11.1 二次根式的概念（第1课时 二次根式的概念）（课件）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

八年级苏科版数学下册 第十一章 二次根式 11.1 二次根式的概念 第一课时 二次根式的概念 学习目标 1.熟练掌握二次根式有意义的条件，即被开方数必须为非负数，并能根据此条件求解字母的取值范围。 2.学会将 “二次根式有意义” 的文字条件转化为数学符号语言（不等式），并能综合考虑多个限制条件解决复合型问题。 3.感受二次根式产生的必要性和应用价值，激发学习数学的兴趣。 新课导入 用带有根号的式子表示下列问题中的数量，这些式子有什么共同特征？ (1)边长为1的正方形对角线的长； (2)面积为S的圆的半径； (3)直角边长分别为a，b的直角三角形斜边的长； (4)一个物体从静止状态自由下落的高度h(m)与所需的时间t(s)满足 关系 ，试用h表示t(g取10m/s2). 在数学上，我们给上述式子一个统一的名称，叫作“二次根式”.那么，谁能给“二次根式”下个定义？ 一般地，式子 叫作二次根式，a叫作被开方数． 特别提醒：（a≥0） 探索活动1 思考：1.当a＜0， 有意义吗？为什么？ 2.当a≥0， 可能为负数吗？为什么？ 二次根式的双重非负性：　 ≥0（a≥0） 探索活动2 尝试 用带有根号的式子表示下列问题中的数量 (1)边长为1的正方形对角线的长; (2)面积为S的圆的半径; (3)直角边长分别为a，b的直角三角形斜边的长; (4)一个物体从静止状态自由下落的高度h(m)与所需的时间t(s)满足关系式h=g，试用h表示t(g取10m/). ＝ ∵S＝πr2 ， ∴ r＝ c＝ ∵ h＝gt2＝×10t2＝5t2，∴ t＝ 每个式子都带有根号，且根号内的数都是非负数． 这些式子有什么共同特征? 归纳总结 判断二次根式 关键看两点：①“外形”必须含有二次根号 ；②“内里”被开方数必须大于或等于 0。二者缺一不可。 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式(quadraticradical)，a可以是一个数，也可以是一个代数式.当a是一个非负数时， 表示a的算术平方根. 与前面学习的整式和分式一样，二次根式也是一种代数式. 新课讲解 思考：下列哪些式子是二次根式？为什么？ 尝试练习 说一说，下列各式哪些是二次根式? 例2　计算下列各式： （1）(　 )2 ；　（2）　　　；　（3）(　　)2．  例题讲解 解：（1）＝3； （2）＝ ； （3）＝×＝9×2＝18． 巩固练习 1．求使下列各式有意义的 x 的取值范围．　 (1) ； (2) ；(3) ； (4) ． 解：(1)要使有意义，必须 x+5≥0，即 x≥-5； (2)要使有意义，必须≥0，即 x≥； (3)要使有意义，必须-1≥0，即 x≥； (4)要使有意义，必须≥0，即 x≤-； 例1　求使下列各式有意义的x的取值范围． ①a≥0（条件非负）， ②　 ≥0（结果非负）． 小结2　在二次根式　 中， 例题讲解 （1）　　 ；　　　　　（2）　　　．   (2)不论 x 取何实数，总有x2≥0，x2＋5≥5，二次根式 在实数范围内总有意义． 解：(1)要使有意义，必须 x－3≥0，即 x≥3； 求使下列各式有意义的x的取值范围. 例题讲解 教材P155 例题 ● 例2 解 计算： (1); (2); (3) (1) (2) 2=18 (3) 给出下列式子: （1）;（2）;（3）;（4）;（5） . 其中一定是二次根式的是____________.（只填序号） （1）（5） 解析： 序号 结论 理由 （1） 是 是形如 的式子，且被开方数2是非负数. （2） 不是 “ ”是三次根号，不是二次根号. （3） 不是 虽然是形如 的式子，但被开方数是负数. （4） 不一定 虽然是形如的式子,但被开方数 可能 为负数. （5） 是 是形如的式子，且被开方数 . 尝试练习 (书本第155页练习1)：求使下列各式有意义的x的取值范围. 尝试练习 (书本第155页练习1)：求使下列各式有意义的x的取值范围. （1）二次根式是一种形式定义，即式子中必须含有“ ”. 如， 是二次根式，2不是二次根式. （2）如果已知是二次根式，就意味着满足 这一隐含条件.#4.1.2 巩固练习 2．计算．　 （1） （2） （3） （4）+　 ＝ 11 ＝ ＝22 × ＝ a+b ( ) 巩固练习 4．计算： （1）；（2）；（3）；（4）．　 3．求使下列各式有意义的 x 的取值范围．　 (1) ； (2) ；(3) ； (4) ． x≥4 x≥ x≤ x 为任意实数 ＝ ＝20 ＝12 探究 如图11-1，给定线段AB=a，你能作出a吗? 作直角 ∠MON=90°。 在两边上分别截取长度 a 以 O 为圆心，a 为半径画弧，交 OM 于点 C，则 OC=a。 同样以 O 为圆心，a 为半径画弧，交 ON 于点 D，则 OD=a。 连接 CD。 结论所以线段 CD 即为所求作的a。 a a a 基础巩固题 知识点1 二次根式的定义 1.【2024江苏苏州张家港质检】下列各式中，二次根式的个数为( ) ，，，，，， . A A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【解析】在，，，，，， 中， 为二次根式的是，， ，故二次根式的个数为3个. 知识点2 二次根式有意义的条件 2.使代数式有意义的整数 有( ) C A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【解析】 代数式有意义， 解不等式组得 ，符合条件的整数有 ,0,1,共3个.故选C. 关键点拨 当式子含有分母时，需满足分母不等于0；当式子含有二次根式时，需满足被开方 数是非负数． 23 新课讲解 (3)你还能举出哪些这样的例子？从中你得到什么结论？ 2的算术平方根 2 30 9 1.5 0.01 根据算术平方根的意义，可知： 二次根式的基本性质1：当a ≥ 0时， 知识点3 二次根式的非负性 3.已知三角形三边长分别为，，，若 ，则 ( ) C A.是以为斜边的直角三角形 B.是以 为斜边的直角三角形 C.是以 为斜边的直角三角形 D.不是直角三角形 【解析】，， ， ，，，，， 是以 为斜边的直角三角形.故选C. 25 01. 一个定义 · 二次根式 02. 两个核心条件 03. 三种经典题型 ⚠ 易错点提醒 1. 忽略前提：在运用性质或进行运算时，忘记二次根式有意义的条件 a≥0 2. 分母漏看：求解含分母的二次根式取值范围时，只关注被开方数，忘记分母不能为零。 形如 (a≥0)的式子。 判断关键： ① 必须含有二次根号 ② 被开方数 a必须大于或等于 0。 有意义的条件：被开方数 a≥0； 双重非负性： ① 被开方数 a≥0 ② 二次根式的值 0. ① 判断：紧扣定义的两个关键点。 ② 求范围：注意单根式、多根式、分母。 ③ 求值：若 A+B+C=0 且均非负，则全为0。 1.二次根式的定义． 2.二次根式的双重非负性． 3.当a≥0时，(　 )2＝a. 课堂小结 $