8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(重点) 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(重点、难点) 3.体会和理解棱台的表面积与体积公式的推导过程.(难点) 【例题精练】 【例1】现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积. 【例2】已知正四棱台，上底面边长为2，下底面边长为4，高为1．求 (1)该四棱台的侧棱长 (2)该四棱台的体积 【例3】如图，已知正三棱柱的体积为，点分别为棱与的中点.    (1)若边长为2，求三棱柱的高； (2)求三棱锥的体积； 【例4】如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积. 【A组基础达标】 一、单选题 1．已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 4．如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（    ） 　　 A． B． C．2 D． 二、多选题 7．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（　　） A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥侧面积为 8．在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 三、填空题 9．如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 10．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为_________. 四、解答题 11．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 【B组能力提升】 1．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ） A． B． C． D． 2．如图1所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图2所示的几何体，那么此几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”．一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）． 若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．中国国家博物馆中的清代仿官窑四方委角象耳瓶向我们展示了我国古代工匠的高超技艺：瓶唇口，直颈，颈两侧饰对称象耳，方腹委角，高圈足外撇……其中“委角”是一种工艺术语，指的是将方形器物的尖角抹平，向内收缩，如同把角折起来．如图，该瓶的瓶身相当于是在长方体中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥．在长方体中，，，E为的中点，F与G分别是棱与棱上的点，且满足.已知委角之后的瓶身体积是长方体体积的，则长方体的体对角线长度为____________． 5．如图，三棱柱的所有棱长都是，，． （1）求三棱柱的全面积； （2）若该三棱柱的体积为，且在下底面的正投影为下底面的中心，求的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(重点) 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(重点、难点) 3.体会和理解棱台的表面积与体积公式的推导过程.(难点) 【例题精练】 【例1】现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积. 【答案】160 【分析】由于该直四棱柱的底面是菱形，所以求其中一个侧面的面积乘以4即可，由菱形其对角线垂直于勾股定理求得底面边长，再由矩形面积公式求得答案. 【详解】如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝＝＝＝64，∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160. 【点睛】本题考查求直四棱柱的侧面积，属于基础题. 【例2】已知正四棱台，上底面边长为2，下底面边长为4，高为1．求 (1)该四棱台的侧棱长 (2)该四棱台的体积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出四棱台的直观图，解直角三角形即可求得答案； （2）利用棱台的体积公式即可求得答案. 【详解】（1）如图，设为正棱台上下底面的中心，连接，作，垂足为E，    则四边形为矩形， 则，则， 故，即正棱台侧棱长为， （2）根据棱台体积公式可得该四棱台体积为. 【例3】如图，已知正三棱柱的体积为，点分别为棱与的中点.    (1)若边长为2，求三棱柱的高； (2)求三棱锥的体积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三棱柱的体积公式求解； （2）利用等体积法，进行求解； 【详解】（1）设的高为， ， ； （2） ； 【例4】如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可. 【详解】连接，交于点，取的中点，连接，， （1） ∴ （2）∵， ∴ 【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高. 【A组基础达标】 一、单选题 1．已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知正三棱柱中，， 正三棱柱底面是边长为2的正三角形，高为2， 正三棱柱的底面面积，侧面， 正三棱柱的表面积为：． 2．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得该三棱锥的表面积由四个全等的等边三角形构成，求其面积之和即可. 【详解】因为正三棱锥的所有棱长均为，所以每个面均为等边三角形，其面积为， 所以三棱锥的表面积为. 3．如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【答案】B 【分析】由勾股定理求得斜高，根据正四棱台的表面积计算，可得答案. 【详解】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图：    则，，， 易知， 根据题意可得正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的表面积为， 所以该零部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 4．如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据棱锥与棱柱的体积公式，结合图形，可得答案. 【详解】取的中点为，连接，如下图： 易知三棱柱的体积是三棱柱的一半， 由图可知三棱锥与三棱柱同底等高， 则三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一， 即四棱锥的体积是三棱柱体积的三分之二， 综上可得四棱锥的体积是是三棱柱的三分之一， 即. 故选：A. 5．已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到斜高，从而得到四棱锥体高，由体积计算公式即可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为斜高， 因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的3倍， 所以，解得， 所以此正四棱锥的体积为, 故选：C. 6．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（    ） 　　 A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用两个容器中的水的体积相等，即可得到水面的高度. 【详解】因为分别为所在棱的中点， 所以棱柱的体积 设甲中水面的高度为 h，则，解得， 故选：D. 二、多选题 7．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（　　） A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥侧面积为 【答案】AB 【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误. 【详解】设为等边三角形的中心，为的中点，连接， 则为正三棱锥的高，为斜高， 又，，， ，故，故AB正确. 而正三棱锥的体积为， 侧面积，故CD错误. 故选：AB.    8．在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 【答案】AC 【分析】运用台体体积公式,结合正三角形面积计算即可. 【详解】因为正三棱台的下底面的面积为， 所以正三棱台的体积 则A，C正确，B，D错误． 故选：AC. 三、填空题 9．如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 【答案】 【分析】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故答案为： 10．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为_________. 【答案】7 【分析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果. 【详解】由题意可知：正四棱台的体积为， 根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7. 故答案为：7. 四、解答题 11．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 【答案】(1) (2)侧面积；表面积. 【分析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，从而可得出大棱锥的底面边长和斜高，然后可分别求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积，从而可求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比； （2）根据条件可求出大棱锥的底面边长和斜高，从而可求出大棱锥的侧面积；根据（1）的结论可求出棱台的侧面积；再求出棱台的上下底面的面积，从而可求出棱台的表面积. 【详解】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为， 所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为， 棱台的侧面积为， 所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比. （2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm， 因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm， 所以大棱锥的侧面积为， 所以棱台的侧面积为， 棱台的上，下底面的面积和为， 所以棱台的表面积为. 【B组能力提升】 1．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出． 【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积． 棱台下底面积，上底面积， ∴ ． 故选：C． 2．如图1所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图2所示的几何体，那么此几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据柱体表面积公式去求解即可解决. 【详解】正方体面对角线长为a，则正方体棱长为 拼接后几何体的表面积为 故选：B 3．（多选）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”．一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）． 若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意确定堑堵、阳马和鳖臑的体积与长方体的体积的数量关系，即可得答案. 【详解】解：由题意，堑堵的体积，阳马的体积，鳖臑的体积， 所以，，，即， 所以， 所以，AC选项正确，BD选项错误. 故选：AC 4．中国国家博物馆中的清代仿官窑四方委角象耳瓶向我们展示了我国古代工匠的高超技艺：瓶唇口，直颈，颈两侧饰对称象耳，方腹委角，高圈足外撇……其中“委角”是一种工艺术语，指的是将方形器物的尖角抹平，向内收缩，如同把角折起来．如图，该瓶的瓶身相当于是在长方体中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥．在长方体中，，，E为的中点，F与G分别是棱与棱上的点，且满足.已知委角之后的瓶身体积是长方体体积的，则长方体的体对角线长度为____________． 【答案】4 【分析】由题意结合柱体和锥体的体积公式建立关于x的方程，求出x即可计算求解长方体的体对角线长度. 【详解】由题长方体体积为，， 所以抹去的八个形状与大小都相同的三棱锥的体积之和为， 所以， 所以长方体的体对角线长度为. 故答案为：4. 5．如图，三棱柱的所有棱长都是，，． （1）求三棱柱的全面积； （2）若该三棱柱的体积为，且在下底面的正投影为下底面的中心，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）连接，，利用已知条件，分别求解侧面积、底面积，然后求得全面积即可； （2）连接，求解底面面积以及高，然后利用体积公式列式计算即可求得a的值. 【详解】（1）连接，， 由题设得，为正三角形， ，，， ； （2）连接，在正三棱柱中， 所有棱长都为，，， 又在下底面的正投影为下底面的中心， ，， 而，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $