8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图所示），则三棱锥B1－ABC的体积V等于（　　） A. B. C. D. 2.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为（　　） A. B.2 C. D.3 3.正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（　　） A. B. C. D. 4.（2025·安徽铜陵高一期中）某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该正四棱锥的高为3 m，底面边长是8 m，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为（　　） A.48 m2 B.80 m2 C.100 m2 D.144 m2 5.（2024·重庆高一检测）正三棱锥P－ABC的表面积是底面积的5倍，则的值为（　　） A. B. C. D.2 6.（2025·重庆高一期中）已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD水平放置时的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（　　） A.40 B.32＋16 C.64＋16 D.64＋16 7.某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①4；②24；③4＋4；④12＋2.该几何体的表面积可能是其中的（　　） A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 8.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，则将该长方体截去一个三棱锥A－A1B1D1后，剩余几何体的体积为（　　） A.50 B.30 C.25 D.15 9.（多选）用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的上、下两部分几何体的高之比为1∶2，则下列关于上、下两部分几何体的说法，正确的有（　　） A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8 C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26 10.如图所示，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D'C'上，则三棱锥A'－EFQ的体积（　　） A.与点E，F的位置有关 B.与点Q的位置有关 C.与点E，F，Q的位置都有关 D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值 二、填空题 11.一个正六棱柱的底面边长为4 cm，高为1 cm，则这个正六棱柱的表面积为 cm2. 12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，如图所示，棱长为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为 . 13.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为 . 三、解答题 14.在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比. 15.如图所示，正六棱锥被过棱锥的高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'. （1）求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比； （2）若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积. 16.现有一个棱长为1的正方体礼品盒，需要买一张正方形彩纸将其完全包住，请你设计一种方案，在不将彩纸撕开的情况下，购买彩纸所需费用最少（注：彩纸按面积收费）. 参 考 答 案 一、选择题 1.已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图所示），则三棱锥B1－ABC的体积V等于（　D　） A. B. C. D. 解析： V＝××12×3＝. 2.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为（　B　） A. B.2 C. D.3 解析： 设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为S，二者的体积之比为＝＝＝2. 3.正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（　B　） A. B. C. D. 解析： 正方体的棱长为a，此时正四面体的棱长为a，则正方体的表面积为6a2，正四面体的表面积为4××（a）2sin＝2a2，两者之比为＝. 4.（2025·安徽铜陵高一期中）某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该正四棱锥的高为3 m，底面边长是8 m，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为（　B　） A.48 m2 B.80 m2 C.100 m2 D.144 m2 解析： 设该正四棱锥的侧面三角形底边上的高为h'.∵该正四棱锥的高为3 m，底面边长是8 m，∴根据勾股定理得h'＝＝5 m，∴该正四棱锥的侧面积为4××5×8＝80 m2，即需要油毡的面积为80 m2.　 5.（2024·重庆高一检测）正三棱锥P－ABC的表面积是底面积的5倍，则的值为（　A　） A. B. C. D.2 解析： 设正三棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则底面面积为S1＝a2，侧面积为S2＝3×a×，且表面积是底面积的5倍，则侧面积是底面积的4倍，即4S1＝S2，化简可得＝a，即＝，∴＝＝. 6.（2025·重庆高一期中）已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD水平放置时的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（　C　） A.40 B.32＋16 C.64＋16 D.64＋16 解析： 由于直观图是正方形，∴四边形ABCD是两邻边分别为2与6、高为4的平行四边形，其周长是2＋6＋2＋6＝16，面积是2×4＝8，∴直四棱柱的表面积是16×4＋8×2＝64＋16. 7.某几何体为棱柱或棱锥，且每个面均为边长是2的正三角形或正方形，给出下面4个值：①4；②24；③4＋4；④12＋2.该几何体的表面积可能是其中的（　D　） A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 解析： 当该几何体为正四面体时，其表面积为4××22＝4；当该几何体为正四棱锥时，其表面积为4××22＋22＝4＋4；当该几何体为正三棱柱时，其表面积为2××22＋3×22＝12＋2；当该几何体为正方体时，其表面积为6× 22＝24. 8.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，则将该长方体截去一个三棱锥A－A1B1D1后，剩余几何体的体积为（　A　） A.50 B.30 C.25 D.15 解析： ∵AB＝3，BC＝4，AA1＝5，∴长方体的体积V＝3×4×5＝60， 又VA－A1B1D1＝S△A1B1D1·AA1＝××3×4×5＝10， ∴长方体截去一个三棱锥A－A1B1D1后，剩余几何体的体积为60－10＝50. 9.（多选）用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的上、下两部分几何体的高之比为1∶2，则下列关于上、下两部分几何体的说法，正确的有（　BD　） A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8 C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26 解析： 依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，∴小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，∴小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26. 10.如图所示，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D'C'上，则三棱锥A'－EFQ的体积（　D　） A.与点E，F的位置有关 B.与点Q的位置有关 C.与点E，F，Q的位置都有关 D.与点E，F，Q的位置均无关，是定值 解析： VA'－EFQ＝VQ－A'EF＝××EF×AA'×A'D'，∴其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关. 二、填空题 11.一个正六棱柱的底面边长为4 cm，高为1 cm，则这个正六棱柱的表面积为　48＋24　cm2. 解析： 正六棱柱的底面是边长为4 cm的正六边形，侧面是6个长方形，其下底面的面积S底＝6××16＝24 cm2，侧面积S侧＝4×1×6＝24 cm2，正六棱柱的表面积S＝2S底＋S侧＝48＋24 cm2. 12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，如图所示，棱长为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为　　. 解析： 由题设，该二十四等边体是正方体去掉八个角得到的，各顶点在正方体棱的中点，则该二十四等边体的体积为V＝23－8××1××1×1＝. 13.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为　　. 解析： S△DD1E＝DD1×1＝，又点F到平面DD1E的距离为1， ∴－EDF＝VF－D1DE＝S△DD1E×1＝. 14.在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比. 解：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则B1C1＝4S. ∴－ABC＝S△ABC·h＝Sh，VC－A1B1C1＝B1C1·h＝Sh.又V台＝h（S＋4S＋2S）＝Sh，∴VB－A1B1C＝V台－－ABC－VC－A1B1C＝Sh－－＝Sh， ∴体积比为1∶2∶4. 三、解答题 15.如图所示，正六棱锥被过棱锥的高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'. （1）求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比； 解：（1）由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3. （2）若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积. 解：（2）如图所示， ∵小棱锥的底面边长为4 cm，∴大棱锥的底面边长为8 cm，又PA＝12 cm， ∴A1A＝6 cm. 又梯形ABB1A1的高h'＝＝4 cm， ∴S棱台侧＝6××4＝144 cm2， ∴S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝（144＋120） cm2. 16.现有一个棱长为1的正方体礼品盒，需要买一张正方形彩纸将其完全包住，请你设计一种方案，在不将彩纸撕开的情况下，购买彩纸所需费用最少（注：彩纸按面积收费）. 解：如图①所示为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8. 图① 图② 即购买边长为2的正方形彩纸所需费用最少. 学科网（北京）股份有限公司 $