精品解析：2026年重庆市大足区中考数学质检试卷（4月份）

2026年重庆市大足区中考数学质检试卷（4月份） 一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 数轴上的点与数是一一对应的关系．如图，数轴上表示0的点是（　　） A. M B. N C. P D. Q 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据图示，点N位于数轴上0的位置， 因此正确答案是B． 2. 在安检时，背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（　　） A. 位似 B. 轴对称 C. 旋转 D. 平移 【答案】D 【解析】 【详解】解：在安检时，背包随安检传送带移动，根据平移定义可知主要涉及的图形变换是平移． 3. 大足的南山和北山是大足人日常与家人朋友游玩的好地方，为了了解南山和北山哪座山更受游客欢迎，随机调查了若干名游客的去向，要找出被选择次数最多的山，应关注的统计量是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【详解】解：要找出被选择次数最多的山，应关注的统计量是众数． 4. 今年是我国“十五五”开局之年，因此2026年春晚主题“骐骥驰骋 势不可挡”紧扣生肖马的奔腾意象，暗含“奇迹”之意，寓意国家发展和个人奋斗的双重奋进．在春晚主题的八个字中，选取一个字，是左右结构字的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为在春晚主题“骐骥驰骋 势不可挡”的八个字中，是左右结构字有5个， 所以左右结构字的概率为． 5. 多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是（　　） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以根据一次项系数的一半的平方来确定，所以加上的单项式是． 6. 勾股树不仅展现了数学的对称美，更蕴含着深刻的数学原理．如图是勾股树的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，…，则第4个图形中正方形的个数是（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图可知：第一个图形有1（个）正方形， 第2个图形有（个）正方形， 第3个图形有（个）正方形， ∴第4个图形中共有（个）正方形． 7. 苏轼贬谪黄州期间，常与友人煮茶论道．后人据此推演得一趣题：雪堂之内，苏轼汲水煎茶．若将壶中茶汤分注于盏，每盏盛5分，则壶中余3分；若每盏盛6分，则壶中尚缺4分方满．设雪堂内共有茶盏x只，下列方程中能正确反映壶中茶汤总量的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据茶汤总量不变列方程即可． 【详解】解：由题意，设茶盏有x只， ∵每盏盛5分，则壶中余3分， ∴茶汤总量， ∵每盏盛6分，则壶中尚缺4分方满， ∴茶汤总量， ∵茶汤总量不变， ∴． 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A. 4 B. 9 C. 16 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】把代入反比例函数解析式，求出m，进而求出n，再将点A、B的坐标代入求出直线的解析式求面积即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， 把的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由对称的性质得：，根据正方形的性质得到，，可知，根据等边对等角得到，根据三角形内角和得到，进而得到，根据等边对等角得到，根据计算即可． 【详解】解：连接，如图所示： 由对称的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 10. 已知整式Q，其中t，，，…，，均为正整数，所有系数和，且，其中、2、…、t．下列说法： ①当，时，满足条件的整式Q有13个； ②当时，满足条件的整式Q的系数和必为14； ③当，，且方程有两个不相等的实数根时，满足条件的所有整式Q的最高次项的系数和为12．其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】解：①当，时，，（、均为正整数） ， ， ， ， ， 即， ， 可取的值有：3，4，5，6； 当时，，可取的值有5，6，7，8，9，10，11，12，共8个； 当时，，可取的值有6，7，8，9，10，11，共6个； 当时，，可取的值有7，8，9，10，共4个； 当时，，可取的值有8，9，共2个； 总个数为：，故说法①错误； ②当时，， ， ， ， ， 又， ， 故说法②错误； ③当，时，， 方程化为， ∵该方程有两个不相等的实数根， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 可取的值有4，5，6， ，且， 当时，，，不存在符合条件的； 当时，，满足条件的的值有7，8； 当时，，又因为，满足条件的只有8； 综上所述，满足条件的所有整式Q的最高次项的系数和为； 故说法③错误； 三种说法当中，正确的个数为0． 二.填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 11. 计算 _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12. 《九章算术》的“方程”章是世界最早系统研究一次方程组的文献之一．古人以“算筹布列”的方式表示一次方程组：算筹的纵、横摆放对应未知数的系数与常数项．如算筹图1表示的方程组为，类比图1的方程组，请写出算筹图2所表示的方程组为____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据算筹图1所表示的方程组，可找出各算筹表示的数量：第一列表示x的系数，第二列表示y的系数，第三列表示常数项，1个竖线表示1，左侧的1个横线表示10，上方的一个横线表示5，进而可得出算筹图2所表示的方程组 【详解】解：根据题意得：． 13. 在光学实验中，平行于凸透镜主光轴的光线（注：平行于主光轴的光线经凸透镜折射后会聚于焦点）和，经过凸透镜折射后，折射光线、相交于主光轴上的点G（可认为G是该凸透镜的焦点）已知若，，则_______． 【答案】80 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到与的度数，再根据可求解． 【详解】解：，， ，． ，， ，， ． 14. 如图，以矩形的B点为圆心，的长为半径作，交于点F，点E为上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转至，点G落在上，点F为中点．，，则的长为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据，，求出，进而求出，再由旋转得到，分别表示，利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解：设， ∴， ∵线段绕点E顺时针旋转至， ∴， ∵， ， ∴， ∵在矩形中，， 根据勾股定理得， ∵点F为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， 即， 解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 15. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，且关于x的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的整数m的值之积为_____． 【答案】0 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质得到，解关于x的不等式组得，根据不等式组至少有3个整数解求出的取值范围，得到符合条件的整数m的值，相乘即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， 解关于x的不等式组得， ∴ ∵不等式组至少有3个整数解， ∴0， 解得， 由上可得，m的取值范围是， ∴整数m是，0，1共3个， ∴符合条件的整数m的值之积为． 16. 大足石刻造像艺术承载着吉祥如意的美好寓意．现定义：满足各数位上的数字互不相等且均不为0，并同时满足千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和的2倍的四位自然数为“石刻吉祥数”．例如：四位数8241，∵，且数字互不相等均不为0，∴8241是“石刻吉祥数”．最小的“石刻吉祥数”是_________ ；对于一个“石刻吉祥数”，记．若为正整数，且，则满足条件的N的值为_________ ． 【答案】 ①. 1923 ②. 3741 【解析】 【分析】要使四位数“石刻吉祥数”最小，千位a取最小非零整数1，依次尝试百位b的最小取值即可解答；根据题中给出的条件记 ，若为正整数，且，分情况讨论即可． 【详解】解：要使四位数最小，千位a取最小非零整数1， 依次尝试百位b的最小取值： 时，，则，无正整数解； 时，，则，解出的c， d中两个数均与重复，不符合题意； 时，，则，无正整数解； 时，，则，解出的c， d中有一个数与重复，不符合题意； 时，，得，无正整数解； 时，，则，解出的c， d中有一个数与重复，不符合题意； 时，，则，无正整数解； 时，，则，取，均为非零整数且与a、b互不相等． 故最小的“石刻吉祥数”为； ②∵为正整数， ∴是9的倍数， 而 即是9的倍数， 设，， ∴S为偶数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 若时，，无解；若时，则，而，则，不成立；若，则，，，不成立； ∴k只能取1， ∴，即且， ∴，即， 又∵为偶数，且， ∴可取10，12，14，16， ∵，,即， ∴， 整理得， ∵， 令，则， ∴， 整理得， 当时，， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， 则，， 当时，，满足， 则，符合， 则符合； ∴满足条件的； 当时，则，则，此时不符合题意； 当时，则，则，代入，得，，此时无整数解，不符合题意； 当时，则，则，代入，得，，此时无整数解，不符合题意， 综上：满足条件的． 三.解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 如图，和是的两条切线，与相切于点E，并与，分别交于D，C两点．当，时，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质． 利用切线长定理求出的长，过点D作于点F，再在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵和是的两条切线， ∴，， ∴， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∴， 如图，过点D作于点F， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 18. 我们知道，通过对特殊三角形作图可以得到菱形．如图，是等边三角形． （1）尺规作图：作的平分线交于点E，在射线上截取，连接． （2）根据下面的思路完成证明过程． 证明：∵是等边三角形，平分， ∴且① ＝② ，（三线合一） 又∵， ∴四边形是菱形．（③ ）（填理由） 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【解析】 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求． 以点E为圆心，的长为半径画弧，交射线于点D，连接， 则即为所求． 【小问2详解】 解：证明：∵是等边三角形，平分， ∴且，（三线合一） 又∵， ∴四边形是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）． 四、解答题：（本大题7个小题，每个小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在对应的位置上． 19. 先化简，再求值：．其中，在，0这两个数中选一个你喜欢的数作为x的值，且． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则化简，再根据分式有意义的条件求出x、y的值，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵根据分式的分母不能为0，且， ∴且，， ∴，． ∴原式 ． 20. 为全面了解“书香校园”建设成效，精准优化校园阅读服务．我区某校开展了学生阅读情况调查．重点调查以下五方面：A．每周课外阅读时长；B．每月借阅图书数量；C．偏好的阅读类型；D．参与校园读书活动的次数；E．班级组织分享阅读次数等信息．学校随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必答且只回答一个问题），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图．根据上述信息，解决下列问题． （1）补全条形图并计算扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为 ； （2）若该校有2000名学生，请估计该校每月借阅图书数量的学生人数； （3）该校从D类中挑选出2名男生和2名女生，拟从这4名学生中随机抽取2名学生参加市级比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）图见解析，72 （2）200人 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据B组的人数和占比求出本次调查的人数，进而求得D组的人数，从而补全条形统计图；利用360度乘以A组的占比，即可求得对应的扇形的圆心角； （2）利用该校的总学生人数乘以B组的占比即可解答； （3）列出表格或画出树状图，得出所有的等可能的结果数和恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，再根据概率公式解答即可． 【小问1详解】 解：本次调查的人数为：（人）， 选择D的有（人）， 补全的统计图如下所示， 扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为：； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校每月借阅图书数量的学生有200人； 【小问3详解】 解：树状图如下所示， 由上可得，一共有12种等可能性，其中恰好抽到1名男生和1名女生的可能性有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 21. 习总书记强调：“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上．”为落实这一要求，某农科院规划了两块正方形试验田开展农业技术研究，相关示意图如下．其中甲种水稻的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，乙种水稻的试验田的边长为米．两块试验田的水稻都收获了千克． （1）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ （2）在（）的计算结果下，若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，请求出m的值． 【答案】（1）高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍； （2）． 【解析】 【分析】（）根据题意分别求出两种水稻的试验田单位面积产量，然后进行除法运算即可得到结果； （）根据题意得，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：∵甲种水稻的试验田单位面积产量：， 乙种水稻的试验田单位面积产量：， ∵， ∴， ∴ ， ∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍； 【小问2详解】 解：由题意，可得：， 解这个分式方程得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 22. 如图1，四边形中，，， ．点是的中点，动点从出发，沿折线 运动（点不与点、重合）设点的运动路程为，的面积为，的面积的倍与点的路程之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在图2中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围． 【答案】（1）， （2）图见解析，当时，随的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目规定的求法求解即可； （2）根据（1）中所求解析式画出函数图象，再结合图象写出函数的一条性质即可； （3）根据（2）所得函数图象以及交点作答即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， ∵，点是的中点， ∴ ， ∴ ， 当时， ， 当时，如图，过作于，过作于， 则 ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ∵的面积的倍与点的路程之比为． ∴（）； 综上所述，，（）； 【小问2详解】 解：的图象如图所示； 当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：由函数图象知，时的取值范围为． 23. 建于南宋绍兴年间的北山多宝塔位于我区北山上．为八角形密檐楼阁式砖塔，是大足标志性古建筑之一．我区某校数学实践小组利用所学知识采取两种方案测量多宝塔的高度． 方案一：如图①：借助太阳光线构成相似三角形．测量：塔影长，标杆长，影子为． 方案二：如图②，利用锐角三角函数．身高为的某同学站在点C处的仰角是，他往前走至点D处仰角为． （1）根据方案一、二的数据，分别求出多宝塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：．） （2）两个方案计算的结果一致吗？请说明理由． 【答案】（1）方案一：；方案二： （2）结果不一致，理由见解析 【解析】 【分析】（1）方案一：因为太阳光线平行，所以可判定塔和标杆分别与各自影子构成的三角形相似；根据相似三角形对应边成比例的性质，设塔高为未知数，代入已知数据建立方程求解． 方案二：设塔底到某观测点的水平距离为未知数，因为仰角为的直角三角形中两直角边相等，结合仰角为的直角三角形的正切函数定义，建立关于未知数的方程，求出水平距离后再计算塔高． （2）对比方案一和方案二计算出的塔高数值，根据数值是否相等判断结果是否一致，说明理由时需结合计算结果的差异来源分析． 【小问1详解】 解：方案一：∵太阳光线是平行的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（m）， ∴多宝塔的高度为； 方案二：如图所示： 由题意可知， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 解：结果不一致，理由如下： 方案一的相似三角形法，依赖“同一时刻太阳光线平行”的假设，但实际测量中塔影、标杆的测量值存在误差； 方案二的三角函数法，受仰角测量精度、人身高、水平距离的测量误差影响，且取近似值也会存在误差； 两种方法的原理、误差来源不同，因此计算结果存在差异． 24. 如图，抛物线与轴分别交于点，点（在的左侧），与轴交于点，直线的图象过两点． （1）求三点的坐标； （2）点为直线上方抛物线上一点，点为直线上一动点，连接，当面积最大时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（）分别把和代入解析式中计算即可求解； （）作轴于，交于，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，得，进而得到，可知当时，的面积最大，即得，作轴，作于，作于，由得，得到，即得到，即可求解； （）作轴于，由题意可得新抛物线的解析式为，设，由得，求出的值即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∵在的左侧， ∴，； 【小问2详解】 解：如图，作轴于，交于， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大， ∴， 作轴，作于，作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：存在点或，使，理由如下： 如图，作轴于， ∵抛物线沿射线方向平移后过点， ∴抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，（不合，舍去），，（不合，舍去）， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的几何应用，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握知识点是解题的关键． 25. 在中，连接，设． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，在（1）的条件下，点E在线段上，连接，将线段绕点D顺时针旋转至线段，点G为延长线上一点，且有，连接交于点H，求证：； （3）如图3，若，，，点E是上一点，将沿射线平移至C与E重合，并绕点E旋转至，延长与线段交于点F，连接、，当时，求的最小值． 【答案】（1）2 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用的面积为面积的二倍，即可求解； （2）连接，，根据全等三角形的性质与判定得到，则，，结合旋转的性质得到，证明，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到的长度，即可求解； （3）过C作于点G，在中，求出，，解，可得，过A作于点H构造直角三角形，利用勾股定理表示出、，进而转移到求最小值即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：在中， 在平行四边形中， ， 连接，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 如图，过C作于点G， ∵，， ∴， 在中， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过A作于点H， ∵，， ∴， 过D作于点K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴当有最小值时，则有最小值， 而时最小，此时， ∴， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆市大足区中考数学质检试卷（4月份） 一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 数轴上的点与数是一一对应的关系．如图，数轴上表示0的点是（　　） A. M B. N C. P D. Q 2. 在安检时，背包随安检传送带移动，主要涉及的图形变换是（　　） A. 位似 B. 轴对称 C. 旋转 D. 平移 3. 大足的南山和北山是大足人日常与家人朋友游玩的好地方，为了了解南山和北山哪座山更受游客欢迎，随机调查了若干名游客的去向，要找出被选择次数最多的山，应关注的统计量是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 今年是我国“十五五”开局之年，因此2026年春晚主题“骐骥驰骋 势不可挡”紧扣生肖马的奔腾意象，暗含“奇迹”之意，寓意国家发展和个人奋斗的双重奋进．在春晚主题的八个字中，选取一个字，是左右结构字的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是（　　） A. 4 B. 1 C. D. 6. 勾股树不仅展现了数学的对称美，更蕴含着深刻的数学原理．如图是勾股树的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，…，则第4个图形中正方形的个数是（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 7. 苏轼贬谪黄州期间，常与友人煮茶论道．后人据此推演得一趣题：雪堂之内，苏轼汲水煎茶．若将壶中茶汤分注于盏，每盏盛5分，则壶中余3分；若每盏盛6分，则壶中尚缺4分方满．设雪堂内共有茶盏x只，下列方程中能正确反映壶中茶汤总量的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A. 4 B. 9 C. 16 D. 8 9. 如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设，则为（　　） A. B. C. D. 10. 已知整式Q，其中t，，，…，，均为正整数，所有系数和，且，其中、2、…、t．下列说法： ①当，时，满足条件的整式Q有13个； ②当时，满足条件的整式Q的系数和必为14； ③当，，且方程有两个不相等的实数根时，满足条件的所有整式Q的最高次项的系数和为12．其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二.填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 11. 计算 _____ ． 12. 《九章算术》的“方程”章是世界最早系统研究一次方程组的文献之一．古人以“算筹布列”的方式表示一次方程组：算筹的纵、横摆放对应未知数的系数与常数项．如算筹图1表示的方程组为，类比图1的方程组，请写出算筹图2所表示的方程组为____________ ． 13. 在光学实验中，平行于凸透镜主光轴的光线（注：平行于主光轴的光线经凸透镜折射后会聚于焦点）和，经过凸透镜折射后，折射光线、相交于主光轴上的点G（可认为G是该凸透镜的焦点）已知若，，则_______． 14. 如图，以矩形的B点为圆心，的长为半径作，交于点F，点E为上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转至，点G落在上，点F为中点．，，则的长为________ ． 15. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，且关于x的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的整数m的值之积为_____． 16. 大足石刻造像艺术承载着吉祥如意的美好寓意．现定义：满足各数位上的数字互不相等且均不为0，并同时满足千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和的2倍的四位自然数为“石刻吉祥数”．例如：四位数8241，∵，且数字互不相等均不为0，∴8241是“石刻吉祥数”．最小的“石刻吉祥数”是_________ ；对于一个“石刻吉祥数”，记．若为正整数，且，则满足条件的N的值为_________ ． 三.解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 如图，和是的两条切线，与相切于点E，并与，分别交于D，C两点．当，时，求的长． 18. 我们知道，通过对特殊三角形作图可以得到菱形．如图，是等边三角形． （1）尺规作图：作的平分线交于点E，在射线上截取，连接． （2）根据下面的思路完成证明过程． 证明：∵是等边三角形，平分， ∴且① ＝② ，（三线合一） 又∵， ∴四边形是菱形．（③ ）（填理由） 四、解答题：（本大题7个小题，每个小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在对应的位置上． 19. 先化简，再求值：．其中，在，0这两个数中选一个你喜欢的数作为x的值，且． 20. 为全面了解“书香校园”建设成效，精准优化校园阅读服务．我区某校开展了学生阅读情况调查．重点调查以下五方面：A．每周课外阅读时长；B．每月借阅图书数量；C．偏好的阅读类型；D．参与校园读书活动的次数；E．班级组织分享阅读次数等信息．学校随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必答且只回答一个问题），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图．根据上述信息，解决下列问题． （1）补全条形图并计算扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为 ； （2）若该校有2000名学生，请估计该校每月借阅图书数量的学生人数； （3）该校从D类中挑选出2名男生和2名女生，拟从这4名学生中随机抽取2名学生参加市级比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 21. 习总书记强调：“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上．”为落实这一要求，某农科院规划了两块正方形试验田开展农业技术研究，相关示意图如下．其中甲种水稻的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，乙种水稻的试验田的边长为米．两块试验田的水稻都收获了千克． （1）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ （2）在（）的计算结果下，若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，请求出m的值． 22. 如图1，四边形中，，， ．点是的中点，动点从出发，沿折线 运动（点不与点、重合）设点的运动路程为，的面积为，的面积的倍与点的路程之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在图2中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围． 23. 建于南宋绍兴年间的北山多宝塔位于我区北山上．为八角形密檐楼阁式砖塔，是大足标志性古建筑之一．我区某校数学实践小组利用所学知识采取两种方案测量多宝塔的高度． 方案一：如图①：借助太阳光线构成相似三角形．测量：塔影长，标杆长，影子为． 方案二：如图②，利用锐角三角函数．身高为的某同学站在点C处的仰角是，他往前走至点D处仰角为． （1）根据方案一、二的数据，分别求出多宝塔的高度．（结果保留一位小数）（参考数据：．） （2）两个方案计算的结果一致吗？请说明理由． 24. 如图，抛物线与轴分别交于点，点（在的左侧），与轴交于点，直线的图象过两点． （1）求三点的坐标； （2）点为直线上方抛物线上一点，点为直线上一动点，连接，当面积最大时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在中，连接，设． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，在（1）的条件下，点E在线段上，连接，将线段绕点D顺时针旋转至线段，点G为延长线上一点，且有，连接交于点H，求证：； （3）如图3，若，，，点E是上一点，将沿射线平移至C与E重合，并绕点E旋转至，延长与线段交于点F，连接、，当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $