10.5+分式方程（第1课时分式方程的概念）课件2025-2026学年苏科版八年级数学下册

10.5 分式方程 第1课时 分式方程的概念 第十章 分式 学习目标 1.理解分式方程概念，掌握其解法，明确本节课核心任务。 2.深入剖析分式方程的定义，系统讲解标准解法与注意事项。 3.结合典型例题，拆解解题步骤，学习规范、严谨的书写格式。 4.通过梯度化练习，加深对分式方程概念的理解与实际应用。 一、情境引入： 观察下列方程： 2(x-1)-x+1； x2+x-20=0； x+2y=1，… 这些方程属于什么方程？ 整式方程 方程两边都是整式的方程是整式方程。 今天我们将学习与整式方程不同的方程-----分式方程。 3 问题 请用方程描述下列问题中的等量关系: (1)甲、乙两厂装配同一种汽车，乙厂由于进行了技术创新，每天比甲厂多装配30辆，乙厂装配500辆所用时间与甲厂装配400辆所用时间相同. (2)一个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字互换，那么所得的两位数与原两位数的比值是子 设甲厂每天装配汽车x辆，装配400辆用天.乙厂每天装配汽车(x+30)辆，装配500辆用天，甲、乙两厂所用的时间相同，这个等量关系可以用方程表示为. 设这个两位数十位数字为x.则原两位数为10x+4，互换个位数字、十位数字之后为4X10+x=40+x.新数与原数的比值是,这个等量关系可以用方程表示为 什么是分式方程？ 分式方程是方程中的一种特殊类型，其本质特征是：分母中含有未知数。 这一特征是我们在解题过程中进行识别、去分母转化的关键依据。 归纳总结 分式方程的定义 核心概念：像方程这样，等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程叫作分式方程(fractionalequation) 🔑 关键词深度解析 方程：必须是含有未知数的等式（缺一不可）；分母中：未知数必须位于分母的位置上，而非分子； 未知数：分母里必须是变量（如x,y），π等常数字母不算。 💡 总结：判断分式方程的唯一标准是——分母中是否含有未知数。 1.7.2013 现在，让我们正式给出分式方程的定义。这个定义非常关键，是我们判断和解决这类方程的基础。 分式方程最核心的特征，就是“分母中含有未知数”。大家在后续的学习中，无论是判断一个方程是不是分式方程，还是在解分式方程时进行去分母的操作，都要紧紧抓住这个特征。 ‹#› 由新两位数与原两位数的比值是，可得方程＿＿＿＿＿＿． 讨论交流 一个两位数的个位数字是4，如果把个位数字与十位数字互换，那么所得的两位数与原两位数的比值是．怎样用方程来描述其中的等量关系？ 分析：设十位数字是x，则原两位数是＿＿＿＿，个位数字与十位数字互换后的两位数是＿＿＿＿＿． 10x＋4 4×10＋x ＝ 讨论归纳 ＝ ＝　 这两个方程有什么共同特点？与一元一次方程有什么区别？ 分母中都含有未知数． 等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 二、例题讲解 例1、解方程： 解：方程两边同乘x（x+1）,得 20(x+1)=24x, 解之得x=5， 把x=5代入原方程：左边=4，右边=4，左边=右边。 原方程的解为x=5. 分式方程的初步解法 解分式方程的一般步骤是先　　　　，把不熟悉的分式方程 转化为熟悉的　　　　　 来解决.  去分母的方法就是在方程的两边同乘各个分式的 　　.  去分母 整式方程 最简公分母 解：方程两边同乘x（x-1）,得 3(x-1)-2x=0,解之得x=3， 把x=3代入原方程：左边= ， 右边=0， 左边=右边。原方程的解为x=3. 例2、解方程： 解分式方程的流程图： 9 新知巩固 下列方程中哪些是分式方程？为什么？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ＝8； (5) ＝1； (6) －2＝x (a≠0) × √ × √ × × 判断一个方程是不是分式方程，不能对方程进行约分、通分等变形，也不能用等式性质变形. π是常数，不是未知数. 根据分式方程概念中的条件， 判断方程中分母是否含未知数． 典例分析 例1 解方程：． 解：方程两边同乘 x (x＋1)，得 20(x＋1)＝24x． 解这个一元一次方程，得 x＝5． 把x＝5代入原方程：左边＝4，右边＝4， 左边＝右边． 原方程的解是x＝5． 去分母，将分式方程转化为一元一次方程! 方法总结 解分式方程时，在方程的两边同乘各分式的最简公分母，可转化为整式方程，本章只讨论可以转化为一元一次方程的分式方程． 教材P142 例题 解方程： 解：方程两边同乘x(x+1)，得 20(x+1)=24x 解这个一元一次方程得 x=5 把x=5代入原方程：左边=4，右边=4，左边=右边 原方程的解是x=5 核心步骤口诀： 去分母 → 解整式 → 验根 → 结论 💡 注： 解分式方程时，在方程的两边同乘各分式的最简公分母，可转化为整式方程，本章只讨论可以转化为一元一次方程的分式方程. ● 例1 解 解方程： 解：方程两边同乘x(x-1)，得 3(x-1)-2x=0. 解这个一元一次方程，得 x=3. 把x=3代入原方程：左边=，右边=0，左边=右边 所以原方程的解为x=3. 教材P142 例题 ● 例2 解 分式方程的一般解法及步骤 （1）化：方程两边同乘以各分母的最简公分母，将分式方程转化整式方程； （2）解：解这个整式方程； （3）检：将所求得的整式方程的解代入原方程检验； （4）结：写出原方程的根。 三、基础强化： 1、解分式方程 时，去分母后可得到（ ） A、x(2+x)-2(3+x)=1 B、x(2+x)-2=2+x C、x(2+x)-2(3+x)=(2+x)(3+x) D、x-2(3+x)=3+x 2、分式方程 的解为（ ） A、 B、 C、 D、 C D 15 典例分析 例2 解方程：＝0． 解：方程两边同乘 x (x－1)，得 3(x－1)－2x＝0． 解这个一元一次方程，得 x＝3． 把x＝3代入原方程：左边＝＝0， 右边＝0，左边＝右边． 所以原方程的解为x＝3． 方法总结 1. 化：方程两边同乘以各分母的最简公分母, 将分式方程转化为整式方程； 2. 解：解这个整式方程； 解分式方程的一般步骤： 3. 验：将所求得的整式方程的解代入原方程检验； 4. 写：写出原分式方程的解． 确定最简公分母 新知巩固 解下列方程： (1) ＝； (2) ＝； 解：(1)方程两边同乘4 (10x＋4)，得 4(40＋x)＝7(10x＋4)． 解这个一元一次方程，得 x＝2． 把x＝2代入原方程：左边＝， 右边＝，左边＝右边． 所以原方程的解为x＝2． (2)方程两边同乘 x (x－1)，得 9(x－1)＝8x． 解这个一元一次方程，得 x＝9． 把x＝9代入原方程：左边＝＝1， 右边＝＝1，左边＝右边． 所以原方程的解为x＝9． 约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号. 知识点2 列分式方程 2.【2025江苏镇江期末】如图，射线, 分别表示买 牛肉和买猪肉所需费用（单位：元）与购买质量 （单位：千克）的关系，已知买牛肉每千克所需的费用 比买猪肉每千克所需的费用的3倍少20元，设买猪肉每千 克所需的费用为 元，则可列方程为( ) D A. B. C. D. 【解析】根据题意可得 ，故选D. 18 知识点3 解分式方程 4.【2025新疆阿克苏期末】解分式方程 时，下列去分母正确的是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】分式方程，去分母得 ，故选B. 19 新知巩固 1．解分式方程－3＝时，去分母可得_________________． 1－3(x－2)＝－4 2．已知x＝1是分式方程＝的解，则a的值为_______． －3 3．对于非零实数a，b，规定a⊕b＝－．若(2x－1)⊕2＝1，则x的值 为____. 四、拓展提高： 请你回答： （1）得到①式的做法是 ，得到②式的做法是 ， 得出③式的理由是 ． （2）上述解答对吗？若不对，找出错误，并加以改正． 下面是小明同学解分式方程的过程：解方程 解： ．① ．② ．③ 解得 经检验， 是原方程的解． ∴ 通分并化简， 上述解答不对，因为方程两边同除以 ，需讨论 是否为零． 方程两边同时除以 -2x+10 移项 正确为 或 21 五、总结反思： 等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程 叫作分式方程(fractional equation)。 1、分式方程的概念： 2、分式方程和整式方程的区别. 分式方程 整式方程 3、解分式方程的一般步骤是什么？ （1）化：方程两边同乘以各分母的最简公分母，将分式方程转化整式方程； （2）解：解这个整式方程； （3）检：将所求得的整式方程的解代入原方程检验； （4）结：写出原方程的根。 22 课堂小结 10.5 分式方程（1） 分式方程的概念→等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数 的方程叫作分式方程． 解分式方程的一般步骤 解分式方程的基本思想：去分母，化分式方程为整式方程． 1. 化：去分母，化为整式方程 2. 解：解整式方程 3. 验：代入原方程检验 4. 写：写出原方程的解 如何解分式方程？ ★ 核心思想：“转化”思想 ★ 将陌生的、未学过的分式方程 通过“去分母”等手段，转化为我们熟悉的整式方程进行求解 例题精讲与解题技巧 1.7.2013 我们已经知道了什么是分式方程，那么接下来的关键问题是：如何解分式方程呢？ 我们的核心思路是“转化”，这也是数学中非常重要的一种思想方法。 简单来说，就是把我们陌生的、没有学过解法的“分式方程”，通过一定的数学手段（比如去分母），转化为我们在之前已经熟练掌握的“整式方程”来进行求解。 ‹#› 谢谢大家 $