第六章 整式的运算（知识清单）数学新教材北京版七年级下册

第六章 整式的运算 知识点01 整式的加法与减法 1.整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 注意 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 知识点02 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点03 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点04 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点05 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点06 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 知识点07 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点08 单项式乘法 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 知识点09 多项式乘法 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 知识点10 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点11 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 知识点12 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 知识点13 平方差公式的几何意义 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 知识点14 整式的除法 核心概念 多项式除以单项式：用多项式每一项分别除以单项式，再把商相加。 多项式除以多项式：常用竖式长除法，类似整数除法，按降幂排列逐项相除。 运算法则 多项式 ÷ 单项式：每项系数相除、同底数幂相除，符号跟着项走，不漏常数项。 长除法步骤：降幂排列→缺项补 0→首项相除→乘式相减→余式次数低于除式次数为止。 重要关系 被除式 ÷ 除式 = 商式 + 余式 ÷ 除式 被除式 = 除式 × 商式 + 余式 余式次数必须小于除式次数。 易错注意 漏除多项式其中某一项、漏掉常数项。 符号出错，减式变号不彻底。 未按降幂排列、缺项不补 0，导致错位计算。 余式次数没比除式低，运算没结束。 一、幂的运算 1.同底数幂的乘法 错误：易混淆底数不同强行运算，漏看指数为 1，误把指数相乘而非相加。 注意：先统一底数再运算，底数不变指数相加，单独字母指数默认为 1。 1．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）化简式子的结果（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查了同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，熟练掌握运算法则是求解的关键． 利用和互为相反数的关系，将式子统一为的幂，再应用同底数幂相乘的法则合并指数，完成求解． 【详解】解：∵， ∴原式． 故选：C． 2.幂的乘方 错误：混淆同底数幂乘除、幂乘方法则，符号易错，忽略指数为 1 与零指数限制。 注意：分清运算法则底数指数变化，先定符号，牢记零指数负指数取值条件。 2．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方，解题时需注意符号处理，特别是负数的乘方以及运算法则． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解； （3）根据幂的乘方运算，底数不变，指数相乘求解； （4）根据积的乘方运算，等于每个因式分别乘方． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：． 3.积的乘方 错误：漏给其中因式乘方，混淆同底数幂法则，负数乘方符号判断出错。 注意：每个因式分别乘方，再相乘；先判符号，严格套用公式不混用法则。 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 【答案】①；②； 【分析】本题主要考查了积的乘方法则逆运算、幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方法则、同底数幂的乘法法则是解题关键． 知识迁移：结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可； 知识拓展：结合题意，根据幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：知识迁移： ①； ② ； 知识拓展： ， ， ， ， 解得：． 4同底数幂的除法. 错误：易误把指数相除，忽略底数不为 0，负指数、零指数意义易混淆出错。 注意：底数相同才可相除，底数不变指数相减，底数不能为零牢记限制。 4．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)64 (2)1 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用将原式变形为，代入计算即可； （2）根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用将原式变形为，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 二、整式乘法 1.多项式乘法的化简求值 错误：去括号漏变号、漏乘项，合并同类项出错，代值时符号与括号遗漏。 注意：先展开化简再代值，括号规范带入，细心合并同类项、核对符号。 5．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，根据整式的混合运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 2.已知多项式乘积不含某项求字母的值 错误：展开合并同类项不彻底，看错项的系数，忽略系数为 0 列式求解出错。 注意：完整展开合并，令不含项系数为 0，解方程求参，记得检验结果。 6．（25-26八年级上·北京海淀·期中）展开后不含的一次项，的值___________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘积不含某项求字母的值，把原式按照多项式乘法展开，合并同类项后令的系数为即可得到的值． 【详解】解： ， ∵原式中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 3.多项式乘多项式与图形面积关系 错误：图形边长看错拆分错位，面积列式漏项，混淆整体与局部对应关系。 注意：用割补法对应长宽列式，面积相等建立等式，准确匹配多项式。 7．（24-25八年级上·北京西城·期中）我们在学习整式乘法时发现，通过计算几何图形的面积可以得到一些代数恒等式．如图1可以得到，基于此想法，请回答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ． (2)利用图3中若干张边长为的正方形，边长为的正方形和长、宽分别为和的长方形，可以拼出一个面积为的长方形，请你仿照图2画出拼图方式并标注上对应字母．利用这个长方形面积我们可以得到 ． (3)实际上，通过计算立体图形的体积也可以得到一些代数恒等式．如图4表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼出的一个新长方体，根据此图的变化关系，写出一个代数恒等式： ． 【答案】(1) (2)拼图见解析， (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算： （1）依据大正方形的面积等于小图形的面积之和即可求解； （2）根据新长方形的边长画出图形，再根据图形得出等式即可求解； （3）依据原几何体的体积与新几何体的体积相等建立等式即可； 利用直接法或间接法分别求出几何图形的面积或体积，然后根据他们的面积或体积相等列出等式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，正方形的面积， 正方形的面积， ， 故答案为：． （2）如图：     ． （3）由图4得：原几何体的体积， 新几何体的体积， ， 故答案为：． 三、乘法公式 1.乘法公式运算 错误：混淆平方差与完全平方公式，漏中间项、符号弄错，乱套公式结构。 注意：先认准公式结构，找准首尾项符号，套用公式后再化简运算。 8．（24-25七年级下·全国·专题练习）用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）原式运用完全平方公式进行计算即可； （2）原式运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式运用完全平方公式进行计算即可； （4）原式运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 2.乘法公式与几何图形 错误：不会对应图形边长与公式，割补面积算错，混淆平方差和完全平方图形。 注意：用正方形、长方形面积构图，数形对应边长，利用割补推导乘法公式。 9．（25-26七年级上·山东济南·期末）【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）①12；②7 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的探索与应用，解决本题的关键是由面积得到乘法公式并进行变形代值求解． （1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，由此可得结论． 根据图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，也可以由两个正方形与两个长方形的面积表示，由此可得结论． （2）①根据平方差公式，将变形为代值求解即可． ②根据完全平方公式，先求解，由此可求解． 【详解】解：（1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，即， 图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，即， ∴比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：． 故答案为：． 图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，即， 图3大正方形的面积也可表示为两个正方形，即；两个长方形，即， ∴图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式：． 故答案为：． （2）①∵，， ∴． 故答案为：12． ②∵，，即， ∴． 3.乘法公式的变形求值 错误：公式变形记混结构，正负符号易错，代入数值时漏括号、代错数据。 注意：熟记常见恒等变形，先整体代换，认准符号，分步计算不跳步出错。 10．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）若，，求的值 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，由完全平方公式得，，两式相加得，进而即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键. 【详解】解：∵，， ∴，， ①②，得， ∴. 四、科学记数法 1.科学记数法表示绝对值小于1 的数 错误：搞错负指数绝对值，小数点移动位数数错，前面有效数字书写不规范。 注意：写成a×10-n形式，1≤|a|＜10，n等于小数点右移位数。 11．（25-26八年级上·北京西城·期末）已知1个水分子的质量约是．如果1滴水的质量约是，那么这滴水中大约有______个水分子（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，读懂题意是解题的关键． 根据题意，水分子的数量等于一滴水的质量除以一个水分子的质量，利用科学记数法的除法法则进行计算． 【详解】解：一滴水的质量为，一个水分子的质量为，则水分子的数量为：． 故答案为：． 五、整式除法 1.整式除法运算 错误：同底数幂相除易误算指数，符号易混淆相反数底数奇偶次幂；多项式除以单项式易漏除项、丢常数项；零负指数常忽略底数不为 0 的限制条件。 注意：同底才能用除法公式，不同底数先化简；多项式每项都要带符号相除；结果化最简，负指数转正分式，严禁随意拆分多项式分母。 12．（24-25七年级下·北京顺义·期中）学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当余式的次数低于除式的次数 (2) (3)3 (4)能，另一边长为 【分析】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式． （1）结合列竖式计算整数的除法即可得到结论； （2）列竖式进行计算即可得到答案； （3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （4）根据题意，得到18张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案． 【详解】（1）解：余式的次数满足：当余式的次数低于除式的次数， 故答案为：当余式的次数低于除式的次数； （2）解：列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； （3）解：列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：； （4）解：能，理由如下： 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，9张卡片，8张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 1．（2025·北京·模拟预测）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意； B、，故选项B计算错误，不符合题意； C、，故选项C计算错误，不符合题意； D、，故选项D计算正确． 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，需利用多项式除以单项式的法则，分别计算被除式与商中被污染的项． 【详解】解：∵被除式第一项为，除式为， ∴商的第一项为， 设被除式中被污染的项为， ∵商的中间项为，且， ∴， ∴ ， 综上，被污染的内容为和，对应选项D； 故选：D 3．（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ， 故选：D． 4．（25-26八年级下·全国·周测）若，互为相反数，则化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用  和 互为相反数的关系，即 ，代入表达式化简，或直接提取公因式后利用求解. 【详解】解：∵  和 互为相反数， ∴. 原式 = 　 ∵， ∴ 原式. 【点睛】本题考查了相反数，整式的混合运算，熟知互为相反数的两个数相加得0是解题的关键. 5．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）已知，，，那么式子的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式及应用，熟记完全平方公式是解题的关键．利用恒等式将原式转化为平方和形式，结合的差值计算． 【详解】解： ，，， ， ， ， ∴原式=． 故选：C． 6．（25-26七年级上·重庆·期中）我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算乘法的方法，称为“铺地锦”．如图1，计算，首先把乘数31和47分别写在方格的上面和右面，然后以31的每位数字分别乘以47的每位数字，将结果记入对应的格子中（如的12写在3下面的方格里，十位1写在斜线的上面，个位2写在斜线的下面），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线末端，最后把得数依次写下来是1457，即．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查新定义，一元一次方程，根据“铺地锦”定义得出，然后解方程即可，通过读懂题意，理解“铺地锦”的运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据“铺地锦”定义可知，如图， ∴， ∴， 故选：B． 7．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若是完全平方式，则k的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式．通过将表达式与完全平方式展开后的形式比较系数，确定的值． 【详解】解：由题意，得 ∴ 故选：D． 8．（25-26七年级上·北京·期中）正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是100时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（   ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．5，2，4 D．6，2，5 【答案】C 【分析】本题主要考查整式加减运算的应用，有理数的混合运算；设三个数分别为a、b、c，根据计算步骤推导出最终表达式为，得到，再验证各选项即可． 【详解】解：设三个数为a、b、c， ∵ 第一步：， 第二步：， 第三步：， 且最终得数为100， ∴ ， 即 ； 代入选项： A：， B：， C：， D：， 故选：C． 9．（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据题意可知，再根据整式加减的运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·广西玉林·期末）已知，则的值是___________． 【答案】81 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式混合运算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．由已知方程解出 x 与 y 的关系，代入目标表达式并化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：81． 11．（25-26七年级下·湖南怀化·期中）观察：；，那么，________． 【答案】/ 【分析】本题考查平方差公式的应用．通过乘以构造平方差形式，然后连续使用平方差公式简化计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 12．（24-25七年级上·北京·期中）图（1）是一个长为，宽为（）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则图（2）中大正方形的边长是 ________，中间空白的小正方形的面积是 ___________． 【答案】 【分析】根据题意即可得到正方形的边长，进而得到正方形的面积，结合原矩形的面积可知中间空白的小正方形的面积． 【详解】解：∵图（1）是一个长为，宽为（）的长方形， ∴图（2）中大正方形的边长为：， ∴图（2）中大正方形的面积为， ∵原矩形的面积为， ∴中间空的部分的面积． 故答案为：，． 13．（25-26七年级下·北京·单元测试）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值是_____． 【答案】 【分析】令，则，则，令，则，得到，两边乘以即可求解． 【详解】解：∵当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·北京·期末）将4个如图1所示的长为x、宽为的小矩形按照图2的方式不重叠地摆放在大矩形中，，大矩形中未被覆盖的两部分分别记为和 （1）图形的周长=___________ （用含x，y的式子表示）； （2）图形和的周长之和=____________ 【答案】 16 【分析】（1）由图形可得图形的周长为，将其计算即可； （2）由图形可得图形的周长为，将其计算后再与中所得结果相加即可． 【详解】解：（1）图形的周长， 故答案为：； （2）图形的周长为， 则， 即图形和的周长之和． 15．（25-26七年级下·北京通州·期中）计算、化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（25-26七年级下·北京房山·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 17．（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，，求的值． （2）若，求值． 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法运算法则，拆分指数后代入数值计算即可； （2）利用幂的乘方运算法则，对做底数统一的变形，结合乘方的定义分别求解、的值，再计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵，，， ∴，， ∴或，， 当时，； 当时，； ∴或． 【点睛】本题解题关键是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方的运算法则，并能正向、逆向灵活使用；平方运算的结果为正数时，底数存在正负两个解，切勿遗漏负数解导致结果不全． 18．（25-26七年级下·北京延庆·期中）在整式乘法的学习中，我们常常利用图形的面积对运算结果加以说明，借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路． 例如，图1中利用大长方形面积的两种不同表示形式可以得到等式： (1)图2中利用大长方形面积的两种不同表示形式可以得到等式：___________； (2)计算的值，并画出几何图形进行说明． 【答案】(1) (2)，图和说明见解析 【分析】本题主要考查多项式与多项式相乘与几何图形结合进行验证多项式法则，理解并学会作出合适的图形是解题难点． （1）利用等面积法，使用两种方法求出面积，一种是直接计算大图形的面积，二是根据图形求出四个小图形面积，二者相同即可； （2）根据题意可作出如图所示矩形，同（1）类似，求各个小图形面积和即可． 【详解】（1）解：图2面积可表示为：， 面积还可表示为：， ∴可得：； （2）解：如图所示： 根据图形求面积可得，大面积可表示为：， 四个小矩形面积和为：， 二者表示为同一图形面积， ∴， 说明：根据作出如图所示图形，根据图形分别计算四个矩形面积求和即可得． 19．（25-26七年级下·北京昌平·期中）两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m，n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． (1)，当时，一定有 （填“”，“”，“”）； (2)已知，根据上述方法比较与的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法判断大小即可； （2）利用作差法判断大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·北京通州·期中）通常用“作差法”比较代数式的大小，即通过计算的值，就可以比较代数式，的大小． (1)图是边长为的正方形，将正方形一组对边不变，另一组对边增加，得到如图所示的新长方形，此长方形的面积为；将图中的正方形一组邻边长均增加得到如图所示的新正方形，此正方形的面积为．请直接写出与的大小关系是 ，并说明理由； (2)已知，，请说明与的大小关系． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】（1）根据图形表示出新长方形的面积和新正方形的面积，再利用作差法比较即可； （2）先求出的值，再比较大小即可． 【详解】（1）解：；理由如下： ， ， ， ； （2）解：，， ， ． 21．（25-26七年级下·全国·单元测试）【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 【解决问题】 （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值． 【答案】（1）120 （2）2021 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键． （1）设，，则，再利用完全平方公式变形求值即可得； （2）设，，则，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：（1）设，， 则， ， ∴． （2）设，， 则，， ∴． 22．（25-26八年级上·北京大兴·期末）阅读材料并解决问题： 图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”对于一个图形，如果能够通过不同的方法计算它的面积，就可以得到一个数学等式． 现有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片，长为a，宽为b的长方形卡片，边长为b的正方形卡片，每种卡片若干张，如图所示： 如图1，用一张边长为a的正方形卡片，两张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成一个大正方形（卡片之间不重叠，无缝隙）．大正方形的边长为，因此大正方形的面积可以表示为．由于这个大正方形的面积是两个小正方形与两个长方形的面积和，因此这个大正方形的面积也可以表示为，于是得到等式． (1)在图1的基础上，再选取一张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成如图2所示的大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），用不同的方法计算这个大长方形的面积，可以得到等式 ； (2)在图1的基础上，运用拼图的方法，再选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），使得这个大长方形的面积为． ①在图1的基础上补全这个大长方形； ②根据补全的图形，对多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2)①见解析；②2a2+7ab+3b2＝（2a+b）（a+3b） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景等知识点，通过图形面积的不同计算方法推导代数等式并根据给定面积的多项式进行图形拼接是解题的关键． （1）观察图2，大长方形的长是，宽是．计算面积（方法一）：根据长方形面积公式，面积为，计算面积（方法二）：数出组成大长方形的卡片：1张边长为a的正方形、3张长a宽b的长方形、2张边长为b的正方形，总面积为 ．两种方法计算的是同一图形面积，即； （2）①将面积分解为 ，确定大长方形的长为，宽为，确定卡片数量：根据因式分解结果，需要2张边长为a的正方形卡片、7张长a宽b的长方形卡片、3张边长为b的正方形卡片，补全图形；②按长和宽的尺寸，用上述卡片拼接成大长方形． 【详解】（1）解：图2面积为， 面积也可表示为：， 因此． 故答案为：． （2）解：①如图： ； ②因为大长方形的长为，宽为， 所以． 23．（25-26八年级上·北京西城·期末）有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第个“特征数”为（为正整数）． (1)将表示为两个连续正奇数的平方差：______－______； (2)求证：对于任意的正整数，一定能被8整除； (3)已知是第个“特征数”，判断是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含的式子表示）；如果不是，说明理由． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)该数是第个“特征数” 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，平方差公式，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据“特征数”的定义及规律解答即可； （2）根据“特征数”的定义及规律得，利用平方差公式化简即可得出结论； （3）先利用平方差公式化简得，由（2）可知，代入得，再根据“特征数”的定义即可得解． 【详解】（1）解：将表示为两个连续正奇数的平方差：； 故答案为：，； （2）证明：由题意得，， 为正整数， 能被8整除， ∴对任意的正整数，一定能被8整除； （3）解：是， ∵， 又是第个“特征数”，由（2）可知， ， 为正整数， ∴该数是第个“特征数”． 24．（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 整式的运算 知识点01 整式的加法与减法 1.整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 注意 （1）整式加减的一般步骤是：① ；② ． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用 “装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 知识点02 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述： ． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点03 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述： ． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点04 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述： ． 知识点05 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述： ． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点06 零指数幂与负整数指数幂 ：a0=1 (a≠0) ：当n 是正整数时，（，n是正整数） 知识点07 科学记数法 ：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫 ． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点08 单项式乘法 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 知识点09 多项式乘法 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另外一个多项式的 ，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 知识点10 完全平方公式 1.完全平方公式： . 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点11 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 知识点12 平方差公式 1.平方差公式： ，即 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 知识点13 平方差公式的几何意义 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 知识点14 整式的除法 核心概念 多项式除以单项式：用多项式每一项分别除以单项式，再把商相加。 多项式除以多项式：常用竖式长除法，类似整数除法，按降幂排列逐项相除。 运算法则 多项式 ÷ 单项式：每项系数相除、同底数幂相除，符号跟着项走，不漏常数项。 长除法步骤：降幂排列→缺项补 0→首项相除→乘式相减→余式次数低于除式次数为止。 重要关系 被除式 ÷ 除式 = 商式 + 余式 ÷ 除式 被除式 = 除式 × 商式 + 余式 余式次数必须小于除式次数。 易错注意 漏除多项式其中某一项、漏掉常数项。 符号出错，减式变号不彻底。 未按降幂排列、缺项不补 0，导致错位计算。 余式次数没比除式低，运算没结束。 一、幂的运算 1.同底数幂的乘法 错误：易混淆底数不同强行运算，漏看指数为 1，误把指数相乘而非相加。 注意：先统一底数再运算，底数不变指数相加，单独字母指数默认为 1。 1．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）化简式子的结果（   ） A． B． C． D． 2.幂的乘方 错误：混淆同底数幂乘除、幂乘方法则，符号易错，忽略指数为 1 与零指数限制。 注意：分清运算法则底数指数变化，先定符号，牢记零指数负指数取值条件。 2．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3.积的乘方 错误：漏给其中因式乘方，混淆同底数幂法则，负数乘方符号判断出错。 注意：每个因式分别乘方，再相乘；先判符号，严格套用公式不混用法则。 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． 知识拓展：若，求的值． 4同底数幂的除法. 错误：易误把指数相除，忽略底数不为 0，负指数、零指数意义易混淆出错。 注意：底数相同才可相除，底数不变指数相减，底数不能为零牢记限制。 4．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 二、整式乘法 1.多项式乘法的化简求值 错误：去括号漏变号、漏乘项，合并同类项出错，代值时符号与括号遗漏。 注意：先展开化简再代值，括号规范带入，细心合并同类项、核对符号。 5．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 2.已知多项式乘积不含某项求字母的值 错误：展开合并同类项不彻底，看错项的系数，忽略系数为 0 列式求解出错。 注意：完整展开合并，令不含项系数为 0，解方程求参，记得检验结果。 6．（25-26八年级上·北京海淀·期中）展开后不含的一次项，的值___________． 3.多项式乘多项式与图形面积关系 错误：图形边长看错拆分错位，面积列式漏项，混淆整体与局部对应关系。 注意：用割补法对应长宽列式，面积相等建立等式，准确匹配多项式。 7．（24-25八年级上·北京西城·期中）我们在学习整式乘法时发现，通过计算几何图形的面积可以得到一些代数恒等式．如图1可以得到，基于此想法，请回答下列问题： (1)根据图2，写出一个代数恒等式： ． (2)利用图3中若干张边长为的正方形，边长为的正方形和长、宽分别为和的长方形，可以拼出一个面积为的长方形，请你仿照图2画出拼图方式并标注上对应字母．利用这个长方形面积我们可以得到 ． (3)实际上，通过计算立体图形的体积也可以得到一些代数恒等式．如图4表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼出的一个新长方体，根据此图的变化关系，写出一个代数恒等式： ． 三、乘法公式 1.乘法公式运算 错误：混淆平方差与完全平方公式，漏中间项、符号弄错，乱套公式结构。 注意：先认准公式结构，找准首尾项符号，套用公式后再化简运算。 8．（24-25七年级下·全国·专题练习）用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2.乘法公式与几何图形 错误：不会对应图形边长与公式，割补面积算错，混淆平方差和完全平方图形。 注意：用正方形、长方形面积构图，数形对应边长，利用割补推导乘法公式。 9．（25-26七年级上·山东济南·期末）【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 3.乘法公式的变形求值 错误：公式变形记混结构，正负符号易错，代入数值时漏括号、代错数据。 注意：熟记常见恒等变形，先整体代换，认准符号，分步计算不跳步出错。 10．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）若，，求的值 四、科学记数法 1.科学记数法表示绝对值小于1 的数 错误：搞错负指数绝对值，小数点移动位数数错，前面有效数字书写不规范。 注意：写成a×10-n形式，1≤|a|＜10，n等于小数点右移位数。 11．（25-26八年级上·北京西城·期末）已知1个水分子的质量约是．如果1滴水的质量约是，那么这滴水中大约有______个水分子（结果用科学记数法表示）． 五、整式除法 1.整式除法运算 错误：同底数幂相除易误算指数，符号易混淆相反数底数奇偶次幂；多项式除以单项式易漏除项、丢常数项；零负指数常忽略底数不为 0 的限制条件。 注意：同底才能用除法公式，不同底数先化简；多项式每项都要带符号相除；结果化最简，负指数转正分式，严禁随意拆分多项式分母。 12．（24-25七年级下·北京顺义·期中）学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 1．（2025·北京·模拟预测）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·周测）若，互为相反数，则化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 5．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）已知，，，那么式子的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26七年级上·重庆·期中）我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算乘法的方法，称为“铺地锦”．如图1，计算，首先把乘数31和47分别写在方格的上面和右面，然后以31的每位数字分别乘以47的每位数字，将结果记入对应的格子中（如的12写在3下面的方格里，十位1写在斜线的上面，个位2写在斜线的下面），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线末端，最后把得数依次写下来是1457，即．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若是完全平方式，则k的值是(    ) A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·北京·期中）正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是100时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（   ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．5，2，4 D．6，2，5 9．（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则________． 10．（25-26八年级上·广西玉林·期末）已知，则的值是___________． 11．（25-26七年级下·湖南怀化·期中）观察：；，那么，________． 12．（24-25七年级上·北京·期中）图（1）是一个长为，宽为（）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则图（2）中大正方形的边长是 ________，中间空白的小正方形的面积是 ___________． 13．（25-26七年级下·北京·单元测试）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值是_____． 14．（25-26七年级上·北京·期末）将4个如图1所示的长为x、宽为的小矩形按照图2的方式不重叠地摆放在大矩形中，，大矩形中未被覆盖的两部分分别记为和 （1）图形的周长=___________ （用含x，y的式子表示）； （2）图形和的周长之和=____________ 15．（25-26七年级下·北京通州·期中）计算、化简： (1)； (2)． 16．（25-26七年级下·北京房山·期中）先化简，再求值：，其中． 17．（24-25七年级下·江苏常州·期中）（1）若，，求的值． （2）若，求值． 18．（25-26七年级下·北京延庆·期中）在整式乘法的学习中，我们常常利用图形的面积对运算结果加以说明，借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路． 例如，图1中利用大长方形面积的两种不同表示形式可以得到等式： (1)图2中利用大长方形面积的两种不同表示形式可以得到等式：___________； (2)计算的值，并画出几何图形进行说明． 19．（25-26七年级下·北京昌平·期中）两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m，n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． (1)，当时，一定有 （填“”，“”，“”）； (2)已知，根据上述方法比较与的大小关系． 20．（25-26七年级下·北京通州·期中）通常用“作差法”比较代数式的大小，即通过计算的值，就可以比较代数式，的大小． (1)图是边长为的正方形，将正方形一组对边不变，另一组对边增加，得到如图所示的新长方形，此长方形的面积为；将图中的正方形一组邻边长均增加得到如图所示的新正方形，此正方形的面积为．请直接写出与的大小关系是 ，并说明理由； (2)已知，，请说明与的大小关系． 21．（25-26七年级下·全国·单元测试）【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 【解决问题】 （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值． 22．（25-26八年级上·北京大兴·期末）阅读材料并解决问题： 图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”对于一个图形，如果能够通过不同的方法计算它的面积，就可以得到一个数学等式． 现有三种卡片，分别是边长为a的正方形卡片，长为a，宽为b的长方形卡片，边长为b的正方形卡片，每种卡片若干张，如图所示： 如图1，用一张边长为a的正方形卡片，两张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成一个大正方形（卡片之间不重叠，无缝隙）．大正方形的边长为，因此大正方形的面积可以表示为．由于这个大正方形的面积是两个小正方形与两个长方形的面积和，因此这个大正方形的面积也可以表示为，于是得到等式． (1)在图1的基础上，再选取一张长为a，宽为b的长方形卡片，一张边长为b的正方形卡片，拼成如图2所示的大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），用不同的方法计算这个大长方形的面积，可以得到等式 ； (2)在图1的基础上，运用拼图的方法，再选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形（卡片之间不重叠，无缝隙），使得这个大长方形的面积为． ①在图1的基础上补全这个大长方形； ②根据补全的图形，对多项式进行因式分解． 23．（25-26八年级上·北京西城·期末）有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第个“特征数”为（为正整数）． (1)将表示为两个连续正奇数的平方差：______－______； (2)求证：对于任意的正整数，一定能被8整除； (3)已知是第个“特征数”，判断是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含的式子表示）；如果不是，说明理由． 24．（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $