专题02 相交线与平行线“拐点”压轴题分类训练（5种类型50道）-2025-2026学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦相交线与平行线拐点问题，通过5类50道题构建"模型分类-动态探究-实际应用"的递进训练体系，强化几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |探究数量关系|10道|辅助线构造（过拐点作平行线）、角平分线转化|从静态角关系到动态位置分类，构建"平行线-拐点-多角转化"模型| |三角板相关|10道|三角板特殊角应用、动态旋转分类讨论|结合工具特殊性，强化空间观念与动态几何推理| |存在性问题|10道|方程思想判定位置关系、分类讨论临界点|从定性分析到定量计算，培养数学思维的严谨性| |旋转相关|10道|旋转角度动态表示、多情况分类整合|通过旋转运动建立角度变化规律，发展创新意识| |实际问题|10道|数学建模（光线反射/机械臂运动）|将实际场景抽象为几何模型，提升应用意识与实践能力|

弈泓共享数学 专题02 相交线与平行线“拐点”压轴题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 探究数量关系】 1 【题型2 三角板相关拐点问题】 21 【题型3 存在性问题】 52 【题型4 旋转相关拐点问题】 75 【题型5实际问题相关拐点问题】 106 【题型1 探究数量关系】 1．如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②；③；理由见解析 (2)不同，见解析 【分析】（1）作，根据平行线的性质，结合角平分线的定义以及角的和差关系推出，再逐一进行作答即可； （2）分三种情况分别画图，作答即可． 【详解】（1）解：作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，； ③， 理由：由上可知：， ∴； （2）解：不同，当点在之间时，分2种情况： ①如图：作，则， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ②如图：作，则， 则：， ∴， 由①知：， ∴， ∴； 当点在下方时，如图： 同（1）法可知：． 2．（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，由平行线的性质得，，则； （2）过点作，由平行线的性质得，再由平角的定义即可求解； （3）过点作，由平行线的性质得，则，再由（2）得，则，进而求解即可． 【详解】解：（1）过点作，如图1所示： ， ． ． ． 故答案为：； （2）过点作，如图2所示： ， ． ， ， ， 和之间的数量关系为：； （3）分别是和的平分线， ，， 过点作，如图3所示： ， ． ， ， 由（2）得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 3．综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）不成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用平行线的性质即可解答； （2）作，利用平行线的性质即可解答； （3）过点作，利用平行线的性质和角平分线的计算即可解答． 【详解】（1），， ， ，， ； （2）不成立，理由如下： 如图，作， ，， ， ，， ，即； （3）如图，过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， 在四边形中，． 4．综合与探究    (1)如图1，，，则与之间的数量关系为_；如图2，，，则与之间的数量关系为_． (2)在图3中，，，，，求的度数． (3)在图4中，，，，平分，试探究、与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，同位角相等，等量代换，即可；平行线的性质，内错角相等，同旁内角互补，即可； （2）根据平行公理，平行线的性质，即可； （3）延长，交于点，根据平行线的性质，得，，，根据等量代换，得，再根据平角等于，等量代换，即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）延长，交于点， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴．      【点睛】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，平角的性质． 5．如图，直线与线段，直线交于点、，，点为直线上一点（不与点重合），连接，过点作射线，交于点（点在点之间）． (1)若点在线段上． ①如图1，若为钝角，，求的度数； ②如图2，若为锐角，判断与的数量关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①作，由平行线的性质得，由垂直的定义得，进而求出，再证，根据平行线的性质可得答案；②作，同①可得； （2）作，同（1）利用平行线的判定和性质求解． 【详解】（1）解：①如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②，理由如下： 如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：． 证明：如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 6．已知直线，直线、都不经过点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查根据平行线的判定和性质探究角的关系，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）作，则，根据平行线的性质即可求解； （2）作，则，根据两直线平行，同旁内角互补，可得，，进而可得； （3）作，则，根据两直线平行，内错角相等，可得，，进而可得． 【详解】（1）解：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴ ∴， 即； （2）解：， 证明：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：， 理由：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 要探究和的数量关系，先延长DC交BE于点K，交BP于点T，借助的平行线性质得到角的等量关系，结合平分、的条件推导角相等，再利用平角的定义得出两者的数量关系； (2) 要探究和∠F的数量关系，设角平分线分后的角为未知数，利用的性质表示，结合角的和差关系表示，进而推导两者的数量关系． 【详解】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的定义，掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补；角平分线将角分为相等的两部分是解题的关键． 8．如图，，E是两直线内部一点． (1)与的平分线交于H点，探究与之间的数量关系，说明理由．    (2)如图，①，直接写出与之间的数量关系．    ②若，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）如图1，过作，过作，则，，由与的平分线交于H点，可得，，由，，可得，，，，则； （2）①、②求解证明过程同（1）． 【详解】（1）解：如图1，过作，过作，则，，    ∵与的平分线交于H点， ∴，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴； （2）①解：如图2，过作，过作，则，，    ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②解：同理①可求，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 9．经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，则__________； (2)如图2，，点P在直线上方，探究之间的数量关系，并证明： (3)如图3，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明： (4)如图4，，点P在直线上方，分别是的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．请直接写出与之间的数量关系．（请自行画图分析） 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 (4) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，过作，则，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，过作，则，同理（1）可得，，则； ∴； （3）由平分，平分，可得，设，则，，，如图3，过作，过作，由（2）可知，，由，可得，同理（1）可得，则，由，可得，整理作答即可； （4）由题意作图，如图4，由，设，，，，则，，，，则，即；，即；由（2）可知，，如图4，过作，过作，则，同理（1）可得，，，同理，，由，可得． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：；证明如下； 如图2，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下； ∵平分，平分， ∴， 设，则，，， 如图3，过作，过作， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：由题意作图，如图4， ∵， ∴设，，，，则，，，， ∴，即； ∴，即； 由（2）可知，， 如图4，过作，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴． 10．如图1，点在直线上，点在直线上，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在上有一点，连接． ①当时，与存在怎样的数量关系？并说明理由； ②当时，请直接写出与之间存在的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①．见解析，② 【分析】此题考查了平行线的性质和判定、角的和差等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）过点G作，则，再证明，得到，即可证明结论； （2）①证明，由即可得到结论；②证明，由即可得到结论． 【详解】（1）解：， 理由如下：如图，过点G作， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； （2）①， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴； ② ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ 【题型2 三角板相关拐点问题】 11．【实践与探究】在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板ABC模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，． 他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的______； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板以每秒的速度绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动的过程中，设三角板转动的时间为t（单位：），那么当三角板转动几秒时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的t的值． 【答案】(1)15 (2)①；② (3)10或25或40 【分析】（1）根据三角板中角度的特点和平行线的性质可得出的度数； （2）①根据平行线的性质和邻补角计算即可；②过点作，根据平行线的性质得出； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：①， ， ； ②如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：①当时，点在同一条直线上， ， ； ②当时， ∵，即， 又 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③当时，如图， ， ， ； 综上所述，t的值为10或25或40． 12．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1)； (2)平分，理由见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得；根据平角定义求得，最后根据平行线的性质求得即可； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴； （2）解：平分，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时，, ∵， ∴； ②如图2，当时， ∵，， ∴三点在同一条直线上， ∴， ∵ ∴； ③如图3，当时， ， ， ∵， ∴； ④如图4，当时，则， 又， ∴点在上， ∴． 综上所述，的度数为或或或． 13．如图，直线，在一副三角板和中，，，，，． (1)将三角板如图1摆放，边与直线交于点O，顶点B落在直线上，当平分时，直接写出__________； (2)将一副三角板如图2摆放，三角板的边与直线交于点R，三角板的顶点D落在直线上，，边与边在同一直线上，且B与E重合，分别作和的平分线相交于点T，求的度数； (3)将一副三角板如图3摆放，三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且，直接写出所有满足边与三角板某一边平行的t值为__________． 【答案】(1)30 (2) (3)30或120或165 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质、添加恰当的辅助线、采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）过点作，则，推出，根据角平分线的定义得到，结合即可求解； （2）分别过点作，则，同理（1）即可求解； （3）分三种情况，画出示意图，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，则， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：分别过点作，则， ∵， ∴， 由题意得：， ∴，， ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当时，延长交于点L， 根据题意：， ∵， ∴， 同理（1）得， ∴， 解得：； 如图，当时，延长交于点K，过点作，则， 根据题意：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 如图，当时，延长交于点X，过点作，则， 根据题意：， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理（1）得， ∴， 解得：； 综上，当与三角板某一边平行时，t值为30或120或165． 故答案为：30或120或165． 14．在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与动态三角板的变换”为主题展开探究．已知，两块直角三角板和． (1)当三角板按如图1摆放时，延长交于G，是的角平分线，则 °， °． (2)在（1）的条件下，将直角三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①直角三角板和固定不动，作平分，当时，求t的值； ②若直角三角板旋转的同时直角三角板也以每秒的速度绕点B逆时针旋转，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)120；30 (2)①或；②的值为，，， 【分析】（1）根据，，求出，根据角平分线定义求出；根据平行线的性质求出． （2）①分两种情况：当在右方时，当在左方时，分别画出图形进行求解即可； ②当时，分成两种情况和当时，分成两种情况，共四种情况分别讨论，结合平行线的性质，邻补角，一元一次方程的应用，三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴； ∵， ∴． （2）解：①当在右方时，如图所示： 根据旋转可知：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， 解得：； 当在左方时，如图所示： 根据旋转可知：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， 解得：； 综上分析可知：此时或； ②当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； 当时，第一种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况：延长交于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴当时，或； ∴当边与三角板的一条直角边平行时，的值为，，，． 【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，角平分线的定义，一元一次方程的应用，三角形内角和的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)度 (2)①或；②或或或 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，再根据平行线性质得，结合角平分线求出，进而求出，最后由平角求出． （2）①分在右边和左边两种情况，根据旋转性质表示出，结合角平分线定义及角的和差关系列方程求解．②分和两大情况，每种情况再细分小情况，利用平行线性质、旋转性质，结合角的和差关系列方程求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①依题意有以下两种情况： （ⅰ）当在的右边时，如图所示： 由旋转的性质得：， 由（1）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：； （ⅱ）当在的左边时，如图所示： 同理得：， ∴ 由得：， ∴， 解得：， 综上所述：的值为或； ②当边与三角板的一条直角边平行时，有以下两种情况： （ⅰ）当时，又有两种情况： （）延长交于点，如图所示： ∵， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， 解得：； （b）延长交于点，如图所示： 同理得：，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，的值为或； （ⅱ）当时，又有两种情况： （）延长交于点，如图所示： 同理得：，，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：； （b）延长交于点，如图所示： 同理得：，，，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 解得：． ∴当时，的值为或； 综上所述：当边与三角板的一条直角边平行时，的值为或或或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及图形的旋转，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ）、角平分线的定义（将一个角分成两个相等的角 ）、三角形内角和定理（三角形内角和为 ）以及准确分析图形旋转过程中角的变化关系是解题的关键． 16．在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，请直接写出满足条件的t值． 【答案】（1）；（2）40或100；（3）15 或105 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理． （1）先由平角的定义得到，再由平行线的性质即可得到； （2）当在上方时，延长交于T，先由平行线的性质得到，则，当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有，据此求解即可； （3）分解析中两种情况，画出对应的图形，根据角之间的关系，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）分以下两种情况： 如图所示，当在上方时，延长交于T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有， ∴； 综上所述，当旋转到时，t的值是40或100； （3）分以下两种情况： 如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，设直线分别交、于P、T， 此时，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 综上：所有满足条件的t的值为15 或105． 17．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】操作判断： 迁移探究： 拓展应用：不变， 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点构造平行线是解题的关键： [操作判断]：过点E作，则，从而，，进而可得与的数量关系； [迁移探究]：对顶角相等，结合（1）中结论进行求解即可； [拓展应用]：过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】［操作判断］：如图1，过点E作 ， ，， ∵ ∴    故答案为： ［迁移探究］：如图2，由（1）可知： ，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ［拓展应用］：不变， 理由如下：过点E作 ， ， 设，则， 、分别平分、 ， 18．综合与探究 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．    (1)如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有角的直角三角板的斜边与重合，含角的直角三角板的一个顶点在直线上，已知，求的度数． (2)如图2，在图1的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点逆时针方向旋转，使得点恰好在上，边与交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板固定不动，直角三角板绕着点逆时针旋转（旋转度数小于），设边（或的延长线）与相交于点，当斜边与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出（即）的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算； （1）过点作，则，，根据，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，得出，根据，即可求解； （3）分三种情况讨论，分别画出图形，，，，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ （2），理由如下， 过点作，    ∵， ∴ ∴，， ∴ 即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， （3）解：如图所示，当时，则    ∵ ∴ ∴ ∴； 当时，如图所示，延长交于点，过点作    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， 当时如图所示，    此时旋转度数大于，不合题意 综上所述，或 19．在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差运算，构造平行线是解题的关键． （1）由，得，由即可求解； （2）；过A作，则得，从而得，则可判定； （3）①过A作，过D作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，从而得与之间的关系； ②过A作，过C作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，，从而得、与之间的关系； 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图，过A作， ， ， ， ； ， ； （3）解：①如图，过A作，过D作， ，； ， ； ， ； ， ， ， ； 故答案为：； ②如图，过A作，过C作， ，； ，；， ； ， ； ，， ， ， 即， ． 故答案为：． 20．如图，．现将一块含的三角板按如图放置，，，点E、F分别在直线、上．设，的角平分线所在的直线交直线于点H． (1)如图1，若，则的度数为________； (2)如图2，当时，请问与的位置关系是什么？说明必要的理由； (3)在（2）的条件下，若点P是射线上的一点，将三角板绕着点E以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点P以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．请直接写出当射线与三角板的一边平行时的度数．（本题涉及的角均大于且小于） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）根据平行线的性质求出的度数，然后根据角平分线的定义求解即可； （2）根据平行线性质求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，则可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可判断； （3）动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 是的角平分线， ； （2）解： 理由： ，， ， ， ， 是的角平分线， ， ； （3）解：，， ， 设转动时间为， 当时，延长至点Q，如图， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：， ， 是的角平分线， ， ； 当时，如图 ， 由题意知得， ∴， 解得， ， 是的角平分线， ， ； 如图，当时，延长交于点T，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 是的角平分线， ， ； 如图，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：， ， 是的角平分线， ， ， ， 综上，当与的一边平行时，的度数为或或或． 【题型3 存在性问题】 21．【追本溯源】在学习第二单元《相交线与平行线》时，小明遇到了课本页这样一个问题：如图1，，直线与平行吗? 【知识回顾】直线与是否平行?如果是，请你说明理由． 【问题推广】今年除夕夜，小明江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图2，两岸所在直线与平行，即，灯射出的光线从开始以秒顺时针旋转，灯射出的光线从开始秒顺时针旋转，设时间为，若射线顺时针旋转后停止，是否存在某一时刻，射线与垂直?若存在，请你求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【拓展提升】零点时刻，口岸熄灯，岸边灯和灯同时亮起．此时，，，灯和灯发出的光线和分别绕着点和点以秒和秒的速度同时顺时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在和平行?若存在，请你求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】【知识回顾】：平行，理由见解析；【问题推广】：存在，；【拓展提升】存在，或 【详解】解：【知识回顾】，理由如下： ，， ， ； 【问题推广】解：设射线、交点为，过点作， ，， ， ，， ， ， ， 解得：； 【拓展提升】①当射线，在直线不同侧时， ，， ，， ， ， ， 解得：； ②当射线，在直线同侧时， ，， ， ， ， ， 解得：； 综上所述：的值为或． 22．线段与线段互相平行，是平面内的一点，且点不在直线，上，连接，．射线，分别是和的平分线． (1)若点在线段上，如图所示． ①依题意补全下图； ②判断与的位置关系，并证明． (2)是否存在点，使？若存在，写出，需要满足的关系，并证明满足这种关系时，；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析； (2)存在，，证明见解析． 【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②根据平行线的性质及判定进行论证即可； （2）根据平行线的性质及判定进行论证即可． 【详解】（1））解：①先连接，再在上取一点，然后分别作和的平分线，如图①所示： ②； 证明：平分，平分， ，． ， ， ， ； （2）答：当点在直线上，位于与两平行线之外， 时，， 证明：如图②所示， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的定义是解题关键． 23．在太空模拟实验中，有两条互相平行的观测轨道和．如图1，空间望远镜甲位于轨道上的A点，望远镜乙位于轨道上的B点，且．望远镜甲的观测射线绕点A从方向开始，以每秒的速度顺时针旋转观测，望远镜乙的观测射线绕点B从方向开始，以每秒的速度逆时针旋转观测，当甲望远镜观测射线旋转至与重合时，两台望远镜同时停止转动． (1)当观测时间时，______，________． (2)在整个观测过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时观测时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6；10 (2)或 【分析】（1）由平行线的性质可得，求出时，两条射线转过的角度，再根据角的和差关系求解即可； （2）分，，和四种情况，用含t的式子表示出，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 当观测时间时，射线转过的角度为，即，射线转过的角度为，即， ∴，； （2）解：，，，， 当时，，， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，，， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，，， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当时，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或． 24．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，满足． (1)如图1，求证：．下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：（已知）； （______）． ∵EFGH（已知）； ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（    ）． (2)如图2，过F点作交GH延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；等量代换 (2) (3)存在，定值为 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握平行线的性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）根据平行线的性质，结合等量代换进行证明即可； （2）过点N作，设、，进而得到，结合垂线的性质得到，进而得到，从而得到； （3）由结合（2）中的结论，得、，进而得到，及，由角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到，进而得到，从而计算的值． 【详解】（1）证明：（已知）； （两直线平行，内错角相等）． （已知）； （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；等量代换； （2）解：如图2，过点N作， ， ， 、， 、是、的角平分线， ∴、， 设、， 、， ， ， 、， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，设、， ， ， ， ， ， 、， ， ， 、， 平分， ， ， ， ， ． 25．厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)存在，当秒时，，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，列一元一次方程和解方程等知识点，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可得，再根据角平分线的定义，得，，等量代换即可求解； （2）过点P作，根据平行公理的推论，得，再根据平行线的性质，得，，等量代换即可求解； （3）根据题意，易得，，，根据t的取值范围分5种情况讨论，从而用含t的式子表示出和，再根据，列方程，求解判断即可． 【详解】（1）解： ， 平分，平分， ，， ； （2）结论：，理由如下： 如图，过点P作， 则， ， ， ， ； （3）存在，当秒时，，理由如下： 由题意得：，， ， ， 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 当时，，， ， ，解得（舍去）； 综上，在这个过程中，当秒时，． 26．如图，已知，点，分别在直线，上，平分交于点，平分交于点． (1)如图，求的度数； (2)如图，已知点为直线上一点．若点位于点的左侧，且满足． 线段，有何位置关系？请说明理由； 如图，若，过作平分交于点，过作平分交于点．线段绕点以的速度顺时针旋转；线段绕点以的速度逆时针旋转，点的对应点为；线段绕点以的速度顺时针旋转，点的对应点为，当与射线重合时，立刻改变旋转方向，当与射线重合时，再次改变方向，速度始终保持不变，如此循环往复．已知三条线段同时开始旋转，且当线段回到原位置时，三条线段同时停止转动．设运动时间为，请问是否存在时间，使得且？若存在，请直接写出所有满足要求的的取值并给出其中一个值的求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析；存在， 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，结合角平分线的性质得到的度数，再根据三角形内角和定理求得的度数； （2）根据平行线的性质得到，，，结合已知的等量代换得到，最后根据平行线的判定定理即可得证；根据线段的旋转规律，分情况讨论： ，，，，，根据且列等量关系，解方程即可得解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）解：，理由如下： ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； ，， ， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 线段绕点以的速度顺时针旋转，线段绕点以的速度逆时针旋转，点的对应点为，线段绕点以的速度顺时针旋转，点的对应点为，设运动时间为， 当与射线重合时，立刻改变旋转方向，此时； 当与射线重合时，再次改变旋转方向，此时； 当线段回到原位置时，三条线段同时停止转动，此时； 当时，，，， ， ，， ，， 即，解得，故此情况不存在， 当时，，，， ，， ，， 即，解得，故此情况不存在， 当时，即，，，， ，， ，， 即，解得，故此情况不存在， 当时，即，，，， ，此情况不存在， 当时，即，，，， ，此情况不存在， 当时，，，， ，此情况不存在， 综上，存在，满足要求的的取值为． 27．在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．    (1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数； (2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，；，；， 【分析】（1）先求出，再利用两直线平行同旁内角互补求出的度数，根据即可得出结果； （2）利用平行线性质得到，，，平分，平分，得到，根据，即可得到最后结果； （3）根据四边形的内角和及平行线的性质得出关于和的关系式，根据题意得出的范围，在范围内找到和都是正整数的所有可能的情况． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）如图，过点作，   ， ， ，，， 平分，平分， ，， ，， ； （3），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，是正整数， 存在符合要求的正整数和，分别为： 当时，，不符合题意，舍去； 当时， ，符合题意； 当时，，不是整数不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 【点睛】本题考查平行线的性质，利用平行线的性质、角平分线的定义、四边形的内角和等知识把问题解决，其中作平行线、分类讨论是解决本题的关键． 28．在综合实践课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． 【操作发现】 （1）如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，求的度数． 解：如图1，过点作直线． 因为，所以， … 请你将上面的解题过程补充完整； 【探索发现】 （2）如图2，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，当点在直线上方，点在直线和（点为直线上一点）之间时，若存在，请求出射线与直线所夹锐角的度数． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查根据平行线的性质探究角的关系，掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作直线，则，由平行线的性质得，，结合，可得，即可求解； （2）如图2，由（1）可知，得出，结合，可得，整理得； （3）由，结合求出，进而可得，再由得出，即可求解． 【详解】解：（1）补充完整的解题过程如下： 如图1，过点作直线． 因为， 所以， 所以，． 因为， 所以， 所以． （2）． 理由如下： 如图2，由（1）可知， 所以． 因为， 所以， 所以． （3）如图3，因为， 所以， 解得， 所以． 因为，所以， 所以， 所以射线与直线所夹锐角的度数为． 29．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺中，，．    (1)如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，求的度数； (2)如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A，C始终在直线为直线b上一点）的上方，若存在，射线与直线a所夹锐角的度数为： ．（直接填空） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，平等公理的推论，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作直线，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数； （2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系； （3）先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数． 【详解】（1）解：过点作直线，如图1所示：   直线， ∴， ，， ， ， ，， ． （2）解：与间的数量关系是：，理由如下： 如图2所示： ，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 即， （3）解：如图3所示：   ，， ， 设， 则， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ． 30．如图，点C在射线BE上，点F在线段AD上，CD平分∠FCE，∠FDC＝∠FCD． (1)当时，求∠ABC； (2)点N是线段FD上一点，点P是线段CD上一点，连接AC，FP．若CA为∠BCF的角平分线，∠NCD∠ACF，，探究直线CD上是否存在一点Q，使得FQ＜FP． 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）利用CD平分∠FCE和∠FDC＝∠FCD，推出∠DCE＝∠FDC．进而证明，利用平行线的性质得，即可求解． （2）先证，再证，得到，利用垂线段最短，可知直线CD上不存在一点Q，使得FQ＜FP． 【详解】（1）解：∵CD平分∠FCE， ∴∠DCE＝∠FCD． ∵∠FDC＝∠FCD， ∴∠DCE＝∠FDC． ∴． ∴， ∵， ∴； （2）解：∵CA为∠BCF的角平分线， ∴∠BCA＝∠ACF． ∵，， ∴， ∴， 设，， ∵ ∠NCD∠ACF， ∴， ∵， ∴①， ∵， ∴②， 由①②消去y得：， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴直线CD上不存在一点Q，使得FQ＜FP． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，以及垂线段最短等知识点，解题的关键是根据所给角度之间的关系推导出，从而证明． 【题型4 旋转相关拐点问题】 31．如图1，已知，点分别在上，且，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，速度是/秒，如此循环往复，射线绕点顺时针旋转至，速度是/秒．当射线停止转动时，射线也随之停止． (1)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为秒（），两条旋转射线交于点． ① ； ②过作交于点．求出与的数量关系； (2)若射线先旋转秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为秒（），若旋转中，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②； (2)的值为或． 【分析】（1）①根据题意得，，，通过即可求解；②由①得，，，过点作，根据平行公理的推论推出，求出，再根据垂直的性质求出，最后对进行比较即可求出数量关系； （2）先设旋转后为，那么，即，根据题意得：，，根据，求出，再进行分类讨论：①当，即时，②当且，即时，③当且，即时，分别根据，根据平行的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，，， ∵，， ∴， ∴； ②由①可知，，，， 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，设旋转后为， 那么，即， 根据题意得：，， ∵当射线停止转动时，射线也随之停止， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 分类讨论： ①当，即时， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， 解得：； ②当且，即时， 如图， ∵， ∴， 则， 解得：， ③当且，即时， 如图， ∵， ∴， 即， 解得：（舍）． ∴综上，的值为或． 32．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【答案】(1)①，理由见解析；②能，秒或秒 (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（）①设与相交于点，过点作，可得，利用平行线的性质可得，即可求解；②设灯的旋转时间为秒，分回转时和回到时两种情况解答即可求解； （）设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出方程解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 两灯旋转秒时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②能．设灯的旋转时间为秒， 如图，当回转时，，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得； 当回到时，如图， ， ∴，此时； 综上，除①中情况之外，当灯的旋转秒或秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直； （2）解：设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行， 如图，当到达前与平行，设与相交于点， 由题意得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当到达后回转时与平行，设与相交于点， 则，， 同理上可得，， 即， 解得； 如图，当回转到后再次往旋转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 如图，当再次到达后回转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 综上，灯旋转秒或秒或秒或秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 33．如图所示，，的顶点E，F分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图1，平分，，则的度数． (2)如图2，已知点为延长线上一点，且，请用含的式子表示的度数，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当首次旋转到直线上时，立刻绕点逆时针以原速旋转，当旋转到直线上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出当时的旋转时间的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，角平分线的定义，正确根据题意画出对应的图形并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）如图所示，过点作，则，由平行线的性质得到，，，即可推出，利用平角的定义求出，再利用角平分线的定义推出即可得到答案； （2）如图所示，过点作，则，由平行线的性质得到，，由平角的定义得到，再利用角平分线的定义和角度之间的关系求出，即可． （3）由题意得，首次到的时间为，首次到的时间为；当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线，当时，建立方程求解即可；当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线，当时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作， ，， ， ，，， ， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ． （2）解：，理由如下： 如图2所示，过点作， ，， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． （3）解：由题意得，首次到的时间为，首次到的时间为； 当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线， 当时，则， 解得； 当时，如图所示，可以把线段，，，的端点放在同一个位置，当两线段平行的时候，即这两条线段共线， 由（2）的结论可知， ； ④当时，则或， 解得或（舍去）； 综上所述，或． 34．已知点B，D分别在和上，且． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，平分，的反向延长线交于点M，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，平分，平分．在（1）的条件下，将射线绕点D以每秒顺时针旋转，同时将射线绕点B以每秒逆时针旋转．当射线旋转时，射线与射线均停止运动．设旋转时间为t秒．在旋转过程中，当与相互平行时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，角的和差关系； （1）过点作，利用平行线的传递性与内错角相等，将、与建立关系求解； （2）过点作，结合角平分线定义与平行线性质，由和，即可得出与的数量关系； （3）当时，利用直线截射线与射线，所成的同位角即可建立方程求解；当时，利用直线截射线与射线的反向延长线，所成的同位角即可建立方程求解． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ， ， ，， ， ，即， ，， ． （2）解：，理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ，， 平分，平分， ，， 的反向延长线交于点， ， ， 由（1）知， ， ． （3）解：由（1）得， 平分，则， ， ， 平分， ∵射线旋转时，射线与射线均停止运动， ∴， ∵射线绕点顺时针以旋转，秒后旋转到的位置， ∴， ∵， ∴， ∵秒， ①当时，绕点逆时针以旋转，秒后旋转到的位置，交于点， ∴， ∴当时，可得， ∴，解得：， 此时，，如图所示： ②当时，此时与重合，与不平行，不符合题意； ③当时，的反向延长线，交于点， ∴， 又∵当时， ， ∴，即要使， ∴，解得：， 此时，，如图所示： 综上：或． 35．如图1，已知，点A，B分别在，上，且，射线绕点A顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是a°/秒），射线绕点B顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是b°/秒）、且a、b满足， (1)_____________，____________； (2)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒（），两条旋转射线交于点C，过C作交于点D，求与的数量关系； (3)若射线先旋转20秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为t秒（），若旋转中，求t的值． 【答案】(1)， (2) (3)或8 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到a，b的值； （2）由题意可得∠BAC＝3t﹣135°，再根据PQ∥MN即可得到∠BCA＝∠CBD+∠CAN，从而可得∠BCA＝180°﹣2t，再根据∠ACD＝90°，可得∠BCD＝2t﹣90°，从而可得∠BAC：∠BCD＝3：2，即可得出结论； （3）分三种情况讨论，列出方程即可得到射线AM、射线BP互相平行时的时间． 【详解】（1）解：（1）∵a、b满足|a﹣3|+（b﹣1）2＝0． ∴a﹣3＝0，b﹣1＝0， ∴a＝3，b，1， 故答案为：3，1； （2）解：由题意得∠CAM＝3t，∠CBD＝t， ∵∠CAN＝180°﹣3t，∠BAN＝45°， ∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°， 过点C作CE∥PQ， ∴∠CBD＝∠BCE＝t， ∵PQ∥MN， ∴CE∥MN， ∴∠CAN＝∠ACE＝180°﹣3t， ∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB， ∴∠ACB＝CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t， ∵CD⊥AC， ∴∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠ACB＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°， ∴∠BAC：∠BCD＝3：2， 即2∠BAC＝3∠BCD； （3）解：∵t＜160， ∴（20+t）×1＜180，3t＜480，即射线BP旋转的角度小于180°， ①当3t＜180，即0＜t＜60时， 3t＝（20+t）×1， 解得：t＝10； ②当180＜3t＜270且（20+t）×1＞90，即70＜t＜90时， 3t﹣180+（20+t）×1＝180， 解得：t＝85； ③当360＜3t＜480且（20+t）×1＞90，即120＜t＜160时， 3t﹣360＝（20+t）×1， 解得：t＝190（不合题意，舍去）； ∴若旋转中AM∥BP，t的值为10或85． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质，旋转的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． 36．如图，，的顶点，顶点分别在直线，直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图（1），已知平分，，则_____； (2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数； (3)在（2）间的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，求旋转过程中与的边平行时的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）过点作，得到，推出，，，根据题意可求出，由平分，可得，即可求解； （2）过点作，得到，，根据平角的定义和角平分线的定义可得，由，推出，由可推出，即可求解； （3）先求出落在射线上的时间为，再分四种情况讨论：当第一次时，当时，当时，当第二次时，根据旋转的性质和平行线的性质列出等量关系求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ， ， ，，， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ； （2）解：过点作，如图所示： ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：落在射线上的时间为：， 如图，当第一次时， ， 由旋转知，， ， 解得：； 如图，当时， 由（2）知，，， ， ， ， 由旋转知，， ， 解得：； 当时，， ， ， ， 由旋转知，， ， 解得：； 当第二次时，旋转角， 又， ， 解得：； 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了平行性的性质，旋转的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 37．中欧班列被明确称为“共建‘一带一路’的旗舰项目和标志性品牌”，它依托新亚欧大陆桥等陆路通道，连接中国与欧洲及沿线国家，服务于“一带一路”框架下的经贸合作与互联互通．自年首列开行以来，中欧班列已成为贯通亚欧大陆、促进“政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通”的关键物流载体． 为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是/秒，灯转动的速度是/秒，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：___________，___________； (2)若灯射线先转动秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前（即灯转动角度小于），灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？ (3)如图，两灯同时开始转动，在灯射线到达之前（即灯转动角度小于），若两灯射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)， (2)秒或秒 (3)不会变化， 【分析】本题考查平行线判定及性质，一元一次方程的实际应用，角的和差以及比例关系等知识点. （1）根据平行线的性质以及角的比例关系即可得到答案. （2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分情况讨论即可得到本题答案． （3）设灯射线转动时间为秒，分情况讨论，求出和关于的表达式，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； 故答案为：，； （2）解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行，两束光线分别是， ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据题意可列方程为：，解得， ②当时， ， ， ， ， ， ∴根据题意可列方程为：，解得， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化，理由如下， 设灯射线转动时间为秒， ①当时，， ， 此时两灯射出的光束不会相交于点，不满足题意， ②当时， ， ， ， ， ， ， ， 即． 38．如图，已知直线，点A在直线上，点B、C在直线上，射线是的三等分线，即，平分，．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在上有一点F，满足，且平分交于点G，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，绕点A顺时针旋转，速度为每秒，记旋转中的为，的三等分线为，即，同时绕点B逆时针旋转至，速度始终为每秒，当与射线重合时，立即以原来速度的一半逆时针旋转，当运动到与射线重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或 【分析】（1）利用角平分线定义求出，进而求出，结合，则可求，，然后根据平行线的性质求解即可； （2）设，则，，，，由平行线的性质求出，，，，根据角平分线的定义求出，则，即可得出结论； （3）当与射线重合时，，返回时，当与重合，，当与射线重合时，，当在的延长线时，，分；；；讨论，根据平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解： 理由：如图，    设，则 ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 当与射线重合时，，返回时，当与重合，，当与射线重合时，，当在的延长线时，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当时，    则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，    则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，    则 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 综上，t的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，一元一次方程方程的应用，角平分线的定义，平行线的性质等知识，明确题意，能用含t的代数式表示旋转角的度数是解题的关键． 39．长沙市铜官窑国风乐园夜间无人机表演是该园的一大特色，千架无人机在石渚湖上空组成各种形态的图案．已知在一次无人机表演中，有两架无人机甲、乙分别悬停在平行轨道和上的E，F两点． (1)如图1，若无人机丙悬停于平行轨道和之间的点P，且三架无人机在同一平面内，且满足，．求的度数； (2)无人机甲上的探照灯发出的光束（以下简称光束甲）从方向开始绕E点逆时针匀速旋转，当转到方向后立即以当前速度的倍匀速顺时针转回到，然后速度不变再次绕E点逆时针匀速旋转到，光束甲每次转到方向后立即以当前速度的倍匀速顺时针转回到，依次进行直到表演结束．无人机乙上的探照灯发出的光束（以下简称光束乙）从方向开始绕F点顺时针匀速转向方向．两光束旋转的初始速度之和为/秒． ①如图2，当时，已知甲、乙两光束旋转的初始速度为，光束乙先转动后，光束甲再开始和光束乙同时旋转t秒（光束甲尚未第一次到达前），两光束交于点M，探究和之间的数量关系； ②当甲、乙两光束以的初始速度同时旋转t秒（）时（与不垂直），是否存在实数t使得两光束所在的直线互相平行？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②秒或27秒或45秒或秒 【分析】（1）过点P作平行线，利用两直线平行，内错角相等，分别求出两组内错角，再相加得到结论． （2）①先按速度比求出甲、乙转速，再用旋转角度=速度×时间表示出和，最后消去参数得到数量关系．②按甲光束逆时针、顺时针、变速分四段讨论，利用平行线的性质，结合方程思想推理计算即可． 【详解】（1）解：如图，过P点作辅助线， ， ， 又， ， ， ． （2）解：①甲、乙两光束旋转的初始速度为， 两光束旋转的初始速度之和为秒， 秒，秒， 又，， ∴， 甲光束旋转的角度，乙光束旋转的角度； ， ； ． ②两光束以的初始速度同时旋转，两光束旋转的初始速度之和为秒，将两束光命名为射线与射线， 秒，秒， 一共分四种情况讨论， Ⅰ．时，第一次从旋转到，如图， ，， ，，， ，， ，解得秒； Ⅱ．时，第一次从改变速度往运动，如图， 此时秒， ，， ，， ， ， ， ， 解得秒； Ⅲ．时，第二次从往旋转，如图， ，， ，， ， ， ， ， 解得秒； Ⅳ．时，第二次从改变速度往旋转，如图， 此时秒， ，， ，， ， ， ， ， 解得秒， 综上，秒或27秒或45秒或秒． 40．已知直线，点和点分别在直线和上，点在直线之间，连接． (1)如图，若，，则 ； (2)如图，若点是直线下方一点，连接与直线交于点，连接，分别是的角平分线，已知，．求的度数？ (3)如图，连接，点在点右侧且在直线上，过点在下方作，垂足为点，若，，平分．将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为秒，直接写出与的任意一条边平行时的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）如图，作，可得，再利用平行线的性质即可求解； （）由角平分线的定义得，，进而由（）得，即得，得到，如图，作，得，又由平行公理的推论得，即得到，最后利用角的和差关系即可求解； （）利用角平分线可得，进而由平行线的性质可得，即得，又由垂直得，过作与的一条边平行，再分，，三种情况分别画出图形解答即可求解； 本题考查了平行线性质，平行公理的推论，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别是的角平分线， ∴，， 由()可得，， ∴， 解得， ∴， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 过作与的一条边平行，由题意知，分，，三种情况， 当即时，如图①， ∴， ∵， ∴，此情况不成立； 当，即时，如图②， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴旋转了， ∴； 当，即时，如图③， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴旋转了， ∴； 综上，当与的一条边平行时，的值为或． 【题型5实际问题相关拐点问题】 41．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）证明：如图，延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：； 理由：如图，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，平行线的传递性等知识，解题关键是分类讨论，作出辅助线求解，本题的难点是画出图形，考查了学生的想象能力与逻辑思维能力． 42．综合与实践 2026年4月，在2026中关村论坛年会上，中国自主研制的“夸父”系列人形机器人首次规模化亮相，身高近一米六的白色引导机器人全天候在岗提供会场导航．在人形机器人的精密装配过程中，双臂协同作业是实现高精度操作的关键．如图，有两条平行的装配轨道与，即．左机械臂与轨道的接触点记为M，右机械臂与轨道的接触点记为N．为了实现复杂的装配任务，通过M、P、Q、N来调节三个机械臂、和的位置．在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时， ①若，求的度数； ②试说明：； (2)如图2所示，当，，时，求_____（用含的式子表示）； (3)当，时，直接写出与的数量关系（用含，的式子表示）． 【答案】(1)①，②见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质． （1）①根据两直线平行，内错角相等证明；②延长交于点H，根据两直线平行，同位角相等，再结合①的结论证明； （2）过点P作，过点Q作，多次运用两直线平行，内错角相等来解答即可； （3）过点P作，过点Q作，多次运用两直线平行，内错角相等来解答即可． 【详解】（1）解：①， ，； ②延长交于点H，如图， ， ， ； （2）过点P作，过点Q作，如图， ，，，，， ，，， ， ，， ，， ，， ， ，即； （3）过点P作，过点Q作，如图， ，，，，， ，，， ， ，， ，， ， ． 43．综合与实践 如图1，在某河堤两岸分别安装了两盏可旋转探照灯，假设两岸河堤是平行的，即．探照灯射出的光线可看作射线．灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视． 【问题初探】（1）如图2，连接，若灯射出的光线平分，且，求的度数； 【问题深入】（2）如图3，若两灯射出的光线交于点．当，时，求的度数； 【应用拓展】（3）已知灯光线转动速度是每秒，灯光线转动速度是每秒．若灯光线先转动30秒，灯光线才开始转动，在灯光线第一次转到之前，请直接写出，灯光线转动多少秒时，两灯射出的光线互相平行． 【答案】，，15或82.5秒 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分的性质以及解一元一次方程， 根据角平分的性质得，则，结合平行线的性质得，即可求得； 过点G作，则，有，结合即可； 求得灯光线第一次转到所用时间，在分三种情况：①当与相遇前，设灯的光线转动秒；②当与相遇后， 灯光线转动秒，未到达前， 灯光线未到达前；③当与相遇后，灯的光线转动秒， 未到达，灯光线到达后，分别求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 过点G作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ∵灯光线转动速度是每秒，灯光线先转动30秒，在灯光线第一次转到之前， ∴，解得， ①当与相遇前，设灯的光线转动秒，两灯的光线，如图， 则，， ∵， ∴， ∴，则，解得； ②当与相遇后， 灯光线转动秒，未到达前， 灯光线未到达前，两灯的光线， 则，， ∵， ∴， ∴，则，解得； 若时，灯光线转动角度为， 灯的光线转动角度为，此时两灯为相遇，故舍去； ③当与相遇后，灯的光线转动秒， 未到达前的光线，灯光线到达后，两灯的光线， 则，， ∵， ∴， ∴，则，解得； 故答案为：15或82.5秒． 44．我们在物理知识学习中可知，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，根据此规律，我们可知． 如图2，直线上有一光源位于点，并可以放射一条与夹角为的光线（），小梅同学用一个可以折叠的平面镜，将的一边放置在和平行的位置，点放置在直线上，使光线可以照射在边的平面镜上，入射点为．小梅发现，适当改变的大小，从点射出的光线经过两次镜面反射，会以不同的角度从面的平面镜照出．照射到平面镜的光线的入射点记为点，最终的反射光线记为射线（光线在法线右侧），称为最终反射角，设．（确定度数后，为保证点、在各自镜面上，可以对折叠镜面进行左右平移；假设足够长：当光垂直照入平面镜时，光线原路返回） (1)如图2，小梅过点作，成功地找到了与最终反射角的数量关系，请写出他们的数量关系并加以证明． 数量关系：______________________； ，（已知） ____________∥____________（_____________） 完成余下证明： (2)如果，请结合（1）的结论，求出最终反射角的度数； (3)如果入射光线与最终反射光线平行，求此时的值； 【答案】(1)，，，平行于同一直线的两直线互相平行，剩余证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明，则，而，则得到，再由结合反射光线的规律求解即可； （2）可得，设，由，得到，则，由题意得，，再由建立方程求解； （3）延长交于点，先根据平行线的性质得到，而，则，那么，再由建立方程求解． 【详解】（1）解：数量关系：， ，（已知） （平行于同一直线的两直线互相平行）， ∴ 由题意得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴数量关系为； （2）解：如图， 由（1）结合已知可得， 设， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴反射角为； （3）解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，而 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得． 45．为便于夜间航行船只查看长江航道及河床两岸的情况，长江航道管理局在如图所示MN水域地带的两岸M、N处分别安置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设N水域地带两岸，点N处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点M处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点N处射出的光线每秒旋转a度，点M处射出的光线每秒旋转b度．且．      (1)求a，b的值； (2)如图2，设两灯同时开始旋转，点N处探照灯射出的光线在旋转到NC之前，若两盏探照灯射出的光线在点F处交叉照射，是否存在点F使得过F作交于点E，且，若存在，求的度数；若不存在，说明理由． (3)设点M处探照灯先旋转15秒后，点N处探照灯才开始一起旋转，记两盏灯一起旋转的时间为t秒．当点M处探照灯射出的光线首次旋转至位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，直接写出所有的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3)能，或 【分析】（1）根据非负数和为零则每一个非负数都是0列方程计算即可； （2）设时间为t秒，根据列方程计算即可； （2）设时间为t秒，设点N处探照灯交于，点M处探照灯交于，用时间t表示和的度数，再分类讨论即可． 【详解】（1）由题意得， ∴解得，； （2）假设能出现两盏探照灯射出的光线互相平行，设此时的旋转时间为t秒， 则必有，即，且，， 过点F作，则 过点F作，则    ∵ ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 解得， 但，不合乎要求， 所以这样的点F不存在； （3）设时间为t秒，设点N处探照灯交于，点M处探照灯交于， 则必有，即， 当到岸边之前时，，， ∵，    ∴，即， 解得符合要求； 当到岸边之后时，，此时，，    ∵， ∴，即， 解得，符合要求， 综上所述，能出现两盏探照灯射出的光线互相平行，此时或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等、三角形的内角和定理、一元一次方程的应用，解本题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 46．自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，． (1)求的度数； (2)与 平行吗？ 为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解； （2）先求得，进而根据，即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2），理由如下 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 47．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理． （1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数； （2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b．平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝，求． （3）如图③，若＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝（90°＜＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出的度数．（可用含x的代数式表示）． 【答案】（1）45°；（2）90°；（3）162°或（90°+x）° 【分析】（1）根据平面镜成像原理入射角等于反射角可知：∠APC=∠BPD，即可解决问题； （2）根据平面镜成像原理入射角等于反射角，由光线a∥b，可知同内角互补，可得两法线垂直，从而求得a的度数； （3）分两次反射和三次反射进行讨论，两次反射的情况可利用（2）结论；三次反射的情况画图进行分析即可． 【详解】解：（1）∵平面镜成像原理入射角等于反射角， ∴∠APC=∠BPD， ∵∠CPD=90°， ∴∠APC+∠BPD=90°， ∴∠APC=45°； （2）如图②：过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G， ∵平面镜成像原理入射角等于反射角， ∴∠EPG=∠QPG，∠PQG=∠FQG， ∵a∥b， ∴∠EPQ+∠PQF=180°， ∴2（∠GPQ+∠PQG）=180°， ∴∠GPQ+∠PQG=90°， ∵∠GPQ+∠PQG+∠PGQ=180°， ∴∠PGQ=90°， ∵PG⊥AB，QG⊥BC， ∴∠PBQ+∠BQG+∠QGP+∠GPB=360°， ∴∠PBQ=360°-90°-90°-90°=90°， 即α=90°． （3）若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC交于点E， 由（2）知，∠E=90°， ∵α=108°， ∴∠BCE=α-∠E=108°-90°=18°， ∴β=180°-∠BCE=180°-18°=162°； 若经过三次反射标记各反射点，如图③-2所示，作FM∥a∥b， ∵∠BHF=∠AHP=x， ∴∠BFH=∠CFG=180°-α-x=180°-108°-x=72°-x， ∴∠PHF=180°-2x，∠HFG=180°-2∠BFH=180°-2（72°-x）=36°+2x， ∵a∥b， ∴∠PHF+∠HFG+∠FGQ=360°， ∴∠FGQ=360°-（36°+2x）-（180°-2x）=144°， 则∠CGF=（180°-∠FGQ）=18°， 由∠CGF+∠CFG+β=180°， 得β=180°-∠CFG-∠CGF=180°-（72°-x）-18°=90°+x， 综上，β角的度数为162°或90°+x． 【点睛】本题主要考查平行线的知识，熟练掌握平面镜成像原理入射角等于反射角是解题的关键． 48．近年来，我国一直提倡“绿色环保，低碳生活”，健康骑行成为一种时尚、环保的运动，深受人们的青睐，小慧的自行车示意图如图所示，其中，，，． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练运用平行线的相关性质解题是关键． （1）利用两直线平行，同旁内角互补即可解答； （2）由平行线的性质以及已知条件可得，进而得到，易证，最后根据同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：，理由如下： ∵， 又， ． ． 49．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中． ①若，，则的度数为______； ②若，，求的度数． （3）如图3，若，点P在、外部，请直接写出、、之间的关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）根据平行线的性质和平角的定义，即可证明结论； （2）①过点作，由平行线的性质，得出，，即可求出的度数；②根据平行线的性质，得出，，即可得到答案； （3）根据平行线的性质，得出，，即可得到答案． 【详解】解：（1）证明：， ，， ， ， 即三角形的内角和为； （2）解：①如图，过点作， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ， ， ． 50．操作与探究 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献．书中记载“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即），反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即）． (1)【观察图形】试判断和的数量关系，并说明理由； (2)【结论应用】如图2，直线，点在直线上，点在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上．利用（1）中发现的结论，试探究与的位置关系，并说明理由； (3)【深度探究】如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔在点处发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，光束与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角的角度，保证点不与点重合（足够长，天花板足够长）．请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)①；②当时，；当时， 【分析】（1）根据等角的余角相等即可判断； （2）由（1）的结论可知，，，结合，内错角相等，可推出，即可根据同位角相等，两直线平行得到结论； （3）①过点作，则，先根据两直线平行内错角相等求得，结合（1）的结论和平角的定义可求得，进而求得，最后根据两直线平行同旁内角互补即可解答； ②先求得当与重合时，此时，然后分当和两种情况，同①中方法解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）的结论可知，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）解：①如图3，过点作，则， ∵，，， ∴，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵ ∴； ②如图3，过点作，则， ∴，， 当与重合时，则， 此时， ∴当时， 由①可知，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴，即； 当时，如图，过点作，则， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴，即； 综上所述，当时，；当时，． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题02 相交线与平行线“拐点”压轴题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 探究数量关系】 1 【题型2 三角板相关拐点问题】 5 【题型3 存在性问题】 10 【题型4 旋转相关拐点问题】 15 【题型5实际问题相关拐点问题】 20 【题型1 探究数量关系】 1．如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 2．（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 3．综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 4．综合与探究    (1)如图1，，，则与之间的数量关系为_；如图2，，，则与之间的数量关系为_． (2)在图3中，，，，，求的度数． (3)在图4中，，，，平分，试探究、与之间的数量关系． 5．如图，直线与线段，直线交于点、，，点为直线上一点（不与点重合），连接，过点作射线，交于点（点在点之间）． (1)若点在线段上． ①如图1，若为钝角，，求的度数； ②如图2，若为锐角，判断与的数量关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 6．已知直线，直线、都不经过点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，直接写出、、之间的数量关系． 7．如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 8．如图，，E是两直线内部一点． (1)与的平分线交于H点，探究与之间的数量关系，说明理由．    (2)如图，①，直接写出与之间的数量关系．    ②若，直接写出与之间的数量关系． 9．经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，则__________； (2)如图2，，点P在直线上方，探究之间的数量关系，并证明： (3)如图3，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明： (4)如图4，，点P在直线上方，分别是的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．请直接写出与之间的数量关系．（请自行画图分析） 10．如图1，点在直线上，点在直线上，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在上有一点，连接． ①当时，与存在怎样的数量关系？并说明理由； ②当时，请直接写出与之间存在的数量关系． 【题型2 三角板相关拐点问题】 11．【实践与探究】在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板ABC模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，． 他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的______； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板以每秒的速度绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动的过程中，设三角板转动的时间为t（单位：），那么当三角板转动几秒时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的t的值． 12．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 13．如图，直线，在一副三角板和中，，，，，． (1)将三角板如图1摆放，边与直线交于点O，顶点B落在直线上，当平分时，直接写出__________； (2)将一副三角板如图2摆放，三角板的边与直线交于点R，三角板的顶点D落在直线上，，边与边在同一直线上，且B与E重合，分别作和的平分线相交于点T，求的度数； (3)将一副三角板如图3摆放，三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且，直接写出所有满足边与三角板某一边平行的t值为__________． 14．在数学综合与实践课上，老师让同学们以“平行线与动态三角板的变换”为主题展开探究．已知，两块直角三角板和． (1)当三角板按如图1摆放时，延长交于G，是的角平分线，则 °， °． (2)在（1）的条件下，将直角三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． ①直角三角板和固定不动，作平分，当时，求t的值； ②若直角三角板旋转的同时直角三角板也以每秒的速度绕点B逆时针旋转，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 15．知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的的值． 16．在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，请直接写出满足条件的t值． 17．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 18．综合与探究 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．    (1)如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有角的直角三角板的斜边与重合，含角的直角三角板的一个顶点在直线上，已知，求的度数． (2)如图2，在图1的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点逆时针方向旋转，使得点恰好在上，边与交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板固定不动，直角三角板绕着点逆时针旋转（旋转度数小于），设边（或的延长线）与相交于点，当斜边与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出（即）的度数． 19．在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 20．如图，．现将一块含的三角板按如图放置，，，点E、F分别在直线、上．设，的角平分线所在的直线交直线于点H． (1)如图1，若，则的度数为________； (2)如图2，当时，请问与的位置关系是什么？说明必要的理由； (3)在（2）的条件下，若点P是射线上的一点，将三角板绕着点E以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点P以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．请直接写出当射线与三角板的一边平行时的度数．（本题涉及的角均大于且小于） 【题型3 存在性问题】 21．【追本溯源】在学习第二单元《相交线与平行线》时，小明遇到了课本页这样一个问题：如图1，，直线与平行吗? 【知识回顾】直线与是否平行?如果是，请你说明理由． 【问题推广】今年除夕夜，小明江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图2，两岸所在直线与平行，即，灯射出的光线从开始以秒顺时针旋转，灯射出的光线从开始秒顺时针旋转，设时间为，若射线顺时针旋转后停止，是否存在某一时刻，射线与垂直?若存在，请你求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【拓展提升】零点时刻，口岸熄灯，岸边灯和灯同时亮起．此时，，，灯和灯发出的光线和分别绕着点和点以秒和秒的速度同时顺时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在和平行?若存在，请你求出t的值，若不存在，请说明理由． 22．线段与线段互相平行，是平面内的一点，且点不在直线，上，连接，．射线，分别是和的平分线． (1)若点在线段上，如图所示． ①依题意补全下图； ②判断与的位置关系，并证明． (2)是否存在点，使？若存在，写出，需要满足的关系，并证明满足这种关系时，；若不存在，说明理由． 23．在太空模拟实验中，有两条互相平行的观测轨道和．如图1，空间望远镜甲位于轨道上的A点，望远镜乙位于轨道上的B点，且．望远镜甲的观测射线绕点A从方向开始，以每秒的速度顺时针旋转观测，望远镜乙的观测射线绕点B从方向开始，以每秒的速度逆时针旋转观测，当甲望远镜观测射线旋转至与重合时，两台望远镜同时停止转动． (1)当观测时间时，______，________． (2)在整个观测过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时观测时间t；若不存在，请说明理由． 24．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，满足． (1)如图1，求证：．下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：（已知）； （______）． ∵EFGH（已知）； ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（    ）． (2)如图2，过F点作交GH延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 25．厦门市跨年晚会的无人机激光秀表演广受欢迎，如图1，无人机A在直线上，无人机B在直线上，且，其中．现从A发射一道激光射线，从B发射一道激光射线． (1)当平分，平分时，求与的数量关系； (2)若射线与射线均在直线与之间，且与交于点P（P不在线段上），请求出、与的数量关系并说明理由； (3)若，射线与射线同时从，出发，射线以每秒的速度绕点A逆时针转动，射线以每秒的速度绕点B顺时针转动到后立即以原速回转至，当射线转动到时，与同时停止转动．设运动时间为t秒，在这个过程中，是否存在t使得，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 26．如图，已知，点，分别在直线，上，平分交于点，平分交于点． (1)如图，求的度数； (2)如图，已知点为直线上一点．若点位于点的左侧，且满足． 线段，有何位置关系？请说明理由； 如图，若，过作平分交于点，过作平分交于点．线段绕点以的速度顺时针旋转；线段绕点以的速度逆时针旋转，点的对应点为；线段绕点以的速度顺时针旋转，点的对应点为，当与射线重合时，立刻改变旋转方向，当与射线重合时，再次改变方向，速度始终保持不变，如此循环往复．已知三条线段同时开始旋转，且当线段回到原位置时，三条线段同时停止转动．设运动时间为，请问是否存在时间，使得且？若存在，请直接写出所有满足要求的的取值并给出其中一个值的求解过程；若不存在，请说明理由． 27．在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．    (1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数； (2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 28．在综合实践课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． 【操作发现】 （1）如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，求的度数． 解：如图1，过点作直线． 因为，所以， … 请你将上面的解题过程补充完整； 【探索发现】 （2）如图2，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，当点在直线上方，点在直线和（点为直线上一点）之间时，若存在，请求出射线与直线所夹锐角的度数． 29．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺中，，．    (1)如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，求的度数； (2)如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A，C始终在直线为直线b上一点）的上方，若存在，射线与直线a所夹锐角的度数为： ．（直接填空） 30．如图，点C在射线BE上，点F在线段AD上，CD平分∠FCE，∠FDC＝∠FCD． (1)当时，求∠ABC； (2)点N是线段FD上一点，点P是线段CD上一点，连接AC，FP．若CA为∠BCF的角平分线，∠NCD∠ACF，，探究直线CD上是否存在一点Q，使得FQ＜FP． 【题型4 旋转相关拐点问题】 31．如图1，已知，点分别在上，且，射线绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，速度是/秒，如此循环往复，射线绕点顺时针旋转至，速度是/秒．当射线停止转动时，射线也随之停止． (1)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为秒（），两条旋转射线交于点． ① ； ②过作交于点．求出与的数量关系； (2)若射线先旋转秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为秒（），若旋转中，请直接写出的值． 32．长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 33．如图所示，，的顶点E，F分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图1，平分，，则的度数． (2)如图2，已知点为延长线上一点，且，请用含的式子表示的度数，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当首次旋转到直线上时，立刻绕点逆时针以原速旋转，当旋转到直线上时，两个三角形同时停止旋转，请直接写出当时的旋转时间的值． 34．已知点B，D分别在和上，且． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，平分，的反向延长线交于点M，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，平分，平分．在（1）的条件下，将射线绕点D以每秒顺时针旋转，同时将射线绕点B以每秒逆时针旋转．当射线旋转时，射线与射线均停止运动．设旋转时间为t秒．在旋转过程中，当与相互平行时，请直接写出此时t的值． 35．如图1，已知，点A，B分别在，上，且，射线绕点A顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是a°/秒），射线绕点B顺时针旋转至便立即逆时针回转（速度是b°/秒）、且a、b满足， (1)_____________，____________； (2)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒（），两条旋转射线交于点C，过C作交于点D，求与的数量关系； (3)若射线先旋转20秒，射线才开始旋转，设射线旋转时间为t秒（），若旋转中，求t的值． 36．如图，，的顶点，顶点分别在直线，直线上，点在直线与直线之间，平分． (1)如图（1），已知平分，，则_____； (2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数； (3)在（2）间的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，求旋转过程中与的边平行时的值． 37．中欧班列被明确称为“共建‘一带一路’的旗舰项目和标志性品牌”，它依托新亚欧大陆桥等陆路通道，连接中国与欧洲及沿线国家，服务于“一带一路”框架下的经贸合作与互联互通．自年首列开行以来，中欧班列已成为贯通亚欧大陆、促进“政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通”的关键物流载体． 为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是/秒，灯转动的速度是/秒，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：___________，___________； (2)若灯射线先转动秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前（即灯转动角度小于），灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？ (3)如图，两灯同时开始转动，在灯射线到达之前（即灯转动角度小于），若两灯射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 38．如图，已知直线，点A在直线上，点B、C在直线上，射线是的三等分线，即，平分，．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在上有一点F，满足，且平分交于点G，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，绕点A顺时针旋转，速度为每秒，记旋转中的为，的三等分线为，即，同时绕点B逆时针旋转至，速度始终为每秒，当与射线重合时，立即以原来速度的一半逆时针旋转，当运动到与射线重合时，整个运动停止，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，请直接写出t的值． 39．长沙市铜官窑国风乐园夜间无人机表演是该园的一大特色，千架无人机在石渚湖上空组成各种形态的图案．已知在一次无人机表演中，有两架无人机甲、乙分别悬停在平行轨道和上的E，F两点． (1)如图1，若无人机丙悬停于平行轨道和之间的点P，且三架无人机在同一平面内，且满足，．求的度数； (2)无人机甲上的探照灯发出的光束（以下简称光束甲）从方向开始绕E点逆时针匀速旋转，当转到方向后立即以当前速度的倍匀速顺时针转回到，然后速度不变再次绕E点逆时针匀速旋转到，光束甲每次转到方向后立即以当前速度的倍匀速顺时针转回到，依次进行直到表演结束．无人机乙上的探照灯发出的光束（以下简称光束乙）从方向开始绕F点顺时针匀速转向方向．两光束旋转的初始速度之和为/秒． ①如图2，当时，已知甲、乙两光束旋转的初始速度为，光束乙先转动后，光束甲再开始和光束乙同时旋转t秒（光束甲尚未第一次到达前），两光束交于点M，探究和之间的数量关系； ②当甲、乙两光束以的初始速度同时旋转t秒（）时（与不垂直），是否存在实数t使得两光束所在的直线互相平行？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 40．已知直线，点和点分别在直线和上，点在直线之间，连接． (1)如图，若，，则 ； (2)如图，若点是直线下方一点，连接与直线交于点，连接，分别是的角平分线，已知，．求的度数？ (3)如图，连接，点在点右侧且在直线上，过点在下方作，垂足为点，若，，平分．将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转过程中，射线在内部且，设旋转时间为秒，直接写出与的任意一条边平行时的值． 【题型5实际问题相关拐点问题】 41．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 42．综合与实践 2026年4月，在2026中关村论坛年会上，中国自主研制的“夸父”系列人形机器人首次规模化亮相，身高近一米六的白色引导机器人全天候在岗提供会场导航．在人形机器人的精密装配过程中，双臂协同作业是实现高精度操作的关键．如图，有两条平行的装配轨道与，即．左机械臂与轨道的接触点记为M，右机械臂与轨道的接触点记为N．为了实现复杂的装配任务，通过M、P、Q、N来调节三个机械臂、和的位置．在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时， ①若，求的度数； ②试说明：； (2)如图2所示，当，，时，求_____（用含的式子表示）； (3)当，时，直接写出与的数量关系（用含，的式子表示）． 43．综合与实践 如图1，在某河堤两岸分别安装了两盏可旋转探照灯，假设两岸河堤是平行的，即．探照灯射出的光线可看作射线．灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视． 【问题初探】（1）如图2，连接，若灯射出的光线平分，且，求的度数； 【问题深入】（2）如图3，若两灯射出的光线交于点．当，时，求的度数； 【应用拓展】（3）已知灯光线转动速度是每秒，灯光线转动速度是每秒．若灯光线先转动30秒，灯光线才开始转动，在灯光线第一次转到之前，请直接写出，灯光线转动多少秒时，两灯射出的光线互相平行． 44．我们在物理知识学习中可知，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，根据此规律，我们可知． 如图2，直线上有一光源位于点，并可以放射一条与夹角为的光线（），小梅同学用一个可以折叠的平面镜，将的一边放置在和平行的位置，点放置在直线上，使光线可以照射在边的平面镜上，入射点为．小梅发现，适当改变的大小，从点射出的光线经过两次镜面反射，会以不同的角度从面的平面镜照出．照射到平面镜的光线的入射点记为点，最终的反射光线记为射线（光线在法线右侧），称为最终反射角，设．（确定度数后，为保证点、在各自镜面上，可以对折叠镜面进行左右平移；假设足够长：当光垂直照入平面镜时，光线原路返回） (1)如图2，小梅过点作，成功地找到了与最终反射角的数量关系，请写出他们的数量关系并加以证明． 数量关系：______________________； ，（已知） ____________∥____________（_____________） 完成余下证明： (2)如果，请结合（1）的结论，求出最终反射角的度数； (3)如果入射光线与最终反射光线平行，求此时的值； 45．为便于夜间航行船只查看长江航道及河床两岸的情况，长江航道管理局在如图所示MN水域地带的两岸M、N处分别安置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设N水域地带两岸，点N处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点M处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点N处射出的光线每秒旋转a度，点M处射出的光线每秒旋转b度．且．      (1)求a，b的值； (2)如图2，设两灯同时开始旋转，点N处探照灯射出的光线在旋转到NC之前，若两盏探照灯射出的光线在点F处交叉照射，是否存在点F使得过F作交于点E，且，若存在，求的度数；若不存在，说明理由． (3)设点M处探照灯先旋转15秒后，点N处探照灯才开始一起旋转，记两盏灯一起旋转的时间为t秒．当点M处探照灯射出的光线首次旋转至位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，直接写出所有的值；若不能，说明理由． 46．自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，． (1)求的度数； (2)与 平行吗？ 为什么？ 47．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理． （1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数； （2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b．平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝，求． （3）如图③，若＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝（90°＜＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出的度数．（可用含x的代数式表示）． 48．近年来，我国一直提倡“绿色环保，低碳生活”，健康骑行成为一种时尚、环保的运动，深受人们的青睐，小慧的自行车示意图如图所示，其中，，，． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 49．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点A作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】（2）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中． ①若，，则的度数为______； ②若，，求的度数． （3）如图3，若，点P在、外部，请直接写出、、之间的关系． 50．操作与探究 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献．书中记载“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即），反射光线、入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即）． (1)【观察图形】试判断和的数量关系，并说明理由； (2)【结论应用】如图2，直线，点在直线上，点在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上．利用（1）中发现的结论，试探究与的位置关系，并说明理由； (3)【深度探究】如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔在点处发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，光束与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角的角度，保证点不与点重合（足够长，天花板足够长）．请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（用含的式子表示）． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $