精品解析：重庆市长寿实验中学校2025-2026学年八年级下期半期考试数学试题

长寿实验中学校初2024级八年级下期半期考试数学试题 一、选择题．（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算结果，正确的是（ ） A. ＝－3 B. ＋＝ C. －＝1 D. ＝5 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的性质对A、D进行判断；根据二次根式的加减法对B、C进行判断． 【详解】解：A、原式=3，所以A选项错误； B、与不能合并，所以B选项错误； C、原式=，所以C选项错误； D、原式=5，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4. 如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ，，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 由，结合，可得，则，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 由，则四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 5. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算化简，估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解： ＝ ＝， ∵4＜6＜9， ∴2＜＜3， ∴8＜＜9， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键． 6. 下列图形都是由同样大小的点按一定的规律组成，其中第①个图形一共有个点，第②个图形一共有个点，第③个图形一共有个点，，则第⑥个图形中点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形的变化可得第个图案中点的个数为：，计算即可． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第个图案中有个点， 第个图案中有（个）， 第个图案中有（个）， ， 则第个图案中点的个数为：（个）． 故选：A． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 有一个角为直角的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 四个内角都相等的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的定义和判定规则逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：选项A ∵对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，∴该说法错误． 选项B 有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴该说法正确． 选项C ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该说法正确． 选项D ∵四边形内角和为，四个内角都相等，每个内角为 ，四个角都是直角的四边形是矩形，∴该说法正确． 8. 如图，在中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出的长，由此即可求出的长． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∴． 9. 如图，正方形中，E为对角线上一点，连接AE并延长交于H，过E作交于F，若，则=（ ） A. α B. 2α C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，射线交于点，由正方形的性质得，又证四边形是矩形，得，再证，得，进一步可得答案. 【详解】解：过点作于点，射线交于点， ∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 10. 我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用． 表示距离（为正整数）最近的正整数例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ； 时，的值有个； ； ； 当时，的值为． 以上结论中正确的结论有个（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义通过估算无理数的值，找到数字变化的规律，再用规律去解答题． 【详解】解：表示距离最近的正整数， ，所以正确； 当时，为，，，，，一共有个， 所以错误； ，，，，，，，，，，，， ， 所以正确； 由，，，，，，，，，，，；可得个，个，个，个， 所以； 故正确； ， ， 所以正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的知识和发现规律并运用规律解题的方法，难度较大． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则m＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义得到m＋1＝3，然后解方程即可． 【详解】∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 12. 若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 13. 如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，若设该平行四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为______ 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质证明可得，进而可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，由此可解． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线相交于点， ， 又 ∵， ， ， ∴阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半， ∴阴影部分面积为， 故答案为：8． 14. 已知，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值、完全平方公式的应用，将所求式子利用完全平方公式变形为，代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，E为边上一点，，．F为对角线上一动点（不与点B，D重合），过点F分别作于点M，于点N，连接，，则的最小值为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，连接、，由四边形为矩形，得，由正方形的对称性得，即知，故当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，由，，可得，从而的最小值为13． 【详解】解：连接、，如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ，，， 四边形为矩形， ， 四边形是正方形， 由正方形的对称性可得， ， ， 当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，如图： ∵， ， 的最小值为13， 故答案为：13． 16. 一个各位数字都不为的四位正整数，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数” ，并规定，则__；若已知数为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的的最大值为__． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，涉及完全平方数的概念，新定义的实数运算，充分理解题意是解题的关键． 根据，代入代数式计算即可；设，则，由题意得．由是一个完全平方数，结合的取值范围，可得，从而得到的最大值 ． 【详解】解： 当时， ， 故答案为：； 设，则， ， ， ， 是一个完全平方数， 是一个完全平方数， ， ， ， 的最大值为，则， 的最大值为， 故答案为：． 三、解答题：（17、18题各8分，19题10分，共26分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形． 17. 计算或解方程组： （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可； （2）直接利用加减消元法解方程得出答案即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：， 得： 解得， 把代入①得： 解得， ∴原方程组的解为． 18. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解集为． 所以该不等式组的所有整数解是，，． 19. 由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，维维的思路是：过点作的垂线，垂足为，交线段于点，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空． 证明：用直尺和圆规过点作的垂线交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹） 四边形是平行四边形， ①__________ 平分， ， ②__________ ， ， ， 在和中 ， （③__________） ④__________， ，， 垂直平分线段， ⑤__________， ， 四边形是菱形． 【答案】作图见解析， 【解析】 【分析】以点A为圆心，以为半径画弧，再分别以J，H为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点G，交于点F，连接； 先根据平行四边形的性质和角平分线的定义得，再根据证明，可得，然后说明 垂直平分线段，可得，进而得出答案. 【详解】解：如图所示， 证明：连接， 四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， . ， ， 在和中 ， (）， . ，， 垂直平分线段， ， ， 四边形是菱形． 故答案为：；；；；． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质和判定，灵活选择判定定理是解题的关键． 四、解答题：（本大题6个小题，每小题10分，共60分） 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可． 【详解】解：原式＝ ； 当时，原式＝． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 21. 四边形中，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）先证，得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，，再由平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的周长． 22. 第十届重庆永川国际茶文化旅游节开幕前，某秀芽茶叶公司预测今年秀芽茶叶能够畅销就用元购进了一批秀芽茶叶，上市后很快脱销，公司又用元购进第二批秀芽茶叶，所购数量是第一批购进数量的倍，但每千克秀芽茶叶进价多了元． （1）该秀芽茶叶公司两次共购进这种秀芽茶叶多少千克？ （2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每千克售价至少是多少元？ 【答案】（1）千克 （2）元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设秀芽茶叶公司第一次购千克茶叶，则第二次购进千克茶叶，根据单价总价数量结合第二次购进茶叶每千克比第一次购进的贵元，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结论； （2）设每千克茶叶售价元，根据利润销售收入成本，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设秀芽茶叶公司第一次购千克茶叶，则第二次购进千克茶叶， 根据题意得： 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ． 【小问2详解】 设每千克茶叶售价元， 根据题意得：， 解得：． 答：每千克茶叶的售价至少是元． 23. 如图，四边形中，，，，， （1）求四边形的面积； （2）求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由勾股定理得到，因此，得到是直角三角形，求出，的面积即可求出四边形的面积； （2）由是等腰直角三角形，得到，而，即可求出的度数． 【小问1详解】 解：连接， ，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 的面积，的面积， 四边形的面积的面积的面积． 【小问2详解】 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，关键是应用勾股定理的逆定理证明是直角三角形． 24. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如，如图1，，，则． 【直接应用】 （1）已知，，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． （3）直接写出式子：的最小值． 【答案】（1） （2）①；②是直角三角形 （3）13 【解析】 【分析】（1）根据所给公式计算求解即可； （2）①过点B作轴于点F，可证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理可推出，据此可得答案；求出的长，可证明，据此可得答案； （3）根据题意可得可以看成是平面直角坐标系中点到点的距离和点到点的距离之和，由两点之间线段最短可知，当点，，三点共线时，有最小值，最小值为点和点之间的距离，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：①如图所示，过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【小问3详解】 解： ， ∵可以看成是平面直角坐标系中点到点的距离，可以看成是平面直角坐标系中点到点的距离， ∴可以看成是平面直角坐标系中点到点的距离和点到点的距离之和， 由两点之间线段最短可知，当点，，三点共线时，有最小值，最小值为点和点之间的距离， ∴的最小值为． 25. 在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F． （1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是__________；证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是__________． （2）点在边上运动． ①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接若正方形的边长为4，直接写出的周长最小值． 【答案】（1），； （2）①成立，理由见解析；②的周长c的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）根据提示，利用正方形的性质和“”证明两个三角形全等； （2）①仿照（1）中方法，在上取点P，使得，连接，证明即可得出结论；②如图3，设与相交于点O，延长到，使，连接，，根据正方形的性质和线段垂直平分线的性质证得，则，当D、F、三点共线时取等号，此时的周长的最小，最小值为，在中利用勾股定理求得得到的周长的最小值为；再讨论当点E于C重合时和当点E与点B重合时情况，即可得出的周长c的取值范围． 【小问1详解】 解：猜想，理由： 如图1，取的中点P，连接．则 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴，又， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 【小问2详解】 ①猜想仍然成立．理由为： 如图2，在上取点P，使得，连接， 由（1）得，，，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； ②如图3，设与相交于点O，延长到，使，连接，， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，，，， ∴，， 又∵， ∴，则垂直平分， ∴， ∴，当D、F、三点共线时取等号，此时的周长的最小，最小值为， 在中，， ∴， ∴的周长的最小值为； 当点E于C重合时，如图4，， ∴， 又，， ∴，则A、D、F共线，且， ∴，此时不存在， 当点E与点B重合时，点F与点C重合，的周长即为的周长， 综上，的周长c的取值范围为． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题、勾股定理，二次根式的乘法运算等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长寿实验中学校初2024级八年级下期半期考试数学试题 一、选择题．（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 3. 下列计算结果，正确的是（ ） A. ＝－3 B. ＋＝ C. －＝1 D. ＝5 4. 如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. 5. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 6. 下列图形都是由同样大小的点按一定的规律组成，其中第①个图形一共有个点，第②个图形一共有个点，第③个图形一共有个点，，则第⑥个图形中点的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 有一个角为直角的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 四个内角都相等的四边形是矩形 8. 如图，在中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 2.5 9. 如图，正方形中，E为对角线上一点，连接AE并延长交于H，过E作交于F，若，则=（ ） A. α B. 2α C. D. 10. 我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用． 表示距离（为正整数）最近的正整数例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ； 时，的值有个； ； ； 当时，的值为． 以上结论中正确的结论有个（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则m＝_____． 12. 若为正整数，且满足，则__________． 13. 如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，若设该平行四边形的面积为，则图中阴影部分的面积为______ 14. 已知，则代数式的值是________． 15. 如图，在正方形中，E为边上一点，，．F为对角线上一动点（不与点B，D重合），过点F分别作于点M，于点N，连接，，则的最小值为__________． 16. 一个各位数字都不为的四位正整数，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数” ，并规定，则__；若已知数为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的的最大值为__． 三、解答题：（17、18题各8分，19题10分，共26分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形． 17. 计算或解方程组： （1）计算：； （2）解方程组： 18. 求不等式组：的所有整数解． 19. 由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形中，平分，维维的思路是：过点作的垂线，垂足为，交线段于点，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空． 证明：用直尺和圆规过点作的垂线交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹） 四边形是平行四边形， ①__________ 平分， ， ②__________ ， ， ， 在和中 ， （③__________） ④__________， ，， 垂直平分线段， ⑤__________， ， 四边形是菱形． 四、解答题：（本大题6个小题，每小题10分，共60分） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 四边形中，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 22. 第十届重庆永川国际茶文化旅游节开幕前，某秀芽茶叶公司预测今年秀芽茶叶能够畅销就用元购进了一批秀芽茶叶，上市后很快脱销，公司又用元购进第二批秀芽茶叶，所购数量是第一批购进数量的倍，但每千克秀芽茶叶进价多了元． （1）该秀芽茶叶公司两次共购进这种秀芽茶叶多少千克？ （2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每千克售价至少是多少元？ 23. 如图，四边形中，，，，， （1）求四边形的面积； （2）求的大小． 24. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如，如图1，，，则． 【直接应用】 （1）已知，，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． （3）直接写出式子：的最小值． 25. 在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F． （1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是__________；证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是__________． （2）点在边上运动． ①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接若正方形的边长为4，直接写出的周长最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $