专题07 平面直角坐标系相关压轴题分类训练（5种类型50道）-2025-2026学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦平面直角坐标系5类压轴题型，以题载法构建从坐标变换到综合应用的逻辑体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积存在性问题|10题|含坐标轴上动点与面积倍数关系|坐标表示→面积公式→方程思想| |角的数量关系|10题|平移背景下角的和差倍分探究|平移性质→平行线性质→动态推理| |最值问题|10题|涉及新定义距离与路径最短|几何模型→代数转化→最值判定| |平移综合问题|10题|含图形平移与面积动态计算|平移坐标规律→图形变换→面积不变性| |规律性问题|10题|坐标序列与图形变化规律|特例归纳→递推关系→一般化模型|

弈泓共享数学 专题07 平面直角坐标系相关压轴题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 面积相关存在性问题】 1 【题型2 探究角的数量关系】 19 【题型3 最值问题】 44 【题型4 平移相关综合问题】 63 【题型5 规律性相关综合问题】 92 【题型1 面积相关存在性问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，． (1)点的坐标 ，点的坐标 ，四边形的面积 (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的3倍？若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；18 (2)存在，或 【分析】（1）利用平移方式求出点、的坐标，根据平移的性质可得四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式求解即可； （2）设点，则，利用三角形面积公式求出和，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据平移方式可得，点的坐标为，点的坐标为， ， 点，的坐标分别是，， ， 由平移的性质知，四边形是平行四边形， 四边形的面积为； （2）解：存在，理由如下： 设点，则， 由（1）知，、， ， 、， 三角形的面积是三角形面积的3倍， ， 整理得：， 或， 解得或， 即或． 2．如图1，在平面直角坐标系中，已知、，过点作轴，垂足为点．点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于个单位长度．      (1)填空：___________，点的坐标为___________； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且、满足，点到轴的距离为，点在轴负半轴上，连接交轴于点．当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据轴与，写出点和点的坐标即可； （2）设点的坐标为，则，先计算出的面积为，根据和面积之间的关系构造方程，解出，写出点的坐标即可； （3）作轴于点，根据题意可得，，结合解得（负值舍去），则．由点可得，，由可得，利用面积相等计算出，从而确定点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵轴，且点的坐标为， ∴点的坐标为，， ∵，且点在原点的左侧， ∴点的坐标为，即； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，作轴于点， ∵点在线段上，且点到轴的距离为， ∴， ∵， ∴， 解得或（负值，舍去）， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴， ∵点的坐标为， 又∵轴，轴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴点的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，． (1)把A、B、C三点的坐标，在坐标系中描出来，画出三角形； (2)把三角形向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到三角形；写出平移后，，三点的坐标，画出三角形； (3)求出三角形的面积，在x轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，，作图见解析 (3)存在，或 【分析】（1）依题意在坐标系中找到点，顺次连接即可； （2）按照平移规律进行平移，找到对应点并顺次连接即可； （3）先求出的面积，再由面积相等得到，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； ，，； （3）解：存在，理由如下： ∵点Q在x轴上，， ∴点C到轴的距离为4， 即是以为底，高为4的三角形， ， ，， 即， 解得或， 或． 4．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．连接，将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段（点与点对应）． (1)直接写出点，的坐标； (2)如图2，过点作轴于点，点在轴上，使与的面积相等，求的值： (3)如图3，在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据平移规律即可求解； （2）根据题意得出，进而根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解； （3）设点，①当时：得出，或，根据列出方程，解方程求解即可；②当时：得出，，根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为，将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段 ∴，即 （2）解：∵ ∴ 解得或 （3）设点 ①当时： 情况1：如图 情况2：如图 （舍） ②当时： 综上所述：或 5．已知 (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍，并求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积的2倍，求出M点的坐标． 【答案】(1)9 (2)或 (3)或 【分析】（1）过点C作轴于点E，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求推出的面积，再根据三角形的面积公式建立方程求出的长即可得到答案； （3）根据（1）所求推出的面积，再根据三角形的面积公式建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：由（1）得的面积为9， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴的面积为18， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为或点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为或； （3）解：由（1）得的面积为9， ∵的面积等于的面积的2倍， ∴的面积为18， ∵点M在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点M的横坐标为或点M的横坐标为， ∴点M的坐标为或； 6．如图，在直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式，，．    (1)求，，的值； (2)在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在第二象限内有一点，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据“两个非负数相加，和为，则这两个非负数的值为”，列方程解出，，的值； （2）根据的面积是面积的，于是得到，即可求得结论； （3）把、、的值代入面积的公式中列出等式，求出的值，代入求的坐标即可． 【详解】（1），， ，，， ，，； （2）的面积是面积的， ， ∴点Q的纵坐标的绝对值为2，点Q的纵坐标为2或． 或； （3），，， 的各顶点坐标为：，，； ； 又∵四边形的面积与的面积相等， ， ，， 在第二象限内有一点， 【点睛】本题考查了点的坐标的确定及非负数的性质，解此类题目时可根据非负数的性质分别求出各个数的值，再根据面积相等即可得出答案．解此类题目时刻将不规则图形拆成两个三角形的和，再进行计算即可． 7．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4秒 (3)或 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，得到，进一即可求出答案； （3）由（2）可知，设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， ，． 故答案为：，． （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为4秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 8．如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点的坐标为或； (3)存在这样的点，点坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形等知识； （1）由非负数的性质即可求得a，b的值，从而求得A、B的坐标及的面积； （2）设，由的面积为6，建立关于n的方程，求出n的值，即可求解； （3）设，由（1）知：；分点P位于y轴左侧，点P位于y轴右侧，两种情况考虑即可． 【详解】（1）解：由得：，， ，， ，， ，， ， （2）解：设， ， ， ， 或， 点的坐标为或． （3）解：存在，理由：设， 由（1）知：， ， 当P位于y轴左侧时，设直线交y轴于点D，如图； ， ， ， ； 当P位于y轴右侧时，过点P作轴于点D，如图； ， ， ， ； 存在这样的点，点坐标为或． 9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）当时，，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解： ； （3）解：存在，设点的坐标为， 当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为或 10．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的； (2)求的面积； (3)过点B 作直线轴，在直线1上是否存在一点P，使得的面积等于△ABC的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，点 P 的坐标为或 【分析】本题考查了作图−平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）根据点平移的坐标变化规律写出、、的坐标然后描点连线即可； （2）用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可； （3）设点 P 的坐标为 ，根据的面积等于△ABC的面积列方程求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）的面积； （3）∵轴，点 B 的纵坐标为 1， ∴设点 P 的坐标为 ， ∴ ， 解得：或 ， ∴点 P 的坐标为 或 ． 【题型2 探究角的数量关系】 11．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系 【答案】(1)，； (2)存在，点的坐标为或； (3)当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，． 【分析】（1）根据横坐标左加右减，纵坐标上加下减求解即可； （2）根据、两点坐标，求出，从而求出，设点，再利用三角形面积公式求解即可； （3）由平移的性质可知，，点的位置分三种情况求解，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段， 则点的坐标为，即；点的坐标为，即， 故答案为：，； （2）解：，， ， 三角形的面积等于三角形面积的一半， ， 设点，则， ， 解得：或， 点的坐标为或； （3）解：由平移的性质可知，， ①如图，当点在线段的延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； ②如图，当点在线段上时，过点作， ， ， ， ， ； ③如图，当点在线段的反向延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； 综上可知，当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），则与存在怎样的数量关系？请直接写出来． 【答案】(1)，； (2)或 (3)或或． 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，求点的坐标，角的和差． （1）利用平移变换的性质求解； （2）先求出的值，进而分情况讨论即可； （3）分三种情形：①如图1中，当点在直线的左侧时，②如图2中，当点在直线的左侧或直线上且在直线的右侧时，③如图3中，当点在直线的右侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得：，； （2）解：∵点A，B，的坐标分别为，， ∴， 设， ∵， 如图，当M在B左侧时， ， 解得：， 即； 如图，当M在B右侧时， ， 解得：， 即； （3）解：①如图1中，当点在直线的左侧或上时，， ∴； ②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的右侧时，， ∴； ③如图3中，当点在直线的右侧时，， ∴； 综上所述，与的关系为：或或． 13．如图1，已知点，将线段向右，向上平移后得线段（点的对应点是点，点的对应点是点，点的坐标是，点的坐标是． (1)___________，___________，四边形的面积是___________； (2)如图2，连接，交轴于点，求点的坐标； (3)点从点出发，向轴正半轴方向运动，点在线段上运动，连接．并直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)2，4，8 (2) (3)当在线段上，；当在的延长线上， 【分析】（1）根据平移的性质进行求解； （2）利用面积之间的关系求出线段的长，即可得出坐标； （3）利用平行线的判定和性质求解． 【详解】（1）解：由条件可知， ∴点的坐标是，点的坐标是． 则四边形的面积是 ， 故答案为：2，4，8； （2）解：设， 依题意，， 则 ； （3）解：当在线段上，过点作，如图所示： 由条件可知， ， ， ， ， ； 当在的延长线上，过点作，如图所示： 由条件可知， ， ， ， ， ， 综上：当在线段上，；当在的延长线上，． 14．在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． (1)证明：； (2)过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）过点P作，可证明，得到，再由角的和差关系可证明结论； （2）①设直线交x轴于点K，根据题意可得，，轴，则；根据，求出，据此可得答案；②分点Q在点D上方和点Q在点D下方这两种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点P作， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，设直线交x轴于点K， ∵， ∴，； ∵，点P与原点重合， ∴，即轴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3-1所示，当点Q在点D上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点Q在点D下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 15．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接、、． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点F是直线上一个动点，连接、，当点F在直线上运动时，求出与，的数量关系． 【答案】(1)点C的坐标为，点D的坐标为，四边形的面积 (2)存在，点E的坐标为和 (3)当点F在线段上时，；点F在线段的延长线上时，；当点F在线段的延长线上时，． 【分析】（1）根据点的平移规律得到点C，D的坐标，即可求出四边形的面积； （2）设点E的坐标为，根据题意得到绝对值方程，求解即可； （3）分三种情况，分别根据平行线的判定和性质求出与，的数量关系即可． 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A，B的对应点C，D， ∴点C的坐标为，点D的坐标为， ∴四边形的面积； （2）解：存在． 设点E的坐标为， ∵的面积是面积的3倍， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为和； （3）解：当点F在线段上，作，如图1， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F在线段的延长线上，作，如图2， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F在线段的延长线上，同理可得． 综上所述，当点F在线段上时，；点F在线段的延长线上时，；当点F在线段的延长线上时，． 16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)分别是线段，上的动点，点从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)； (2)秒 (3)当点在线段上时，； 当点在的延长线上时，； 当点在的延长线上时， 【分析】（1）根据点的平移规律求解即可． （2）根据轴得出、两点纵坐标相等这一关系，再结合两点的运动速度和初始坐标列出方程求解． （3）需要分三种情况讨论点在直线上的位置，然后根据三角形外角的性质得出与、的数量关系． 【详解】（1）解：已知点向下平移个单位长度， 再向左平移个单位长度得到点， 则点的横坐标为，纵坐标为，即， 点向下平移个单位长度， 再向左平移个单位长度得到点， 则点的横坐标为，纵坐标为，即． 故答案为：． （2）解：设运动时间为秒，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度， 因为是向下运动，所以点的纵坐标为， 点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度， 因为是向上运动， 所以点的纵坐标为， 当轴时，、两点纵坐标相等，即， 移项可得，合并同类项得，两边同时除以， 解得． （3）解：当点在线段上时，过点作，如图， 因为， 所以，可得，， 所以． 当点在的延长线上时，过点作， 因为， 所以， 可得，， 此时． 当点在的延长线上时，过点作， 因为， 所以， 可得，， 此时． 17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，且满足，连接，交轴于点，并过点作轴于点． (1)求的面积； (2)当的坐标为，若轴上有一动点，使得，求出点的坐标； (3)如图，过点作交轴于点，当分别平分、时，写出与、的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)，理由如下见解析． 【分析】（）根据 可求得和的值，确定点，，的坐标，进而求得和的长度，根据三角形面积公式计算即可求得答案； （）先求得的长度，点的位置有两种情况：在点上方或在点下方，分情况写出点的坐标即可； （）过点作，根据平行线性质可得到与，的数量关系，根据角平分线的定义，进而求得与 ，的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴点，，的坐标分别为，，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴当点在点上方时，点的坐标为； 当点在点下方时，点的坐标为， ∴点的坐标为或； （3）解：，理由如下： 如图，过点作， ∵，分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系中，点满足，轴，垂足为，    (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，若点在轴上，连接，使，求点的坐标； (3)如图2，是线段所在直线上一动点，连接，为轴负半轴上一点，平分，交直线于点，作，当点在直线上运动过程中，请探究与的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)或 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，角的和差，角平分线的定义等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由非负性可求，的值，即可求点坐标和点坐标； （2）设，由面积关系可求的值，即可求点坐标； （3）由角平分线的定义和平行线的性质可得， ， 由余角的性质可求解. 【详解】（1） ∴ ∴ ∴点 ∵轴， 故答案为： （2）若点在轴上时，设 ∵ ∴= 解得，或 ∴或 若点在轴上时不成立 （3）    ∵平分    ∴ ∵轴    ∴，即 ∵    ∴    ∴    ∴ 19．如图1，在平面直角坐标系中，、、，其中a、b满足：．平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上． (1)点C坐标 ，点D坐标 ； (2)如图1，将点E向下移动1个单位得到点P，连接、，在y轴上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由； (3)如图2，点H是射线上一动点，与点O、D不重合，连接不过点C，若与的平分线交于点M，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质求得点A，B的坐标，再根据平移的性质即可得出点C，D的坐标； （2）连接，利用求得的面积，设点，则，利用与面积相等建立方程求解即可； （3）当点H在延长线上时，由角平分线的性质得，，由平移的性质得， 从而得，由外角的性质得，则，根据三角形内角和得，利用等角代换可证；同理可证当点H在线段上时，，再利用平角的性质和等角代换得； 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴，， ∵平移线段得到线段，且C、D两点分别落在y轴和x轴上， 则线段先向左平移1个单位长度后，再向下平移3个单位长度， ∴，． 故答案为：，． （2）如图，连接， ∵，， ∴， ∵将点向下移动1个单位得到点P， ∴点， ∴ ， 设点，则， ∵与面积相等， ∴， 即， 解得或， ∴或． （3）如图，当点H在延长线上时，延长交于G，令交于K， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点H在线段上时，令交于K，交于G． ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 综上，或． 【点睛】本题是坐标与图形综合问题，主要考查了非负数的性质、平移的性质、三角形的面积，平行线的性质和坐标系中的动点问题，熟练掌握以上性质并灵活运用是解题的关键． 20．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足， (1)直接写出M、N的坐标：M（0，_____），N（_____，0）； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴的正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为秒． ①如图1，当时，设，求与的比值； ②如图2，当与互补时，在线段上任取一点E，连接．点G为的角平分线上一点，连接，且满足，设、，和，请直接写出，，三者之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)①；②或． 【分析】（1）首先根据非负数的性质解得的值，可确定点的坐标，即可获得答案； （2）①当时，可有，易得，，进而可计算出，结合，得到，进而根据三角形面积公式计算即可； ②分G点在平行线之间和G点在平行线之外两种情况，分别根据平行线的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当时，， ，， ∴，， ， ， ∴， ∴ 由图可知点在第四象限， ∴， ∴， ∴； ②根据题意，将图2补全，如下图所示， ∵与互补 ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 如下图，当G点在平行线之间时，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 如下图，当G点在平行线之外时，过点作，过点作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 综上所述，，，之间的数量关系为或． 【题型3 最值问题】 21．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知点，，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．连接，，． (1)直接写出点的坐标： ； (2)若点是轴上一点，的长是否有最小值？若有，直接写出最小值；若没有，说明理由； (3)第二象限内有一点，若点到轴的距离与点到轴的距离相等，试写出一个满足要求的点的坐标． 【答案】(1)； (2)最小值为； (3)（答案不唯一）． 【分析】本题考查了根据平移方式确定点的坐标，点到坐标轴的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平移方式确定点的坐标，即可求解； （2）根据题意可得当时，轴，此时的长有最小值，最小值为； （3）根据题意得出点的纵坐标为，即可求解． 【详解】（1）解： ∵点，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴点的坐标为，即； （2）∵， ∴当时，轴，此时的长有最小值，最小值为； （3）∵点， ∴点到轴的距离为， ∴点到轴的距离为，即的纵坐标的绝对值为． 又∵点在第二象限， ∴点的纵坐标为， ∴满足题意． 22．在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点与点的“禾距”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“围差”，记为．如图1，已知点，． (1)点与点的“禾距”的值为______； (2)已知点在轴上，线段关于点的“围差”为，则点的坐标为______． (3)若点与点的“禾距”为． ①请在图中画出所有符合题意的点组成的图形： ②的最小值为_______． 【答案】(1) (2)或 (3)①见详解；② 【分析】（1）直接将，代入“禾距”公式进行计算即可； （2）先设，然后分情况讨论点在线段上时的最大值与最小值，再根据“围差”的定义列出方程求解即可． （3）①设，根据“禾距”公式列出方程，然后分情况讨论去掉绝对值符号，得到不同情况下的直线方程，从而画出图形． ②先分析的最大值与最小值的情况，然后找出的最小值． 【详解】（1）解：根据题意得． 故答案为：． （2）解：设，点在线段上，设 ①时， 当时，， 当时，， 线段关于点的“围差”为， ， ． ②时， 当时，， 当时，， 线段关于点的“围差”为， ， （舍去）． ③时， 当时，， 当时，， 线段关于点的“围差”为， ∴， 解得， 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． （3）解：①设， 点与点的“禾距”为， ，即， 当，时，，即； 当，时，，即； 当，时，，即； 当，时，，即． ∴所有符合题意的点组成的图形是以，，，为顶点的正方形． ②点在线段上， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难度，关键是理解题目中“禾距”及“围差”的意义． 23．对平面直角坐标系中的任意两点和，我们定义为点和点的“绝对和距离”，记作，即． (1)在点，，，中，与原点“绝对和距离”为6的点是 ． (2)已知点，，点在线段上，则的最大值为 ，的最小值为 ． (3)已知点，，，，以点、、、为顶点组成四边形． ①若是四边形上一点，点坐标为，若存在，直接写出的取值范围 ． ②若四边形上存在一点，使得，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】(1) (2)3，1； (3)①；②， 【分析】（1）计算出四点与原点的“绝对和距离”，即可求解； （2）由题意得点的坐标为，其中，求得，再分情况讨论即可求解； （3）①判断出四边形是长方形，存在，即点在直线上，直线与长方形有交点时，需要满足：，，据此求解即可； ②画出图形，结合定义得出当在y轴左侧，点K在与x轴的交点上时，m最小，此时点，求出最小值即可；当在y轴右侧，点K在与x轴的交点上时，m最大，此时点，求出最大值即可． 【详解】（1）解：；；；； 显然； 所以与原点“绝对和距离”为6的点是； （2）解：∵点，，点在线段上，∴点的坐标为，其中，∴， 当最大时，即，∴（最大值）； 当最小时，即，∴（最小值）； ∴最大值为3，最小值为1； （3）①解：∵四边形四个顶点为，，，， ∴四边形是长方形，且长为，宽为，边平行于坐标轴， ∵存在，即点在直线上， 直线与长方形有交点时，需要满足：，， 即，， ∴， 解得； ②解：∵点，，，， ∴轴，轴； 如图，当在y轴左侧，点K在与x轴的交点上时，m最小，此时点； ∵， ∴， 解得：或（根据，舍去）， ∴m的最小值为； 如图，当在y轴右侧，点K在与x轴的交点上时，m最大，此时点； ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴m的最大值为． 24．在平面直角坐标系中，有个点，记为：，，…，若这个点的横坐标的最大值记为，纵坐标的最大值记为，将【，，…，】记为这个点的“和值”． 例如：对于，则“和值”【，】． 已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标为、、、，边与轴交于点． (1)“和值”【，，】______； (2)已知，过点作直线轴，直线与直线、分别交于点、记【、、、】． ①当时，______； ②当点在轴上运动时，判断有最大值还是最小值，并写出的最大或最小值以及相应的点的坐标． 【答案】(1) (2)①②m有最小值，当时，，对应点；无最大值 【分析】本题考查平面直角坐标系点的特征，和值的定义，熟练掌握平面直角坐标系点的特征是解题的关键； （1）根据和值的定义求解即可； （2）①根据题意，求解， ，进而求解和值；②根据的不同范围，分析横纵坐标最大值即可求解； 【详解】（1）解：根据图象，可得， 横坐标最大值：、、中最大为； 纵坐标最大值：、、中最大为； 【，，】； 故答案为： （2）①当时，则， ， 横坐标最大值： 、， 中最大为1； 纵坐标最大值：、、， 中最大为； 求和值：； 故答案为： ②根据的不同范围，分析横纵坐标最大值： 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而增大）； 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而增大）。 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而减小）； 综上，m有最小值：当时，，对应点； 无最大值：随增大而无限增大； 25．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A，B分别先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接、、． (1)请直接写出点C和D的坐标并求出平行四边形的面积； (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，假设线段上有一动点F，分别连接，当点F在线段上来回运动时，三角形面积的最大值为________，最小值为________． 【答案】(1)点C的坐标为，点D的坐标为，四边形的面积为 (2)和 (3)， 【分析】（1）根据点的平移规律得到点C，D的坐标，即可求出四边形的面积； （2）设点E的坐标为，根据题意得到绝对值方程，求解即可； （3）根据三角形的面积为可得两点重合时，三角形的面积最大，两点重合时，三角形的面积最小，即可解答． 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A，B的对应点C，D， ∴点C的坐标为，点D的坐标为，，且之间的距离为， ∴四边形的面积； （2）解：存在． 设点E的坐标为， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为和； （3）解：如图， 由题意得三角形的面积为， 当两点重合时，，三角形的面积最大，最大值为； 当两点重合时，，三角形的面积最小，最小值为． 26．在平面直角坐标系的位置如图所示（注：图中每小正方形的边长均为1）． (1)请画出关于y轴对称的图形（分别是的对应点，不写画法）；直接写出三点的坐标：_______，_______，_______； (2)的面积是_______； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，则最小值为_______． 【答案】(1)图见解析， (2) (3) 【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称-最短路线问题、三角形面积等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质确定点的位置，然后顺次连接即可完成作图，然后直接写出的坐标即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）如图：连接，交y轴于点P，则点P即为所求，再利用勾股定理求出最小值． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，． （2）解：的面积是． 故答案为：． （3）解：如图：连接，交y轴于点P，连接， 此时， ∴点P即为所求.的最小值为． 故答案为：． 27．在平面直角坐标系中，已知点．如果存在点，满足，，则称点为点的“控变点”． (1)点的“控变点”的坐标为________； (2)已知点的“控变点”的坐标为，求，的值； (3)长方形的顶点坐标分别为，，，． 如果点在第二象限，且点的“控变点”在长方形的边上或内部，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)，或， (3)的最大值为，最小值 【分析】（1）根据定义点的“控变点”的坐标为，即． （2）根据点的“控变点”的坐标为，得，，去绝对值求，的值即可； （3）根据点在第二象限，得到，根据定义计算点的“控变点”的横坐标为，即，结合已知长方形的顶点坐标分别为，，，，点在长方形的边上或内部，得到，解答即可． 【详解】（1）解：根据定义点的“控变点”的坐标为，即， 故答案为：． （2）解：根据点的“控变点”的坐标为， 得，， ∴或，， ∴，， 或，， ∴，或，． （3）解：∵点在第二象限， ∴， ∴点的“控变点”的横坐标为，， ∴， ∵长方形的顶点坐标分别为，，，，点在长方形的边上或内部， ∴， ∴， ∴解集为， ∴的最大值为，最小值． 【点睛】本题考查了新定义，绝对值的化简，坐标与象限，解不等式，熟练掌握定义是解题的关键． 28．对于平面直角坐标系中的点和图形W，给出如下定义：若图形W中的任意一点满足且，则称点P为图形W的一个覆盖特征点． 例如：已知，，则点为线段的一个覆盖特征点． (1)已知点， ①在，，中，是三角形的覆盖特征点的为　　　； ②请在平面直角坐标系中用阴影表示三角形的覆盖特征点组成的图形． (2)点N是坐标轴上的动点．若点是三角形的覆盖特征点，且的最小值为6，请求出点N的坐标． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)或 【分析】本题考查新定义，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最小值与纵坐标的最小值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键． （1）①根据覆盖特征点的定义得到，然后逐一判断解答即可②根据画出阴影区域即可； （2）分为点N在y轴上和点N在x轴上两种情况，根据覆盖特征点的定义解答即可． 【详解】（1）解：（1）①根据覆盖特征点的定义可得：， ∴符合的点的坐标可以为，， 故答案为：； ②根据，则覆盖特征点的图形如图中阴影部分； （2）解：当点N在y轴上时，设点N的坐标为， 则，根据最小是6，x最小为3，解得， ∴点N的坐标为； 当点N在x轴上时， 设点N的坐标为，则， 根据最小是6，y最小为2解得， ∴点N的坐标为； 故答案为：或． 29．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)若点为轴上一点，则的最小值为____________． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析； (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则的最小值即为，由勾股定理可得答案． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求， ． （3）作点关于轴的对称点'，连接，交轴于点，连接，    则的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上几何变换的性质是解题的关键． 30．请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），，b为的整数部分． (1)a＋b＋c＝　 　； (2)点P为坐标平面内的一个动点，若S△PBC＝2S△ABC，求点A与点P距离的最小值； (3)如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 【答案】(1)-5 (2)4 (3)D 【分析】（1）根据二次根式的非负性、二次方的非负性求出a、c的值，根据b为的整数部分，求出b的值，即可得出答案； （2）根据点P在一条平行于y轴的直线上，根据垂线段最短，即可得出点A与点P距离的最小值； （3）连接OD、OE，设点D的坐标为（m，n），根据，得出，根据平移的性质，得出E（2n，n），根据列出关于n的方程，解方程即可得出n的值，得出D点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∵， ∴的整数部分是2， ∴， ∴． 故答案为：-5． （2）解：∵A（a，0），B（0，b），C（0，c）， ∴A（-4，0），B（0，2），C（0，-3）， ∴， ∵S△PBC＝2S△ABC， ∴， ∵， ∴点P到BC的距离为：， ∵点B、C在y轴的直线上， ∴点P在平行于y轴的直线上，且与y轴的距离为8， ∴点P在直线或直线上， ∵点A到直线的最小距离为，点A到直线的最小距离为： ∴点A与点P之间最小距离为：． （3）解：连接OD、OE，如图所示： 设点D的坐标为（m，n）， ∵， ∴， ∴， ∴D点坐标为（2n-4，n）， ∵点D向右平移4个单位长度得到点E， ∴E（2n，n）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了点与坐标的关系，非负性的应用，平移的性质，利用等积法求解等知识，能灵活应用相关知识点，是解题的关键． 【题型4 平移相关综合问题】 31．如图，已知点，将点向右平移4个单位长度，得到点，连接．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到线段，连接，． (1)请直接写出点的坐标； (2)连接，求三角形的面积； (3)点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向上平移运动，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)在（3）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴向左平移运动，设射线交轴于点．问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)存在， (4)不变；2 【分析】（1）根据平移的性质求解即可； （2）连接，根据三角形面积公式求解即可； （3）根据四边形的面积三角形的面积三角形的面积求解即可； （4）分两种情况讨论，当N在线段上时，根据求解即可；当N在延长线上时，根据可得，再求即可得解． 【详解】（1）解：由平移可知； （2）解：连接，如图， ， ， 三角形的面积； （3）解：存在， 连接， 由题意知， 四边形的面积三角形的面积三角形的面积， ， 解得， 时，四边形的面积等于6． （4）解：的值不会发生变化． 当N在线段上时，连接， 由题意知，， ， ， ， ， 当N在延长线上时，连接， 设， 由题意知，， ，， ， ， ， ， ， 综上所述，的值不会发生变化，的值为2． 32．在平面直角坐标系中，已知线段，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示． (1)平移线段到线段，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，若点D的坐标为，求点C的坐标． (2)平移线段到线段，使点D在轴的负半轴上，如图2，连接，若三角形的面积为10，求点C、D的坐标． (3)在（2）的条件下，将三角形沿轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时点P从D点出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，请直接写出当等于多少时，三角形的面积与三角形的面积相等． 【答案】(1) (2)，或， (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形变换－平移，三角形的面积． （1）先根据点A的对应点为点D，判断出平移的方式，进而求出点C的坐标； （2）先根据三角形的面积为10求出点C的坐标，然后分两种情况求解即可； （3）分点P在点B的左侧和点P在点B的右侧两种情况求解即可． 【详解】（1）∵点的对应点为点， ∴把点A先向左平移1个单位，再向下平移2个单位到达点D， ∵点B的坐标为， ∴点C的坐标，即； （2）如图，作于点H，设， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵三角形的面积为10， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， 当点A与点D对应时，则把点A先向左平移4个单位，再向下平移4个单位到达点D，此时点B的对应点C的坐标为，即； 当点B与点D对应时，则把点B先向左平移6个单位，再向下平移1个单位到达点D，此时点A的对应点C的坐标为，即； 综上可知，，或，； （3）由题意得平移后各点坐标为：，，，， ∴, 当点P在点B的左侧时，如图， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点P在点B的右侧时，如图， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， ， ∴， 解得． 综上可知，当或时，三角形的面积与三角形的面积相等． 33．在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”． 已知点的坐标为，点的坐标为． (1)在这四个点中，___________是线段的“方田点”； (2)点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________； (3)点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义、坐标与图形变化—平移、一元一次方程的应用，理解线段的“方田点”的定义，运用数形结合思想是解题的关键． （1）由题意得，，轴，将线段向下平移2个单位长度得到线段，在坐标系中画出图形，再根据线段的“方田点”的定义即可得出结论； （2）结合点和点的坐标可得，点在直线上，点在直线上，根据线段上存在线段的“方田点”，得到线段与正方形有交点，再结合图形对线段的位置进行分析即可求解； （3）由题意得，，轴，将线段向右平移个单位长度得到线段；再根据题意分析出线段的“方田点”所在的区域，记此时的区域为区域，根据线段的“方田点”都是线段的“方田点”，得到正方形的边都落在区域，再结合图形对正方形的位置进行分析即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，轴， 由题意得，将线段向下平移2个单位长度得到线段， ∴，， 画图如下： 由图可知，点和是线段的“方田点”； 故答案为：，； （2）解：∵点， ∴点在直线上，点在直线上， ∴线段介于直线和直线之间， 当点恰好落在点上，则，解得， 当点恰好落在点上，则，解得， 当点恰好落在线段上，则， 当点恰好落在线段上，则， ∴由图可得，当时，线段与正方形有交点， ∴若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是； 故答案为：； （3）解：∵点， ∴，轴， 由题意得，将线段向右平移个单位长度得到线段， ∴，， ∴线段的“方田点”在正方形的边上， ∵点是线段的“方田点”， ∴点在正方形的边上， 将正方形向下平移3个单位长度，得到正方形， ∵点向下平移个单位长度，得到点， ∴点落在正方形的边上， 将正方形和正方形分别向右平移3个单位长度，得到正方形和正方形， 由题意得，将线段向右平移3个单位长度得到线段， ∴点和点分别落在正方形和正方形的边上， ∴由图可得，线段的“方田点”组成正方形内部区域及边界，且不含正方形内部区域，记此时的区域为区域； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴，， 解得：； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴，， 解得：； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴； ∴结合图形可得，若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，则的取值范围为或． 34．如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； (3)如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E，连接，，若的面积为23，求d的值； (4)如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，再结合算术平方根的含义可得； （2）过点作轴于点，作轴于点，连接，根据题意得到，表示出，列等式即可解答； （3）求出，，过作轴的垂线，过、作轴的垂线，交点为，再利用面积建立方程求解即可； （4）分情况讨论：当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为与过且平行于轴的直线交于，；当在的左边时，过作轴的垂线与过且平行于轴的直线交于，，再建立不等式组解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点作轴于点，作轴于点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵为的中点， ， ∵把点向右平移d（）个单位长度，再向下平移个单位长度至点， ， 即， 如图，过B作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为． ∴，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴的面积为23， ∴， 解得； （4）如图，当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，与过且平行于轴的直线交于， 由题意可得， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图，当在的左边时，过作轴的垂线与过点且平行于轴的直线交于， 由题意可得， 同理可得，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，或． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）将沿轴向左平移，平移后点的对应点为点，点的对应点为点，点的对称点为点，当点到达点时，停止平移，设平移的距离为． ①当点在直线上时，求的面积； ②当与四边形重合部分的面积为2时，请直接写出的值． 【答案】（1）点的坐标为；（2）①；②1或 【分析】（1）解方程，即可求D的坐标； （2）①先求出O，B，C各点的坐标，然后根据点的平移t设G，F，E三点的坐标，根据点G在直线y＝2x+6上求出G点坐标，利用面积公式可求出△DCG的面积； ②首先计算△EFG的面积，判断当点G在直线y＝2x+6上时，E点的位置，及点F达到点A是，G点的位置．进而判断何时△EFG与四边形AOCD重合部分的面积为2，然后求解． 【详解】解：（1）∵直线y＝﹣2x+3与直线y＝2x+6交于点D， 由，得 ； ∴点D的坐标为（，）； （2）当x＝0时，y＝2×0+6＝6，y＝﹣2×0+3＝3； 当y＝0时，2x+6＝0，﹣2x+3＝0；解得x＝﹣3，x； 点O（0，0），A（﹣3，0），B（，0），C（0，3）； 由平移的距离为t知，点E（，0），点F（﹣t，0），点G（﹣t，3）； ①当点G在直线y＝2x+6上时，得3＝2×（﹣t）+6，解得t； ∴点G坐标为（，3）； ∴GC； S△DGC•（yD﹣yc）； ②； 当点G在直线y＝2x+6上时， FE＝OBFD， O，E重合， △GFE完全在四边形AOCD内， 此时S△GFE＝S△COB；即重合部分面积为； 此时，t， 1°当t时，GE与y轴交于M， 此时△EFG与四边形AOCD重合部分的为四边形GFOM，面积为2． 即S△MOE+S四边形GFOM， ∴S△MOES四边形GFOM； ∵OM∥GF ∴△MOE∽△GFE ∴ ∴OE； 即t＝BO﹣OE＝1； 2°当t时，GE与y＝2x+6交于N，GF与y＝2x+6交于N， 此时△EFG与四边形AOCD重合部分的为四边形QFEN，面积为2 此时； 设直线GE解析式：y＝﹣2x+b； 把E（，0）代入得y＝﹣2x+b，解得b＝3﹣2t； 直线GE解析式：y＝﹣2x+3﹣2t； 解方程得； ； ∴点N坐标为（，）； 把x＝﹣t代入y＝2x+6，得y＝﹣2t+6， GQ＝3﹣（﹣2t+6）＝2t﹣3， S△GNQGQ•|yG﹣yN|•（t） 解得t或t（舍去）； ∴t＝1，或t． 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，已知一次函数求点的坐标及已知解析式及点在直线上求点的坐标，三角形相似等知识，考查了平移的相关知识，及不规则图形的面积问题． 36．如图1，在直角坐标系中直线与、轴的交点分别为，，且满足. （1）求、的值； （2）若点的坐标为且，求的值； （3）如图2，点坐标是，若以2个单位/秒的速度向下平移，同时点以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是秒，若点落在内部（不包含三角形的边），求的取值范围． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】（1）根据非负数和为0，则每一个非负数都是0，即可求出a，b的值； （2）设直线AB与直线x＝1交于点N，可得N（1，5），根据S△ABM＝S△AMN−S△BMN，即可表示出S△ABM，从而列出m的方程． （3）根据题意知，临界状态是点P落在OA和AB上，分别求出此时t的值，即可得出范围． 【详解】（1）∵，， ∴， 解得：， （2）设直线与直线交于，设 ∵a＝−4，b＝4， ∴A（−4，0），B（0，4）， 设直线AB的函数解析式为：y＝kx＋b， 代入得，解得 ∴直线AB的函数解析式为：y＝x＋4， 代入x=1得 ∵ ∴＝×5×|5−m|−×1×|5−m|＝2|5−m|， ∵ ∴ ∴或 解得：或， （3）当点P在OA边上时，则2t＝2， ∴t＝1， 当点P在AB边上时，如图，过点P作PKx轴，AK⊥x轴交于K， 则KP'＝3−t，KA'＝2t−2， ∴3−t＝2t−2， ∴ 综上所述：． 【点睛】本题主要考查了平移的性质、一般三角形面积的和差表示、以及非负数的性质等知识点，第（2）问中用绝对值来表示动点构成的线段长度是正确解题的关键． 37．如图①，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2m-6，0)，B(4，0)，C(-1，2)，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于6个单位长度． (1)m的值为_________； (2)在x轴上是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，把线段AB向上平移2个单位得到线段EF，连接AE，BF，EF交y轴于点G，过点C作CD⊥AB于点D，将长方形GOBF和长方形AECD分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AECDA运动，当长方形GOBF与长方形AECD重叠面积为1时，求此时点M的坐标． 【答案】(1)2 (2)存在，M（-2，0）或（2，0）； (3)点M坐标为（1，1.5）或（9.5，0）． 【分析】（1）根据坐标轴上两点间的距离公式建立方程求解即可； （2）先确定出△ABC的面积，进而求出△COM的面积，利用面积建立方程求解即可； （3）分两种情况讨论，由重叠面积为1，列出方程可求解． 【详解】（1）解：∵点A、B分别在原点两侧，且A、B两点间的距离等于6个单位长度，B（4，0）， ∴4-（2m-6）=6， 解得m=2； 故答案为：2； （2）解：存在， ∵AB=6，C（-1，2）， ∴S△ABC=AB×|yC|=6， ∵△COM的面积=△ABC的面积， ∴S△COM=2， 当点M在x轴上时， 设M（a，0）， ∴OM=|a|， ∴S△COM=OM×|yC|=×|a|×2=2， ∴a=±2， ∴M（-2，0）或（2，0）； （3）解：设经b秒后长方形GOBF与长方形AECD重叠面积为1， 由题意可得，bs后，点D'（-1+2b，0），O'（b，0），B'（4+b，0）， ①当长方形GOBF与长方形AECD重叠部分在长方形GOBF左侧时， ∵高必为2， ∴底为， ∴-1+2b-b=0.5， ∴b=1.5， ∴点M也运动1.5秒， ∴1.5×1=1.5＜2=AE， ∴点M在AE上， ∴点M（1，1.5）； ②当长方形GOBF与长方形AECD重叠部分在长方形GOBF右侧时， ∵高必为2， ∴底为， ∴4+b-（-2+2b）=0.5， ∴b=5.5， ∴点M也运动5.5秒， ∴5.5×1=5.5， ∵AE+EC+CD=5＜5.5， ∴点M在AD上，5.5-5=0.5， 而点D'（10，0）， ∴点M（9.5，0）， 综上所述：点M坐标为（1，1.5）或（9.5，0）． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的面积的计算方法，矩形的性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题． 38．在平面直角坐标系中，点，，，且满足，过点C作轴，D是上一动点． (1)求的面积； (2)如图1，若点C向左平移3个单位得到D点，则D点的坐标为_____，三角形与三角形的面积大小有什么关系_____（填“大于”，“小于”，“相等”或“不相等”）； (3)如图2，若，P是上的点，Q是射线上的点，射线平分，射线平分，，请你补全图形，并求的值． 【答案】(1)9 (2)；相等 (3)补全图形见解析；的值为或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、非负数的性质、平移的性质、平行线的性质、角平分线的定义及三角形面积计算； （1）利用绝对值、算术平方根的非负性求出、、的值，得到点、、的坐标，再以为底、为高，即可求出的面积； （2）根据平移的性质求出点的坐标，再结合轴，判断与等底等高，从而得出面积关系； （3）先补全图形，设，利用平行线的性质和角平分线的定义表示出相关角的度数，再结合，通过角度的和差关系求出，当点在上方时，，当点在下方时，，最后计算的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴． （2）解： 点向左平移个单位，横坐标减，纵坐标不变， ∴ ， 轴，点在直线上， 点C，D到的距离相等， ∴． （3）解：补全图形如下： 设，过点作轴， ∵轴， ∴，， ∴， 射线平分，射线平分， ，， ， ， 如图1所示，当射线与射线在直线同侧时， ， ∵轴， ∴， ， 如图2所示，当射线与射线在直线异侧时， ， ， 综上：的值为或． 39．已知点，点，点，且．将线段平移得到线段，点A的对应点是点B． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，过点D作轴于点E，作轴于点F，点P在射线上．连接交直线于点Q，以F、O、E、Q为顶点的四边形记为，的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)、、三点的坐标分别是，， (2)12 (3)为定值，且这个定值为4 【分析】（）根据绝对值、算术平方根、偶次幂非负性即可求解； （2）先根据平移得出点D的坐标为，再求出，最后根据三角形面积公式求出； （3）分两种情况：当点P在点右侧时，当点P在点左侧时，分别利用三角形面积的和差求出结果即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，，， 所以，，， 所以、、三点的坐标分别是，，； （2）解：∵将线段平移得到线段，点A的对应点是点B，，， ∴线段向右平移4个单位，向上平移4个单位得到线段， ∵点C的坐标为， ∴点D的坐标为， ∵， ∴； （3）解：为定值，且这个定值为4； ∵轴，轴，点D的坐标为， ∴，， 当点P在点右侧时，如图所示： 设此时，点P的坐标为则： ， ， ∴ ， ∵， 又∵， ∴， ∴； 当点P在点左侧时，如图所示： ∵ ， ∴ ； 综上，为定值，且这个定值为4． 40．如图，平面直角坐标系中，，，，，． (1)求的面积； (2)如图2，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒2个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，，，在同一直线上，求的值； (3)如图3，点在线段上，将点向右平移4个单位长度至点，若的面积大于14，求点横坐标的取值范围． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的综合应用，结合绝对值、二次根式非负性的性质求解，准确理解点的平移规律是解题的关键． （1）根据二次根式非负性和绝对值非负性，求出，，得到点，，的坐标，即可得到，的长，即可得解； （2）根据等量关系求解即可； （3）连接，，设，根据得到，根据点的平移得到，再根据代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ， ，，， ，， ； （2）解：由题意知：，， ， ， ． （3）解：连接，，设， ， ， ， 点向右平移4个单位长度得到点， ， ， ， ， ， ． 【题型5 规律性相关综合问题】 41．如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：． 又∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：． 由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 42．综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 【答案】（），，，，； （），，验证见解析； （）；． 【分析】本题考查了坐标与图形，探索规律，解决本题的关键是通过观察得到线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，再根据中点坐标与线段两端点坐标的对应关系解决问题． （1）根据图形读出平面直角坐标系中点，，，，的坐标即可； （2）根据（1）线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，可得线段的中点是的横坐标、纵坐标分别是，；因为点，分别为，的中点，根据（1）中的规律验证即可； （3）根据点，，点是线段的中点，利用中的规律求出点的坐标即可； 设点的坐标为，根据规律可得：，，解方程即可求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：由图可知：点，，，，的坐标分别为：，，，，； （2）解：由（1）中的规律可知： 点的坐标是，点的坐标是， ，； 点，分别为，的中点，点，，，， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 通过点，的坐标的验证规律是正确的， 故答案为：，； 解：点，，点是线段的中点， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的坐标为是， 故答案为：； 解：设点的坐标为， 点N是线段的中点，且点，， ，， 解得：，， 点的坐标为． 43．在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由见解析 【分析】本题考查点的坐标变化规律，得出坐标的变化规律是解题的关键． （1）观察坐标系中第四象限中的点的坐标特征，即可求解； （2）根据已知点的坐标特征得出，，进而即可求解； （3）根据（1）得出，进而代入，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，的坐标，， 故答案为：． （2）根据点，，，，…， 由此可得 ∵， ∴点的坐标为 （3）解：由，，，，…， ∴ 当 解得： 44．如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形，变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形变换成，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)若按（1）题找到的规律，将三角形进行次变换，得到三角形，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律，进而得出答案； （2）结合（1）中发现规律得出一般公式即可． 【详解】（1）解：，，； 点横坐标为，纵坐标依次为：2，，， 的纵坐标为：， ， ，，， 点横坐标为0，纵坐标依次为：，，， 的纵坐标为：， ， 点的坐标为，点的坐标为； （2）（2）由（1）得出：，， 点的坐标是，的坐标是． 【点睛】此题考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律是解题关键． 45．如下图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，⋯，顶点依次用表示． (1)请直接写出点的坐标． (2)根据规律，求出点的坐标． 【答案】(1)． (2) 【分析】本题主要考查规律型：点的坐标，掌握图形与点坐标的特点是解题的关键． 根据正方形的性质找出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，，（n为自然数）”，依此即可得出结论． 【详解】（1）解：通过观察，可得：，，，. （2）观察发现，，，，，，，，，…， 所以，，为自然数． 因为， 所以点的坐标为． 46．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)；理由见解析 【分析】本题考查了点的坐标规律，发现规律是关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：观察发现：点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ，， ，， 故答案为：①；②； （2）解：． 理由：由点的坐标的变化规律可知：横坐标依次增加1，纵坐标以3，0，，0为周期循环． ，，，为动点A在运动过程中的连续四点， ． 47．在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：________，________，________，________． (2)按此规律移动，为正整数，则点的坐标为________，点的坐标为________． (3)动点从点到点的移动方向是________．（填“向上”、“向右”或“向下”） 【答案】(1)，，，； (2)， (3)向下． 【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标； （2）由，，，，归纳可得：点的坐标（n为正整数）为；由，，，，归纳可得：点的坐标为 ； （3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得动点从点到点的移动方向． 【详解】（1）解：根据点的坐标变化可知： 各点的坐标为：，，，； （2）∵，，，， 归纳可得：点的坐标（n为正整数）为； ∵，，，， 归纳可得：点的坐标为 ； （3）∵每四个点一个循环， 所以． ∴动点从点到点的移动方向是向下． 【点睛】本题考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化发现规律，总结规律，运用规律． 48．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 【答案】(1)；； (2) (3)； 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）由题知， 因为，，，，， 所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(为正整数）． 令， 解得， 所以． 即点的坐标为． 同理可得， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，，． （2）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． （3）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 则点到轴的距离是4，到轴的距离是199． 故答案为：4，199． 49．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即按这样的运动规律，完成下列任务： (1)点的坐标为　　，点的坐标为　　；点的坐标为　　； (2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为　　，之间满足的数量关系为 　　． 【答案】(1)； (2)； 【分析】(1)观察点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，再运算求解； (2)根据(1)中的规律求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，， 点的坐标为，，的坐标为，； ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标一样， 点的坐标为，， 故答案为：，，，，，； （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ；， 故答案为：． 50．如图，每个小方格边长为1个单位长度，已知点，，，，，，，，… (1)将图中的平面直角坐标系补画完整； (2)按此规律，请直接写出点和的坐标：_____________，：_______________． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据点的坐标确定坐标轴即可； （2）根据图示及坐标系各象限横纵坐标符号特点即可得出答案； 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示，根据图示可知，， 故答案为：，. 【点睛】本题考查了点的坐标规律，找到规律是解题的关键． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题07 平面直角坐标系相关压轴题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 面积相关存在性问题】 1 【题型2 探究角的数量关系】 5 【题型3 最值问题】 9 【题型4 平移相关综合问题】 14 【题型5 规律性相关综合问题】 19 【题型1 面积相关存在性问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，． (1)点的坐标 ，点的坐标 ，四边形的面积 (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的3倍？若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图1，在平面直角坐标系中，已知、，过点作轴，垂足为点．点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于个单位长度．      (1)填空：___________，点的坐标为___________； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且、满足，点到轴的距离为，点在轴负半轴上，连接交轴于点．当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，． (1)把A、B、C三点的坐标，在坐标系中描出来，画出三角形； (2)把三角形向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到三角形；写出平移后，，三点的坐标，画出三角形； (3)求出三角形的面积，在x轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．连接，将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段（点与点对应）． (1)直接写出点，的坐标； (2)如图2，过点作轴于点，点在轴上，使与的面积相等，求的值： (3)如图3，在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知 (1)求的面积； (2)在y轴上是否存在点P，使得的面积等于的面积的2倍，并求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点M，使得的面积等于的面积的2倍，求出M点的坐标． 6．如图，在直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式，，．    (1)求，，的值； (2)在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在第二象限内有一点，是否存在点，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，，，满足． (1)求、两点的坐标及的面积； (2)若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)若是轴上方到轴的距离为6的一条直线，在直线上是否存在点，使的面积等于的面积，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的； (2)求的面积； (3)过点B 作直线轴，在直线1上是否存在一点P，使得的面积等于△ABC的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型2 探究角的数量关系】 11．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系 12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），则与存在怎样的数量关系？请直接写出来． 13．如图1，已知点，将线段向右，向上平移后得线段（点的对应点是点，点的对应点是点，点的坐标是，点的坐标是． (1)___________，___________，四边形的面积是___________； (2)如图2，连接，交轴于点，求点的坐标； (3)点从点出发，向轴正半轴方向运动，点在线段上运动，连接．并直接写出与之间的数量关系． 14．在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． (1)证明：； (2)过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 15．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接、、． (1)写出点C，D的坐标，并求出四边形的面积． (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的3倍？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点F是直线上一个动点，连接、，当点F在直线上运动时，求出与，的数量关系． 16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，； (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)分别是线段，上的动点，点从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，且满足，连接，交轴于点，并过点作轴于点． (1)求的面积； (2)当的坐标为，若轴上有一动点，使得，求出点的坐标； (3)如图，过点作交轴于点，当分别平分、时，写出与、的数量关系，并写出证明过程． 18．如图，在平面直角坐标系中，点满足，轴，垂足为，    (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，若点在轴上，连接，使，求点的坐标； (3)如图2，是线段所在直线上一动点，连接，为轴负半轴上一点，平分，交直线于点，作，当点在直线上运动过程中，请探究与的数量关系，并证明． 19．如图1，在平面直角坐标系中，、、，其中a、b满足：．平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上． (1)点C坐标 ，点D坐标 ； (2)如图1，将点E向下移动1个单位得到点P，连接、，在y轴上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由； (3)如图2，点H是射线上一动点，与点O、D不重合，连接不过点C，若与的平分线交于点M，直接写出与的数量关系． 20．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足， (1)直接写出M、N的坐标：M（0，_____），N（_____，0）； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴的正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为秒． ①如图1，当时，设，求与的比值； ②如图2，当与互补时，在线段上任取一点E，连接．点G为的角平分线上一点，连接，且满足，设、，和，请直接写出，，三者之间的数量关系． 【题型3 最值问题】 21．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知点，，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．连接，，． (1)直接写出点的坐标： ； (2)若点是轴上一点，的长是否有最小值？若有，直接写出最小值；若没有，说明理由； (3)第二象限内有一点，若点到轴的距离与点到轴的距离相等，试写出一个满足要求的点的坐标． 22．在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点与点的“禾距”，记为，即．若点在线段上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点的“围差”，记为．如图1，已知点，． (1)点与点的“禾距”的值为______； (2)已知点在轴上，线段关于点的“围差”为，则点的坐标为______． (3)若点与点的“禾距”为． ①请在图中画出所有符合题意的点组成的图形： ②的最小值为_______． 23．对平面直角坐标系中的任意两点和，我们定义为点和点的“绝对和距离”，记作，即． (1)在点，，，中，与原点“绝对和距离”为6的点是 ． (2)已知点，，点在线段上，则的最大值为 ，的最小值为 ． (3)已知点，，，，以点、、、为顶点组成四边形． ①若是四边形上一点，点坐标为，若存在，直接写出的取值范围 ． ②若四边形上存在一点，使得，则的最大值为 ，最小值为 ． 24．在平面直角坐标系中，有个点，记为：，，…，若这个点的横坐标的最大值记为，纵坐标的最大值记为，将【，，…，】记为这个点的“和值”． 例如：对于，则“和值”【，】． 已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标为、、、，边与轴交于点． (1)“和值”【，，】______； (2)已知，过点作直线轴，直线与直线、分别交于点、记【、、、】． ①当时，______； ②当点在轴上运动时，判断有最大值还是最小值，并写出的最大或最小值以及相应的点的坐标． 25．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，现同时将点A，B分别先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接、、． (1)请直接写出点C和D的坐标并求出平行四边形的面积； (2)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，假设线段上有一动点F，分别连接，当点F在线段上来回运动时，三角形面积的最大值为________，最小值为________． 26．在平面直角坐标系的位置如图所示（注：图中每小正方形的边长均为1）． (1)请画出关于y轴对称的图形（分别是的对应点，不写画法）；直接写出三点的坐标：_______，_______，_______； (2)的面积是_______； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，则最小值为_______． 27．在平面直角坐标系中，已知点．如果存在点，满足，，则称点为点的“控变点”． (1)点的“控变点”的坐标为________； (2)已知点的“控变点”的坐标为，求，的值； (3)长方形的顶点坐标分别为，，，． 如果点在第二象限，且点的“控变点”在长方形的边上或内部，直接写出的最大值与最小值． 28．对于平面直角坐标系中的点和图形W，给出如下定义：若图形W中的任意一点满足且，则称点P为图形W的一个覆盖特征点． 例如：已知，，则点为线段的一个覆盖特征点． (1)已知点， ①在，，中，是三角形的覆盖特征点的为　　　； ②请在平面直角坐标系中用阴影表示三角形的覆盖特征点组成的图形． (2)点N是坐标轴上的动点．若点是三角形的覆盖特征点，且的最小值为6，请求出点N的坐标． 29．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； (3)若点为轴上一点，则的最小值为____________． 30．请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），，b为的整数部分． (1)a＋b＋c＝　 　； (2)点P为坐标平面内的一个动点，若S△PBC＝2S△ABC，求点A与点P距离的最小值； (3)如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 【题型4 平移相关综合问题】 31．如图，已知点，将点向右平移4个单位长度，得到点，连接．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到线段，连接，． (1)请直接写出点的坐标； (2)连接，求三角形的面积； (3)点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向上平移运动，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)在（3）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴向左平移运动，设射线交轴于点．问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 32．在平面直角坐标系中，已知线段，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示． (1)平移线段到线段，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，若点D的坐标为，求点C的坐标． (2)平移线段到线段，使点D在轴的负半轴上，如图2，连接，若三角形的面积为10，求点C、D的坐标． (3)在（2）的条件下，将三角形沿轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，同时点P从D点出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒，请直接写出当等于多少时，三角形的面积与三角形的面积相等． 33．在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形的边上，则称点是线段的“方田点”． 已知点的坐标为，点的坐标为． (1)在这四个点中，___________是线段的“方田点”； (2)点，若线段上存在线段的“方田点”，则的取值范围是___________； (3)点，点是线段的“方田点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“方田点”都是线段的“方田点”，直接写出的取值范围． 34．如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； (3)如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E，连接，，若的面积为23，求d的值； (4)如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）将沿轴向左平移，平移后点的对应点为点，点的对应点为点，点的对称点为点，当点到达点时，停止平移，设平移的距离为． ①当点在直线上时，求的面积； ②当与四边形重合部分的面积为2时，请直接写出的值． 36．如图1，在直角坐标系中直线与、轴的交点分别为，，且满足. （1）求、的值； （2）若点的坐标为且，求的值； （3）如图2，点坐标是，若以2个单位/秒的速度向下平移，同时点以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是秒，若点落在内部（不包含三角形的边），求的取值范围． 37．如图①，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2m-6，0)，B(4，0)，C(-1，2)，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于6个单位长度． (1)m的值为_________； (2)在x轴上是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，把线段AB向上平移2个单位得到线段EF，连接AE，BF，EF交y轴于点G，过点C作CD⊥AB于点D，将长方形GOBF和长方形AECD分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AECDA运动，当长方形GOBF与长方形AECD重叠面积为1时，求此时点M的坐标． 38．在平面直角坐标系中，点，，，且满足，过点C作轴，D是上一动点． (1)求的面积； (2)如图1，若点C向左平移3个单位得到D点，则D点的坐标为_____，三角形与三角形的面积大小有什么关系_____（填“大于”，“小于”，“相等”或“不相等”）； (3)如图2，若，P是上的点，Q是射线上的点，射线平分，射线平分，，请你补全图形，并求的值． 39．已知点，点，点，且．将线段平移得到线段，点A的对应点是点B． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，过点D作轴于点E，作轴于点F，点P在射线上．连接交直线于点Q，以F、O、E、Q为顶点的四边形记为，的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 40．如图，平面直角坐标系中，，，，，． (1)求的面积； (2)如图2，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒2个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，，，在同一直线上，求的值； (3)如图3，点在线段上，将点向右平移4个单位长度至点，若的面积大于14，求点横坐标的取值范围． 【题型5 规律性相关综合问题】 41．如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 42．综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 43．在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 44．如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形，变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形变换成，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)若按（1）题找到的规律，将三角形进行次变换，得到三角形，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 45．如下图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，⋯，顶点依次用表示． (1)请直接写出点的坐标． (2)根据规律，求出点的坐标． 46．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 47．在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：________，________，________，________． (2)按此规律移动，为正整数，则点的坐标为________，点的坐标为________． (3)动点从点到点的移动方向是________．（填“向上”、“向右”或“向下”） 48．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 49．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即按这样的运动规律，完成下列任务： (1)点的坐标为　　，点的坐标为　　；点的坐标为　　； (2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为　　，之间满足的数量关系为 　　． 50．如图，每个小方格边长为1个单位长度，已知点，，，，，，，，… (1)将图中的平面直角坐标系补画完整； (2)按此规律，请直接写出点和的坐标：_____________，：_______________． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $