11.1二次根式的概念导学案 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级数学下册 第11单元 二次根式 第1节 二次根式的概念 导学案 班级： 姓名： 日期： 一、学习目标 1. 了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件。 2. 掌握二次根式的基本性质： 3. 能根据二次根式的定义确定被开方数中字母的取值范围。 4. 理解二次根式非负性的双重含义，会利用非负性解决相关问题。 二、知识回顾 1. 9的平方根是 ，算术平方根是 。 2.若实数有平方根，则的取值范围是 ；若表示的算术平方根，则的取值范围是 。 3. 判断正误：带根号的式子一定是二次根式。( ) 三、新知探究 知识点一　二次根式的定义 形如的式子叫做二次根式。其中“”称为二次根号，称为被开方数。 二次根式表示非负数的算术平方根，其结果为非负数，即。 含有二次根号的式子不一定是二次根式，还必须满足被开方数 ≥ 0才是二次根式。 判断一个式子是否为二次根式，依据以下两条： 1. 含有二次根号（根指数为2，通常省略不写）； 2. 被开方数是非负数（即）。 常见误区： 带根号的式子不一定是二次根式，如的根指数是3，的被开方数是负数，均不是二次根式。 一定是二次根式，因为恒成立。 【例题1·基础】二次根式的识别 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A．　　　B．　　　C．　　D． 思路导引： 逐项检查被开方数是否一定为非负数。A的被开方数-3为负，一定不是；B的根指数为3，也不是二次根式；C中>0，恒为非负数；D中可能为负。 故答案选 C。 变式训练1-1 下列各式：①；② ；③；④ ；⑤；⑥ ，其中是二次根式的有 。（填序号） 答案：③④⑤⑥ 变式训练1-2下列式子中，不属于二次根式的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 答案： C 变式训练1-3 若是二次根式，则的值为 。 答案：= -1 知识点二　二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是。即被开方数必须是非负数。 确定字母取值范围的步骤： 1. 找出使被开方数有意义的条件（被开方数 ≥ 0）； 2. 若二次根式在分母中，还需满足分母 ≠ 0； 3. 若二次根式与其他部分组合（如绝对值），需综合所有条件。 【例题2·中等】二次根式有无意义的条件 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A．　　　B．　　　C．且　　　D． 分子中有意义需，即；分母，即。综合得且 答案： C 变式训练2-1 当满足什么条件时，在实数范围内有意义？（ ） A．x > 2 B．　　C．x < 2　　D． 答案：B 变式训练2-2（2025·连云港中考）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） 　　B．　　C．　　D． 答案：D 变式训练2-3要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A．且　B．x > 1　　C．　　D． 答案：A 知识点三　二次根式的性质 性质1（非负性）：，即一个非负数的算术平方根是非负数。 性质2（平方公式）： “双非负性”： 1. 被开方数是非负数； 2. 本身也是非负数：。 【例题3·提优】二次根式非负性的应用 已知，求 x-y的值。 思路导引： 由二次根式有意义的条件，得 =0，解得 x = 3。 代入 y = 0 + 0 + 8 = 8。 所以： x - y = 3 - 8 = -5。 答案： -5 变式训练3-1 若 ，则 。 答案：1 变式训练3-2 若|x+1| + = 0，则= 。 答案：1 变式训练3-3 已知，为实数，且满足，求的值。 【解析】由题意，得且，=0，解得。代入y = 4。 当x=3 时，x-y = 3-4 = -1； 当 x=-3时，x-y = -3-4 = -7。 的值为 -1或 -7。 四、知识归纳 五、巩固练习（共15题） （一）基础达标训练（基础）——建议15分钟完成 一、选择题 1．下列各式中，属于二次根式的是（ ） A．　　B．　　C．8　　D． 2．下列二次根式中，一定有意义的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 二、填空题 3．当 时，二次根式在实数范围内有意义。 4．计算= ； = 。 5．若有意义，则 m = 。 三、解答题 6．当取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） （2） （3） 7．计算下列各式： （1） （2） （3） （二）能力提升训练（中等）——建议12分钟完成 一、选择题 8．（2025·南京秦淮期末）当 x = -1 时，下列式子没有意义的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 9．已知是整数，则自然数所有可能的值有（ ） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 二、填空题 10．已知实数、 满足 |b+2| = 0，则= 。 11．要使代数式有意义，则的取值范围是 。 三、解答题 12．已知 ，求的值。 13．已知、为有理数，且，求的值（提示：先化简左边，再与右边对比）。（参考改编自） （三）思维拓展训练（★★★提优）——建议10分钟完成 14．已知的三边长分别为、 且、满足，则 $c$ 的取值范围是 。（参考改编自） 15．设的小数部分为，的小数部分为，求的值。（参考改编自） 巩固练习参考答案 1．D 【解析】A：被开方数-5<0，不是二次根式；B：根指数为3，不是二次根式；C：不含根号，不是二次根式；D：符合条件，是二次根式。 2．B 【解析】A中 $a$ 可能为负，无意义；C中可能为负（如 a=0 时），不一定有意义；D中分母可能为0，不一定有意义；B中> 0，恒有意义。 3． 4． 7；5 5． 3 6．（1） （2） （3） 7．（1）11； （2） 2.5； （3） 8．A 9．D 【解析】是整数，且为自然数（），则，。18-n为完全平方数，可取0, 1, 4, 9, 16，即 n = 18, 17, 14, 9, 2，共5个值。 10． 1 11． 12． 8 13． 14． 1 < c < 7 15． 2 学科网（北京）股份有限公司 $