PD﹣A的平面角，由PA＝AD＝2，PA⊥AD，得，sin∠ADP＝45°， 所以，所以CE，在Rt△OCE中，，所以二面角C﹣PD﹣A的余弦值是． 题型六：平面与平面垂直的判定 44．已知α、β为两个不同平面，l为直线，且l⊥β，则“l∥α”是“α⊥β”的（　B　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 若l⊥β，l∥α，则平面α内至少有一条直线垂直β，由面面垂直的判定可知，α⊥β，充分性成立，若l⊥β，α⊥β，则l可能在α内，则必要性不成立． 45．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是（　A　） A．平面PDE⊥平面ABC B．BC∥平面PDF C．DF⊥平面PAE D．平面PAE⊥平面ABC 【解析】 由在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，知：在A中，如图所示，取DE中点O，连结FO，PO，PF，设正四面体棱长为2，则PF＝PD＝PE，DE＝1，OF，PO，∵OF⊥DE，PO⊥DE，∴∠POF是平面PDE与平面ABC所成二面角的平面角，∵cos∠POF0，∴平面PDE与平面ABC不垂直，故A错误；在B中，∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，∵BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，∴BC∥平面PDF，故B正确；在C中，∵BC⊥AE，BC⊥PE，AE∩PE＝E，∴BC⊥平面PAE， ∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故C正确；在D中，∵BC⊥AE，BC⊥PE，AE∩PE＝E，∴BC⊥平面PAE，∵BC⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故D正确． 46．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系正确的是（　A　） ①平面PAB⊥平面PAD； ②平面PAB⊥平面PBC；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【解析】 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB，又PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB，故②正确；因为AD∥BC， 所以AD⊥平面PAB，因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAB，故①正确；若平面PAB⊥平面PCD，则BC∥平面PCD，而BC∩平面PCD＝C，两者矛盾，故平面PAB与平面PCD不垂直，故③错误；假设平面PAB⊥平面PAC，由平面PAB∩平面PAC＝AC，AC⊥PA，故AC⊥平面PAB，所以AC⊥AB，而在正方形ABCD中，AB，AC成45°角，矛盾，所以假设不成立，故④错误。 47．如图，在四面体A﹣BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．求证：平面ABC⊥平面SBC． 【解析】证明：如图所示，取BC的中点H，连接AH，SH，由△BSC为等腰直角三角形，可得SH⊥BC，由∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC，可得△BSA、△CSA均为等边三角形，即有AB＝AC＝SA，可设SA＝SB＝SC＝a，可得BCa，AB＝AC＝a，则△ABC为等腰直角三角形，则AH⊥BC，又SH⊥BC，可得∠AHS为平面ABC和平面SBC所成的平面角，SH＝AHBCa，可得AH2+SH2＝SA2，可得∠AHS＝90°，故平面ABC⊥平面SBC． 48．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC为，N，M分别为AB，CC1的中点，且AB＝AC． （1）证明：CN⊥平面ABB1A1． （2）证明：平面AMB1⊥平面ABB1A1． （3）若AA1＝2AB，求二面角A﹣MB1﹣C1的正切值． 【解析】 （1）证明：因为，AB＝AC，可得△ABC为等边三角形，因为N为AB的中点，可得CN⊥AB，因为ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，即AA1⊥平面ABC，又因为CN⊂平面ABC，所以AA1⊥CN，又因为AB∩AA1＝A，AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1 所以CN⊥平面ABB1A1； （2）证明：如图所示，连接A1B，设A1B∩AB1＝O，连接OM，ON，易知O为AB1的中点，又N为AB的中点，可得NO∥BB1，且，因为M为CC1的中点，可得ON∥BB1，且，又CM∥BB1，，所以NO∥CM，且NO＝CM，所以四边形NOMC为平行四边形，所以OM∥CN，由（1）知CN⊥平面ABB1A1，所以OM⊥平面ABB1A1，因为OM⊂平面AMB1，所以平面AMB1⊥平面ABB1A1； （3）如图所示，取BC的中点F，连接AF，则AF⊥BC，因为BB1⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，所以BB1⊥AF，因为，BB1，BC⊂平面BB1C1C，所以AF⊥平面BB1C1C，又B1M⊂平面BB1C1C，所以AF⊥B1M，过F作B1M的垂线，垂足为H，连接AH，又AF∩FH＝F，AF，FH⊂平面AFH，所以B1M⊥平面AFH，又AH⊂平面AFH，所以AH⊥B1M，所以∠AHF为二面角A﹣MB1﹣C1的平面角的补角，设B1M∩BC＝E，AB＝2，则，由等面积法可得，即2•FH＝3×2，可得FH，则tan∠AHF，故钝二面角A﹣MB1﹣C1的正切值为． 49．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1是所有棱长均为2的直三棱柱，D、E分别是棱AB和棱AA1的中点． （1）求三棱柱的体积与表面积； （2）求证：平面B1CD⊥平面ABB1A1； （3）求二面角B1﹣CD﹣E的余弦值的大小． 【解析】 （1）因为，所以三棱柱表面积为：； （2）证明：由题易知CD⊥AB，又B1B⊥面ABC，CD⊂面ABC，所以CD⊥BB1，又因为BB1，AB⊂面ABB1A1，BB1∩AB＝B，所以可得CD⊥面ABB1A1，又因为CD⊂面B1CD，故可以证得面B1CD⊥面ABB1A1； （3）因为CD⊥面ABB1A1，DB1，DE⊂面ABB1A1，所以CD⊥DB1，CD⊥DE，所以二面角B1﹣CD﹣E的平面角即为∠EDB1，连接EB1，如图所示，，，． 题型七：平面与平面垂直的性质 50．已知两个平面相互垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中不正确命题的个数（　C　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 两个平面相互垂直，①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的一条直线，进而垂直于另一个平面内的无数条直线，故①正确；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线，不正确，只有该直线垂直于两个平面的交线，由面面垂直的性质定理可得该直线垂直于另一个平面内的任意一条直线，故②不正确；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面，错误，只有该直线垂直于两个平面的交线，才有该直线垂直于另一个平面，故③错误；④若此点在交线上，那么作出来的线就不一定与另一平面垂直了，故④错误． 51．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　B　） A．α∥β，l∥α B．α与β相交，且交线平行于l C．α⊥β，l⊥α D．α与β相交，且交线垂直于l 【解析】 如果α∥β，由m⊥α，可得m⊥β，又n⊥β，可得m∥n，与m，n为异面直线矛盾，故A错误；如果α⊥β，又m⊥平面α，n⊥平面β，由线面垂直和面面垂直的性质，可得m⊥n，将m，n平移至相交直线，可得l垂直于相交直线确定的平面，可得l可能平行于α，故C错误；平移m，n至相交直线，设相交直线确定的平面为γ，可得α⊥γ，β⊥γ，由α、β相交，设交线为n，可得n⊥γ，由1⊥m，1⊥n，l⊄α，l⊄β，可得l⊥γ，所以l∥n，故B正确；D错误． 52．已知a、b是不同直线，α、β、γ是不同平面，给出下列命题正确的是（　D　） ①若α∥β，a⊂α，则a∥β； ②若a、b与α所成角相等，则a∥b； ③若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ； ④若a⊥α，a⊥β，则α∥β． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④ 【解析】 ①若α∥β，a⊂α，由面面平行的性质，可得a∥β，故①对；②若a、b与α所成角相等，则a、b平行、相交或异面，故②错；③若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α、γ相交，比如墙角处的三个平面互相垂直，故③错；④若a⊥α，a⊥β，由线面垂直的性质及面面平行的判定，可得α∥β，故④对． 题型八：有关平行垂直关系的综合命题判断与证明 53．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（　C　） A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若m∥n，n⊂α，则m∥α C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m⊥n，m⊥α，则n∥α 【解析】 对于A：若m∥n，m∥α，则有n∥α或n⊂α，故A错误；对于B：若m∥n，n⊂α，则有m∥α或m⊂α，故B错误；对于C：由线面垂直的性质可知，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，故C正确；对于D：若m⊥n，m⊥α，则有n∥α或n⊂α，故D错误． 54．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（　B　） A．如果m∥α，n∥α，那么m∥n B．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n C．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β D．如果α∥β，直线m与α所成的角和直线n与β所成的角相等，那么m∥n 【解析】 如果m∥α，n∥α，那么m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误；如果m⊥α，则m与平行于α的所有直线垂直，又n∥α，那么m⊥n，故B正确；如果m⊥n，m⊥α，则n⊂α或n∥α，又n∥β，那么α∥β或α与β相交，故C错误；如果α∥β，且直线m与α所成的角和直线n与β所成的角相等，可得m、n与平面α成等角，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误． 55．（多选）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　AB　） A．若m⊥β，α∥β，则m⊥α B．若n⊥α，n⊥β，则α∥β C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，α⊥β，则m∥β 【解析】 若m⊥β，α∥β，则m⊥α，所以A正确；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，所以B正确；若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，所以C错误；若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，所以D错误． 56．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： （1）PA⊥底面ABCD； （2）平面BEF∥平面PAD； （3）平面BEF⊥平面PCD． 【解析】 （1）∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，∴PA⊥底面ABCD． （2）∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE，∴ABCD是平行四边形，∴AD∥BE，∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD，∵E和F分别是CD和PC的中点，∴EF∥PD，∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD，∵BF∩BE＝B，AD∩PD＝D，∴平面BEF∥平面PAD． （3）∵AB⊥AD，ABED是平行四边形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，由（1）知PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD． 声明：试著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/13 12:24:36；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $