11.1　二次根式的概念第1课时 课件 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

第11章 二次根式　11.1　二次根式的概念 第1课时　二次根式的概念 初中数学苏科版（2024）八年级下册 学习目标 1.了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件.(重点) 2.理解(a≥0)的非负性.(重点) 3.会运用二次根式的性质()2=a(a≥0)解决问题.(难点) 课堂引入 平方根和算术平方根的概念： 如果x2=a(a≥0)，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根.正数a有两个平方根±，我们把正数a的正的平方根叫作a的算术平方根. 一、 二次根式的概念及有意义的条件 问题1　用带有根号的式子表示下列问题中的数量： (1)边长为1的正方形对角线的长； 提示　由勾股定理可知，边长为1的正方形对角线的长为. (2)面积为S的圆的半径； 提示　由圆的面积公式可知，圆的面积为S，则圆的半径是. (3)直角边长分别为a，b的直角三角形斜边的长； 提示　由勾股定理可知，直角边长分别为a，b的直角三角形斜边的长为. (4)一个物体从静止状态自由下落的高度h(m)与所需的时间t(s)满足关系式h=gt2，试用h表示t(g取10 m/s). 提示　由题意可知，h=5t2，∴t=. 问题2　(1)，，，这些式子分别表示什么意义？ 提示　分别表示2，，a2+b2，的算术平方根. (2)，，，这些式子有什么共同特征？ 提示　①根指数都为2；②被开方数为非负数. 知识梳理 一般地，我们把形如(a 0)的式子叫作二次根式.“”称为二次根号.a可以是一个数，也可以是一个代数式. ≥ 例1　下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ (1)；(2)；(3)(x≤0)； (4)(m，n异号，n≠0)；(5)；(6). 解　(1)(3)(5)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(4)(6)均不是二次根式. 反思感悟 判断二次根式的方法： (1)形式上：含有二次根号“”，注意三次根号“”等都不可以； (2)内容上：被开方数必须是非负数，注意被开方数可以是数、字母或含有字母的式子. 跟踪训练1　下列各式是二次根式吗？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5)(m≤0)；(6)；(7)；(8)；(9)4；(10). 解　(1)(5)(7)(9)(10)是二次根式. 二、 二次根式的双重非负性 知识梳理 1.二次根式有意义的条件： 被开方数是非负数，即二次根式中a≥0. 2.二次根式双重非负性，即a≥0，≥0.(双重非负性) 例2　要使下列各式有意义，x应是怎样的实数？ (1)；(2)；(3). 解　(1)由x-7≥0，得x≥7. 所以当x≥7时，在实数范围内有意义. (2)不论x取何实数，总有x2≥0，x2+1≥1，二次根式在实数范围内总有意义. (3)由题意得x-1>0，所以x>1. 反思感悟 求使代数式有意义的字母的取值范围时，列不等式(组)的主要依据如下： (1)二次根式的被开方数大于或等于0； (2)分式的分母不为0； (3)零指数幂与负整数指数幂的底数不等于0. 跟踪训练2　x取何值时，下列二次根式有意义？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)+(x-2)0；(7). 解　(1)x≤0. (2)x为全体实数. (3)x>0. (4)x≥0. (5)x≠0. (6)x≥-1且x≠2. (7)x>0. 三、 二次根式的性质及化简 问题3　(1)的意义：　　　 　　　；=　　；  (2)类似地，=　　，=　 　，=　　；  (3)观察上述等式的两边，你得到什么启示？ 提示　略. 是2的算术平方根 4 5 7 知识梳理 根据算术平方根的意义，可知：当a≥0时，()2= . a 例3　计算： (1)()2； (2)； 解　(1)()2=3. (2)=. 例3　计算： (3)()2(a+b≥0)； (4)； (5)(y≥0). 解　(3)当a+b≥0时，()2=a+b. (4)=22×=4×3=12. (5)=(-2x)2×=4x2×4y=16x2y. 反思感悟 (1)任何一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； (2)任何一个非负数均可表示成它算术平方根的平方. 跟踪训练3　计算： (1)；(2)； (3)+；(4). 解　(1)=13. (2)=. (3)+=8+2=10. (4)=(-2)2×=4×5=20. 课堂小结 1.二次根式的概念：形如(a≥0)的式子. 2.二次根式有意义的条件：被开方数是非负数. 3.()2=a(a≥0). 1.下列各式中，一定是二次根式的是 A. B. C. D. 课堂练习 √ 解析　A项，当a<0时，不是二次根式； B项，∵-2<0，∴不是二次根式； C项，当a<-2时，a+2<0，不是二次根式； D项，∵a2+1≥1>0，∴一定是二次根式. 2.要使代数式有意义，则x的取值范围是 A.x>2 B.x≥2 C.x<2 D.x≤2 √ 解析　由题意，得x-2≥0， ∴x≥2. 课堂练习 3.化简：=　　　.  5 课堂练习 4.若y=++3，则xy的值为　　.  解析　由题意得，x-2≥0，2-x≥0， ∴x=2， ∴y=3， ∴xy=23=8. 8 课堂练习 5.求下列各个二次根式中x的取值范围. (1)； 解　2x-3≥0，解得x≥. (2)； 解　-3x+4≥0，解得x≤. 课堂练习 5.求下列各个二次根式中x的取值范围. (3)； 解　x为任意实数. (4)； 解　x+3>0，解得x>-3. 课堂练习 5.求下列各个二次根式中x的取值范围. (5). 解　由题意得，x+2≥0且x-1≠0， 解得x≥-2且x≠1. 课堂练习 6.若+(2a+b-1)2=0，求的值. 解　∵+(2a+b-1)2=0， ∴解得 ∴ = =. 课堂练习 7.计算： (1)； 解　=1.5. (2). 解　=52×=25×2=50. 课堂练习 8.当a取什么值时，代数式+1的取值最小？并求出这个最小值. 解　∵≥0， ∴当a=-有最小值0. 则+1的最小值是1. 课堂练习 谢谢观看 $