6.2.3向量的数乘运算 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3向量的数乘运算 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．化简3(a＋b)＋b－4(a－b)的结果是（ ） A．2b－a B．－a C．6a－b D．8b－a 2．已知向量a，b不共线，向量c＝a＋3b，d＝2a＋kb，且c∥d，则k＝（ ） A．－3 B．3 C．－6 D．6 3．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于（ ） A．(a－b) B．－(a－b) C．(a＋b) D．－(a＋b) 4．已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足＝2－2，则＝（ ） A． B． C．2 D．3 5．已知P是△ABC所在平面内的一动点，且＝λ(λ≥0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．已知A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若＝m＋(2m－3) (m∈R)，则＝（ ） A．2 B． C．3 D． 7．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足＝＋＋，则△ACO与△CBP面积比为（ ） A．5∶6 B．3∶4 C．2∶3 D．1∶2 8．（多选）在△ABC中，D在AB边上，＝2，E是CD的中点，则（ ） A．＝－ B．＝＋ C．＝＋ D．＝2－3 9．（多选）已知△ABC，若点P满足3＋2＋＝0，则下列说法正确的是（ ） A．点P一定在△ABC内部 B．4＋2＝ C．S△ABC＝3S△PAC D．2S△PAB＋S△PAC＝S△PBC 二、填空题 10．设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为__________． 11．已知P为△ABC内一点，满足＋＋2＝0，则△PAB和△ABC的面积比为________． 12．在△ABC中，D为边AC的中点，E为中线BD上的一点且＝x＋y，则＋的最小值为________． 三、解答题 13．（12分）已知a，b不共线． （1）若＝2a＋b，＝a－3b，＝－a＋b，求证：A，C，D三点共线； （2）若向量b－ta与a－b共线，求实数t的值． 14．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点． （1）试问－与是相等向量还是相反向量？请说明你的理由． （2）若＝2，试用，表示，． 15．（14分）如图，在△ABC中，＝a，＝b，D为BC的中点，E为AD上一点，且2AE＝ED，BE的延长线与AC的交点为F． （1）用向量a与b表示的和； （2）用向量a与b表示； （3）求出的值． 6.2.3向量的数乘运算 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．化简3(a＋b)＋b－4(a－b)的结果是（ ） A．2b－a B．－a C．6a－b D．8b－a 解析：D　3(a＋b)＋b－4(a－b)＝3a＋3b＋b－4a＋4b＝8b－a． 2．已知向量a，b不共线，向量c＝a＋3b，d＝2a＋kb，且c∥d，则k＝（ ） A．－3 B．3 C．－6 D．6 解析：D　设d＝λc，则2a＋kb＝λ(a＋3b)＝λa＋3λb，又a，b不共线，故λ＝2，k＝3λ＝6． 3．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于（ ） A．(a－b) B．－(a－b) C．(a＋b) D．－(a＋b) 解析：C　因为AM是△ABC的边BC上的中线，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝(＋)＝(a＋b)． 4．已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足＝2－2，则＝（ ） A． B． C．2 D．3 解析：D　∵＝2－2，∴＋＝2(＋)－2，即3＝，∴3||＝||，∴＝3． 5．已知P是△ABC所在平面内的一动点，且＝λ(λ≥0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：C　如图，设D为BC的中点， 因为＋＝＋＝，由＝λ可得，＝λ，所以A，D，P三点共线，因为λ≥0，所以点P在射线AD上，所以点P的轨迹一定通过△ABC的重心．故选C． 6．已知A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若＝m＋(2m－3) (m∈R)，则＝（ ） A．2 B． C．3 D． 解析：A　∵＝－，＝m＋(2m－3)＝m(－)＋(2m－3)，整理得(m－1)＝m＋(3－2m)，当m＝1时，0＝＋显然不成立，故m≠1，∴＝＋，∵A，B，P是直线l上不同的三点，∴＋＝1，解得m＝2，∴＝2－，设＝λ，∴－＝λ(－)，∴＝－，∴＝2，解得λ＝2，即＝2． 7．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足＝＋＋，则△ACO与△CBP面积比为（ ） A．5∶6 B．3∶4 C．2∶3 D．1∶2 解析：D　由O是△ABC的重心，得＋＋＝0，而＝＋＋，则＋＝6－4，故2＝，所以点P为OA中点，即点P、点O为BC边中线的两个三等分点，所以S△ACO＝×S△ABC＝S△ABC，S△CBP＝S△ABC，所以△ACO与△CBP面积比为1∶2． 8．（多选）在△ABC中，D在AB边上，＝2，E是CD的中点，则（ ） A．＝－ B．＝＋ C．＝＋ D．＝2－3 解析：BCD　对于选项A：由向量的减法法则可知＝－，故A错误；对于选项B：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故B正确；对于选项C：＝＋＝＋＝＋＝＋，而＝－，所以＝＋＝＋(－)＝＋，故C正确；对于选项D：＝－＝－3＝－3(－)＝2－3，故D正确． 9．（多选）已知△ABC，若点P满足3＋2＋＝0，则下列说法正确的是（ ） A．点P一定在△ABC内部 B．4＋2＝ C．S△ABC＝3S△PAC D．2S△PAB＋S△PAC＝S△PBC 解析：ABC　由3＋2＋＝0，所以2(＋)＋(＋)＝0，设M，N分别是AB，AC的中点，所以2＋＝0，于是点P是中位线MN上靠近点M的三等分点，则点P一定在△ABC内部，故A正确；又3＋2＋＝0，所以3＋2＝－，则4＋2＝－＝，故B正确；由A可知S△PBC＝S△ABC，S△ABP＝S△APC，且S△ABP＋S△APC＝S△ABC，所以S△ABP＝S△ABC，S△APC＝S△ABC，即S△ABC＝3S△PAC，故C正确；所以S△PAB＋S△PAC＝S△PBC，故D错误．故选ABC． 二、填空题 10．设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为__________． 答案：－1 解析：由题意，得＝＋＝2a－b，因为A，B，D三点共线，所以，共线，所以存在实数λ，使得2a＋pb＝λ(2a－b)，又a，b不共线，所以2＝2λ，p＝－λ，所以λ＝1，p＝－1． 11．已知P为△ABC内一点，满足＋＋2＝0，则△PAB和△ABC的面积比为________． 答案：1∶2 解析：如图，取AB的中点D，连接PA，PB，PC，PD，则＋＝2，又由题意＋＋2＝0，所以2＋2＝0，故C，D，P三点共线，且满足＝，所以P为CD的中点，从而S△PAB∶S△ABC＝1∶2． 12．在△ABC中，D为边AC的中点，E为中线BD上的一点且＝x＋y，则＋的最小值为________． 答案：9 解析：如图所示：因为＝x＋y，D为边AC的中点，所以＝x＋2y．又B，E，D三点共线，所以x＋2y＝1(x>0，y>0)，则＋＝(x＋2y)＝1＋＋＋4≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立，因此＋的最小值为9． 三、解答题 13．（12分）已知a，b不共线． （1）若＝2a＋b，＝a－3b，＝－a＋b，求证：A，C，D三点共线； （2）若向量b－ta与a－b共线，求实数t的值． （1）证明　＝－a＋b，＝＋＝3a－2b＝－3， 则有＝－3，可得∥且C为公共点， 所以A，C，D三点共线． （2）解：向量b－ta与a－b共线，则存在唯一实数λ，使得b－ta＝λ， 又a，b不共线， 可得a－b＝0，即解得t＝． 14．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点． （1）试问－与是相等向量还是相反向量？请说明你的理由． （2）若＝2，试用，表示，． 解：（1）由题意可得－＝， 因为E，F分别为AB，CD的中点，所以＝， 所以－与是相等向量． （2）由题意可得＝＋＝－； 因为＝2，则＝，所以＝＋＝＋＝－． 15．（14分）如图，在△ABC中，＝a，＝b，D为BC的中点，E为AD上一点，且2AE＝ED，BE的延长线与AC的交点为F． （1）用向量a与b表示的和； （2）用向量a与b表示； （3）求出的值． 解：（1）D是BC的中点，＝－＝b－a， ＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)． （2）2AE＝ED，则AE＝AD， ＝－＝－＝×(a＋b)－a＝－a＋b． （3）设＝λ，则＝λb，＝－＝λb－a， 又向量，共线，而a，b不共线， 所以＝，解得λ＝． 学科网（北京）股份有限公司 $