20 大单元整合与素养提升-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

4 0 40 图① 图② 图3 MN=√(40+30)+502=10√74≈86.02cm.(2)计算最短时间：.'86.0289 44<94.87,最短时间=86,02≈28.7s 1.C2.D3.D4.30 数学活动（二）利用勾股定理绘制图案 活动一：54活动二：2026活动三：解：这3个图形中面积关系满足S,+S2=S,论 证如下：在图①中：S= 2 8 ,S2= 2 8 ,S2= 2 +b=x(a十b)=c2 1×3a=3 8S+S:=S,故图①符合；在图@中，S,=2> 2 4 =×-8×-，+9=5 24 4 4 4c, ∴S+s=S,放图②符合：在图③中，：S+S=2()】+(台)）x+S 号(）广s+5,=日xa+6-)+5.a+=S+s,=S.故图③符 合. 活动四：1.D2.4.5 综合与实践（一）测量校园旗杆的高度 解：任务1：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1m,设旗杆的高度为xm,则绳 子的长度为(x+1)m.由图2可得，在Rt△ABD中，AB+BD=AD,即x2+5=(x 十1)2.解得x=12.答：旗杆的高度为12m:任务2：选取与旗杆底部B 位于同一水平面的G处，使测角仪位于G处时，测得FG=1.5m, ∠AFE=45°，BG=10.5m图上所有点均在同一平面内，AB,FG与 地面垂直任务3：96cm=0.96m,12-0.96=11.04(m).11.04÷45 ≈0.25(m/s),11.04÷50≈0.22(m/s).答：五星红旗升起的速度不小 G 于0.22m/s且.不大于0.25m/s. 第二十章大单元整合与素养提升 典例导航 【例】(1)证明：在△BCD中，.BD+CD2=122+162=400,BC=20=400,.BD2+ DC=BC..△BCD是直角三角形；(2)解：设AD=xcm,则AC=AB=(x十12) cm.在Rt△ADC中，AD+DC=AC,即r+162=(x+12).解得=4 ∴.△AB0 3 的周长为(4+12)×2+20=160 3 cm). 考点过关 1.A2.C3.2.44.-√55.解：(1)18(2)根据题意，得∠ADB=90°，AD=8 dm,CD=7dm,AB=10+7=17dm..BD=√AB2-AD=√/172-8=15(dm).. BE=BD-DE=15-6=9(dm).答：滑块B向左滑动的距离为9dm.6.C7.C 8.(1)证明：在△BCD中，BC2+CD=82+62=100,BD=102=100,.∴.BC+CD BD..△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°；(2)解：过A作AE⊥BD于点E. AB=AD=13m,BD=10mBE=DE=BD=5m在R△ABE中，由勾股定 理，得AE=VAB-BE=V1B-可-12(m.∴S=5w-5m=号×10X12 2×6×8=36(m).200×36=7200(元).答：此块空地全部种植花卉共需花费 7200元.9.11,60,6110.(1)证明：过C点、D点向x B 轴、y轴作垂线，垂足分别为M,N..C(a,b),D(b,一a) (a,b均大于0)，..OM=ON=a,CM=DN=b,. △OCM≌△ODN(SAS),.∴.∠COM=∠DON..'∠DON +∠MOD=90°，∴.∠COM+∠MOD=90°，即∠COD=O5D 90°.OC=OD=a十b,.△COD是等腰直角三角 图1 ) 形，.∠ODC=45°；(2)解：连接DA.在△OCB与△ODA中， OB=OA, ∠BOC=∠AOD=90°-∠COA,.△OCB≌△ODA(SAS).∴.AD=CB=1,∠OCE OC=OD. =∠ODA..OC=OD=2,.CD=2W2..AD2+CD2=1+8=9,AC2=9,.AD2+ CD=AC,.∴.∠ADC=90°，∴.∠OCB=∠ODA=90°+45°=135°.第二十章大单 01典例导航 【例】如图，等腰△ABC的底边BC=20cm,D 是腰AB上一点，且CD=16cm,BD=12cm. (1)求证：△BCD是直角三角形； (2)求△ABC的周长. 02考点过关 考点一勾股定理的认识与证明 1.在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图 所示的两种方案，则方案正确的是 () A.甲对 B.乙对 C.两人都对 D.两人都不对 2.如图所示的是用4个全等的直角 三角形与1个小正方形镶嵌而成 的正方形图案.已知大正方形的 面积为49，小正方形的面积为4.若用x,y表 示直角三角形的两直角边(x>y),则下列结 论：①x2+y2=49;②x-y=2;③2xy+4= 49.其中正确的是 () A.①② B.② C.①②③ D.①③ 35八年级数学·下册 整合与素养提升 考点二勾股定理及其应用 3.(2025·连云港)如图，长为3m的梯子靠在 墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m, 则梯子顶端的高度h为 m. 1.8 0 第3题图 第4题图 4.如图，数轴上O为原点，点A表示的数为2， AB⊥OA于点A,AB=1,以点O为圆心，OB 的长为半径画弧，交数轴于点C,则点C表示 的数为 5.【新中考·跨物理学科】物理课上，老师带着 科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉 伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上， 另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地 面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节 物体C的升降.实验初始状态如图1所示，物 体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水 平距离是6dm,物体C到定滑轮A的垂直距 离是8dm.(实验过程中，绳子始终保持绷紧 状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计.) (1)则绳子的总长度是 dm; (2)如图2，若物体C升高7dm,求滑块B向 左滑动的距离， B 克 新形 图1 图2 考点三勾股定理的逆定理及其应用 6.下列长度的三条线段不能组成直角三角形的 是 () A.12,13,5 B.4,3,√7 C.8,12,17 D.1,√2,3 7.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为 a,b,c,下列说法：①∠B=∠C-∠A;②a2= (b十c)(b-c);③∠A:∠B:∠C=3:4: 5;④a:b:c=5:4:3;⑤a2:b2:c2=1:2 :3.其中能判断△ABC为直角三角形的条 件的个数为 () A.2 B.3 C.4 D.5 8.为进一步落实立德树人的根本任务，培养德、 智、体、美、劳全面发展的社会主义接班人，某 校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果.如 图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳 动实践基地的四边形荒地.经测量，AB=AD =13 m,BC=8 m,CD=6 m,BD=10 m. (1)试说明：∠BCD=90°； (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花 卉，若每种植1m花卉需要花费200元， 则此块空地全部种植花卉共需花费多 少元？ 03素养提升 9.(2025·扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于 勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士 琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的 生成过程，也体现了中国传统数学在数论领 域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数： ①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40， 41;…根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 10.如图，在平面直角坐标系中，点A 点B分别在x轴、y轴的正半轴 上，且OA=OB,另有两点C(a,b 和D(b,-a).(a,b均大于0) B 图1 图2 (1)如图1，连接OD,CD,求证：∠ODC= 45°； (2)如图2，连接CO,CB,CA,若CB=1,CO =2,CA=3,求∠OCB的度数. 助学助教优质高效36