6.2.3 向量的数乘运算 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．下列算式中，错误的是(　　) A．(－7)×6a＝－42a B．a－2b＋(2a＋2b)＝3a C．a＋b－(a＋b)＝0 D．4(2a＋b)＝8a＋4b 解析：选C.对于A，(－7)×6a＝－42a，A正确；对于B，a－2b＋(2a＋2b)＝3a，B正确；对于C，a＋b－(a＋b)＝0，C错误；对于D，4(2a＋b)＝8a＋4b，D正确． 2．在四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 解析：选B.由＝知AB∥DC且AB＝DC，故四边形ABCD为梯形． 3．如图，在矩形ABCD中，E为BC中点，那么向量＋＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为四边形ABCD为矩形，E为BC中点，所以＝，所以＋＝＋＝. 4．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝(　　) A．0 B．1 C．2 D． 解析：选D.依题意可得存在实数λ满足m＝λn，即－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)＝－2λe1＋λe2，又e1，e2不共线，可得解得 5．若点P为△ABC所在平面内一点，且满足＋＋＝2，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.如图所示， 因为＋＋＝2＝2(－)，所以可得3＝－＝，所以与共线，即PB∥AC，且3||＝||，所以＝. 6．(多选)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且＝2，点F是BD上靠近点D的四等分点，则(　　) A．＝－ B．＝＋ C．＝－ D．＝＋ 解析：选AC.由＝2，得＝2，所以＝，易知＝，所以＝－＝，又点F是BD上靠近点D的四等分点，则＝，＝－＝－＝(＋)－(－)＝－. 7．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．(用a，b表示) 解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 答案：4b－3a 8．已知M是△ABC所在平面内一点，若＝x＋y，且x＋y＝，设△MBC的面积为S1，△ABC的面积为S2，则＝________． 解析： 因为＝x＋y， x＋y＝， 所以4＝4x＋4y，其中4x＋4y＝1， 设＝4，则点N在直线BC上， 因为△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MN与AN的比，即比值为3∶4，所以＝. 答案： 9．已知向量e1和e2不共线，四个不同的点A，B，C，D，满足＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝xe1＋ye2.若点A，C，D共线，请写出一组满足条件的实数对(x，y)：________． 解析：因为＝3(e1＋e2)，＝e2－e1， 所以＝－＝3(e1＋e2)－(e2－e1)＝4e1＋2e2，又＝xe1＋ye2，若点A，C，D共线，则存在实数λ，使得＝λ，即4e1＋2e2＝λxe1＋λye2，所以所以y＝x，则满足条件的实数对可以是(4，2). 答案：(4，2)(答案不唯一) 10．(13分)已知e1，e2是两个不共线的向量，且a＝ke1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)若向量a与b共线，求实数k的值；(6分) (2)若k＝1，用a，b的线性组合表示c＝3e1－e2.(7分) 解：(1)因为向量a与b共线，所以设a＝λb，λ∈R， 即ke1－2e2＝λ(e1＋3e2)， 所以解得k＝λ＝－. (2)设c＝xa＋yb＝x(e1－2e2)＋y(e1＋3e2)＝(x＋y)e1＋(3y－2x)e2，又因为c＝3e1－e2，得解得所以c＝2a＋b. 11．已知向量a，b不共线，＝λa＋b，＝a＋μb，其中λ>0，μ>0，若A，B，C三点共线，则λ＋4μ的最小值为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：选B.因为A，B，C三点共线， 所以存在实数k，使得＝k， 即λa＋b＝k(a＋μb)， 又向量a，b不共线，所以 解得λμ＝1， 由λ>0，μ>0，所以λ＋4μ≥2＝4， 当且仅当λ＝4μ＝2时，取等号， 即λ＋4μ的最小值为4. 12．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________． 解析：方法一：因为＋＋＝0， 所以点M是△ABC的重心． 所以＋＝3，所以m＝3. 方法二：在△ABC中，＝－，＝－， 若＋＝m成立，则(－)＋(－)＝m成立，整理得＋＋(m－2)＝0， 由已知可得m－2＝1，即m＝3. 答案：3 13．(13分)如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N.求证：M，N是线段AC的三等分点． 证明：由题意可得＋＝＝2，＝＋， 所以＋＝2＝2＋2， 由于与共线，与共线，但与不共线，所以＝2，＝2，因此N是AC的一个三等分点； 同理可得＝2，因此M也是AC的一个三等分点． 综上，M，N是线段AC的三等分点． 14．(15分)如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且＝3.过点D的直线EF与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F(E，F两点不重合). (1)用，表示；(7分) (2)若＝λ，＝μ，求＋的值．(8分) 解：(1)在△ABD中，可知＝＋， 又＝3，所以＝， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. (2)由(1)知＝＋，又＝λ，＝μ，所以＝，＝， 所以＝＋.又D，E，F三点共线，且A在直线EF外，所以有＋＝1，即＋＝4. 15．如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF＝AF，点P在AB上，BP＝2AP，点Q是△DEF 内 (含边界)一点，若＝λ＋，则λ的最大值为________． 解析：由＝λ＋，可得－＝＝λ.取DE的中点H，连接AH，因为BD＝AF＝DF＝DE，即BD＝DE，故BD＝2HD，又BP＝2AP，所以＝＝，故DP∥AH，且＝，即||＝||，所以λ的最大值为，此时点Q与点H重合． 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $