专题04不等式与不等式组易错必刷题型专项训练(23大题型共计70道题)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题04不等式与不等式组易错必刷题型专项训练 本专题汇总不等式与不等式组章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.不等式的性质 题型02.求一元一次不等式的解集 题型03.在数轴上表示不等式的解集 题型04.求一元一次不等式的整数解 题型05.求一元一次不等式解的最值 题型06.解|x|a型的不等式 题型07.列一元一次不等式 题型08.一元一次不等式解决实际问题 题型09.一元一次不等式解决几何问题 题型10.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型11.两直线交点求不等式解集 题型12.求不等式组的解集 题型13.解特殊不等式组 题型14.求一元一次不等式组整数解 题型15.由一元一次不等式组解集求参数 题型16.由不等式组解集的情况求参数 题型17.不等式组和方程组结合的问题 题型18.列一元一次不等式组 题型19.不等式组的行程问题 题型20.不等式组的工程问题 题型21.不等式组的经济问题 题型22.不等式组的方案选择问题 题型23.不等式组阶梯收费问题 易错必刷题型01.不等式的性质 典题特征：考查不等式变形、两边同加减同乘除数字或式子，判断变形正误 易错点：两边乘除负数时，忘记改变不等号方向；分不清乘除正数负数的规则 1．若，则______0． 2．若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若m为正整数，且满足，则________． 易错必刷题型02.求一元一次不等式的解集 典题特征：常规解一元一次不等式，按步骤化简求出x取值范围 易错点：去分母漏乘常数项、移项不变号、系数化为1符号写错，计算粗心 4．关于的不等式的解集是________． 5．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．新定义规定以下变换：，若，则的取值范围是____． 7．解不等式：，将解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 易错必刷题型03.在数轴上表示不等式的解集 典题特征：算出解集后，在数轴规范画出对应范围 易错点：空心圆实心圆乱用、大于小于方向画反，有等号用实心、无等号用空心 8．一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是________． 9．代数式中的取值范围在数轴上表示如图所示，则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 10．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 易错必刷题型04.求一元一次不等式的整数解 典题特征：先解不等式，再从中找出符合要求的整数、正整数、非负整数 易错点：边界整数多算或者漏算，看错取值范围，整数找不全 11．写出不等式的一个负整数解___________． 12．已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 13．列不等式与解不等式 (1)用不等式表示数量关系：x的3倍与9的差不大于． (2)解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． 易错必刷题型05.求一元一次不等式解的最值 典题特征：根据不等式解集，求最大整数解、最小整数解 易错点：搞反不等号对应最值，边界临界点判断错误 14．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 15．已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 16．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 易错必刷题型06.解|x|a型的不等式 典题特征：含绝对值不等式化简求解，区分大于和小于两种绝对值题型 易错点：混淆绝对值大于、小于的解集规律，漏写其中一段取值范围 17．不等式的解集是______． 18．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 19．解不等式： 易错必刷题型07.列一元一次不等式 典题特征：根据文字语言，把语句转化列出正确不等式 易错点：至少、最多、不大于、不小于，对应不等号写反，理解题意偏差 20．美国“阿尔忒弥斯2号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为，飞船在月球轨道附近执行任务（停留）约48小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168小时．设飞船往返的平均速度为，则应满足的不等式是______． 21．小明要从五一广场到双塔寺，两地相距3.2千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，骑车的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要骑车多少分钟？设他骑车的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 22．用适当的不等式表示下列数量关系： (1)减去大于； (2)的倍与的差是负数； (3)的与的和是非负数； (4)的倍与的差不大于． 易错必刷题型08.一元一次不等式解决实际问题 典题特征：结合生活场景，列不等式解题作答 易错点：忽略实际数量必须为正整数，解完不结合实际取舍答案 23．某品牌电脑的成本为2400元，标价为2800元，如果商店要以利润不低于的售价打折销售，最低可打多少折出售？______ 24．某农户投入元种植千克蔬菜，在生长过程中有的蔬菜因病虫害受损无法售卖．若要使总收益比成本至少高，则每千克蔬菜的售价至少为多少元？设每千克蔬菜的售价为元，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 25．学校计划购买30副羽毛球拍和若干盒羽毛球调查发现，某体育用品商店羽毛球拍的标价为100元/副，羽毛球的标价为30元/盒，为学校提供两种优惠方案：方案一是羽毛球拍和羽毛球均打9折；方案二是羽毛球拍不打折，羽毛球打7折．该校购买羽毛球的盒数满足什么条件时，选择方案二更省钱？ 易错必刷题型09.一元一次不等式解决几何问题 典题特征：结合三角形边长、角度、图形边长关系列不等式求解 易错点：忽略三角形三边关系、边长大于0的隐藏条件 26．已知的三个内角互不相等，如果为最小的内角，那么下列四个度数中，最大可取 （    ） A． B． C． D． 27．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为________． 28．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 易错必刷题型10.直线与坐标轴交点求不等式解集 典题特征：给一次函数图像，利用与坐标轴交点，求对应不等式解集 易错点：分不清图像在x轴上方、下方对应的不等关系，解集范围看反 29．如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 30．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．若直线始终与线段有公共点，则的取值范围是___________． 31．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 易错必刷题型11.两直线交点求不等式解集 典题特征：两个一次函数图像相交，根据上下位置比较求不等式解集 易错点：看错两直线上下位置，交点左右解集范围判断颠倒 32．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______． 33．如图，一次函数（，为常数）与正比例函数（为常数）的图象交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 34．如图，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，．点在轴负半轴上，且． (1)求直线的解析式 (2)若直线与直线交于点，与轴交于点，交的延长线于点，且，求的值． (3)直接写出的解集． 易错必刷题型12.求不等式组的解集 典题特征：分别解两个不等式，再合并取公共解集 易错点：解集口诀记混，不会找公共部分，有解无解判断错误 35．如图是某不等式组在数轴上表示，下列各数是该不等式组的解的是（   ） A． B． C． D． 36．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 37．解不等式组． 易错必刷题型13.解特殊不等式组 典题特征：含绝对值、含分母、带复杂形式的不等式组求解 易错点：忽略分母不能为0、绝对值非负的隐藏限制条件 38．定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．已知，则的取值范围是_______． 40．阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 易错必刷题型14.求一元一次不等式组整数解 典题特征：解不等式组，在公共解集里找出符合条件整数 易错点：解集边界取舍出错，整数漏找、多找，审题不仔细 41．不等式组的非负整数解有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 42．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则所有满足条件的整数m的和为______． 43．解下列不等式（组），并把其解集表示在数轴上． (1) (2) (3) (4)，并写出它的所有负整数解． 易错必刷题型15.由一元一次不等式组解集求参数 典题特征：已知不等式组解集，反求式子中字母参数取值范围 易错点：边界值能不能取等号判断错误，多漏等号直接丢分 44．已知关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．如果不等式组的解集是，则________． 46．已知不等式组的解集为，则的值等于多少． 易错必刷题型16.由不等式组解集的情况求参数 典题特征：已知不等式组有解、无解、有若干整数解，求参数范围 易错点：等号边界拿捏不准，分类讨论不全面，漏情况 47．若关于的不等式组无解，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 48．关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 49．已知关于x的不等式组有解，求a的取值范围． 易错必刷题型17.不等式组和方程组结合的问题 典题特征：先解方程组，再结合不等式范围求参数 易错点：联立式子混乱，方程组计算出错，不等式范围结合错误 50．若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 51．若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 _________． 52．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 易错必刷题型18.列一元一次不等式组 典题特征：根据题干多个限制条件，列出完整不等式组 易错点：找不全题干不等关系，漏列条件，不等号方向写错 53．一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（    ） A． B． C． D． 54．三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______ 55．某工人制造机器零件，如果每天比预定的多做一件，那么80天所做的零件数超过1000件；如果每天比预定的少做一件，那么80天所做的零件数不到900件，这个工人预定每天做几件零件？ 易错必刷题型19.不等式组的行程问题 典题特征：路程、速度、时间相关应用题，列不等式组解题 易错点：行程等量关系理解不清，找错不等关系，列式错误 56．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 57．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 58．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 易错必刷题型20.不等式组的工程问题 典题特征：工作总量、工作效率、工期相关应用题 易错点：工程数量关系捋不顺，无法正确列出不等式组 59．沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧课桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 60．某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 61．2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 易错必刷题型21.不等式组的经济问题 典题特征：利润、成本、售价、预算相关不等式应用 易错点：利润成本关系搞反，不等限制条件列错 62．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 63．王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 64．综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，B型号的进价为120元； 素材2：该电器商城准备用不超过7830元的金额采购这两种型号的电风扇共60台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售2台A型号电风扇和1台B型号电风扇，共获得销售收入510元；销售3台A型号电风扇和2台B型号电风扇，共获得销售收入840元； 【任务】 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)该电器商城销售完这60台电风扇能否实现利润超过2080元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 易错必刷题型22.不等式组的方案选择问题 典题特征：根据限制条件，求出所有符合要求的可行整数方案 易错点：找不全所有方案，多算无效方案，最后不会筛选最优解 65．某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元．若计划用两种货车共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总运费最低？最低运费是多少元？ 66．第十五届体育节到来之际，学校计划购买篮球和排球共60个，其中篮球每个120元，排球每个80元，购买总费用不超过5680元，且篮球数量不少于排球数量的一半． (1)设购买篮球个，写出应满足的不等式组； (2)求出符合条件的所有购买方案，并指出哪种方案总费用最低． 67．某服装店老板到厂家购进，两种型号的服装，购进型号服装的数量要比购进型号服装的数量的倍还多件，且型号服装最多可购进件． (1)求型号服装最多可以购进多少件． (2)若销售一件型号服装可获利元，销售一件型号服装可获利元，要求这批服装全部售出后总的获利不少于元，问有几种进货方案？如何进货？ 易错必刷题型23.不等式组阶梯收费问题 典题特征：水电费、收费分段计价，分区间列不等式组计算 易错点：分段区间划分不清，对应区间收费标准套用错误 68．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 69．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 70．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04不等式与不等式组易错必刷题型专项训练 本专题汇总不等方式与不等式组章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.不等式的性质 题型02.求一元一次不等式的解集 题型03.在数轴上表示不等式的解集 题型04.求一元一次不等式的整数解 题型05.求一元一次不等式解的最值 题型06.解|x|a型的不等式 题型07.列一元一次不等式 题型08.一元一次不等式解决实际问题 题型09.一元一次不等式解决几何问题 题型10.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型11.两直线交点求不等式解集 题型12.求不等式组的解集 题型13.解特殊不等式组 题型14.求一元一次不等式组整数解 题型15.由一元一次不等式组解集求参数 题型16.由不等式组解集的情况求参数 题型17.不等式组和方程组结合的问题 题型18.列一元一次不等式组 题型19.不等式组的行程问题 题型20.不等式组的工程问题 题型21.不等式组的经济问题 题型22.不等式组的方案选择问题 题型23.不等式组阶梯收费问题 易错必刷题型01.不等式的性质 典题特征：考查不等式变形、两边同加减同乘除数字或式子，判断变形正误 易错点：两边乘除负数时，忘记改变不等号方向；分不清乘除正数负数的规则 1．若，则______0． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴，，，， ∴A错误，B正确，C错误，D错误． 3．若m为正整数，且满足，则________． 【答案】10 【分析】先利用不等式的性质得到的取值范围，再估算出的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ， ， 为正整数，且满足， ． 易错必刷题型02.求一元一次不等式的解集 典题特征：常规解一元一次不等式，按步骤化简求出x取值范围 易错点：去分母漏乘常数项、移项不变号、系数化为1符号写错，计算粗心 4．关于的不等式的解集是________． 【答案】 【分析】按照一元一次不等式的基本求解步骤计算即可得到结果． 【详解】解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得． 5．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照去括号，移项，系数化为1的步骤计算，注意不等式两边同时除以负数时，不等号方向需要改变． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得：， 不等式的解集为. 6．新定义规定以下变换：，若，则的取值范围是____． 【答案】或 【分析】本题为新定义分段不等式问题，根据新定义的规则，对1和的大小关系分两种情况讨论，分别解一元一次不等式，结合每种情况的前提条件，即可得到的取值范围. 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论： 当，即时， ， 由得 ， 不等式两边同乘得 ， 移项得 ， 系数化为得 ，满足，此情况成立； 当，即时， ， 由得 ， 不等式两边同乘得 ， 移项得 ，满足，此情况成立； 综上，的取值范围是或. 7．解不等式：，将解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 【答案】；画图见解析；非负整数解为0，1，2，3 【分析】先解不等式，求得，然后将解集在数轴上表示出来，由图即可求出非负整数解． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 化系数为1得：； 将解集表示在数轴上如图所示： 不等式的非负整数解为0，1，2，3． 易错必刷题型03.在数轴上表示不等式的解集 典题特征：算出解集后，在数轴规范画出对应范围 易错点：空心圆实心圆乱用、大于小于方向画反，有等号用实心、无等号用空心 8．一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是________． 【答案】 【分析】根据数轴上表示不等式的解集的方法即可得出结果． 【详解】解：由图可得，这个不等式的解集是． 9．代数式中的取值范围在数轴上表示如图所示，则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据有意义得出，，再由数轴可得，即可得，即可求解． 【详解】解：根据有意义可得，解得， 根据有意义可得，解得， 由数轴可得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【详解】解：， 去括号得， 移项、合并得， 系数化为1得：， 用数轴表示为： ． 易错必刷题型04.求一元一次不等式的整数解 典题特征：先解不等式，再从中找出符合要求的整数、正整数、非负整数 易错点：边界整数多算或者漏算，看错取值范围，整数找不全 11．写出不等式的一个负整数解___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的负整数解． 【详解】解：， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴负整数解为、、，任取一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 12．已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求解原不等式得到x的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m的不等式组，解出m的取值范围后即可得到整数m的值. 【详解】解：解不等式， 移项得 ， ∵不等式的最小整数解为10， ∴， 不等式三边同时加3，得， 三边同时除以3，得， ∵m为整数， ∴. 13．列不等式与解不等式 (1)用不等式表示数量关系：x的3倍与9的差不大于． (2)解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． 【答案】(1) (2) 不等式的解集为，所有符合条件的正整数解为 【分析】（1）根据x的3倍即，x的3倍与9的差即，然后可得不等式； （2）先求出不等式的解集，然后写出该不等式的正整数解． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：， ， ， ， ∴不等式的解集为， ∴满足条件的正整数解为：． 易错必刷题型05.求一元一次不等式解的最值 典题特征：根据不等式解集，求最大整数解、最小整数解 易错点：搞反不等号对应最值，边界临界点判断错误 14．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意可得，易知，结合可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵, ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值是． 16．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 易错必刷题型06.解|x|a型的不等式 典题特征：含绝对值不等式化简求解，区分大于和小于两种绝对值题型 易错点：混淆绝对值大于、小于的解集规律，漏写其中一段取值范围 17．不等式的解集是______． 【答案】/ 【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答． 【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于， 不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 18．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键． 先根据的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：当时，，， 恒成立． ∴． 当时，，， ，解得． ∴． 当时，，， ，无解． 综上所述，． 故选：C． 19．解不等式： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分，和三种情况，分别去绝对值，再解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴，即，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 易错必刷题型07.列一元一次不等式 典题特征：根据文字语言，把语句转化列出正确不等式 易错点：至少、最多、不大于、不小于，对应不等号写反，理解题意偏差 20．美国“阿尔忒弥斯2号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为，飞船在月球轨道附近执行任务（停留）约48小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168小时．设飞船往返的平均速度为，则应满足的不等式是______． 【答案】 【分析】先确定往返的路程为，往返的时间为小时，停留48小时，根据总时间不超过168小时列不等式即可． 【详解】解：根据时间得：． 21．小明要从五一广场到双塔寺，两地相距3.2千米，已知他步行的平均速度为70米/分钟，骑车的平均速度为200米/分钟，若他要在不超过40分钟的时间内到达，那么他至少需要骑车多少分钟？设他骑车的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设他骑车的时间为分钟，则他步行的时间为分钟，再根据总路程不小于两地距离即可列出不等式． 【详解】解：设他骑车的时间为分钟，则他步行的时间为分钟， 由题意可得：． 22．用适当的不等式表示下列数量关系： (1)减去大于； (2)的倍与的差是负数； (3)的与的和是非负数； (4)的倍与的差不大于． 【答案】(1)x－3＞10； (2)3x-5＜0； (3)x+1≥0 ； (4)3y-(-9)≤-1． 【分析】本题主要考查了列不等式．解决本题的关键是读懂题目中各量之间的关系列出代数式，再根据题目中所列代数式表示的数的特征得出不等式． 【详解】（1）解：根据减去大于，可得：； （2）解：根据的倍与的差是负数，可得：； （3）解：根据的与的和是非负数，； （4）解：根据的倍与的差不大于，可得：． 易错必刷题型08.一元一次不等式解决实际问题 典题特征：结合生活场景，列不等式解题作答 易错点：忽略实际数量必须为正整数，解完不结合实际取舍答案 23．某品牌电脑的成本为2400元，标价为2800元，如果商店要以利润不低于的售价打折销售，最低可打多少折出售？______ 【答案】9/九 【分析】设最低可打x折出售，根据利润不低于的条件，确定不等关系，列出一元一次不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：设最低可打x折出售， 根据题意，得 解得： 故最低可打9折出售． 24．某农户投入元种植千克蔬菜，在生长过程中有的蔬菜因病虫害受损无法售卖．若要使总收益比成本至少高，则每千克蔬菜的售价至少为多少元？设每千克蔬菜的售价为元，下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意知这批蔬菜可卖元，根据“总收益比成本至少高”即可列出不等式． 【详解】解：设每千克蔬菜的售价为元， 依题意，得：． 25．学校计划购买30副羽毛球拍和若干盒羽毛球调查发现，某体育用品商店羽毛球拍的标价为100元/副，羽毛球的标价为30元/盒，为学校提供两种优惠方案：方案一是羽毛球拍和羽毛球均打9折；方案二是羽毛球拍不打折，羽毛球打7折．该校购买羽毛球的盒数满足什么条件时，选择方案二更省钱？ 【答案】该校购买羽毛球的盒数超过50盒时，选择方案二更省钱 【分析】列出两种方案表达式，然后列出不等式求解． 【详解】解：设购买x盒羽毛球，则选择方案一所需费用为元， 选择方案二所需费用为元， 根据题意得：， 解得： 该校购买羽毛球的盒数超过50盒时，选择方案二更省钱． 答：该校购买羽毛球的盒数超过50盒时，选择方案二更省钱． 易错必刷题型09.一元一次不等式解决几何问题 典题特征：结合三角形边长、角度、图形边长关系列不等式求解 易错点：忽略三角形三边关系、边长大于0的隐藏条件 26．已知的三个内角互不相等，如果为最小的内角，那么下列四个度数中，最大可取 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为最小的内角得，，利用三角形的内角和定理转化为不等式，求解即可． 【详解】是最小的内角，且三个内角互不相等， ， 即最大可取 故选：B 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，不等式及其求解，解题的关键是利用三角形内角和定理转化为不等式． 27．若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为________． 【答案】 ① 9 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 28．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，理解题意是解决本题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个 ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 易错必刷题型10.直线与坐标轴交点求不等式解集 典题特征：给一次函数图像，利用与坐标轴交点，求对应不等式解集 易错点：分不清图像在x轴上方、下方对应的不等关系，解集范围看反 29．如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与轴交于点，且随的增大而增大， 当时，，即不等式的解集为． 要求不等式的解集， 将看作整体，可得， 解得． 30．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．若直线始终与线段有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与线段的交点问题．由一次函数图象上点的坐标特征结合直线与线段有公共点，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵直线与线段有公共点， 解得， 故答案为：． 31．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用数形结合思想解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的下方， 即关于x的不等式的解集为； 故答案为：，； （2）解：根据图象得，当时，一次函数和的图象均在x轴的上方， ∴关于x的不等式组的解集为． 易错必刷题型11.两直线交点求不等式解集 典题特征：两个一次函数图像相交，根据上下位置比较求不等式解集 易错点：看错两直线上下位置，交点左右解集范围判断颠倒 32．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据函数图象找到正比例函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：观察图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 关于的不等式的解集是． 33．如图，一次函数（，为常数）与正比例函数（为常数）的图象交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据两函数图象的交点即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象在直线的上方， 关于的不等式的解集是． 34．如图，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，．点在轴负半轴上，且． (1)求直线的解析式 (2)若直线与直线交于点，与轴交于点，交的延长线于点，且，求的值． (3)直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题综合考查一次函数图象与性质、三角形面积关系、待定系数法等知识； （1）通过求坐标和利用面积求点坐标再求解析式； （2）利用面积关系转化为中点问题求坐标进而求； （3）通过变形不等式结合函数图象求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点， 当时，；当时，， ∴，． 则． ∵， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为 （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵在上，当时，． ∴． 联立， 得，， ∴， ∴， 代入得，， 解得． （3）变形为， 即的图象在图象上方时的取值范围， 由（2）知，则， 所以解集为． 易错必刷题型12.求不等式组的解集 典题特征：分别解两个不等式，再合并取公共解集 易错点：解集口诀记混，不会找公共部分，有解无解判断错误 35．如图是某不等式组在数轴上表示，下列各数是该不等式组的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴是该不等式组的解是 ． 36．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则，先分别解两个不等式，用含的式子表示第二个不等式的解集，再结合已知解集求解的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①，移项得，系数化为得． 解不等式②，移项得，系数化为得． 不等式组的解集为， 根据同大取大的原则，可得， 解得． 37．解不等式组． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解集为． 易错必刷题型13.解特殊不等式组 典题特征：含绝对值、含分母、带复杂形式的不等式组求解 易错点：忽略分母不能为0、绝对值非负的隐藏限制条件 38．定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可． 【详解】解：∵[]=2， ∴由题意得2≤＜3， 解得5≤x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 39．已知，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．首先将变形为．再将代入不等式，，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，且，， ∵， ∴，即， 解得：， 将代入，得，即， 解得， 的取值范围为：． 故答案为：． 40．阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或者 (2) (3)或者 【分析】本题考查了绝对值及不等式的知识． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求出的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或 ∴方程的解为或， 故答案为：或； （2）解：∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点的对应的数为或8 ∴方程的解为或 ∴的解集为． （3）解：由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值． ∵在数轴上4和对应的点的距离是6 ∴满足方程的x的点在4的右边或的左边 若x对应的点在4的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得 ∴方程的解为或 ∴的解集为或者． 易错必刷题型14.求一元一次不等式组整数解 典题特征：解不等式组，在公共解集里找出符合条件整数 易错点：解集边界取舍出错，整数漏找、多找，审题不仔细 41．不等式组的非负整数解有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，求出不等式组的公共解集，再找出解集中的非负整数，统计个数即可． 【详解】解：解不等式， ∵移项得， 合并同类项得， ∴， 解不等式， ∵去括号得， 移项得， ∴， ∴不等式组的解集为， 解集内的非负整数为，共2个． 42．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则所有满足条件的整数m的和为______． 【答案】 【分析】先解不等式组，可得，结合整数解可得，再进一步求解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得： 不等式组的解集为． ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴x取2，1，0， ∴， 解得， ∴整数m的值为，，， ∴所有满足条件的整数m的和为． 43．解下列不等式（组），并把其解集表示在数轴上． (1) (2) (3) (4)，并写出它的所有负整数解． 【答案】(1) (2) (3) (4)，所有负整数解为,,, 【详解】（1）解：移项合并得，， 系数化为1得，； （2）解：去分母得，， 移项合并得，， 系数化为1得，； （3）解： 解不等式①得，， ， 解不等式②得，， ， ； 在数轴上表示得， 根据数轴轴得，； （4）解： 解不等式①得，， ， 解不等式②得，， ， ； 在数轴上表示得， 由数轴得，，所有负整数解为,,,． 易错必刷题型15.由一元一次不等式组解集求参数 典题特征：已知不等式组解集，反求式子中字母参数取值范围 易错点：边界值能不能取等号判断错误，多漏等号直接丢分 44．已知关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式组的解集是同大取大，可得答案． 【详解】解：关于x的不等式组的解集为，则． 45．如果不等式组的解集是，则________． 【答案】5 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，结合已知解集得到关于、的方程，求出、的值，代入计算即可. 【详解】解：不等式组为 解不等式，移项得， 系数化为得， 因此不等式组的解集为， 不等式组的解集是， ，， 解得，， 将，代入得： ． 46．已知不等式组的解集为，则的值等于多少． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，代数式求值；解不等式得，由不等式组的解集为可得，从而知的值，代入即可． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组的解集为， ， ， 则． 易错必刷题型16.由不等式组解集的情况求参数 典题特征：已知不等式组有解、无解、有若干整数解，求参数范围 易错点：等号边界拿捏不准，分类讨论不全面，漏情况 47．若关于的不等式组无解，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解第一个一元一次不等式得到的取值范围，再根据不等式组无解的判定规则得到的取值范围，最后对比选项选出符合条件的答案． 【详解】解： 解不等式①，移项得，即， ∴ 原不等式组可化为， ∵不等式组无解，根据一元一次不等式组解集规则“大大小小找不到”，可得， 对比选项，只有，符合条件． 48．关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，即可确定a的取值范围 【详解】解：解不等式组 解不等式，得 解不等式，移项得，系数化为得 不等式组的解集为 不等式组有且只有三个整数解， 不等式组的三个整数解为，， 49．已知关于x的不等式组有解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到它们的解集，再根据不等式组有解的条件，确定两个解集的公共部分存在时的取值范围． 【详解】解：解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于x的不等式组有解， ， 解得． 易错必刷题型17.不等式组和方程组结合的问题 典题特征：先解方程组，再结合不等式范围求参数 易错点：联立式子混乱，方程组计算出错，不等式范围结合错误 50．若x，y满足方程和不等式组，则x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，则可变形为，可变形，再分别求解即可得出答案． 【详解】解：由得， 则可变形为， 解得， 可变形为， 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 51．若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 _________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组的基本方法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 首先解方程组，利用表示出x、y的值，然后代入，即可得到一个关于的不等式，解不等式求得的取值范围． 【详解】解： ， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得． ∴的取值范围是． 故答案为：． 52．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将方程组的两个方程相加，得到关于和的关系式，再将用含的式子表示出来，最后代入，解这个一元一次不等式组得到的取值范围． （2）先对不等式进行变形整理，根据不等式的性质，可知未知数的系数小于0，由此得到关于的不等式，结合（1）中的取值范围，确定符合条件的整数． 【详解】（1）仿照小明的方法，将方程组两个方程相加：， 得 ，进而， 已知， 代入得：， 不等式三边同时减1，得； （2）整理不等式，即， 因为不等式的解集为， 不等号方向改变，根据不等式性质，可得，解得． 结合（1）中的范围，得，其中整数为． 易错必刷题型18.列一元一次不等式组 典题特征：根据题干多个限制条件，列出完整不等式组 易错点：找不全题干不等关系，漏列条件，不等号方向写错 53．一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干给出的“布克读了一周还没读完，而莉克不到一周就已读完”的条件，提取不等关系，即可列出对应的不等式组． 【详解】解：设布克平均每天读页，则莉克平均每天读页． ∵布克读7天还没读完，说明布克7天读的总页数小于书的总页数， ∴． ∵莉克不到7天就读完了，说明莉克7天读的总页数大于书的总页数， ∴． 因此可得不等式组． 54．三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据三个数在数轴上的位置得到，再根据三角形的三边关系得到，求解不等式组即可． 【详解】解：∵3，在数轴上从左到右依次排列， ∴，解得， ∵这三个数为边长能构成三角形， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键． 55．某工人制造机器零件，如果每天比预定的多做一件，那么80天所做的零件数超过1000件；如果每天比预定的少做一件，那么80天所做的零件数不到900件，这个工人预定每天做几件零件？ 【答案】这个工人预定每天做12件零件． 【分析】设这个工人预定每天做x件零件，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设这个工人预定每天做x件零件，根据题意得： ， 解得：， ∵x取整数， ∴， 答：这个工人预定每天做12件零件． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据关键词列出不等式组，求出不等式组的解集，注意联系生活实际取值． 易错必刷题型19.不等式组的行程问题 典题特征：路程、速度、时间相关应用题，列不等式组解题 易错点：行程等量关系理解不清，找错不等关系，列式错误 56．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 57．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 58．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 易错必刷题型20.不等式组的工程问题 典题特征：工作总量、工作效率、工期相关应用题 易错点：工程数量关系捋不顺，无法正确列出不等式组 59．沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧课桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 【答案】（1）甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌；（2）甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元 【分析】（1）设乙小组每天各维修x张旧课桌，根据题意列出方程即可求出答案； （2）分别计算甲乙单独完成该项工作的天数，设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌，根据题意可列出关于m的一元一次不等式组，得出m的值即可得出答案． 【详解】（1）设乙小组每天维修x张旧课桌， ∴甲小组每天维修1.5x张旧课桌， 根据题意可知： ， 解得：x＝24， 经检验，x＝24是原分式方程的解， 答：甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌； （2）由甲单独负责，此时完成工作需要＝10天，需要费用为10×800＝8000元， 由乙单独负责，此时完成工作需要＝15天，需要费用为15×400＝6000元， 故由甲或乙单独负责该项目都不符合题意，需要考虑甲乙合作完成， 设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌， ∴， 解得：m＝216， 此时学校需要付费为：800×+400×＝7200元 答：由甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元． 【点睛】本题考查分式方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确找出等量关系列出方程． 60．某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100、50 (2) (3)安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解； （2）根据题意得到，整理得：，再根据甲、乙两队施工的总天数不超过26天求出自变量取值范围即可解答． （3）由（2）可得，设施工总费用为元，得出与x的关系式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意．得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； （2）根据题意，得：， 整理得：， ∵甲、乙两队施工的总天数不超过26天， ∴，即 解得 ∴y与x的函数解析式为：． （3）设施工总费用为w万元，根据题意得： ∵， ∴w随x减小而减小， ∵ ∴当时，w有最小值，最小值为， 此时． 答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 61．2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剩余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 易错必刷题型21.不等式组的经济问题 典题特征：利润、成本、售价、预算相关不等式应用 易错点：利润成本关系搞反，不等限制条件列错 62．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 63．王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 【答案】她还能买7支中性笔 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，掌握根据实际问题列出不等式组并取正整数解是解题的关键． 设能买支中性笔，根据总花费不超过元且剩余钱数少于元，列出不等式组，求解后取正整数解． 【详解】解：设她能买支中性笔． 由题意，得 解得． 为正整数， ． 故她还能买支中性笔． 64．综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，B型号的进价为120元； 素材2：该电器商城准备用不超过7830元的金额采购这两种型号的电风扇共60台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售2台A型号电风扇和1台B型号电风扇，共获得销售收入510元；销售3台A型号电风扇和2台B型号电风扇，共获得销售收入840元； 【任务】 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)该电器商城销售完这60台电风扇能否实现利润超过2080元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A型号电风扇销售单价为180元，B型号电风扇销售单价为150元 (2)A种型号的电风扇最多能采购31台 (3)能实现利润超过2080元的目标，采购方案为：方案一：采购A型号29台，B型号31台；方案二：采购A型号30台，B型号30台；方案三：采购A型号31台，B型号29台 【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据题目给出的两组销售收入条件列二元一次方程组，解方程组即可得到结果； （2）设采购A种型号电风扇m台，根据总采购金额不超过7830元列一元一次不等式，结合m为非负整数即可求出m的最大值； （3）根据利润超过2080元的要求列不等式，结合第二问得到的m的取值范围，找出所有符合条件的正整数m，即可得到对应的采购方案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为元、元． 根据题意可得 ， 解得 ， 答：A型号电风扇销售单价为180元，B型号电风扇销售单价为150元； （2）解：设A种型号电风扇采购台，则B种型号电风扇采购台． 根据题意可得 ， 化简得， 解得， 因为为非负整数， 所以的最大值为31． 答：A种型号的电风扇最多能采购31台． （3）解：∵要使利润超过2080元， ∴， 化简得，， 解得， 由（2）可知，且为正整数， 因此可取29，30，31． 当时，， 当时，， 当时，， 因此该电器商城销售完这60台电风扇能实现利润超过2080元的目标， 对应的采购方案为：方案一：采购A型号电风扇29台，B型号电风扇31台；方案二：采购A型号电风扇30台，B型号电风扇30台；方案三：采购A型号电风扇31台，B型号电风扇29台． 易错必刷题型22.不等式组的方案选择问题 典题特征：根据限制条件，求出所有符合要求的可行整数方案 易错点：找不全所有方案，多算无效方案，最后不会筛选最优解 65．某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元．若计划用两种货车共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总运费最低？最低运费是多少元？ 【答案】运输方案共1种：甲型货车5辆、乙型货车5辆；最低运费3800元 【分析】本题考查不等式组解应用题，读懂题意，准确列出不等式组求解是解决问题的关键． 设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意，列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意列不等式组： ， 解不等式①得； 解不等式②得； ， 则只有1种运输方案：甲型货车辆，乙型货车辆； 总运费为：（元）， 答：有种运输方案，该方案为最低运费方案，最低运费3800元． 66．第十五届体育节到来之际，学校计划购买篮球和排球共60个，其中篮球每个120元，排球每个80元，购买总费用不超过5680元，且篮球数量不少于排球数量的一半． (1)设购买篮球个，写出应满足的不等式组； (2)求出符合条件的所有购买方案，并指出哪种方案总费用最低． 【答案】(1) (2)方案一：购买篮球20个，排球40个； 方案二：购买篮球21个，排球39个； 方案三：购买篮球22个，排球38个；方案一费用最低 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，能够将生活实际信息转化为数学信息为解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据（1）即可计算出，根据为正整数确定所有购买方案，最后计算出各方案的总费用即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， （2）解：由（1）得，， 解不等式得，， 解不等式得，， 则， 由于为正整数，则有三种方案， 方案一：当时，，即购买篮球20个，排球40个，此时总费用为（元）； 方案二：当时，，即购买篮球21个，排球39个，此时总费用为（元）； 方案三：当时，，即购买篮球22个，排球38个，此时总费用为（元）； ， 方案一费用最低． 67．某服装店老板到厂家购进，两种型号的服装，购进型号服装的数量要比购进型号服装的数量的倍还多件，且型号服装最多可购进件． (1)求型号服装最多可以购进多少件． (2)若销售一件型号服装可获利元，销售一件型号服装可获利元，要求这批服装全部售出后总的获利不少于元，问有几种进货方案？如何进货？ 【答案】(1) 型号服装最多可以购进件 (2) 有种进货方案；方案一：购进型号服装件，型号服装件；方案二：购进型号服装件，型号服装件 【分析】（1）根据型号服装数量与型号的关系以及型号的最大购进数量列出一元一次不等式，求解即可得到型号的最大购进数量； （2）根据获利要求列出一元一次不等式，结合第一问得到的型号数量的范围，根据服装数量为正整数得到所有符合条件的进货方案． 【详解】（1）解：设购进型号服装件，则购进型号服装件， 由题意得：， 解得； 答：型号服装最多可以购进件． （2）解：这批服装全部售出后总的获利不少于元， ， 展开整理得：， 解得， 由（1）得， ， 为正整数， 或； 当时，； 当时，． 答： 有种进货方案；方案一：购进型号服装件，型号服装件；方案二：购进型号服装件，型号服装件． 易错必刷题型23.不等式组阶梯收费问题 典题特征：水电费、收费分段计价，分区间列不等式组计算 易错点：分段区间划分不清，对应区间收费标准套用错误 68．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 69．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 70．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $