江苏南通市启东市第一中学2024-2025学年第二学期第三次素质检测高一数学试卷

**基本信息** 启东市高一数学月考卷立足核心知识，以复数、立体几何、解三角形等为载体，通过正方体容器装水（第8题）、三棱锥体积计算（第19题）等问题，考查空间观念与运算能力，适配高一阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、分层抽样、向量|基础巩固，如共轭复数（第1题）| |多选题|3/18|三角函数、立体几何|综合应用，如锐角三角形向量关系（第10题）| |填空题|3/15|向量共线、直三棱柱最值|创新设计，如动点周长最小值（第13题）| |解答题|5/77|复数应用、解三角形、三棱锥|能力提升，如平面四边形面积最值（第20题），体现推理与应用意识|

2025联考卷答案 一、单选题 1．已知复数，则的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2．为了解学生每日参加体育锻炼的情况，学校用比例分配的分层随机抽样方法从高一､高二､高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一､高二､高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有36人，则抽取的样本容量为（    ） A．90 B．100 C．120 D．160 【答案】C 3．下列选项是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 4．已知向量，，若，则（      ） A． B． C． D．1 【答案】B 5．若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 6．已知圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 7．如图，正三棱台的下底面边长为，上底面边长和侧棱长均为，则棱台的体积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  8．有一容积为的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，在棱AB、BB1和面对角线BC1的中点各有一小孔E、F、G，若将此容器上的三点E、F、G水平放置，则其可装水的最大容积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 二、多选题 9．已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A． B．复数的共轭复数的虚部为-1 C．若复数z为纯虚数，则 D．若，为复数，则 【答案】AD 10．在锐角中，角，，对边分别为，，，设向量，，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．的取值范围是 D． 【答案】BCD 11．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，已知，，，当底面水平放置时，水面位置满足，容器内有水部分的几何体体积是，下列命题正确的是（    ） A．固定容器底面一边于地面上，将容器倾斜，有水的部分始终呈棱柱形 B．固定容器底面一顶点于地面上，将容器倾斜，有水的部分可能是三棱锥 C．体积为，高为的圆锥不能放在半径是的球体内 D．体积为的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为的圆锥内任意旋转 【答案】ACD 三、填空题 12．设是两个不共线的向量，，.，且B，C，D三点共线，则实数k的值为_________． 【答案】12 13．直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是____________. 【答案】 14．已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点， 线段AB的中垂线过点 M，则 = ， 【答案】 四、解答题 15．（本题满分13分）已知复数，其中为虚数单位. （1）求为何值时，为纯虚数； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【小问1详解】因为为纯虚数，所以，解得； 【小问2详解】 复数在复平面内对应的点为， 依题意，解得，即的取值范围为. 16. （本题满分15分）已知，，其中． 求和的值； 求的值． 【答案】解：因为，所以，即， 平方得，所以， 则， 又，所以，，所以， 故； 因为，所以， 由于，所以，因为，，则， 所以 ．  17．（本题满分15分） 15. 设，，向量，，，且，． （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】向量，，，且，， 可得且，解得，，即，，则， 则； 【小问2详解】 因为，， 所以，， 设向量与夹角为，则， 即向量与夹角余弦值为． 18．（本题满分17分）已知三棱锥，平面，△PAC是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且． （Ⅰ）现给出两个条件：①；②为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面； （Ⅱ）若平面，直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，且，求三棱锥的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）选①选②，都是先证明平面，再证明平面，进而得到平面； （Ⅱ）根据两个线面角相等得出，进而可求，得到三棱锥的体积． 【详解】（Ⅰ）若选① 证明：∵平面，平面，∴， 又，，∴平面． 又平面，∴． 又，，∴平面． 又平面，∴． 又，，∴平面． 若选②为中点 证明：∵平面，平面，∴． 又，，∴平面． 又平面，∴． 又，，∴平面． 又平面，∴． 又为等腰直角三角形斜边中点， 则，， ∴平面． （Ⅱ）由平面，平面可知， 与分别为与平面及与平面所成线面角， 所以， 又，，所以． 求得，所以． 19．（本题满分17分）如图，已知在平面四边形中，，，．    (1)若平分，求的长； (2)设， ①若，求四边形的面积； ②当四边形面积最大时，求证：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）因为平分，得到，利用余弦定理，列出方程，即可求得的长； （2）①在中，利用余弦定理，求得，再在中，求得，得到，结合四边形面积，即可求解； ②分别在和中，利用余弦定理，得到表达式，求得，设四边形的面积为，结合，求得，再由，得到，进而得到结论. 【详解】（1）因为平分，可得， 由余弦定理，可得， 所以，解得， 所以. （2）①在中，余弦定理得， 所以，解得， 在中，可得，所以， 因为，所以， 由四边形面积， 所以； ②在中，可得， 在中，可得， 所以， 所以， 设四边形的面积为， 则 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 当且仅当时，，此时取最大值12， 此时有最大值，所以当四边形面积最大时． 试卷第1页，共3页 试卷答案 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启东市第一中学2024—2025年度第二学期第三次素质检测 高 一 数 学 试 卷 （考试时间150分钟，试卷满分150分，命题人：施建华，审题人：朱伶鹭） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分；只有一个选项符合） 1．已知复数，则z的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．为了解学生体育锻炼的情况，学校用比例分配的分层随机抽样方法从高一､高二､高三年 级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该校高一､高二､高三年级学生人数的比例 如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有36人，则抽取的样本容量为（    ） A．90 B．100 C．120 D．160 3．下列选项是真命题的是（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（      ） A． B． C． D．1 5．若，则（    ） A．1 B． C． D． 6．已知圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 7． 如图，正三棱台的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为(    ) A． B． C． D． 8．有一容积为的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，在棱AB、BB1和面对角线BC1的中点各有一小孔E、F、G， 若将此容器上的三点E、F、G水平放置，则其可装水的最大容积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分；每题有多个选项符合，选错得0分，部分正确得部分分） 9．已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A． B．复数的共轭复数的虚部为-1 C．若复数z为纯虚数，则 D．若，为复数，则 10．在锐角中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量，，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．的取值范围是 D． 11．如图，透明的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，已知BC=8，，，当底面ABCD水平放置时，水面位置满足，容器内有水部分的几何体体积是，下列命题正确的是（    ） A．固定容器底面一边于地面上，将容器倾斜，有水的部分始终呈棱柱形 B．固定容器底面一顶点B于地面上，将容器倾斜，有水的部分可能是三棱锥 C．体积为V，高为的圆锥不能放在半径是的球体内 D．体积为V的正方体可以在轴截面为正三角形且底面半径为的圆锥内任意旋转 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分；多空题，第一空2分，第二空3分） 12．设是两个不共线的向量，且B，C，D三点共线，则实数k的值为 ． 13．直三棱柱ABC-A1B1C1中，分别为线段AC1、AA1上的动点，则△B1PQ周长的最小值为____________． 14．已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点， 线段AB的中垂线过点 M，则 = ， ． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（本题满分13分） 已知复数，其中为虚数单位. （1）求m为何值时，z为纯虚数； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围． 16． （本题满分15分） 已知其中 （1）求和的值； （2）求的值． 17． （本题满分15分） 设x，y∈R，向量且 （1）求 （2）求向量与夹角的余弦值． 18． （本题满分17分） 已知三棱锥，平面，△PAC是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且． （1）现给出两个条件：①；②为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证： 平面； （2）若平面，直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，且，求三棱锥的体积． 19． （本题满分17分） 如图，已知在平面四边形中，，，．    （1）若平分，求的长； （2）设， ①若，求四边形的面积； ②当四边形面积最大时，求证：． 试卷第1页，共3页 高一数学试卷 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $