专题05 空间直线、平面的垂直（七大题型训练）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题05 空间直线、平面的垂直 【题型1异面直线所成的角】 【题型2 证明线面垂直】 【题型3 线面垂直性质的应用】 【题型4 证明面面垂直】 【题型5 面面垂直性质定理的应用】 【题型6 求二面角】 【题型7 已知二面角求值】 【题型1异面直线所成的角】 1．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，连接，则， 异面直线与所成的角等于所成的角，而， 所以所求角的大小为. 2．如图，是平面外的一点，，，D，E分别为，的中点，且．则异面直线与所成的角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点F，连接，，根据异面直线定义计算即可求解. 【详解】取的中点F，连接，， 在中，是的中点，F是的中点，． 同理可得． 为异面直线与所成的角（或其补角）． 在中，，又，， ， ，即异面直线与所成的角为． 故选：C． 3．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助等角定理与余弦定理计算即可得. 【详解】如下图：连接，由为所在棱的中点，则， 故与所成的角的大小也为，即有, 设该正三棱柱棱长为，则， 则，故. 故选：C. 4．已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体性质可将平移到与相交，再由其棱长关系即可求得其余弦值为，说明即可得解. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    利用正方体性质可得，且，所以可得是平行四边形， 即， 所以异面直线与所成的角的平面角即为， 不妨设正方体棱长为，易知； 取的中点为，连接，易知， 所以， 由正方体性质可知，，所以四边形是平行四边形， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 5．如图，在正三棱柱中，，则异面直线BC与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用异面直线的定义确定夹角，进而求出其余弦值. 【详解】在正三棱柱中，连接， 由，得为异面直线BC与所成角或其补角， 中，，同理， 在等腰中，， 所以异面直线BC与所成角的余弦值为. 故选：A 6．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线所成角定义结合边长计算求解. 【详解】连接，则有 ， 所以异面直线与所成角等于与所成的角， 是等腰直角三角形，，所以， 所以异面直线与所成角为. 故选：B. 【题型2 证明线面垂直】 7．如图为一个组合体，其底面为正方形，平面，，且.求证： (1)平面； (2)平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过面面平行的性质定理，证明线面平行即可. （2）根据线面垂直的性质定理，得线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直即可. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又底面为正方形，故， 而平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面. 8．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为正方形的中心，平面.    (1)求证：平面； (2)若点在棱上且不与、重合，平面交棱于点，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，； （2）根据线面平行的性质定理，即可证明线线平行，即先证明平面. 【详解】（1）平面，且平面 又，，平面，故平面. （2）且平面，不在平面上，平面， 又 平面，平面平面， ，且， . 9．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三棱锥体积公式计算即可； （2）根据线面垂直的判断定理证明即可. 【详解】（1）因为平面， 所以三棱锥的高为， 因为底面为矩形，为的中点， 所以， 所以； （2）因为平面，平面， 所以， 因为底面为矩形，为的中点， 所以， 因为， 所以， 因为，平面， 所以平面. 10．如图，在菱形中，，AC与BD相交于点O，. (1)求证：平面； (2)求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据边长关系得出及，再应用线面垂直判定定理证明； （2）先证明 平面，再结合等体积法及锥体的体积公式计算求解. 【详解】（1）在菱形中，，则和都是正三角形， 取的中点，连接，如图所示. 因为为的中点，所以在中，. 因为，所以. 又，所以平面， 又平面，所以. 同理可得. 因为，平面，所以平面. （2）解由（1）得平面， 因为 ，所以平面. 因为平面，所以. 又，平面， 所以平面. 由题意易求得， 又 平面， 平面，所以 平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即的长. 故. 11．如图已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明出平面，可得出，由以及线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，故平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，因此. 【题型3 线面垂直性质的应用】 12．如图，在四棱锥－中，底面是矩形，平面，，是的中点，，分别在，上，且，．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可证平面，平面，则可得． 【详解】∵平面，平面，∴， 又，∴， ∵，是的中点，∴， 又，，平面，∴平面， ∵，，∴， 又，，，平面， ∴平面，∴． 13．如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【详解】（1）底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 14．如图，在四棱锥中，平面，，分别为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用条件证明四边形是正方形，继而可由与证得平面； （2）先利用条件求出的长，推得，从而得到的面积，再根据等体积即可求得点到平面的距离. 【详解】（1）    如图，连接，因点为的中点，且， 则可得，易知四边形是正方形，则， 因平面，平面，故， 又平面，故平面. （2）在中，， 在中，， 又，因，则， 则的面积为，又的面积为， 设点到平面的距离为，则由可得， 则，即点到平面的距离为. 15．如图，在四棱锥中，底面，四边形ABCD是平行四边形且，M，N分别是AB，PC的中点， (1)求证：平面; (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接 ，证明四边形是平行四边形，再结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据线面垂直的性质可得，进而根据线面垂直的判定求证平面得解. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接 ， 因为分别为，，的中点， 所以，， 又因为，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）由于底面，底面，则， 又四边形ABCD是平行四边形且，故, 平面， 故平面，平面， 故. 16．如图，在三棱柱中，，平面ABC，，E是棱上的动点，D是棱BC的中点. (1)证明：； (2)若E是棱的中点，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先由线面垂直证明平面平面，再根据线面垂直的性质推出平面，即可证明线线垂直； （2）将三棱锥看作以A为顶点的三棱锥，由（1）知高为AD，求出，代入三棱锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）因为平面ABC，所以平面ABC， 而平面，所以平面平面. 因为棱BC的中点为D，且是等腰三角形，所以. 而平面ABC，平面平面，所以平面. 又因为平面，所以. （2）在直角△中，，，所以. 同理在直角△中，得到， 在直角△BDE中，，，所以， 在等腰△中：，，， 因此. 17．在四棱锥中，,，平面，为的中点，为的中点，. (1)取中点，证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一证，利用平面证，结合，利用线线垂直推出平面，得，可得，再由线线垂直可证平面； （2）先证明平面，通过计算求出相关边长和三角形面积，利用等体积即可求得点到平面的距离. 【详解】（1）在中，，则. 而，则在等腰三角形中，①. 又在中，， 则， 因为平面，平面，则， 又，即，，平面， 则平面，因为平面，所以，因此②. 又，且平面，由①②知平面； （2）在中，，， 又，平面，平面， ， 在中， ， 设点到平面的距离为， 则， ，即点到平面的距离为. 【题型4 证明面面垂直】 18．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，，利用中位线的性质，结合平行四边形的判定与性质，得出一组线线平行，最后根据线面平行的判定定理即可得证. （2）利用线面平行的性质和正方形的性质，得出另一组线面平行，根据面面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1）取中点，连接，， 因为为中点，所以是中位线， 所以，， 因为是中点，在正方形中，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，， 因为平面，平面， 所以平面.    （2）因为平面，平面， 所以， 因为正方形，所以， 因为，平面 所以平面，又平面， 所以平面平面. 19．如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是正方形，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题干数据结合勾股定理可得，根据正方形可推出线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理证明； （2）先作出二面角的平面角，然后由题干条件求解. 【详解】（1）设，则，即底面正方形边长是，等边三角形的边长是， 由，即，则，显然， 又平面，则平面， 又平面，则平面平面. （2） 作垂足为，作，垂足为，连接， 平面平面，，平面，平面平面， 于是平面，由平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则，又， 则为平面与平面所成角， 由， 则 20．如图，正四棱台中，，. (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设交于，连接并交于，连接，则根据线面垂直的性质定理得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取OC中点，连接，先证四边形为平行四边形，结合，利用线面垂直的性质得平面，根据线面角的定义得即可所求，过作，连接，根据等腰梯形的性质求出，最后在中求解即可. 【详解】（1）设交于，连接并交于，连接， 由正棱台的性质可知平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）取OC中点，连接，则， 所以四边形为平行四边形，所以，而平面， 故平面，所以为与平面所成角， 过作，连接，则，所以， 所以，在中，， 所以，即与平面所成角的余弦值为. 21．如图，直三棱柱中，，若G，F分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设M是中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）法一：取中点H，连接，，利用线面平行的判定定理证得平面，平面，进而利用面面平行的判定定理得平面平面，最后利用面面平行的性质定理证明即可； 法二：连接，根据中位线的性质得，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用棱柱性质得，根据勾股定理得，进而利用线面垂直的性质定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）连接，，利用线面角的定义得即为所求的线面角，在直角三角形中求解正弦值即可； 【详解】（1）法一：取中点H，连接，， ，H，F分别为，和中点． ，，，从而， 平面，平面，平面，平面， 平面，平面，平面，平面， 与在平面内且相交，平面平面， 平面．平. 法二：连接， 为中点为中点，为中  ， 平面，平面，平面. （2）在直棱柱中，平面， 平面，， 不妨设，，，， ，， 又与在平面内且相交，平面， 平面，平面平面. （3）连接，， 平面，直线为直线在平面内的射影， 是与平面所成的角， 在中，， ， 故. 22．如图，在直四棱柱中，，，且，点为棱的中点，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点为，证明四边形为平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理得证； （2）连接，可证，得平面，结合（1），可得平面，根据面面垂直的判定定理得证. 【详解】（1）取中点为，连接和， 因为点为的中点，所以，， 因为点为的中点，所以，， 所以，，故四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面. （2）连接，由，，得， 又，则， 因为点为的中点，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 由（1）知，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 23．如图，在四棱锥中，△PAD为等边三角形，四边形是菱形，，，． (1)证明：平面平面． (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据边长关系得出及，再应用线面垂直判定定理证明平面ABCD，最后应用面面垂直判定定理证明即可； （2）应用三棱锥体积公式应用等体积计算点到平面距离即可. 【详解】（1）证明：取棱的中点E，连接． 因为四边形是菱形， ，所以． 因为E是棱AD的中点，所以，则． 因为为等边三角形，且，E是棱AD的中点，所以． 因为，所以，所以． 因为平面，平面，且，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）因为，所以的面积． 由（1）可知平面，且，则三棱锥的体积． 因为，所以的面积． 设点A到平面的距离为d，则三棱锥的体积． 因为，所以， 解得，即点A到平面的距离为． 【题型5 面面垂直性质定理的应用】 24．如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，，，. (1)求证： ； (2)求证：平面； (3)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）由正方形得 ，根据线面平行的判定得到平面，再根据线面平行的性质即可得到 ； （2）先面面垂直的性质证得，结合 ，可得,,即可证得平面； （3）取的中点，通过证是平行四边形得到，证得； 再由勾股定理逆定理得到，证得平面，得 ，即可得 ，进而证得平面，即可证得. 【详解】（1）由正方形，得 ， 又∵平面，平面，∴∥平面， ∵平面，平面 平面， ∴ （2）由正方形，得, ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面， 又∵平面，∴， 由（1）知 ，∴，， 又，平面， ∴平面； （3）取的中点，连接，则， 又 ，所以四边形是平行四边形. ∴，∴. 由，得，，∴. ∵，，平面， ∴平面. ∵平面，∴ . 由正方形，得∥，∴ , ∵， 平面，∴平面, ∵平面，∴ 25．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连结，由平面几何的性质结合面面垂直的性质可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定得证即可. （2）由线面角的概念可得即为直线与平面所成的角，再结合定义法得解即可. 【详解】（1）取的中点，连接，如图， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，面，故平面. （2）连接，如图， 由（1）得平面，故即为直线与平面所成的角， 由，可得，， 故. 26．如图，在四面体中，平面平面，且，，M是的中点，P是的中点，Q在线段上，且． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行，证明平面平面，得到平面； （2）作出辅助线，结合面面垂直和勾股定理逆定理证明线面垂直，则为直线与平面所成角．从而得到. 【详解】（1）如图，作的中点E，连接，， 因为P，E分别为，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，，所以， 同理可得平面， 又因为，，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面． （2）如图，作，垂足为G，连接， 因为平面平面，交线为且，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为，所以， 故，由勾股定理逆定理得， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面． 则为直线与平面所成角． 在中，由等面积法有，则， 所以． 27．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，. (1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD； (2)求证：平面PCD； (3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，则有平面； （2）取棱的中点，由平面平面，可证平面，得，又，可证得平面； （3）由，所以BC，AD与平面PAC所成的角相等，由平面，直线与平面所成角为，在中，求正弦值. 【详解】（1）连接，如图所示，    因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 又为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）取棱的中点，连接，如图所示，   为等边三角形，得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故， 又，，平面， 所以平面. （3）连接，如图所示，    因为，所以BC，AD与平面PAC所成的角相等， 由（2）中平面，可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以，直线BC与平面所成角的正弦值为. 【题型6 求二面角】 28．如图1，在直角梯形中，，，，.将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图所示2. (1)求几何体的体积； (2)求二面角的正切值； (3)求几何体的外接球的表面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理得到，取中点，由面面垂直得到，进而可求证； （2）过作交与，连接，得到即为二面角的平面角，进而可求； （3）取中点的，连接，通过说明，确定为球心，即可求解. 【详解】（1）在直角梯形中， ，得， 易知，在三角形中， 由余弦定理可得： 所以， 所以， 所以， 取中点，连接，则，又平面平面， 且相交于，平面， 从而平面，又在平面内，所以， 又，，都在平面内 所以平面， 因为， 所以三棱锥的体积为， 由等体积性知几何体的体积为. （2） 过作交与，连接， 由（1）平面，易得， 又为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以，所以即为二面角的平面角， 因为，，， 所以到的距离为，为中点， 所以，又， 所以. （3）取中点的，连接， 由为等腰直角三角形，，易知， 因为分别是中点，可知，又， 由（1）可知，所以， 即， 所以几何体的外接球的球心为，半径为， 所以几何体的外接球的表面积为. 29．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，E为的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用面面垂直可证明线面垂直和线线垂直，再利用中位线平行关系，可得到线面垂直，即可得三棱锥的高，从而利用体积关系求三棱锥的体积； (2)利用空间垂直关系可作出二面角的平面角，再通过计算即可得二面角的余弦值. 【详解】（1）由，，，可得，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为， 因为E为的中点，三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积：； （2） 由于E为的中点，所以取的中点为，连结可知：，， 因为平面，所以平面， 再取的中点为，连结可知：， 由梯形，，且，， 可知，从而可得，即， 所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 则就是二面角的平面角， 由勾股定理可得：， 所以. 30．如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，连接交于点，连接，先得到四边形为矩形，可得为的中点，结合为的中点，可得，进而求证即可； （2）由，为的中点，可得，再根据平面平面可得平面， 进而得到，进而求证即可； （3）取为的中点，作，垂足为，连接，分析得到是二面角的平面角，解三角形即得. 【详解】（1）如图，连接，连接交于点，连接，    因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形， 所以四边形为矩形， 故为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，   又因为，平面， 所以平面． （3）如图，取为的中点， 由，得， 又因平面平面，平面平面，平面， 平面， 作，垂足为，连接，    由，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，则， 所以就是二面角的平面角， 在中，，，得， 所以， 故所求二面角的余弦值为． 31．如图，在直三棱柱中，，，D为棱上的动点． (1)证明：． (2)当D为棱的中点时，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）证明出⊥平面，得到⊥，结合正方形得到⊥，从而得到线面垂直，得到线线垂直； （2）取的中点，连接，由勾股定理和余弦定理，面积公式得到，，设二面角的大小为，则，进而求出正切值. 【详解】（1）直三棱柱，，故， 即， 又⊥平面，平面，所以⊥， 又，平面，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，故四边形为正方形，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）取的中点，连接，则⊥平面，， 因为平面，所以⊥，⊥， ，故， ，由勾股定理得，， 故，， 在中，由余弦定理得, 故，， 其中， 设二面角的大小为，则， 所以，. 【题型7 已知二面角求值】 32．如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，二面角的大小为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可得出结论； （3）由二面角的定义可知为二面角的平面角，则，利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可知，分析出为的中点，即可得出的长. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）因为，为的中点，所以， 因为，，所以， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （3）因为，，所以为二面角的平面角，则， 由题意知，，， 在中，由余弦定理得， 所以，可得， 在直角中，， 又因为，，，所以，所以， 即，因为为的中点，所以． 33．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接. (1)证明：平面； (2)若，证明：平面； (3)若二面角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点F，连接，利用线面平行的判定定理即可证明结论. （2）找的中点G，连接，证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明. （3）首先做辅助线，找出二面角的平面角，利用正弦函数定理即可求得结果. 【详解】（1） 如图，取的中点F，连接,因为E为中点，所以且, 又因为，且，所以且, 故四边形为平行四边形，故,平面,平面, 所以平面. （2） 如图，找的中点G，连接, 则, 因为,所以，又因为，， 所以四边形为正方形，所以,且, 在三角形中，,在三角形中， 因为,故,    又因为底面，底面,所以, 又因为且平面,所以平面. （3） 如图，作交于M,作交于点N，连接, 由，，所以,所以, 又因为底面，且底面,所以, 又,且平面，所以平面, 因为平面,所以，又，且,平面，所以平面, 因为平面，所以,又，平面，所以平面, 所以二面角的平面角为,所以, 设，在三角形中，利用等面积法得， 在三角形中，，利用等面积法得，所以， 整理得：，即， 故或（舍），所以 34．如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，平面与平面的锐二面角的余弦值为，求该三棱柱的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合中点，可得线线垂直，进而可得平面，进而根据面面垂直的判定求解， （2）根据面面角的定义可得为平面与平面所成的角，即可根据锐角三角函数求解棱柱的高，由体积公式即可求解. 【详解】（1）证明：连接,则与相交于， 由于三棱柱为正三棱柱， 故为等边三角形， 故,, 结合是与的中点，所以, 又与相交于，且平面， 故平面， 平面，故平面平面， （2）延长与的延长线交于点,连接, 则平面与平面相交于直线， 由于是的中点，故,即是的中点， 因此,故， 又平面，平面， 故, 平面， 故平面，平面， 故，又，因此为平面与平面所成的角， ,故， 因此, 故三棱柱的体积为 35．如图，在四棱柱中，，平面．    (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，由勾股定理证明线线平行，从而证明线面平行. （2）根据空间中点线面的位置关系，做出二面角的平面角，设出边长，由勾股定理和三角函数值，求出等式方程，解出边长. 【详解】（1）因为平面，而平面，所以， 又平面，所以平面， 而平面，所以． 因为，所以，故， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点作于，再过点作于，连接，    因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 又，所以平面． 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，代入得， 又，而，所以，得， 故，解得，即． 36．如图，直四棱柱中，平面 平面，平面与交于点. (1)证明：三线共点； (2)若二面角的大小为， ①求该四棱柱的体积； ②求多面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）设 ，根据线面与面面的关系证明即可； （2）①：如图，根据线面垂直的判定定理与性质确定为二面角的平面角，求得，结合柱体的体积公式计算即可求解；②：根据面面平行的性质可得、，利用相似三角形的性质可得，结合锥体的体积公式计算即可求解. 【详解】（1）易知与相交，设 ， 由 平面， 平面，平面 平面 ， 知， 所以、三线共点. （2）①：过作，垂足为，连接， 又平面， 平面，所以 . 又 ， ，、 平面， 所以 平面，又 平面， 所以 . 故为二面角的平面角，即 ， 所以，得. 所以，得. 故四棱柱的体积为. ②：由平面 平面，平面 平面 ，平面 平面 ， 得.同理可得， 在四棱柱中，， 所以，则， 得，又，， 所以，则， 所以 . 37．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，，E为棱AD的中点，平面ABCD．    (1)求证：平面PCE； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线PA与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，再利用平行四边形性质，结合线面平行的判定推理即得. （2）利用线面垂直的性质与判定，结合面面垂直的判定推理即得. （3）由线面垂直的性质与判定定理确定二面角的平面角并求出，借助面面垂直的性质确定直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）依题意，且，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得， 连接，由且，得四边形为平行四边形， 又，则为正方形，有， 又，则，又平面， 因此平面，又平面， 所以平面 平面. （3）由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，因此，为二面角的平面角，即， 在中，，在平面内过作于点M， 由（2）知，平面 平面，平面 平面 ，则平面， 于是为直线在平面上的投影，为直线与平面所成的角， 在中，，， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为.    1 学科网（北京）股份有限公司 $专题05空间直线、平面的垂直 题型归纳 【题型1异面直线所成的角】 【题型2证明线面垂直】 【题型3线面垂直性质的应用】 【题型4证明面面垂直】 【题型5面面垂直性质定理的应用】 【题型6求二面角】 【题型7己知二面角求值】 题型训练 【题型1异面直线所成的角】 1.如图所示，在正方体ABCD-AB1C1D1中，E,F分别是AB,AD的中点，则异面直线 A1C1与EF所成的角的大小为() D D A.30 B.45o C.60° D.90° 2.如图，P是平面ABC外的一点，PA=4,BC=25,D,E分别为PC,AB的中点， 且DE=3.则异面直线PA与BC所成的角的大小为() D A.45° B.600 C.90 D.120° 3.如图，在棱长均相等的正三棱柱中，P,Q为三棱柱的顶点，M,N为所在棱的中点，设 MN与PQ所成的角为a,则cos=() A. B. c. D.号 4.已知点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1C的中点，则异面直线BM与AC所成角 的余弦值为() A四 8.0 5 c细 0. 5.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1=2,则异面直线BC与AC1所成角的 余弦值为() B A A 8.-9 c.9 D.- 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为AC,A1B的中点，则异面直线 MN与AD所成角为() A.晋 B.罩 c.胃 D.毁 【题型2证明线面垂直】 7.如图为一个组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD,EC/PD,且 PD=AD=2EC=4.求证： D E D C A B (1)BE/平面PAD: (2)AB⊥平面PAD: 8.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，O为正方形ABCD的 中心，PO⊥平面ABCD. D B (1)求证：BD⊥平面PAC; (2)若点M在棱PC上且不与P、C重合，平面ADM交棱PB于点N,求证：MNAD 3 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形， AD=2,PD=CD=4,E为AB的中点. D B (1)求三棱锥P一BCE的体积； (2)证明：CE⊥平面PDE 10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O, EB=EC=ED,CF//AE,AB=2,CF=3. (1)求证：EA⊥平面ABCD: (2)求四面体F-ECB的体积. 11.如图已知矩形ABCD,过点A作SA⊥平面ABCD,再过点A作AE⊥SB交SB于点E, 过点E作EF⊥SC交SC于点F求证： B (1)AE⊥平面SBC: (2)AF⊥SC. 【题型3线面垂直性质的应用】 12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD,AD=AP,E是 PD的中点，M,N分别在AB,PC上，且MN⊥AB,MN⊥PC.证明： AE//MN. D 13,如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形， PC⊥CD. B (1)证明：CD⊥平面PAC: (2)若AP=AC=CD=1,求点A到平面PCD的距离. 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD, AB/DC,AD⊥DC,DA=AB=PD=2,DC=4,E,F分别为棱CD,PD的中点. (1)求证：AE⊥平面PBD: (2)求点D到平面PBC的距离. 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,四边形ABCD是平行四边形且. AC⊥CD,M,N分别是AB,PC的中点， D M (1)求证：MN//平面PAD; (2)求证：AB⊥PC. 16.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AA1⊥平面ABC,AB=AC,E 是棱BB上的动点，D是棱BC的中点. 6 C 0 (1)证明：AD⊥C1E; (2)若E是棱BB1的中点，BB1=BC=2,求三棱锥D-AEC1的体积 17.在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平 面ABCD,E为PD的中点，M为AD的中点，PA=2AB=4. B (1)取PC中点F,证明：PC⊥平面AEF; (2)求点D到平面ACE的距离. 【题型4证明面面垂直】 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，E,F分别 是PB,CD的中点. D B (1)求证：EF//平面PAD: (2)求证：平面PBD⊥平面PAC. 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB是等边三角形，四边形ABCD是正方形， PC=2AB. : (1)证明：平面PAB⊥平面ABCD; (2)求平面PCD与平面ABCD所成角的正弦值. 20.如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1=4,BC1=V19. D A B D (1)求证：平面BDC1⊥平面ACC1: (2)求CC1与平面ABCD所成角的余弦值. 21.知图，直三棱柱ABC-AB:C中，A4=AC=BC=号AB,若G,F分别是B,C ,A1B的中点. B C G M (1)求证：GF//平面ABC; (2)求证：平面BCC1B1⊥平面ACB1: 3)设M是AC中点，求直线B:M与平面ABC所成角的正弦值. 22.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB//CD,DC⊥AD,且 CD=V2AB=√互AD,点M为棱DD的中点，点N为棱BC的中点. D C B M B (1)证明：DN//平面MB1C; (2)证明：平面MB1C⊥平面BB1C1C. 23.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为等边三角形，四边形ABCD是菱形，AB=4 ,∠BAD=60,PB=2N6. 9 D (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD, (2)求点A到平面PBD的距离. 【题型5面面垂直性质定理的应用】 24.如图，在五面体ABCD EF中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面BCF, AB=BF=1,CF=V2,EF=2. B (1)求证：CD//EF: (2)求证：EF⊥平面BCF; 3)求证：AE⊥DF. 25.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形， 平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3. 10 (1)求证：PA⊥平面PCD; (2)求直线AD与平面PAC所成角的余弦值. 26.如图，在四面体A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,且AD⊥BD, AD=BD=V2BC=V2DC=2,M是AD的中点，P是BM的中点，Q在线段AC上， 且AQ=3QC. B (1)求证：PQ/平面BCD; (2)求直线BD与平面BMC所成角的正弦值， 27.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形.平 面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=4,AD=6. 11 G H D (1)设G,H分别为PB,AC的中点，求证：GH//平面PAD: (2)求证：PA⊥平面PCD; (3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值. 【题型6求二面角】 28.如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CDAB,AB=4,AD=CD=2. 将△ADC沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图所示2. D D (1)求几何体D一ABC的体积： (2)求二面角D-AB一C的正切值； 3)求几何体D-ABC的外接球的表面积. 29.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形， ADIBC,∠ABC=90°，且PA=AD=2,AB=BC=1,PB=V5,E为PD的 12 中点. P B (1)求三棱锥P-ACE的体积； (2)求二面角E-AC一D的余弦值. 30.如图，已知平面PAB⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形，PA=AB=PB=2, 点E,F,M分别是BC,PB,AD的中点 A B M D E C (1)求证：PM//平面AEF; (2)求证：AF⊥平面PBC; 3)求二面角P一DC一A的余弦值 13 31.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2,D为 棱AB1上的动点. D A B; C (1)证明：BC1⊥CD (2)当D为棱A1B1的中点时，求二面角D一AC一B的正切值. 【题型7已知二面角求值】 32.如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，AC⊥BC,E、F分 别为AB、BC的中点. (1)证明：EF/平面PAC: (2)证明：平面PEF⊥平面PBC: 3)若AC=3,二面角P-BC-A的大小为30°，求PA, 14 33.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD,∠ADC=90°， 侧棱PD⊥底面ABCD,且CD=2PD=2AB=4,点E是PC的中点，连接BE D D (1)证明：BE//平面PAD; (2)若AD=AB,证明：BC⊥平面PBD: 3)若二面角A一PB一D的正弦值为，求AD的长. 34.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是BB1和AC1的中点. C B (1)证明：平面AC1D⊥平面ACC1A1: 2嗜AB=2,平面ACD与平面ABC的锐二面角的余弦值为2，求该三棱柱的体积. 15 35.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2,AB=V5,AC=2,BC=1, AA1⊥平面ABCD. A D B C D (1)若AD⊥A1B,证明：AD//平面A1BC: 2若AD1DC,且二面角A-A1C-D的正弦值为S,求AD. 36.如图，直四棱柱ABCD-A1B:C1D1中，平面AA1D1D‖平面 BB1C1C,AA1=3、CD=2,AD=3BC,平面A1CD与BB1交于点P. AY B (1)证明：A1P,AB,DC三线共点： (2)若二面角A1-CD-A的大小为器， ①求该四棱柱的体积； 16 ②求多面体PBC一A1AD的体积 37.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,AD⊥DC,BC=CD=AD=2,E为 棱AD的中点，PA上平面ABCD. B E D (1)求证：AB//平面PCE; (2)求证：平面PAB⊥平面PBD; 3)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值. 17