6.2.3 向量的数乘运算（同步检测）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算（同步检测） 一、选择题 1.向量与不共线，＝＋k，＝l＋(k，l∈R)，且与共线，则k，l应满足(　 ) A.k＋l＝0 B.k－l＝0 C.kl＋1＝0 D.kl－1＝0 2.已知，是平面内两个不共线向量，＝m＋2，＝3－，A，B，C三点共线，则m＝(　　) A.－ B. C.－6 D.6 3.在四边形ABCD中，＝＋2，＝－4－，＝－5－3，则四边形ABCD的形状是(　　) A.长方形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 4.在平行四边形ABCD中，＝，＝，E为CD中点，点F满足＝2，则＝(　　) A.－ B.＋ C.－－ D.－＋ 5.已知向量与反向，且||＝r，||＝R，＝λ，则λ的值等于(　　) A. B.－ C.－ D. 6.设P为△ABC内一点．且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝(　　) A. B. C. D. 7.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是DC，BC的中点，那么＝(　　) A.＋ B.－－ C.－＋ D.－ 8.(多选)设是非零向量，λ是非零实数，下列结论错误的有(　　) A.与－λ的方向相反 B.|－λ|≥|| C.与λ2的方向相同 D.|－λ|＝|λ| 二、填空题 9.设，是两个不共线的向量．若向量k＋2与8＋k的方向相反，则k＝_______ 10.已知＝－，若记＝λ，则λ＝________ 11.若3(x＋)＋2(x－2)－4(x－＋)＝，则x＝_____ 12.已知，是不共线的向量，＝λ＋2，＝＋(λ－1)，且A，B，C三点共线，则实数λ＝________ 三、解答题 13.化简： (1)；(2)4(－)－3(＋)－． 14.设，不共线，且＝a＋b(a，b∈R)． (1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线； (2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？请说明理由． 15.如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC中点，且＝， ＝，＝. (1)用，表示，， ，，； (2)求证：B，E，F三点共线． 参考答案及解析： 一、选择题 1.D 解析：∵，不共线，∴l＋≠0，且与共线，∴存在实数λ，使＋k＝λ(l＋)，∴∴kl－1＝0．故选D． 2.C 解析：∵A，B，C三点共线，∴与共线，∴存在λ，使＝λ，∴m＋2＝3λ－λ，且，不共线，∴解得m＝－6．故选C． 3.D 解析：∵＝＋2，＝－4－，＝－5－3，∴＝＋＋＝＋2－4－－5－3＝－8－2＝2，∴AD∥BC，且AD≠BC，∴四边形ABCD为梯形，故选D． 4.A 解析：如图，连接DF，因为＝－＝－－＝－－＝－＝－．故选A． 5.C 解析：∵＝λ，∴||＝|λ|||，即R＝|λ|r，|λ|＝．又∵与反向，∴λ＝－． 6.A 解析：2＋2＋＝0，∴2(＋)＝．设D为AB边的中点，则4＝．如图，D，P，C三点共线，||＝||，∴S△ABP∶S△ABC＝．故选A． 7.D 解析：＝＋＝－． 8.ABD 解析：当λ取负数时，与－λ的方向是相同的，选项A错误；当|λ|＜1时，|－λ|≥||不成立，选项B错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故与λ2的方向相同．|－λ|＝|λ|中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误．故选ABD． 二、填空题 9.答案：－4 解析：因为向量k＋2与8＋k的方向相反，所以k＋2＝λ(8＋k)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0)． 10.答案： 解析：∵＝－，∴＝－(－)，∴＝－＝，∵＝λ，∴λ＝． 11.答案：4－3 解析：由已知得3x＋3＋2x－4－4x＋4－4＝0，所以x＋3－4＝，所以x＝4－3． 12.答案：－1或2 解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使＝k.因为＝λ＋2，＝＋(λ－1)，所以λ＋2＝k[＋(λ－1)]．因为与不共线， 所以解得λ＝2或λ＝－1. 三、解答题 13.解：(1)原式＝－－＝＋－－＝． (2)原式＝4－4－3－3－＝－8． 14.(1)证明：当a＝，b＝时，＝＋，所以(－)＝(－)，即2＝． 所以与共线． 又因为与有公共点C，所以A，B，C三点共线． (2)解：a＋b为定值1．理由如下： 因为A，B，C三点共线，所以∥． 不妨设＝λ(λ∈R)，所以－＝λ(－)，即＝(1－λ)＋λ． 又因为＝a＋b，且，不共线，则所以a＋b＝1(定值)． 15.解：(1)如图，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC. 则＝＋，＝＝(＋)，＝＝(＋)，＝＝， ＝－＝(＋)－＝(－2)，＝－＝－＝(－2)． (2)证明：由(1)知，＝，∴，共线． 又∵，有公共点B，∴B，E，F三点共线． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $