重庆市长寿中学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

重庆市长寿中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x≥3 C．x≤3 D．x＞3 3．（4分）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．4，6，8 C．，， D．5，12，15 5．（4分）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 6．（4分）估计的值应在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 7．（4分）如图1的玻璃莲花托盏，出土于甘肃省定西市漳县徐家坪，由普蓝色玻璃制成，半透明，造型优美，色彩艳丽，工艺精湛，是迄今为止中国出土最完整的一套元代玻璃托盏．如图2是玻璃莲花托盏茶托边沿的平面示意图，可抽象为正八边形ABCDEFGH，则∠ABC＝（　　） A．145° B．135° C．125° D．115° 8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），则点D的坐标为（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（1，3） D．（3，1） 9．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝12，BC＝16，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 10．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中，对角线AC上有一个动点P，连接BP，过点P作BP的垂线PN，PN交直线CD于点N，点M是BC的中点C．下列结论：①PM＝PN；②PB＝PN；③当点N是CD的中点时，；④BP+MP的最小值是．其中正确结论是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．（4分）若与最简二次根式能合并，则m＝ 　 　 ． 12．（4分）如图，在Rt△OBC中，OC＝1，OB＝2，以点B为圆心，BC为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是　 　 ． 13．（4分）如图，圆柱体的底面周长为40cm，高AB为15cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C处觅食，则爬行的最短路程为　 　 cm． 14．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F是DE延长线上一点，且∠AFC＝90°．若BC＝8，DF＝7，则AC的长为　 　 ． 15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CFD等于　 　 ． 16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（可与点C，D重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF．如图1，当F与D重合时，CN＝　 　 cm；如图2，若四边形CDMH为正方形，则CN＝　 　 cm． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 17．（8分）计算： （1）2； （2）（4）． 18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，BE平分∠ABC． （1）尺规作图：作∠ADC的平分线交BC于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）根据（1）中作出的图，求证：四边形BEDF为平行四边形．（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由） 证明： ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴　 　 ①， ∴AD∥BC， ∴　 　 ②， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， 同理可得CD＝CF， ∵AB＝CD， ∴　 　 ③， ∵AD＝BC， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF．即DE＝BF． 又∵　 　 ④， ∴四边形BEDF为平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．对角线AC、BD相交于点O，OA＝OB． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠CAD＝30°，AB＝3，求四边形ABCD的周长． 20．（10分）若，，求下列各式的值： （1）x2+2xy+y2； （2）x2﹣y2． 21．（10分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为80km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 22．（10分）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． （1）若与是关于c的共轭二次根式，则c＝　 　 ； （2）若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值； （3）若与是关于24的共轭二次根式，求m的值． 23．（10分）国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点A处同时出发前往D处．江江打算沿A→B→D的路线前往，机器人打算沿A→C→D的路线前往，已知点A在点B的南偏西60°方向上，且AB＝240米，∠BCD＝90°，BC＝200米，CD＝400米． （1）求AC的长度（结果保留根号）； （2）若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达D处？（结果保留整数，参考数据：，， 24．（10分）如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线AC，垂足为O，连接AF，CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）取AB边中点G，连接OG，若AB＝OG＝8，求四边形AFCE的面积． 25．（10分）正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）如图1，求证△ABE≌△BCF； （2）如图2，在GF上截取GM＝GB，连接AM，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF的延长线于点N，连接CN． ①判断△AGN的形状，并证明； ②求证：． 重庆市长寿中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1．（4分）下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、2，故C错误； D、是最简二次根式，故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2．（4分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x≥3 C．x≤3 D．x＞3 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：式子在实数范围内有意义，故x﹣3≥0， 则x的取值范围是：x≥3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 3．（4分）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式加减乘除的运算法则，分别计算各选项即可． 【解答】解：根据二次根式的混合运算法则逐项分析判断如下： 选项A：， ∴A错误，该选项不符合题意； 选项B：，计算正确， ∴B正确，该选项符合题意； 选项C：与不是同类二次根式，不能合并， ∴C错误，该选项不符合题意； 选项D：， ∴D错误，该选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 4．（4分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．4，6，8 C．，， D．5，12，15 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可． 【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、42+62≠82，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、（）2+（）2＝（）2，能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、52+122≠152，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 5．（4分）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 【分析】根据菱形、矩形、正方形性质对选项进行逐一判断即可求解． 【解答】解：矩形、菱形、正方形都属于平行四边形， 所以矩形、菱形、正方形一定都具有的性质是平行四边形的性质， ∴B，C，D选项不符合题意，A选项中的对角线互相平分符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形，矩形、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键． 6．（4分）估计的值应在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【分析】根据题意，对所给数式进行估算即可． 【解答】解：由题知， 因为， 则37.242， 所以的值在7和8之间． 故选：C． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小及二次根式的混合运算，熟知无理数大小的估算方法是解题的关键． 7．（4分）如图1的玻璃莲花托盏，出土于甘肃省定西市漳县徐家坪，由普蓝色玻璃制成，半透明，造型优美，色彩艳丽，工艺精湛，是迄今为止中国出土最完整的一套元代玻璃托盏．如图2是玻璃莲花托盏茶托边沿的平面示意图，可抽象为正八边形ABCDEFGH，则∠ABC＝（　　） A．145° B．135° C．125° D．115° 【分析】根据正八边形的性质以及多边形内角和的计算方法进行计算即可． 【解答】解：正八边形ABCDEFGH的内角∠ABC135°， 故选：B． 【点评】本题考查多边形的内角和外角，掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），则点D的坐标为（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（1，3） D．（3，1） 【分析】由B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），可知BC∥x轴，且BC＝4，由平行四边形的性质得AD∥BC，且AD＝BC＝4，则AD∥x轴，由A（﹣3，2），求得点D的坐标为（1，2），于是得到问题的答案． 【解答】解：∵B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2）， ∴BC∥x轴，且BC＝3﹣（﹣1）＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD＝BC＝4， ∴AD∥x轴， ∵A（﹣3，2）， ∴点D的横坐标为﹣3+4＝1，纵坐标为2， ∴点D的坐标为（1，2）， 故选：A． 【点评】此题重点考查坐标与图形性质、平行四边形的性质等知识，推导出AD＝BC＝4且AD∥x轴是解题的关键． 9．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝12，BC＝16，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为48，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到EO+EF的值． 【解答】解：∵AB＝12，BC＝16， ∴矩形ABCD的面积为192，AC20， ∴AO＝DOAC＝10， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即48AO•EODO•EF， ∴4810EO10EF， ∴OE+EF． 故选：A． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形性质是解答此题的关键． 10．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中，对角线AC上有一个动点P，连接BP，过点P作BP的垂线PN，PN交直线CD于点N，点M是BC的中点C．下列结论：①PM＝PN；②PB＝PN；③当点N是CD的中点时，；④BP+MP的最小值是．其中正确结论是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 【分析】因为四边形ABCD是正方形，所以点B关于AC的对称点为点D，结合勾股定理得，证明④是正确的，然后证明△BAP≌△DAP，得出BP＝PD，因为四边形内角和360度，得出∠PDN＝∠PND，等角对等边，则PB＝PN，故②是正确的；因为点N是动点，不是CD的中点，无法证明全等，则①PM＝PN是错误的；先证明四边形ADFE，四边形BCFE是矩形，再得出△FPN≌△EBP，然后DF＝1﹣x，即x＝1﹣x，则，故③正确． 【解答】解：如图：连接DP，MD，且MD交AC于一点，即点P1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，点B关于AC的对称点为点D， ∴BP+MP≥DP+MP， 当点P运动到点P1时，此时BP+MP＝DP1+MP1＝MD， ∴BP+MP的最小值是MD， ∵点M是BC的中点，边长是2， ∴，故④BP+MP的最小值是是正确的； ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAP＝∠DAP＝45°，AB＝AD，∠BCD＝90°， ∵AP＝AP， ∴△BAP≌△DAP（SAS）， ∴BP＝PD，∠ABP＝∠ADP， ∵BP⊥PN， ∴∠BPN＝90°， ∵∠BCD＝90°， ∴在四边形BPNC中，∠PBM+∠PNC＝360°﹣∠BPN﹣∠BCD＝180°， ∵∠PND+∠PNC＝180°， ∴∠PND＝∠PBM， ∵四边形ABCD是正方形，∠ABP＝∠ADP， ∴90°﹣∠ABP＝90°﹣∠ADP， ∴∠PBM＝∠PDN， ∴∠PDN＝∠PND， ∴PN＝PD， ∵BP＝PD， ∴②PB＝PN是正确的； 依题意，点N不是CD的中点， ∴， ∴， ∴无法证明△MCP与△NCP全等， ∴PM＝PN不成立， ∴①PM＝PN是错误的； ③当点N是CD的中点时，如图：过点P作EF⊥AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝2，∠BAC＝45°，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°， 设AE＝x，BE＝2﹣x， ∵EF⊥AB， ∴EP＝AE＝x，四边形ADFE，四边形BCFE是矩形， ∴AE＝DF＝x， ∵EF⊥AB， ∴∠BEP＝90°＝∠PFN，∠EBP+∠EPB＝90°， ∵BP⊥PN， ∴∠FPN+∠EPB＝90°， ∴∠FPN＝∠EBP， ∵BP＝PN， ∴△FPN≌△EBP（AAS）， ∴EP＝FN＝x， ∵N是CD的中点， ∴ND＝1，DF＝1﹣x， ∵AE＝DF＝x， ∴x＝1﹣x， ∴x， 则，故③正确， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．（4分）若与最简二次根式能合并，则m＝ 　2　 ． 【分析】根据同类二次根式、最简二次根式的定义进行解题即可． 【解答】解：∵2与最简二次根式能合并， ∴m＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 12．（4分）如图，在Rt△OBC中，OC＝1，OB＝2，以点B为圆心，BC为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是　　 ． 【分析】根据OB＝2得到点B表示的数，然后根据勾股定理求出BC，从而求出AB，然后根据两点间的距离公式列出关于a的方程，解方程求出a即可． 【解答】解：∵OB＝2， ∴点B表示的数为2， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 13．（4分）如图，圆柱体的底面周长为40cm，高AB为15cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C处觅食，则爬行的最短路程为　15　 cm． 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为40cm， 则AD＝4020cm． 又因为CD＝AB＝15cm， 所以AC25cm． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是25cm． 故答案为：15． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 14．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F是DE延长线上一点，且∠AFC＝90°．若BC＝8，DF＝7，则AC的长为　6　 ． 【分析】由三角形中位线定理推出DEBC＝4，求出EF＝3，由直角三角形斜边中线的性质得到AC＝2EF＝6． 【解答】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC8＝4， ∴EF＝DF﹣DE＝7﹣4＝3， ∵∠AFC＝90°，E是AC的中点， ∴AC＝2EF＝2×3＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边的中线，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CFD等于　80°　 ． 【分析】连接BF，根据线段垂直平分线的性质得出AF＝BF，由等边对等角可得∠FAB＝∠FBA＝40°，求出∠AFB＝100°，再利用“边角边”证明△DAF≌△BAF，根据全等三角形对应角相等可得∠DFA＝∠BFA＝100°，即可得出答案． 【解答】解：如图，连接BF， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝80°， ∴，AB＝AD， ∵EF垂直平分AB， ∴AF＝BF， ∴∠FAB＝∠FBA＝40°， ∴∠BFA＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝100°， 在△DAF和△BAF中， ， ∴△DAF≌△BAF（SAS）， ∴∠DFA＝∠BFA＝100°， ∴∠CFD＝180°﹣∠DFA＝180°﹣100°＝80°． 故答案为：80°． 【点评】本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键． 16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（可与点C，D重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF．如图1，当F与D重合时，CN＝　　 cm；如图2，若四边形CDMH为正方形，则CN＝　　 cm． 【分析】利用矩形和折叠的性质可得AM＝BH＝ME，MH＝AB＝CD＝3cm，设CN＝xcm，则BN＝DN＝（4﹣x）cm，在Rt△CND中，根据勾股定理可得CN；连接BM、FM，当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3cm，由勾股定理得出BM、DF、CF，在Rt△CNF中，利用勾股定理求出HN，进而即可求解． 【解答】解：当F与D重合时，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4cm，AB＝CD＝3cm，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°， ∵MH⊥BC于点H， ∴∠BHM＝90°， ∴四边形ABHM是矩形， ∴AM＝BH，MH＝AB＝3cm， 由折叠可得AM＝EM，BN＝DN，AB＝DE＝3cm，∠A＝∠E＝90°， ∴AM＝BH＝ME， 设CN＝xcm，则BN＝DN＝（4﹣x）cm， 在Rt△CND中，CN2+CD2＝DN2， ∴x2+32＝（4﹣x）2， 解得， ∴； 如图，连接BM，FM， 当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3cm， ∵AD＝BC＝4cm， ∴AM＝BH＝1cm， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，BN＝FN， ∴， ∴CF＝3﹣1＝2（cm）， 设HN＝xcm，则BN＝FN＝（x+1）cm， 在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2， ∴（3﹣x）2+22＝（x+1）2， 解得， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查矩形的判定与性质，折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 17．（8分）计算： （1）2； （2）（4）． 【分析】（1）根据二次根式的运算法则进行计算； （2）根据二次根式的运算法则进行计算． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝2． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，BE平分∠ABC． （1）尺规作图：作∠ADC的平分线交BC于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）根据（1）中作出的图，求证：四边形BEDF为平行四边形．（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由） 证明： ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴　四边形ABCD是平行四边形　 ①， ∴AD∥BC， ∴　∠CBE＝∠AEB ②， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， 同理可得CD＝CF， ∵AB＝CD， ∴AE＝CF ③， ∵AD＝BC， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF．即DE＝BF． 又∵AD∥BC ④， ∴四边形BEDF为平行四边形． 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）根据题干证明思路，结合平行四边形的判定与性质可得答案． 【解答】（1）解：如图所示，DF即为所求： （2）证明： ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， 同理可得CD＝CF， ∵AB＝CD， ∴AE＝CF， ∵AD＝BC， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF．即DE＝BF． 又∵AD∥BC， ∴四边形BEDF为平行四边形． 故答案为：四边形ABCD是平行四边形，∠CBE＝∠AEB，AE＝CF，AD∥BC． 【点评】本题考查了基本作图，熟练掌握该知识点是关键． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．对角线AC、BD相交于点O，OA＝OB． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠CAD＝30°，AB＝3，求四边形ABCD的周长． 【分析】（1）由AB∥CD，AD∥BC得四边形ABCD是平行四边形，进而得OA＝OC，OB＝OD，则AC＝2OA，BD＝2OB，再根据OA＝OB得AC＝BD，据此即可得出结论；； （2）由矩形性质得CD＝AB＝3，AD＝BC，∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，根据∠CAD＝30°得AC＝6，进而由勾股定理得AD，由此即可得出四边形ABCD的周长． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴AC＝2OA，BD＝2OB， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：由（1）可知：四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝3，AD＝BC，∠ADC＝90°， ∴△ADC是直角三角形， 在Rt△ADC中，∠CAD＝30°， ∴AC＝2CD＝6， 由勾股定理得：AD， ∴矩形ABCD的周长为：2（AD+CD）． 【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，灵活利用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 20．（10分）若，，求下列各式的值： （1）x2+2xy+y2； （2）x2﹣y2． 【分析】（1）先计算出x+y的值，然后将所求式子变形，再将x+y的值代入计算即可； （2）先计算出x+y与x﹣y的值，然后将所求式子变形，再将x+y与x﹣y的值代入计算即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴x+y＝2， ∴x2+2xy+y2 ＝（x+y）2 ＝（2）2 ＝28； （2）∵，， ∴x+y＝2，x﹣y＝﹣4， ∴x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） ＝2（﹣4） ＝﹣8． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 21．（10分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为80km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形； （2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响． 理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于D． ∵S△ABCAC•BCAB•CD， ∴CD240（km）， ∵250＞240， ∴海港C受到台风影响； （3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口． 在Rt△CED中，由勾股定理得 ED70（km）， ∴EF＝140km， ∵台风的速度为80km/h， ∴140÷80＝1.75（h）． ∴台风影响该海港持续的时间为1.75h． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 22．（10分）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． （1）若与是关于c的共轭二次根式，则c＝　9　 ； （2）若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值； （3）若与是关于24的共轭二次根式，求m的值． 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义进行计算即可； （2）根据共轭二次根式的定义得，a（）＝4，再进行计算即可； （3）根据共轭二次根式的定义得，（3）（12m）＝24，再进行计算即可． 【解答】解：（1）∵39， ∴3与是关于9的共轭二次根式，即c＝9， 故答案为：9； （2）由共轭二次根式的定义可得， a（）＝4， ∴a22； （3）由共轭二次根式的定义可得， （3）（12m）＝24， 解得m＝﹣4． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解共轭二次根式的定义，掌握二次根式混合运算的方法是正确解答的关键． 23．（10分）国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点A处同时出发前往D处．江江打算沿A→B→D的路线前往，机器人打算沿A→C→D的路线前往，已知点A在点B的南偏西60°方向上，且AB＝240米，∠BCD＝90°，BC＝200米，CD＝400米． （1）求AC的长度（结果保留根号）； （2）若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达D处？（结果保留整数，参考数据：，， 【分析】（1）过B作BH⊥AC于H，则∠AHB＝∠CHB＝90°，根据勾股定理得到结论； （2）根据勾股定理得到BD200（米），求得A→B→D的路线长为240+200680（米），A→C→D的路线长为（120160）+400≈764（米），得到680÷2.5＝272（秒），724÷3≈241（秒），于是得到结论． 【解答】解：（1）过B作BH⊥AC于H， 则∠AHB＝∠CHB＝90°， ∵∠ABH＝60°， ∴∠A＝30°， ∴BHAB＝120（m）， ∴AH120（m）， ∵BC＝200m， ∴CH160（m）， ∴AC＝AH+CH＝（120160）m； （2）∵∠BCD＝90°，BC＝200米，CD＝400米， ∴BD200（米）， ∴A→B→D的路线长为240+200680（米），A→C→D的路线长为（120160）+400≈764（米）， ∵江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒， ∴680÷2.5＝272（秒），724÷3≈241（秒）， ∵272＞241， ∴机器人先到达D处． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 24．（10分）如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线AC，垂足为O，连接AF，CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）取AB边中点G，连接OG，若AB＝OG＝8，求四边形AFCE的面积． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出AE＝CE，AF＝CF，证明△AOE≌△COF得出AE＝CF即可得证； （2）由G是中点得出BC＝2OG＝16，依据勾股定理求出AC，AF，OE即可解答． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分对角线AC， ∴AE＝CE，AF＝CF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝CO，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵∠AOE＝∠COF， ∴AOE≌△COF， ∴AE＝CF， ∴AE＝CE＝CF＝AF， ∴四边形AFCE是菱形； （2）解：∵G是中点， ∴BC＝2OG＝16， 在Rt△ABC中，AC8， ∴OA＝4， 在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2， ∴82+（16﹣AF）2＝AF2， 解得AF＝10， ∴AE＝10， ∴OE2， ∴EF＝4， ∴四边形AFCE的面积为：80． 【点评】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键． 25．（10分）正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G． （1）如图1，求证△ABE≌△BCF； （2）如图2，在GF上截取GM＝GB，连接AM，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF的延长线于点N，连接CN． ①判断△AGN的形状，并证明； ②求证：． 【分析】（1）根据正方形的性质得AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，用SAS证明△ABE≌△BCF； （2）①由（1）得∠BAE＝∠CBF，根据三角形内角和定理和等量代换即可得； ②过点B作BP⊥BN，交AN于点P，根据正方形的性质和平行线的性质，用SAS证明△AGB≌△AGM，得∠BAG＝∠MAG，根据角平分线性质得∠BPA＝∠GAN＝45°，则△PBN是等腰直角三角形，用SAS证明△ABP≌△CBN，得AP＝CN，在Rt△PBN中，根据勾股定理即可得． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）； （2）①解：△AGN是等腰直角三角形，理由如下： ∵△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠AEB+∠BAE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AEB+∠CBF＝90°， ∴∠EGB＝180°﹣（∠AEB+∠CBF）＝180°﹣90°＝90°， ∴AE⊥BF； ∵GM＝GB， ∴AE平分∠BAM， ∵AH平分∠DAM， ∴∠GAN＝45°， ∴AGN是等腰直角三角形； ②证明：过点B作BP⊥BN，交AN于点P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠PBN＝90°， ∵∠PBN＝∠PBA+∠ABN＝90°，∠ABC＝∠CBN+∠ABN＝90°， ∴∠PBA＝∠CBN， 由（1）得，AE⊥BF， ∴∠AGB＝∠AGM＝90°， ∴∠PBG＝∠AGM＝90°， ∴PB∥AE， ∴∠BPA＝∠EAN， 在△AGB和△AGM中， ， ∴△AGB≌△AGM（SAS）， ∴∠BAG＝∠MAG， ∵AN平分∠DAM， ∴∠DAN＝∠MAN， ∴∠BAG+∠MAG+∠MAN+∠DAN＝90°， ∴∠MAG+2∠MAN＝90°， ∴∠MAG+∠MAN＝45°， ∴∠GAN＝45°， ∴∠BPA＝∠GAN＝45°， ∴∠BNP＝180°﹣∠PBN﹣∠BPA＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴△PBN是等腰直角三角形， ∴BP＝BN， 在△ABP和△CBN中， ， ∴△ABP≌△CBN（SAS）， ∴AP＝CN， 在Rt△PBN中，根据勾股定理， ∴． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $