7.1 两条直线的位置关系 培优作业 2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册

第七章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 第1课时对顶角、余角、补角 夯基础 1.如图1所示，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象.将图1简化为图2，下列描述正确的是 ( ) A.∠1和∠2是对顶角 B.∠2 和∠DOE 互余 C.∠COF 和∠DOF 互补 D.∠COE=∠GOD 2.如图,点 B,O,D 在同一条直线上,∠COA=90°,直线 DB 从与OA 重合的位D置开始绕点 O 逆时针旋转,形成∠1(小于45°),∠2,∠3,当∠1 增加15°时，下列说法正确的是 ( ) A.∠3 增加15° B.∠3 减少15° C.∠2 增加 15° D.∠2 减少30° 3.一个角的补角是92°,则这个角的余角是 . 4.已知∠A 与∠B 互补,且∠A>∠B,代数式:①90°-∠B②90°-∠A ③∠A-90° 中，可以表示∠B 的余角的是 (填序号). 5.已知:如图,直线 AB,CD 交于点O,OE 平分∠COB,∠AOC=62°,那么∠DOE= . 6.如图,直线 AB 与CD 相交于点O,若∠1=120°,则∠2+∠3= . 7.【问题背景】如图，已知点 O 为直线AB 上一点，过点 O作射线OC,∠BOC=104°. 【初步探究】 (1)如图1,则∠AOC 的读数为 °; (2)如图2,过点 O 在AB 下方作射线OE,使得∠COE=90°,若 OD 平分∠AOC.求∠AOE 和∠DOE 的度数; 【拓展提升】 (3)在(2)的条件下,过点 O 作射线OP,若∠BOP 与∠AOD 互余,求∠COP 的度数. 练能力 8.综合与实践： 实践操作：在综合与实践活动课上，老师将一副三角尺按图1所示的位置摆放，分别在∠AOC,∠BOD 的内部作射线OM,ON,然后提出如下问题：先添加一个适当条件，再求∠MON 的度数. 特例探究： (1)如图1所示，“启蒙小组”添加了“若OM，ON 分别平分∠AOC,∠BOD”,小组内佳佳同学的做法是：由于图中∠AOC 与∠BOD 的和为90°,所以我们容易得到∠MOC 与∠NOD的和，这样就能求出∠MON 的度数.请你根据佳佳的做法，写出解答过程； (2)如图 2 所示，“睿智小组”添加了“若 小组内乐乐同学的做法是：设∠AOC 的度数为x，我们就能用含有x的式子表示出∠COM和∠DON 的度数，这样就能求出∠MON 的度数，请你根据乐乐的做法，写出解答过程；类比拓展： (3)受“启蒙小组”和“睿智小组”的启发，“创新小组”添加了“若 请你直接写出∠MON 的度数. 9.综合实践 问题情境： 数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动. 问题实践： (1)老师将三角尺 ABC 和三角尺 CDE 按如图1所示摆放在直线 MN 上，边 AC，CD落在直线MN 上,∠ABC=∠CDE=90°,∠ACB = 45°,∠DCE = 60°,则∠BCE = ; 操作探究： (2)奋进小组将图1中三角尺 CDE 绕点C逆时针旋转进行探究，当边 CD 首次落在直线MN 上时停止旋转，若以每秒5°的速度旋转，设三角尺 CDE 旋转时间为t秒，提出下列问题，请你帮忙解答. ①t= 秒,边 CE 落在边 BC上; ②当边 CD 平分∠ACB 时,t= 秒;深度探究： (3)如图2，腾飞小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角尺 CDE 绕点C 以每秒5°的速度逆时针旋转的同时，将三角尺ABC 也绕点C 以每秒 15°的速度顺时针旋转，当三角尺 CDE 的边 CD 首次落在直线MN 上时停止旋转，同时三角尺 ABC 也停止旋转.求 t 为何值时,∠BCE=60°. 第2课时垂直 夯基础 1.如图,直线 AB 和CD 相交于点O,OF 平分∠AOE,OD⊥OF,若∠AOC=35°,则∠DOE 的大小为 ( ) A.35° B.40° C.45° D.55° 2.如图，在立定跳远后，王老师用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合来测量运动员的成绩，他这样做的理由是 ( ) A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3.如图，要从河中引水灌溉农田，通常会从灌溉点 A沿着垂直于河岸的方向修建引水渠AB，这么做的原理是 . 4.如图,直线 AB,CD 相交于点O,OD 平分∠EOF,OE⊥AB.如果∠BOF=28°,那么∠COF= °. 5.如图,已知∠C=90°,AB=5,AC=4,BC=3,则点 A 到线段 BC的距离为 . 6.如图,E 是直线CA 上一点,∠FEA =40°,射线 EB 平分∠CEF,GE⊥EF,则∠GEB= °. 7.如图,三角形 ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,P 为直线AB 上一动点，连接 PC，则线段 PC 的最小值是 . 8.如图,直线 AB,CD 相交于点O,OE⊥CD. (1)若∠AOC=38°,求∠BOE 的度数; (2)若∠BOD :∠BOC=1: 5,求∠AOE的度数； (3)在(2)的条件下,过点O作OF⊥AB,请直接写出∠EOF 的度数是 . 9.如图,直线 CD,AB 相交于点O,∠BOD 和∠AON 互余,∠AON=∠COM. (1)OB 和OM 垂直吗?为什么? (2)若 求∠BOD 的度数. 练能力 10.培素养如图,直线 AB,CD 相交于点O,OE⊥OF,且OC 平分∠AOE. (1)【探究发现】若∠BOF=2∠BOE 时,则∠DOF 的度数是 ; (2)【类比延伸】若∠DOF = 20°时,求∠BOE 的度数; (3)【联想拓展】从(1)(2)的结果中可以猜想出∠BOE 和∠DOF 有何关系，并给予证明. 11.问题情境:如图,直线 AB,CD 相交于点O. ON 把∠AOD 分成两个角,且∠AON:∠NOD=2:3. 问题提出： (1)若∠BOC=75°,求∠AON 的度数; (2)如果∠BOC=75°,OM 平分∠BON,那么OB 是∠COM 的平分线吗?试说明理由； 问题解决： (3)若 OM⊥ON,则 是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由. 12.【实践操作】三角尺中的数学 (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点 C叠放在一起,∠ACD=∠ECB=90°. ①若∠ECD=38°,则∠ACB= ;若∠ACB=150°,则∠ECD= ; ②猜想∠ACB 与∠ECD 的大小有何数量关系，并说明理由； (2)如图2，若是将两个同样的含 60°锐角的直角三角尺叠放在一起，其中 60°锐角的顶点 A 重合在一起,∠ACD=∠AFG=90°. ①探究∠GAC 与∠DAF 的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将△ADC 与△AFG 完全重合(AF 与AC 重合),保持△ADC 不动,将△AFG 绕点 A 以每秒 10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为 t.在旋转的过程中,t为何值时AG⊥AC. 第 1 课时 对顶角、余角、补角 1. C 2. A 3.2°4.①③④ 5.121°6.120° 7.解:(1)∠AOC = 180°-∠BOC = 180°-104°=76°; (2)因为∠AOE=∠COE-∠AOC=90°-76°=14°,OD 平分∠AOC, 所以 76°=38°, ∠DOE=∠COE-∠DOC=90°-38°=52°,所以∠AOE=14°,∠DOE=52°; (3)因为∠BOP 与∠AOD 互余,∠AOD=38°,所以∠BOP=90°-∠AOD=90°-38°=52°,所以OP 在∠BOC 内部时, ∠COP=∠BOC-∠BOP=104°-52°=52°, 所以OP 在∠BOC 外部时, ∠COP=∠BOP+∠BOC=52°+104°=156°. 8.证明:(1)因为 OM,ON 分别平分∠AOC,∠BOD, 所以 因为 ∠AOC + ∠BOD + ∠COD = 180°,∠COD=90°, 所以∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°,所 以 ∠MON = ∠MOC + ∠COD + 45°+90°=135°, 所以∠MON 的度数为 135°; (2)设∠AOC 的度数为x,则∠BOD 的度数为 90°-x, 因为 所以 所 以 ∠MON = ∠MOC + ∠COD +∠DON=30°+90°=120°,所以∠MON 的度数为120°; (3)设∠AOC 的度数为x,则∠BOD 的度数为90°-x, 因为 所以 因为∠MON=∠MOC+∠DON+∠COD, 所以 即∠MON 的度数为 9.解:(1)∠BCE=180°-45°-60°=75°,故答案为:75°; (2)①75÷5=15(秒),故答案为:15; ②(180-22.5)÷5=31.5(秒),故答案为:31.5; (3)当三角尺 CDE 的边 CD 首次落在直线 MN上时,所需要的时间为180÷5=36(秒), 当0<t<12秒或24<t<36秒时,三角形ABC 在MN 的上方,当12<t<24 秒时,三角形ABC 在MN 的下方, 当0<t<12秒时,5t+15t=75-60 或5t+15t=75+60,解得 或 当24<t<36秒时,5t+15t=360+75-60或5t+15t=360+75+60,解得 (舍)或 综上所述，当t 的值为 或 或 时，∠BCE=60°. 第 2 课时垂直 1. A 2. C 3.垂线段最短 4.121 5.4 6.20 7. 8.解:(1)因为OE⊥CD,所以∠COE=90°,因为∠AOC=38°, 所以∠BOE = 180° — ∠COE — ∠AOC =180°-90°-38°=52°; (2)因为∠BOD :∠BOC=1:5,∠BOC+∠BOD=180°, 所以5∠BOD+∠BOD=180°, 解得∠BOD=30°, 所以∠BOE=∠DOE-∠BOD=60°, 所以∠AOE=180°-∠BOE=120°; (3)如图, 因为OF⊥AB, 所以∠BOF=90°, 所以∠EOF=∠BOF-∠BOE=30°;如图， 因为OF⊥AB, 所以∠BOF=90°, 所以∠EOF=∠BOF+∠BOE=150°; 故答案为:30°或150°. 9.解:(1)OB 和OM 垂直,理由如下: 因为∠BOD 和∠AON 互余, 所以∠BOD+∠AON=90°, 因为∠AON=∠COM, 所以∠BOD+∠COM=90°, 所以∠MOB=180°-(∠BOD+∠COM)=90°,所以OB⊥OM; (2)设∠COM=x,则∠BOC=5x, 所以∠BOM=4x, 因为∠BOM=90°, 所以4x=90°, 解得x=22.5°, 所以∠BOD=90°-22.5°=67.5°. 10.解:(1)由条 件 可 知∠EOF =∠BOF +∠BOE=90°, 因为∠BOF=2∠BOE, 所以∠BOE=30°,∠BOF=60°, 因为∠AOE+∠BOE=180°, 所以∠AOE=150°, 又因为OC平分∠AOE, 所以 所以∠DOF =∠BOD - ∠BOF = 75°-60°=15°. 故答案为:15°; (2)设∠BOE=x, 由条件可知∠BOF=90°-∠BOE=90°-x, 因为∠AOE+∠BOE=180°, 所以∠AOE=180°-∠BOE, 又因为OC 平分∠AOE, 所以 所以 所以 即 解得x=40°,即∠BOE=40°; (3)猜想:∠BOE=2∠DOF, 理由:设∠BOE=m, 因为OE⊥OF, 所以∠BOF=90°-∠BOE=90°-m, 由条件可知∠AOE=180°-m, m), 所以 则 解得 即∠BOE=2∠DOF. 11.解:(1)因为∠AOD =∠BOC,∠BOC =75°, 所以∠AOD=75°, 又因为∠AON:∠NOD=2:3, 所以 (2)由(1)知当∠BOC=75°时,∠AON=30°, 所以∠BON=180°-∠AON=150°, 因为 OM平分∠BON, 所以∠BOM=∠MON=75°, 所以∠COB=∠BOM, 所以OB 是∠COM 的平分线; (3)是定值.设∠AON=2x,则∠NOD =3x, 因为OM⊥ON,所以∠MON=90°, 所以∠MOD=90°-3x, 因为∠AOD=∠AON+∠DON=5x, 所以∠AOC=180°-∠AOD=180°-5x, 所以 5x)-(90°-3x)=18°. 12. 解:(1)①若∠ECD = 38°,则∠ACE =∠ACD-∠ECD=90°-38°=52°, 所以∠ACB =∠ACE +∠ECB = 52°+90°=142°; 若∠ACB = 150°,则∠ACE =∠ACB -∠ECB=150°-90°=60°, 所以∠ECD =∠ACD - ∠ACE = 90°-60°=30°; 故答案为:142°;30°; ②∠ACB+∠ECD=180°,理由如下: 因为∠ACD=∠ECB=90°, 所以∠ACD+∠ECB=180°, 所 以 ∠ACE + ∠ECD + ∠DCB +∠ECD=180°, 即∠ACB+∠ECD=180°; (2)①∠GAC+∠DAF=120°,理由如下: 因为∠GAF=∠DAC=60°, 所以∠GAF+∠DAC=120°, 所 以 ∠GAD + ∠DAF + ∠FAC +∠DAF=120°, 即∠GAC+∠DAF=120°; ②因为 AG⊥AC, 所以∠GAC=90°, 当 AG 在AC 上方时, 旋转角度为∠DAG=∠GAC-∠DAC=90°-60°=30°, 所以t=30÷10=3(秒); 当AG 在AC下方时, 旋 转 角 度 为 360° — ∠DAG = 360°—(∠GAC+∠DAC)=360°-(90°+60°)=210°, 所以t=210÷10=21(秒); 综上所述,t 为 3 秒或21秒时 AG⊥AC. 学科网（北京）股份有限公司 $