11.1二次根式的概念（第2课时 二次根式的性质）（课件）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

11.1二次根式的概念 第二课时 八年级苏科版数学下册 第十一章 二次根式 学习目标 1. 能区分 与的不同条件、运算顺序与结果。 2. 会运用两个性质进行化简、计算与含参讨论，强化符号与分类意识。 3. 巩固二次根式双重非负性，能解决简单的非负数和为0的求值问题。 旧知复习 1、什么叫作二次根式？它有什么性质？ 2、当x满足             时，式子 在实数范围内有意义. 式子 二次根式的性质是： =a 3、计算： 7 45 4、分解因式： (x+)(x-) (a+)2 旧知复习 与( )2的区别： 一是表示的意义不同（运算顺序不同）： 二是a的取值范围不同： 表示a的平方的算术平方根， ( )2表示a的算术平方根的平方． 　　中a可以取任意实数， ( )2中a≥0． 探索活动一 当a＞0时， ＝a 当a＝0时， ＝0 当a＜0时， ＝－a 即　 ＝|a| 形成新知 ＝___， ＝___，＝____， 填空： ＝___，＝___，＝___， ＝___. 你有什么发现？与同学交流． 2 5 10 2 5 10 0 当a≥0时，=a; 当a<0时， =-a. 根据绝对值的意义，当a≥0时，|a|=a;当a<0时，|a|=-a. 由此可知: 归纳总结 新课讲解 填空： 2 5 10 2 5 10 0 你有什么发现？与同学交流. a -a 新课讲解 a -a 根据绝对值的意义， a -a 由此可知： 二次根式的性质3： 教材P156 例题 计算: (1)；(2)；(3) (1) (2) (3)= ● 例3 解 5 7 ①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式； ②去掉绝对值符号，根据绝对值的性质进行化简． 讨论 与是否相等? 表 达 式 ()2＝a(a≥0) ＝| a | 区别 表示的意义不同 表示a (a≥0) 的算术平方根的平方 表示a的平方的算术平方根 取值范围不同 a为非负数，即a≥0 a取一切实数 运算顺序不同 先求非负实数a的算术平方根， 然后再进行平方运算 先求实数a的平方， 再求a2的算术平方根 运算结果不同 　　　()2＝a(a≥0) ＝| a | 联 系 ()2 (a≥0)与的结果均为非负数， 当a≥0时，＝()2 证明：　　＝|a|． 小结3　　　＝|a|． 探索活动二 根据绝对值的意义： 当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝-a． 例3　计算下列各式： （1）　　　　 ；　（2）  ；　（3） （a≥0）． 例题讲解 解： (1) ； (2) ； (3) 当a≥0时，． 先写成绝对值的形式，再去掉 例题讲解 (书本第156页例3)计算： 尝试练习 (书本第156页练习1，2)：(1)下列各式是否成立？ 方法技巧 技巧一：区分两大核心性质 性质1：()² = a （a ≥ 0） 口诀：“先开方，后平方，等于被开方数。” 关键点：运算顺序是“先开方”，前提是被开方数 a 必须非负。 性质2： = |a| 口诀：“先平方，后开方，等于绝对值。” 关键点：运算顺序是“先平方”，结果一定是非负数（绝对值）。 技巧二：化简 的“两步走” 1. 第一步：判断符号— 先判断根号内的底数 a 的正负性。 2. 第二步：去绝对值— 根据底数 a 的正负情况，去掉绝对值符号，得到最终结果。 技巧一:利用性质"脱根号” 当根号下是一个完全平方式时，如，可以毫不犹豫地写成|mx+n|，再根据条件判断符号。这是化简此类根式的“万能钥匙”。 技巧二:逆向思维构造完全平方式 遇到形如a(a>0)的式子，可考虑将其写成的形式。这种逆向构造，能有效帮助我们进行因式分解或凑成完全平方式，简化运算过程。 技巧三:数形结合利用几何性质 解决涉及二次根式化简的几何问题时，要充分利用几何图形性质(如三角形三边关系)来判断根号内代数式的符号，这是突破此类难题的关键思路。 联系：在特定条件下的统一， 　　　当且仅当a≥0 时， ＝( )2＝a． 与( )2的区别和联系： 巩固提高 区别：运算顺序； 　　　a的取值范围——最关键的区别； 　　　运算结果． 基础巩固题 1.【2025福建厦门调研】若 ， ，，则，， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 【解析】 ， ， ， ，故选B. 知识点 尝试练习 (书本第156页练习1，2)：(2)计算： 尝试练习 (2025春•永吉县)若x＜2，化简 ，小明的解答过程如下： (1)小明的解答从第 步错误的，错误的原因是用错了性质 ； (2)写出正确的解答过程． ● 例题 解 二 |a|＝﹣a(a＜0) ∵x＜2， ∴x﹣2＜0，4﹣x＞0， ∴原式＝2﹣x+4﹣x＝6﹣2x． 2.【2025江苏盐城调研】已知， 为两个连续 奇数，,,则下列对 的表述中正确的是( ) B A.总是奇数 B.总是偶数 C.总是无理数 D.可能是有理数，也可能是无理数 【解析】，为两个连续奇数，， ， 为奇数， 为偶数， 为偶数，故选B. 22 3.【2024江苏泰州靖江期中】已知实数，， 在数轴上的位置如图所示，化简 ______. 【解析】根据题图，可得，，，， . 4.若5，12，为三角形的三边长，则化简 的结果为________. 【解析】，12，为三角形的三边长， ，即 ，， .故答案为 . 23 4．要使下列各式成立，a应取什么值? 巩固练习 (1) ＝ ()2 (2) ＝ -a 有意义要求 a≥0，此时等式恒成立 ∴a≥0 ∵​=∣a∣=−a 绝对值等于它的相反数，说明 a≤0 巩固练习 5．指出下列运算过程中的错误． 由． 所以 ，即 ． 两边开平方，得． 💡 核心知识 性质一： 性质二： ⚠️ 易错点提醒 作用：用于去根号。关键前提是被开方数必须非负，否则无意义 作用：用于化简。无论a正负，结果都是其绝对值，需根据符号去绝对值 1.忽略前提条件。使用性质一时，容易忘记被开方数a≥0的限制，导致在负数范围内错误运算。 2.丢掉绝对值符号。化简时，直接写成a，忽略了结果应为绝对值，未对a的正负进行判断。 🧠 思想方法 分类讨论思想 数形结合思想 在研究时，需对a>0、a=0、a<0三种情况分别讨论，确保全面性。 结合数轴上点的位置与距离(绝对值的几何意义)，直观判断代数式的符号。 二次根式的性质: 课堂小结 $