专题03 整式的运算24大题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材北京版

专题03 整式的运算（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 整式的加减运算 题型02 整式加减的无关型问题 题型03 多项式按某个字母升降幂排列 题型04 同底数幂乘法及其逆用 题型05 幂的乘方及其逆用 题型06 积的乘方及其逆用 题型07 单项式乘法 题型08 单项式乘法求字母或代数式的值 题型09 单项式乘法的应用 题型10 多项式乘法 题型11 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型12 多项式乘法与图形面积 题型13 多项式乘法的化简求值 题型14 多项式乘法的规律性问题 题型15 乘法公式 题型16 乘法公式与几何图形 题型17 求完全平方式中的字母系数 题型18 通过对完全平方公式变形求值 题型19 利用乘法公式配方求最值 题型20 同底数幂的除法运算及其逆用 题型21 零指数幂与负整数指数幂 题型22 幂的运算等于1的分类讨论问题 题型23 科学记数法 题型24 多项式除以单项式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 整式的加减 能够熟练进行整式的加减运算，并能运用其解决简单的实际问题。 重要考点，一般在计算题考查，3分左右 同底数幂的乘法 理解并掌握同底数幂相乘的法则（底数不变，指数相加），能熟练运用该法则进行计算，并注意与合并同类项的区别。 核心考点，一般在计算题考查，2分左右 幂的乘方 理解并掌握幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），能熟练运用该法则进行计算，并注意与同底数幂乘法的区别。 重要考点，一般在计算题考查，2分左右 积的乘方 理解并掌握积的乘方法则（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘），能熟练运用该法则进行计算，并注意符号问题。 重要考点，一般在计算题考查，2分左右 单项式乘法 掌握单项式乘法法则，能熟练进行单项式乘法运算，注意系数的符号和只在一个单项式里含有的字母。 基础考点，一般在小题考查，2分左右 多项式乘法 掌握多项式乘法法则，能熟练进行多项式乘法运算，注意避免漏乘项和符号错误，并能运用乘法公式进行简便运算。 基础考点，一般在计算题考查，2分左右 多项式乘法与图形面积 理解多项式乘法与图形面积之间的关系，能够运用多项式乘法解决图形面积问题，并通过图形面积验证多项式乘法法则。 核心考点，一般在解答题考查，4分左右 乘法公式 掌握平方差公式和完全平方公式，能熟练运用乘法公式进行计算，并注意公式的结构和符号。 核心考点，一般在计算题考查，3分左右 乘法公式与几何图形 理解乘法公式与几何图形面积之间的关系，能够运用几何图形验证乘法公式，并通过图形直观理解乘法公式的几何意义。 核心考点，一般在解答题考查，5分左右 同底数幂的除法 掌握同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减），能熟练进行同底数幂的除法运算，并理解零指数幂和负整数指数幂的意义。 重要考点，一般在计算题考查，2分左右 零指数幂 理解零指数幂的意义，掌握零指数幂的法则（任何非零数的零次幂都等于 1），并能正确运用。 基础考点，一般在小题考查，3分左右 负整数指数幂 理解负整数指数幂的意义，掌握负整数指数幂的法则（任何非零数的 - p 次幂等于这个数的 p 次幂的倒数），并能正确运用。 基础考点，一般在小题考查，3分左右 科学记数法 掌握用科学记数法表示绝对值比 1 小的数的方法（a×10−n，其中1≤∣a∣<10，n 是正整数），能正确确定 a 和 n 的值。 重要考点，一般在选择题考查，2分左右 多项式除法 掌握多项式除法法则，能熟练进行多项式除以单项式及多项式除以多项式的运算，注意避免漏除项和符号错误。 重要考点，一般在计算题考查，3分左右 知识点01 整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 知识点02 整式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 知识点03 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点04 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点05 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点06 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点07 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 知识点08 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点09 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 知识点10 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 知识点11 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 知识点12 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点13 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 知识点14 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 知识点15 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 题型一 整式的加减运算 1．计算：． 2．化简： (1) (2) 3．计算： (1)； (2)． 4．已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 题型二 整式加减的无关型问题 5．已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 6．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 7．已知，． (1)化简：，将结果用含有、的式子表示； (2)若（1）中式子的值与字母的取值无关，求的值． 8．已知两个多项式A，B，其中，的结果为． (1)求多项式A； (2)求多项式； (3)若多项式的值与x的取值无关，求y的值． 题型三 多项式按某个字母升降幂排列 9．关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它的项分别为 B．它是五次四项式 C．它是按照降幂排列的 D．它的三次项系数是 10．把多项式，按的降幂排列为_______________． 11．把多项式去括号后按字母的降幂排列为_____. 12．已知代数式． (1)合并同类项，并按照字母m的降幂排列； (2)若与是同类项，求代数式的值． 题型四 同底数幂乘法及其逆用 13．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 14．已知，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 15．已知，，则的值为______． 16．若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 题型五 幂的乘方及其逆用 17．若，则m，n的值分别为（   ） A．6，6 B．2，3 C．2，6 D．6，3 18．已知，，则用x的代数式表示y，结果为__． 19．已知． (1)求代数式的值． (2)求的值． 20．已知，，． (1)求的值； (2)求字母，，之间的数量关系． 题型六 积的乘方及其逆用 21．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 22．_____________． 23．若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 24．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算：①； ②； (2)若，请求出n的值． 题型七 单项式乘法 25．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 26．计算：________． 27．计算： 28．计算： (1)； (2)． 题型八 单项式乘法求字母或代数式的值 29．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 30．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 31．已知，则代数式_____． 32．已知，求代数式的值． 题型九 单项式乘法的应用 33．如图，大小两个正方形的边长分别为a，b． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； (2)如果，求阴影部分的面积． 34．如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长均为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积． 35．如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 36．如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 题型十 多项式乘法 37．计算：． 38．化简：． 39．回答下列问题： (1)计算： ①______；    ②______． ③______；    ④______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 40．计算：． 题型十一 已知多项式乘积不含某项求字母的值 41．若的展开式中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 42．若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________． 43．已知展开的结果中不含项，求m的值 44．多项式，A与B的乘积中不含有，且常数项为24． (1)试确定m和n的值； (2)求． 题型十二 多项式乘法与图形面积 45．如图，某小区有一块长、宽的长方形空地，物业规划了一块长方形草坪（阴影部分），草坪的三面都留有宽度为的小路（空白部分）． (1)求该长方形草坪（阴影部分）的面积；（用含，的代数式表示） (2)若，，种植草坪的价格为每平方米30元，那么种植草坪需要多少元？ 46．幸福小区有一块长方形空地，该小区物业计划在这块空地的两个角留边长相同的正方形地块修建两个鱼池，然后在剩余部分（阴影部分）铺上草坪，相应的长度如图所示． (1)用含，的代数式表示铺草坪的面积； (2)如果铺草坪每平方米的价格是元，那么当，时，铺这块草坪一共需要花费多少元？ 47．如图，现有一块长为米、宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间预留边长为米的正方形修建一座雕像． (1)求绿化的面积（用含的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本是200元/平方米，则完成绿化共需要多少元． 48．甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面积分别为． (1)用含m的代数式表示：_______，_______；（结果化为最简） (2)_______（选填“<”“>”或“=”）； (3)①求甲、乙两个长方形的周长之和； ②若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，正方形的面积为，若，求的值． 题型十三 多项式乘法的化简求值 49．先化简，再求值：，其中． 50．先化简再求值：，其中 51．是否存在m，k，使成立？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由． 52．先化简，再求值：，其中满足． 题型十四 多项式乘法的规律性问题 53．观察下列等式： ； ； ； … (1)结合以上规律，填空：________； (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； (3)利用（1）中的公式化简：． 54．（1）观察下列各式的规律∶ 可得到 ； （2）猜想∶ (其中n为正整数，且)． （3）利用（2）猜想的结论计算∶． 55．观察以下等式： ．．． (1)按以上等式的规律填空：； (2)试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； (3)利用（1）中的公式化简：． 56．阅读下列材料：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般．如下所示： 【观察】 ①； ②； ③； …… (1)【归纳】由此可得：________． (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： 计算：； (3)【拓展】若，求的值． 题型十五 乘法公式 57．化简求值：，其中 58．用乘法公式计算： (1)； (2)． 59．用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 60．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十六 乘法公式与几何图形 61．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则_______． ②计算：． 62．将完全平方公式适当变形，可以解决很多数学问题． 例如：，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则___________； (2)若，求的值； (3)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，若，两个正方形的面积和为15，求图中阴影部分的面积． 63．手工坊卡片拼接挑战 为了让同学们更好地感受代数与几何结合的乐趣，某手工坊推出了卡片拼接装饰画的趣味任务．手工坊准备了三种卡片：M型卡片是边长为的正方形，N型卡片是边长为的正方形，P型卡片是长为、宽为的长方形．请跟着任务步骤一步步完成挑战，相信你一定能轻松解决！ 基础热身（小试牛刀） （1）同学们用一张M型卡片，一张N型卡片，两张P型卡片拼成如图所示的正方形，请直接写出由图可以得到的乘法公式_____________． （2）手工坊想先拼接一个小的长方形装饰底板，长为，宽为．请你算一算，需要M型_____________张，N型_____________张，P型_____________张． 能力提升（进阶挑战） （3）手工坊用4张M型、1张N型和4张P型卡片恰好拼成一个正方形，请在下图中画出该正方形． 思维拓展（综合应用） （4）手工坊要制作更大的正方形装饰画，先取出25张M型卡片和4张N型卡片，想要拼接成完整的大正方形，还需要补充_____________张P型卡片． 64．为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题： (1)图②中，阴影部分的面积是　　． (2)观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系：　　． (3)应用：已知，，求，． 题型十七 求完全平方式中的字母系数 65．若多项式是完全平方式，则常数k的值为（   ） A．8 B． C． D． 66．已知是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．3或5 B．3或7 C． D．7或 67．若（a，k为常数），则______． 68．若多项式是一个完全平方式，求的值． 题型十八 通过对完全平方公式变形求值 69．已知，则的值是（   ） A．11 B．13 C．15 D．19 70．若，，则__________． 71．若，，则_________． 72．已知，求，的值． 题型十九 利用乘法公式配方求最值 73．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即. 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)试说明无论x取什么值一定的值一定是负数； (4)已知，求的值. 74．把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 75．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：将进行配方，有如下三种形式： ①选择二次项、一次项配方得； ②选择二次项、常数项配得或； ③选一次项、常数项配方得． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）仿照照上述例子，写出的三种不同形式的配方结果； （2）将配方（至少两种形式）； （3）已知，求的值． 76．阅读下列材料： 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】 (1)若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； A．4    B．8    C．    D． (2)若多项式是一个完全平方式，那么常数m的值为______； (3)配方：______；______； 【知识运用】 (4)通过配方发现，代数式有最小值，则最小值为______； (5)已知，则______，______． 题型二十 同底数幂的除法运算及其逆用 77．计算，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 78．计算： ______． 79．若单项式和的积为，则的值为________． 80．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，求y的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求t的值． 题型二十一 零指数幂与负整数指数幂 81．计算：． 82．计算：． 83．计算： 84．计算：． 题型二十二 幂的运算等于1的分类讨论问题 85．已知，则______． 86．若，则x的值是________． 87．如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如，； ②底数为1的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． (1)若，则 ； (2)若，求x的值． 88．已知，则_____． 题型二十三 科学记数法 89．泡泡器吹出的泡泡绚丽多彩，泡泡的平均厚度约为．已知，那么用科学记数法表示为（   ） A．m B．m C．m D．m 90．钾-氩定年法（法）是常用的地质测年方法，天然钾中放射性同位素的丰度为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 91．随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 92．我国科研团队在光钟研制方面取得里程碑式进展，成功将锶原子光晶格钟的稳定度和不确定度指标全面突破量级，相当于约300亿年的误差不超过1秒，那么每年的误差不超过__________秒．（结果用科学记数法表示，保留两位有效数字） 题型二十四 多项式除以单项式 93．一个多项式除以，商为，余数是，这个多项式为______． 94．某同学在计算加上一个多项式时错将加法算成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是______． 95．先化简再求值：，其中，． 96．先化简，再求值：，其中． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级下·北京大兴·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京大兴·期末）2025年4月，我国科学家基于嫦娥六号采回的月球背面月壤样品，首次研究获得月球背面月幔的水含量小于2微克每克，这一结果揭示，月球背面月幔比正面（水含量均值约7微克每克）更干燥．其中2微克可以表示为0.000002克，0.000002用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京通州·期中）已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．4 B． C．4或 D． 4．（24-25七年级下·北京门头沟·期中）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·北京·期中）若，则的值为（　　） A． B． C．4 D． 6．（24-25七年级下·北京顺义·期中）如果，那么代数式的值是______． 7．（24-25八年级上·北京东城·期中）计算：______． 8．（24-25七年级下·北京·期中）若是完全平方式，则的值是______． 9．（25-26八年级上·北京密云·期末）计算：__________． 10．（24-25七年级下·北京·期中）如果整式A与整式B的和为整数a，我们称A，B为a的“友好整式”，例如：与为1的“友好整式”； 与为7的“友好整式”．若关于x的整式与为n的“友好整式”，则n的值为______． 11．（24-25七年级下·北京海淀·期中）计算． (1)； (2)． 12．（24-25七年级下·北京东城·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 13．（24-25七年级下·北京西城·期中）已知，求代数式的值． 14．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 15．（24-25七年级下·北京·期中）【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 16．（24-25七年级下·北京海淀·期中）若的计算结果中不含项，则的值为（   ） A．3 B． C． D．0 17．（24-25七年级下·北京通州·期中）如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（   ） A． B．16 C．15 D．8 18．（24-25七年级下·北京东城·期中）已知，，，那么式子的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（25-26八年级上·北京·期中）有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，棋盘要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，如选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（   ） A．12张 B．10张 C．6张 D．4张 20．（25-26八年级上·北京海淀·期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项式的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1             1  2  1          1  3  3   1        1  4  6   4    1         …                          …. 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 21．（25-26八年级上·广西玉林·期末）已知，则的值是___________． 22．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为______． 23．（24-25七年级下·北京·期中）观察：；，那么，________． 24．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，30．下列说法正确的有__________． ①正方形A和B的面积和是34； ②图2中新的正方形的面积是64； ③正方形A和B的面积差是4； ④正方形A的边长是5． 25．（25-26七年级上·北京·期中）在长方形纸片中，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则_____． 26．（2026·北京·模拟预测）已知，求的值． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 28．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 29．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵ ∴． ∴． 【新知应用】 （）比较大小：______． （）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【实际应用】 （）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有两种方案可供选择，方案：每次按原价打八五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 30．（24-25七年级下·北京东城·期中）【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 【解决问题】 （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 31．（25-26八年级上·河北邢台·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 32．已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 33．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 34．（25-26八年级上·福建泉州·期中）计算：________． 35．（25-26八年级上·北京·期中）已知50个数从，0，1中取值．若，且，则： （1）中0的个数是___________； （2）的值为___________． 36．（25-26八年级上·北京·期中）如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为______． 37．（25-26八年级下·北京·期中）已知，则的值为______． 38．（22-23七年级上·北京海淀·期末）设x，y满足，，则______． 39．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 40．规定新运算：（其中m，n为正整数）．例如：若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值． (2)若，求的值． 41．（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 42．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：， 变形一下，就是， 依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子： ； ； ； ； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值． 43．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 44．（25-26八年级上·湖南永州·期中）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”．    ①与（　　）      ②与（　　） (2)已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； (3)已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足．求b，c，d的值； 45．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的运算（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 整式的加减运算 题型02 整式加减的无关型问题 题型03 多项式按某个字母升降幂排列 题型04 同底数幂乘法及其逆用 题型05 幂的乘方及其逆用 题型06 积的乘方及其逆用 题型07 单项式乘法 题型08 单项式乘法求字母或代数式的值 题型09 单项式乘法的应用 题型10 多项式乘法 题型11 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型12 多项式乘法与图形面积 题型13 多项式乘法的化简求值 题型14 多项式乘法的规律性问题 题型15 乘法公式 题型16 乘法公式与几何图形 题型17 求完全平方式中的字母系数 题型18 通过对完全平方公式变形求值 题型19 利用乘法公式配方求最值 题型20 同底数幂的除法运算及其逆用 题型21 零指数幂与负整数指数幂 题型22 幂的运算等于1的分类讨论问题 题型23 科学记数法 题型24 多项式除以单项式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 整式的加减 能够熟练进行整式的加减运算，并能运用其解决简单的实际问题。 重要考点，一般在计算题考查，3分左右 同底数幂的乘法 理解并掌握同底数幂相乘的法则（底数不变，指数相加），能熟练运用该法则进行计算，并注意与合并同类项的区别。 核心考点，一般在计算题考查，2分左右 幂的乘方 理解并掌握幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），能熟练运用该法则进行计算，并注意与同底数幂乘法的区别。 重要考点，一般在计算题考查，2分左右 积的乘方 理解并掌握积的乘方法则（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘），能熟练运用该法则进行计算，并注意符号问题。 重要考点，一般在计算题考查，2分左右 单项式乘法 掌握单项式乘法法则，能熟练进行单项式乘法运算，注意系数的符号和只在一个单项式里含有的字母。 基础考点，一般在小题考查，2分左右 多项式乘法 掌握多项式乘法法则，能熟练进行多项式乘法运算，注意避免漏乘项和符号错误，并能运用乘法公式进行简便运算。 基础考点，一般在计算题考查，2分左右 多项式乘法与图形面积 理解多项式乘法与图形面积之间的关系，能够运用多项式乘法解决图形面积问题，并通过图形面积验证多项式乘法法则。 核心考点，一般在解答题考查，4分左右 乘法公式 掌握平方差公式和完全平方公式，能熟练运用乘法公式进行计算，并注意公式的结构和符号。 核心考点，一般在计算题考查，3分左右 乘法公式与几何图形 理解乘法公式与几何图形面积之间的关系，能够运用几何图形验证乘法公式，并通过图形直观理解乘法公式的几何意义。 核心考点，一般在解答题考查，5分左右 同底数幂的除法 掌握同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减），能熟练进行同底数幂的除法运算，并理解零指数幂和负整数指数幂的意义。 重要考点，一般在计算题考查，2分左右 零指数幂 理解零指数幂的意义，掌握零指数幂的法则（任何非零数的零次幂都等于 1），并能正确运用。 基础考点，一般在小题考查，3分左右 负整数指数幂 理解负整数指数幂的意义，掌握负整数指数幂的法则（任何非零数的 - p 次幂等于这个数的 p 次幂的倒数），并能正确运用。 基础考点，一般在小题考查，3分左右 科学记数法 掌握用科学记数法表示绝对值比 1 小的数的方法（a×10−n，其中1≤∣a∣<10，n 是正整数），能正确确定 a 和 n 的值。 重要考点，一般在选择题考查，2分左右 多项式除法 掌握多项式除法法则，能熟练进行多项式除以单项式及多项式除以多项式的运算，注意避免漏除项和符号错误。 重要考点，一般在计算题考查，3分左右 知识点01 整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 知识点02 整式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 知识点03 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 知识点04 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 知识点05 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 知识点06 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 知识点07 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 知识点08 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点09 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 知识点10 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 知识点11 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 知识点12 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点13 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 知识点14 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 知识点15 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 题型一 整式的加减运算 1．计算：． 【答案】 【分析】先去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】解： ． 2．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先去括号，然后合并同类项，即可求解； 【详解】（1）解：原式     （2）解：原式 ． 4．已知， (1)化简： (2)在计算“当的值”时，小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式的加减运算可进行求解； （2）先对整式进行化简运算，然后再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ； ∵的计算结果中不含有x的项， ∴的计算结果就与x的取值无关， ∴小聪同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的， 正确的结果为：把代入得：原式． 题型二 整式加减的无关型问题 5．已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得，代入（1）中化简的结果即可； （3）根据题意可得含有的项相加得零，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 解得，， 把，代入， ； （3）解：∵， 且的值与y的取值无关， ， 解得． 6．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)小明的计算不正确，正确的整式为 (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，以及整式的值与的取值无关的条件． （1）利用等式关系，移项展开求出被遮住的整式，验证小明答案． （2）代入计算，合并同类项后令的系数为，求解的值． 【详解】（1）解：∵设所遮住的整式为， ∴，即， 化简，得：， ∴小明的计算不正确，正确的整式为； （2）解：∵， ∴， 即， ∵的值与的取值无关， ∴，解得：． 7．已知，． (1)化简：，将结果用含有、的式子表示； (2)若（1）中式子的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号法则、合并同类项法则以及代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则，以及代数式的值与某字母取值无关时，该字母的系数为0这一性质是解题的关键． （1）先对进行去括号、合并同类项化简，再将、的表达式代入，整理得到含、的式子． （2）根据（1）中化简结果与取值无关的条件，求出的值，再将所求式子变形为与相关的形式，代入计算． 【详解】（1）解：，， ． ； （2）解：由（1）可知：， （）中式子的值与字母的取值无关， ， 解得， ， ． 8．已知两个多项式A，B，其中，的结果为． (1)求多项式A； (2)求多项式； (3)若多项式的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减运算与无关型问题，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． （1）根据题意代入计算求解即可； （2）根据题意直接代入计算即可； （3）根据的值与的取值无关时，x的系数为0，即可求出y的值． 【详解】（1）解：∵，的结果为， ∴ ； （2）解： ； （3）解：， ∵多项式的值与x的取值无关， ∴， 解得：． 题型三 多项式按某个字母升降幂排列 9．关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它的项分别为 B．它是五次四项式 C．它是按照降幂排列的 D．它的三次项系数是 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的项、次数、排列方式及系数的概念，熟练掌握这些概念并能准确判断多项式的相关性质是解题的关键．先明确多项式的项、次数、降幂排列、系数等概念，再逐一分析每个选项的正误． 【详解】解：∵多项式的项为，，，， ∴A选项中写的项为，，，，错误，故A项错误． ∵多项式各项次数依次为，，，， ∴最高次项为，次数为5，项数为4， ∴它是五次四项式，故B项正确． ∵按的降幂排列应为， ∴原多项式不是按降幂排列的，故C项错误． ∵三次项为，其系数为2， ∴D选项中说三次项系数是，错误，故D项错误． 故选：B． 10．把多项式，按的降幂排列为_______________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，把多项式按的降幂排列就是把多项式中的单项式按的指数从高到低排列． 【详解】解：把多项式，按的降幂排列， 可得：． 故答案为：． 11．把多项式去括号后按字母的降幂排列为_____. 【答案】 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，去括号．首先根据去括号法则去除括号，然后按照字母的指数从高到低进行排列，即可作答． 【详解】 即把多项式去括号后按字母的降幂排列为， 故答案为：． 12．已知代数式． (1)合并同类项，并按照字母m的降幂排列； (2)若与是同类项，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的化简求值，同类项的定义等知识，熟练掌握合并同类项是解题的关键． （1）根据合并同类项法则计算并按照字母m的降幂排列； （2）根据同类项的定义得到，再代入求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵与是同类项， ∴， ∴ ∴原式 题型四 同底数幂乘法及其逆用 13．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，运用对应运算法则逐步计算即可． 【详解】解：原式， 故选：B． 14．已知，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方逆用和同底数幂的乘法法则，关键是将转化为以为底的幂，再利用同底数幂乘法的逆运算求出的值，进而计算目标式子 【详解】解：∵，，， ∴， 即， ∴， 则； 故选：D． 15．已知，，则的值为______． 【答案】 20 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，解题关键是掌握同底数幂的乘法法则，逆用法则对所求代数式变形后，代入已知条件计算即可 【详解】解：∵ ∴，代入得：原式． 16．若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘， （1）逆用幂的乘方将原式整理为，再根据指数相等求出答案； （2）逆用同底数幂相乘法则得，再提出公因式，并根据指数相等得出答案； （3）逆用幂的乘方整理，再代入计算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴， ∴． 题型五 幂的乘方及其逆用 17．若，则m，n的值分别为（   ） A．6，6 B．2，3 C．2，6 D．6，3 【答案】B 【分析】先根据等式两边同底数幂的指数相等列方程组即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴ ， 解得 ， 因此m，n的值分别为2和3． 18．已知，，则用x的代数式表示y，结果为__． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴． 19．已知． (1)求代数式的值． (2)求的值． 【答案】(1)10 (2)500 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用． （1）根据进行计算； （2）将变形为即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 20．已知，，． (1)求的值； (2)求字母，，之间的数量关系． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，准确计算是解题的关键． （1）根据幂的乘方逆运算，把转化成，再根据幂的乘方计算即可； （2）根据同底数幂的乘法，得到，即可得解． 【详解】（1），， ． （2），，， ， ， ． 题型六 积的乘方及其逆用 21．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积的乘方法则将每个因式分别乘方，再结合幂的乘方法则计算即可得到结果，用到的运算法则为积的乘方：，幂的乘方：． 【详解】解：． 22．_____________． 【答案】 【分析】先将带分数化为假分数，拆分指数后逆用积的乘方运算法则，进行简便计算即可． 【详解】解：原式 ． 23．若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键． （1）先将等式左边化为底数为的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 即， 解得：； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以， 解得：． 24．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算：①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键． （1）①直接逆用积的乘方法则计算即可； ②先逆用同底数幂的乘法变形，再逆用积的乘方法则计算即可； （2）先利用幂的乘方法则变形，再利用同底数幂的乘法法则计算，进而可求出n的值． 【详解】（1）①； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 题型七 单项式乘法 25．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算乘方，再计算单项式乘法，运用积的乘方、同底数幂相乘的法则即可得到结果． 【详解】解： ． 26．计算：________． 【答案】 【分析】运用有理数乘法法则和同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：． 27．计算： 【答案】 【分析】先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项即可． 【详解】解： ． 28．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （2）先根据单项式乘多项式运算法则和积的乘方运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型八 单项式乘法求字母或代数式的值 29．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 30．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 31．已知，则代数式_____． 【答案】4 【分析】本题考查代数式的值问题，掌握代数式的求值方法，会利用整体代入法则求值是解题关键．将代数式展开后，利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为 4． 32．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先求出，再把所求式子利用单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再把整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型九 单项式乘法的应用 33．如图，大小两个正方形的边长分别为a，b． (1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； (2)如果，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用两个正方形的面积和减去两个三角形的面积，再整理得出答案； （2）先将代数式整理，再代入求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时， ． 34．如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长均为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，理解纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积是关键．利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积． 【详解】解：依题意，纸片的面积是：； 一个小正方形的面积是：， 则无盖盒子的表面积是：． 35．如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 【答案】(1) (2)15500元 【分析】本题主要查了单项式乘以多项式的应用，求代数式的值： （1）用大长方形的面积减去2个小长方形的面积，列出代数式，即可求解； （2）把，代入（1）中的结果，即可求解． 【详解】（1）解： ， 即种植蔬菜的面积为． （2）解：当，时， ， （元）， 即种植蔬菜所需的总成本为15500元． 36．如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了列代数式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，空地的长比宽的2倍少1米，设空地的宽是米，则分别表示出花圃的宽和长，再根据面积公式列式，即可作答． （2）由（1）得花圃的面积为平方米，先整理得，然后代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，空地的长为米， ∵周边道路的宽度是米， ∴花圃的宽是米，花圃的长是米， ∴花圃的面积为平方米； （2）解：∵花圃的宽是米，且要求花圃的宽是米， ∴， 则， ∴花圃的面积为平方米． 题型十 多项式乘法 37．计算：． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】解： ． 38．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 39．回答下列问题： (1)计算： ①______；    ②______． ③______；    ④______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3)8或 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，则，再由都是整数，，得到或或或，据此求解即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ； ④ ； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或． 40．计算：． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握多项式乘多项式法则是解题关键． 题型十一 已知多项式乘积不含某项求字母的值 41．若的展开式中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据展开式中不含项可知，项的系数为0，即可得解． 【详解】解： 展开式中不含项， ， 解得：． 42．若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________． 【答案】3 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：∵多项式不含x的一次项， ∴， 解得． 43．已知展开的结果中不含项，求m的值 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的无关项问题，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先利用多项式乘多项式的法则进行运算，再由结果不含项，让其系数为0，据此列方程求解即可． 【详解】解： ， 由题意可得：， 解得：． 44．多项式，A与B的乘积中不含有，且常数项为24． (1)试确定m和n的值； (2)求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先计算A与B的乘积，合并同类型后，由乘积中不含有项和常数项为24，列方程即可得到答案； （2）把A与B分别代入利用整式的加减运算法则进行计算即可． 本题考查整式的乘法混合运算和整式的加减运算，准确对式子进行化简并理解乘积中不含某个项的含义是解题的关键． 【详解】（1） 因为不含，常数项为24 所以 ； （2） ． 题型十二 多项式乘法与图形面积 45．如图，某小区有一块长、宽的长方形空地，物业规划了一块长方形草坪（阴影部分），草坪的三面都留有宽度为的小路（空白部分）． (1)求该长方形草坪（阴影部分）的面积；（用含，的代数式表示） (2)若，，种植草坪的价格为每平方米30元，那么种植草坪需要多少元？ 【答案】(1)该长方形草坪的面积为； (2)种植草坪需要8190元． 【分析】（1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）将，代入求出解析（1）中的代数式，求出草坪的面积，然后求出种植草坪需要的价格即可． 【详解】（1）解： ． 答：该长方形草坪的面积为． （2）解：当，时， ． （元）． 答：种植草坪需要8190元． 46．幸福小区有一块长方形空地，该小区物业计划在这块空地的两个角留边长相同的正方形地块修建两个鱼池，然后在剩余部分（阴影部分）铺上草坪，相应的长度如图所示． (1)用含，的代数式表示铺草坪的面积； (2)如果铺草坪每平方米的价格是元，那么当，时，铺这块草坪一共需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺这块草坪一共需要花费元 【分析】此题考查了根据实际问题列代数式表示的能力，关键是能准确理解题意，并列式、化简． （1）运用长方形和正方形的面积公式进行列式、化简； （2）将，代入（2）题结果，再算出一共的花费． 【详解】（1）解：由题意得，铺草坪的面积为： ； （2）解：由题意得，当，时，铺这块草坪一共需要的总费用为： （元）， 当，时，铺这块草坪一共需要花费元． 47．如图，现有一块长为米、宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间预留边长为米的正方形修建一座雕像． (1)求绿化的面积（用含的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本是200元/平方米，则完成绿化共需要多少元． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查整式的乘法与图形面积、代数式求值的应用，解题的关键是用代数式表示出绿化的面积． （1）用代数式表示出长方形和正方形的面积，求差即可； （2）将a，b的值代入（1）中结论可求出绿化的面积，乘以单价即可求出总费用． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： ∴长方形孔部分的面积为 （2）当，时，原式 即完成绿化共需要（元) 48．甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面积分别为． (1)用含m的代数式表示：_______，_______；（结果化为最简） (2)_______（选填“<”“>”或“=”）； (3)①求甲、乙两个长方形的周长之和； ②若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，正方形的面积为，若，求的值． 【答案】(1)； (2)< (3)①；② 【分析】本题考查了列代数式、多项式乘多项式，整式的四则混合运算，长方形和正方形的面积，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式列式，并整理即可求解； （2）利用作差法比较两个式子大小即可求解； （3）①根据长方形的周长公式列式即可求解；②结合①计算出，再把的值代入即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 故答案是：． （3）解：①周长之和：， ②正方形的边长为：， 当时， ． 题型十三 多项式乘法的化简求值 49．先化简，再求值：，其中． 【答案】；10 【分析】先根据单项式乘多项式运算法则，多项式乘多项式运算法则，合并同类项法则，进行化简，然后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 50．先化简再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，先计算多项式乘多项式，平方差、完全平方式、再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式． 51．是否存在m，k，使成立？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算的应用，熟练掌握多项式乘多项式运算法则，是解题的关键．先将变形为，再得出，求出结果即可． 【详解】解：存在． 因为， 所以， 所以， 所以，， 所以， 将代入方程中，左边，右边，左边=右边，所以是方程组的解 故存在满足条件的 52．先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，绝对值的非负性，先运算多项式乘多项式、完全平方公式、多项式除以单项式，再合并同类项得，再由，得，，然后把，代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴，， 则． 题型十四 多项式乘法的规律性问题 53．观察下列等式： ； ； ； … (1)结合以上规律，填空：________； (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； (3)利用（1）中的公式化简：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了多项式的乘法法则，解题关键是掌握多项式的乘法法则． （1）利用规律求解即可； （2）利用多项式的乘法法则求解即可； （3）利用（1）中的公式求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ， 所以成立； （3） ． 54．（1）观察下列各式的规律∶ 可得到 ； （2）猜想∶ (其中n为正整数，且)． （3）利用（2）猜想的结论计算∶． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究，解题的关键是明确题意，利用规律解答问题． （1）根据题目中的例题可以直接写出结果； （2）根据（1）中的例子可以写出相应的猜想； （3）利用（2）中的猜想进行变形即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） 55．观察以下等式： ．．． (1)按以上等式的规律填空：； (2)试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； (3)利用（1）中的公式化简：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了整式的探究性题型，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式． （1）读懂题意，按照题中的规律填空； （2）利用多项式乘以多项式计算； （3）根据规律化简式子，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：； （2）解： 即． （3）解：依题意， ∴ ． 56．阅读下列材料：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作特殊到一般．如下所示： 【观察】 ①； ②； ③； …… (1)【归纳】由此可得：________． (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： 计算：； (3)【拓展】若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查多项式乘法中的规律探索，乘方，理解材料的计算方法是关键． （1）根据材料的计算方法，找出规律即可求解； （2）根据题意，将原式变形得，运用材料提示方法计算即可； （3）根据材料提示方法得到，则或，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ， ∴； （2）解： ； （3）解：， ∴， 解得，， ∴或， 当时，原式； 当时，原式； ∴的值为或． 题型十五 乘法公式 57．化简求值：，其中 【答案】， 【分析】根据完全平方公式，平方差公式将目标式化简，求出，代入计算即可． 【详解】解： ∵ 即， ∴ 58．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行计算； （2）根据积的乘方的逆用公式及平方差公式进行计算． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 59．用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）原式运用完全平方公式进行计算即可； （2）原式运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式运用完全平方公式进行计算即可； （4）原式运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 60．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查平方差公式，掌握是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算； （2）根据平方差公式进行计算； （3）根据平方差公式进行计算； （4）根据平方差公式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十六 乘法公式与几何图形 61．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则_______． ②计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景、平方差公式的应用以及规律型运算，熟练掌握平方差公式的推导与运用是解答本题的关键． （1）通过分别计算图和图中阴影部分的面积，利用面积相等验证平方差公式； （2）①将变形为平方差公式的形式，代入已知条件求解； ②利用平方差公式对原式逐项分解，再通过等差数列求和计算结果． 【详解】（1）解：图阴影部分面积可表示为，图阴影部分面积可表示为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：①， ； ②原式 ． 62．将完全平方公式适当变形，可以解决很多数学问题． 例如：，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则___________； (2)若，求的值； (3)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，若，两个正方形的面积和为15，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)74 (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，利用完全平方公式求值，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式计算； （2）根据完全平方公式计算； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，得到，，根据完全平方公式求出ab，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：，，， ∴ ∴， 故答案为：74； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 则，， ∵ ∴ ∴， ． 63．手工坊卡片拼接挑战 为了让同学们更好地感受代数与几何结合的乐趣，某手工坊推出了卡片拼接装饰画的趣味任务．手工坊准备了三种卡片：M型卡片是边长为的正方形，N型卡片是边长为的正方形，P型卡片是长为、宽为的长方形．请跟着任务步骤一步步完成挑战，相信你一定能轻松解决！ 基础热身（小试牛刀） （1）同学们用一张M型卡片，一张N型卡片，两张P型卡片拼成如图所示的正方形，请直接写出由图可以得到的乘法公式_____________． （2）手工坊想先拼接一个小的长方形装饰底板，长为，宽为．请你算一算，需要M型_____________张，N型_____________张，P型_____________张． 能力提升（进阶挑战） （3）手工坊用4张M型、1张N型和4张P型卡片恰好拼成一个正方形，请在下图中画出该正方形． 思维拓展（综合应用） （4）手工坊要制作更大的正方形装饰画，先取出25张M型卡片和4张N型卡片，想要拼接成完整的大正方形，还需要补充_____________张P型卡片． 【答案】（1）；（2）2；1；3；（3）作图见解析；（4）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 对于（1），根据面积相等得出答案； 对于（2），拼出图形数出答案； 对于（3），根据所给图形的张数拼出正方形即可； 对于（4），根据两种类型的张数可知拼出正方形的边长为，再补充型，进而得出答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）如图，需要型2张，型1张，型3张； 故答案为：2,1,3； （3）如图所示； （4）如图所示， ∵， ∴还需要补充20张型卡片． 故答案为：20． 64．为了让学生们能更直观地理解乘法公式，李老师上了一节拼图实验课，她用四张长为，宽为的小长方形（如图①所示），拼成了一个边长为的正方形（如图②所示），观察图形，回答下列问题： (1)图②中，阴影部分的面积是　　． (2)观察图①②，请你写出三个式子：，，之间的关系：　　． (3)应用：已知，，求，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握面积公式与完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积公式列式即可； （2）根据面积的和差关系列式即可； （3）根据完全平方公式的变形求解即可； 【详解】（1）解：阴影部分是边长为的正方形， 阴影部分的面积是； 故答案为：； （2）由图可得， 故答案为：； （3）∵，， ∴， ∴． 题型十七 求完全平方式中的字母系数 65．若多项式是完全平方式，则常数k的值为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据多项式中的两个平方项确定完全平方公式的两个底数，再根据完全平方公式的乘积二倍项确定k的值，需考虑两种情况. 【详解】解：∵ = ∴ ， 化简可得 . 66．已知是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．3或5 B．3或7 C． D．7或 【答案】D 【分析】先将原式与完全平方公式对应，得到关于的一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 解得或． 67．若（a，k为常数），则______． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式展开，再根据对应系数相等得出答案． 【详解】解：由， ∴， 解得， ∴． 68．若多项式是一个完全平方式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的特点解答即可求解，掌握完全平方式的特点是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即的值为． 题型十八 通过对完全平方公式变形求值 69．已知，则的值是（   ） A．11 B．13 C．15 D．19 【答案】C 【分析】设，通过换元法简化式子，利用完全平方公式展开计算． 【详解】解：设， ∵ ， ， ∴ 原方程可化为， ∴， ∴， ∴． 70．若，，则__________． 【答案】 【分析】根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ 71．若，，则_________． 【答案】1 【分析】将已知两式相减，再利用完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 72．已知，求，的值． 【答案】， 【分析】根据完全平方公式可得，据此可得的值，同理可得，据此可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 题型十九 利用乘法公式配方求最值 73．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即. 例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)写出三种不同形式的配方； (2)将配方（至少两种形式）； (3)试说明无论x取什么值一定的值一定是负数； (4)已知，求的值. 【答案】(1)      (2)    (3) (4) 【分析】（1）根据阅读材料可以得到可以把三项式中的两项作为完全平方式的两项，从而确定第三项即可； （2）根据阅读材料可以得到可以把三项式中的两项作为完全平方式的两项，从而确定第三项即可； （3）将即可判断； （4）首先分组利用完全平方公式分解因式，利用非负数的性质求得、、的数值，进一步求得的值即可． 【详解】（1）解：的三种配方分别为： ； ； （2）解：； ． （3）解：； （4）解：， ， ， ，，， ，，， 则． 【点睛】本题考查了完全平方式，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键．另外，注意分组的技巧和方法． 74．把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查完全平方式的逆用和非负数的性质，负整数指数幂的含义，熟练掌握完全平方公式的逆运用是解题的关键． （1）根据完全平方公式的逆运用计算即可； （2）根据完全平方公式的逆运用把原式化为，再利用非负数的性质计算即可． （3）把化为，再结合非负数的性质进一步求解即可． 【详解】解：（1）； （2） ， ∵，， ∴； ∴的最小值为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 解得：，，， ∴． 75．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：将进行配方，有如下三种形式： ①选择二次项、一次项配方得； ②选择二次项、常数项配得或； ③选一次项、常数项配方得． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）仿照照上述例子，写出的三种不同形式的配方结果； （2）将配方（至少两种形式）； （3）已知，求的值． 【答案】（1）①；②；③（2x-1）2-3x2；（2）或或（a-b）2+3ab；（3）5 【分析】（1）直接利用完全平方公式结合已知变形得出答案； （2）利用完全平方公式分解因式即可； （3）首先分组利用完全平方公式分解因式，利用非负数的性质求得a、b、c的数值，进一步求得a+b+c的值即可． 【详解】解：（1）①选择二次项、一次项配方得x2-4x+1=（x-2）2-3； ②选择二次项、常数项配得x2-4x+1=（x-1）2-2x； ③选一次项、常数项配方得x2-4x+1=（2x-1）2-3x2； （2）（2）a2+ab+b2=（a+b）2-ab； 或a2+ab+b2=（a+b）2+b2； 或a2+ab+b2=（a-b）2+3ab； （3）a2+b2+c2-ab-3b-4c+7=0， a2-ab+b2+（b2-4b+4）+c2-4c+4=0， （a-b）2+（b-2）2+（c-2）2=0， ∴a-b=0，（b-2）=0，c-2=0， ∴a=1，b=2，c=2， 则a+b+c=5． 【点睛】本题考查了完全平方式，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键．另外，注意分组的技巧和方法． 76．阅读下列材料： 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】 (1)若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； A．4    B．8    C．    D． (2)若多项式是一个完全平方式，那么常数m的值为______； (3)配方：______；______； 【知识运用】 (4)通过配方发现，代数式有最小值，则最小值为______； (5)已知，则______，______． 【答案】(1)C； (2)4； (3)，； (4)3 (5)，； 【分析】（1）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案； （2）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案； （3）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案； （4）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案； （5）根据完全平方公式直接列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵多项式是一个完全平方式， ∴， 故选：C； （2）解：∵多项式是一个完全平方式， ∴， 故答案为：4； （3）解：由题意可得， ， ， 故答案为：，； （4）解：∵， ∴， ∴最小值为：3； （5）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，； 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握． 题型二十 同底数幂的除法运算及其逆用 77．计算，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】先利用幂的乘方法则化简左边，再利用同底数幂的除法法则整理，最后根据等式两边同底数幂的指数相等列方程求解n即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 78．计算： ______． 【答案】 【分析】先根据积的乘方法则化简． 再依次利用同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则计算，确定结果的符号即可得到答案． 【详解】解： ． 79．若单项式和的积为，则的值为________． 【答案】625 【分析】首先根据得到，，然后将化简为后代入求解即可． 【详解】解：∵单项式和的积为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 80．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______；若，则______； (2)已知，，，若，求y的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求t的值． 【答案】(1)4；64； (2)60； (3)①；②． 【分析】（1）根据规定即可求得答案； （2）根据规定易得，，，再结合已知条件利用同底数幂乘法法则计算后即可求得答案； （3）①根据规定易得，，然后将原式利用幂的乘方法则变形后即可求得答案； ②结合①中所求可得，，然后将两式相乘并利用同底数幂乘法法则可求得的值，进而求得与的关系，将其代入原式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二十一 零指数幂与负整数指数幂 81．计算：． 【答案】 【分析】先算乘方、零指数幂和括号内，再算乘除，最后算加减即可求解． 【详解】解： ． 82．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 83．计算： 【答案】 【分析】先计算绝对值和乘方，再把除法运算转化为乘法运算，最后算加减即可求解． 【详解】解：原式 ． 84．计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，绝对值，零次幂，负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解： . 题型二十二 幂的运算等于1的分类讨论问题 85．已知，则______． 【答案】2或0 【分析】分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：当，即时，原式，符合题意； 当，即时，原式，符合题意； 当，即时，原式，不符合题意； 综上：. 86．若，则x的值是________． 【答案】、、0 【分析】分三种情况讨论：当且时，当为任意数时，当且为偶数时，分别计算即可． 【详解】解：当且时，，此时； 当为任意数时，，此时； 当且为偶数时，，此时； 综上，x的值为、、0． 87．如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如，； ②底数为1的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． (1)若，则 ； (2)若，求x的值． 【答案】(1)1； (2)，2或0 【分析】（1）根据零指数幂的定义求解即可； （2）根据题意进行的分类讨论，即可求解； 【详解】（1）解：， 因为底数为3， 所以， 解得； （2）解： 若底数为1，即，解得，则， 若底数为，即，解得，则， 若底数不为零的零指数幂，即，解得，则， 所以x的值为，2或0． 88．已知，则_____． 【答案】 或或 【分析】根据幂运算结果为的三种情况分类讨论，分别求解并验证，即可得到的所有可能值． 【详解】解：原方程整理得：分三种情况讨论： 情况1：当指数为，底数不为时，可得，解得，此时，等式成立； 情况2：当底数为，指数为任意数时，可得，解得，此时，等式成立； 情况3：当底数为，指数为偶数时，可得，解得，此时，是偶数，，等式成立． 题型二十三 科学记数法 89．泡泡器吹出的泡泡绚丽多彩，泡泡的平均厚度约为．已知，那么用科学记数法表示为（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：，，为整数，进行表示即可． 【详解】解：已知， 因此， ． 90．钾-氩定年法（法）是常用的地质测年方法，天然钾中放射性同位素的丰度为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 91．随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 92．我国科研团队在光钟研制方面取得里程碑式进展，成功将锶原子光晶格钟的稳定度和不确定度指标全面突破量级，相当于约300亿年的误差不超过1秒，那么每年的误差不超过__________秒．（结果用科学记数法表示，保留两位有效数字） 【答案】 【分析】先将300亿用科学记数法表示，再根据题意计算每年的误差，最后按要求保留有效数字，用科学记数法表示结果． 【详解】解：由题意得： 300亿， 每年误差不超过： ． 题型二十四 多项式除以单项式 93．一个多项式除以，商为，余数是，这个多项式为______． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 94．某同学在计算加上一个多项式时错将加法算成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解题关键． 先根据题意算出这个多项式，再与相加即可． 【详解】解：由题意可知这个多项式为， 则正确计算结果为， 故答案为：． 95．先化简再求值：，其中，． 【答案】化简的结果是，当，时值为． 【分析】先根据平方差公式和多项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式，最后把，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 96．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号里多项式乘以多项式、完全平方公式、平方差公式，再由去括号法则化简，然后合并同类项化简括号内的运算，再由多项式除以单项式得到化简结果，然后由非负数和为零的条件求出，再将代入化简后的结果由有理数乘法及减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， ，且， ， 解得， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，涉及多项式乘以多项式、完全平方公式、平方差公式、去括号法则、合并同类项、多项式除以单项式、有理数乘法运算及有理数减法运算等知识，熟练掌握整式加减乘除等运算法则是解决问题的关键． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级下·北京大兴·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用合并同类项、积的乘方、单项式乘以单项式、完全平方公式逐一计算判断． 【详解】解：A．，故A正确； B．与不是同类项，不能合并，故B错误； C．，故C错误； D．，故D错误． 2．（25-26八年级上·北京大兴·期末）2025年4月，我国科学家基于嫦娥六号采回的月球背面月壤样品，首次研究获得月球背面月幔的水含量小于2微克每克，这一结果揭示，月球背面月幔比正面（水含量均值约7微克每克）更干燥．其中2微克可以表示为0.000002克，0.000002用科学记数法表示应为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：0.000002用科学记数法表示应为． 故选：B． 3．（24-25七年级下·北京通州·期中）已知关于x的代数式是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．4 B． C．4或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据代数式为完全平方式，需满足其形式为，据此求解即可． 【详解】解：关于x的代数式为完全平方式， 设其等于，即， ， 当时，，解得； 当时，，解得， 故k的值为4或． 故选：C． 4．（24-25七年级下·北京门头沟·期中）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 5．（25-26八年级上·北京·期中）若，则的值为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．利用指数运算的性质，将 转化为 ，再代入已知值计算． 【详解】解：∵ , ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 6．（24-25七年级下·北京顺义·期中）如果，那么代数式的值是______． 【答案】9 【分析】利用完全平方公式将所求式子展开，再结合计算即可． 【详解】解：由于，则， ． 7．（24-25八年级上·北京东城·期中）计算：______． 【答案】10 【分析】本题考查负整数指数幂与零指数幂的运算，掌握知识点是解题的关键． 依据负整数指数幂、零指数幂的运算法则分别计算各项，再进行加法运算即可． 【详解】解：． 故答案为：10． 8．（24-25七年级下·北京·期中）若是完全平方式，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，明确式子中首尾两项与中间项的关系，进而求解的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·北京密云·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式除以单项式的运算法则，用多项式的每一项除以单项式． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·北京·期中）如果整式A与整式B的和为整数a，我们称A，B为a的“友好整式”，例如：与为1的“友好整式”； 与为7的“友好整式”．若关于x的整式与为n的“友好整式”，则n的值为______． 【答案】 6 【分析】本题主要考查整式的加减运算，根据“友好整式”的定义，两个整式的和应为常数n，因此合并后x的系数必须为零，从而求出k的值，再代入常数项得到n的值． 【详解】解： ， 根据“友好整式”的定义， 令的系数，得， ∴， 故答案为：6． 11．（24-25七年级下·北京海淀·期中）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得答案； （2）根据幂的乘方，可得幂，再根据同底数幂的乘法，可得同类项，根据合并同类项，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级下·北京东城·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)64 (2)1 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用将原式变形为，代入计算即可； （2）根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用将原式变形为，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 13．（24-25七年级下·北京西城·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据题意可得，再根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 14．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 15．（24-25七年级下·北京·期中）【知识生成】：通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）． （1）比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ． 如图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式： ． 【问题探究】：（2）①已知，，则的值为 ． ②如图3，已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）①12；②7 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的探索与应用，解决本题的关键是由面积得到乘法公式并进行变形代值求解． （1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，由此可得结论． 根据图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，也可以由两个正方形与两个长方形的面积表示，由此可得结论． （2）①根据平方差公式，将变形为代值求解即可． ②根据完全平方公式，先求解，由此可求解． 【详解】解：（1）图①中的阴影面积为大正方形面积减去小正方形的面积，即， 图②中阴影面积为拼接后的两个长方形的面积，即， ∴比较图①和图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：． 故答案为：． 图3大正方形的面积可表示为边长乘边长，即， 图3大正方形的面积也可表示为两个正方形，即；两个长方形，即， ∴图3大正方形的面积有两种表示方法可以得到乘法公式：． 故答案为：． （2）①∵，， ∴． 故答案为：12． ②∵，，即， ∴． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 16．（24-25七年级下·北京海淀·期中）若的计算结果中不含项，则的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，掌握不含某一项即该项的系数为的原则，以及准确找出所有生成目标项的项是解题的关键． 展开多项式乘积，找出所有产生项的项，令其系数之和为零，解出的值． 【详解】解：∵原式为， 项来源于： ∴项系数为， ∵计算结果不含项， ∴， ∴． 故选：B． 17．（24-25七年级下·北京通州·期中）如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（   ） A． B．16 C．15 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式与图形面积，解题的关键是理解题意；由题意可设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有， ∵， ∴， ∵两个正方形面积之差为16， ∴， ∴， ∴； 故选A． 18．（24-25七年级下·北京东城·期中）已知，，，那么式子的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式及应用，熟记完全平方公式是解题的关键．利用恒等式将原式转化为平方和形式，结合的差值计算． 【详解】解： ，，， ， ， ， ∴原式=． 故选：C． 19．（25-26八年级上·北京·期中）有如图所示的A，B，C三种纸片若干张，棋盘要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，如选取A纸片9张，再取B纸片1张，还需要取C纸片（   ） A．12张 B．10张 C．6张 D．4张 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，设还需要取k张C卡片，根据题意可得是一个完全平方式，据此求解即可． 【详解】解：设还需要取k张C纸片， ∵取纸片张，取纸片张， ∴面积和为， ∵要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，C纸片的面积为， ∴，是一个完全平方式， ∴， ∴（负值舍去） ∴还需张C纸片， 故选：C． 20．（25-26八年级上·北京海淀·期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项式的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1             1  2  1          1  3  3   1        1  4  6   4    1         …                          …. 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索．观察可知把看成常数，从左往右数，的第二项的系数为，据此规律求解即可． 【详解】解；把看成常数， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， 从左往右数，的第二项的系数为， ……， 以此类推，从左往右数，的第二项的系数为， 而中，项就是第二项， 展开式中含项的系数是6， 故选：B． 21．（25-26八年级上·广西玉林·期末）已知，则的值是___________． 【答案】81 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式混合运算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．由已知方程解出 x 与 y 的关系，代入目标表达式并化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：81． 22．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为______． 【答案】72 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 列代数式表示休闲区的面积与两个喷泉区的面积，由题意得，再根据完全平方公式求出的值，即可求解绿地的面积． 【详解】解：由题意得， 休闲区的面积为， 两个喷泉区的面积为， ， ， ． ， ， ， 绿地的面积为． 故答案为72． 23．（24-25七年级下·北京·期中）观察：；，那么，________． 【答案】/ 【分析】本题考查平方差公式的应用．通过乘以构造平方差形式，然后连续使用平方差公式简化计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 24．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，30．下列说法正确的有__________． ①正方形A和B的面积和是34； ②图2中新的正方形的面积是64； ③正方形A和B的面积差是4； ④正方形A的边长是5． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解二元一次方程组，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，图1中阴影部分是一个边长为的正方形，图2中新的正方形是一个边长为的正方形，根据正方形面积计算公式可得，据此可求出，和的值，进一步可得的值，再解方程组求出a、b的值，据此逐一判断可得答案． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∵图1，图2中阴影部分的面积分别为4，30， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A和B的面积和是34，故①正确； ∴， ∴图2中新的正方形的面积是64，故②正确； ∵，且， ∴， ∴， ∴正方形A的边长是5，故④正确； ∵， ∴正方形A和B的面积差是16，故③错误； 故答案为：①②④． 25．（25-26七年级上·北京·期中）在长方形纸片中，，，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法与图形的面积，利用图形正确列式是解题的关键．用长方形面积减去空白部分的面积分别表示出、，再利用整式的混合运算计算它们的差即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， 由得， 解得：， 故答案为：． 26．（2026·北京·模拟预测）已知，求的值． 【答案】 【分析】先化简目标代数式得到，再由已知方程得出，整体代入后计算得结果为． 【详解】解： ， ∵已知， ∴可变形得到：， ∴原式． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 28．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． （1）利用幂的乘方的逆运算，整理得，然后计算即可； （2）利用同底数幂相乘的逆运算，整理得，然后计算即可； （3）根据（1）、（2）的计算结果进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵由（1）、（2）得，， ∴， ∴． 29．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵ ∴． ∴． 【新知应用】 （）比较大小：______． （）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【实际应用】 （）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有两种方案可供选择，方案：每次按原价打八五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 【答案】（）；（）（）当时， 方案合算；当时，此时两个方案的总价相同；当时， 方案合算； 【分析】（）作与的差，再根据差的正负性即可判断； （）分别用表示，然后计算的差的正负性，即可得到答案； （）根据题意分别写出表示两种方案的总价的代数式，然后作差，再分情况讨论即可； 【详解】解：（）根据材料得， ∴ 故填答案为：； （）由图知： ∴ ∵是正整数 ∴ ∴ ∴ （）设原价为a（），去的次数为x（x为正整数），总价分别为 根据题意可知：， ∵，为正整数， ∴当时，，故，此时方案合算； 当时，，故，此时两个方案的总价相同； 当时，，故，此时方案合算； 【点睛】本题是材料题，考查了对所给信息的获取能力，涉及了不等式的性质等相关知识，掌握所需知识，理解题意并根据题目所给方法做出结论是本题的解题关键． 30．（24-25七年级下·北京东城·期中）【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，，则，， 所以． 【解决问题】 （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值． 【答案】（1）120 （2）2021 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键． （1）设，，则，再利用完全平方公式变形求值即可得； （2）设，，则，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：（1）设，， 则， ， ∴． （2）设，， 则，， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 31．（25-26八年级上·河北邢台·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 【答案】A 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【详解】解：∵多项式除以，商式为余3， ∴， ， ∴，解得：， ∴．即A选项符合题意． 32．已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整体代入法是解题关键．先根据多项式除以单项式以及合并同类项法则，得出，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 33．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，代入可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 34．（25-26八年级上·福建泉州·期中）计算：________． 【答案】2 【分析】本题考查积的乘方逆运算以及同底数幂乘法的逆运算，解题的关键是逆用积的乘方公式，将原式变形为可以简便计算的形式．通过积的乘方公式，先将变形为，再将原式转化为，计算得，即可求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为2． 35．（25-26八年级上·北京·期中）已知50个数从，0，1中取值．若，且，则： （1）中0的个数是___________； （2）的值为___________． 【答案】 13 197 【分析】本题考查了完全平方公式，有理数的乘方，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式，得到，继而推导出，得到中或的个数是37个，则中的个数是，即可解答； （2）先求出比多9个，得到的个数为（个），1的个数为（个）．则，即可解答． 【详解】解：（1）∵ 又∵， ∴； ∵个数从，，中取值， ∴中或的个数是37个， ∴中的个数是， 故答案为：13． （2）∵，或的个数是37个，的个数是13个， ∴比多9个， 即的个数为：（个），1的个数为（个）． ∴ ． 故答案为：197． 36．（25-26八年级上·北京·期中）如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键． （1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解； （2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解． 【详解】解：（1）由题知即为大矩形面积， 由图知还可用求面积， ∴=． 故答案是：； （2）∵图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为， 故答案为： ． 37．（25-26八年级下·北京·期中）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，先把左式变形为，再根据完全平方公式进行计算即可求解，正确进行变形是解题的关键． 【详解】∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（22-23七年级上·北京海淀·期末）设x，y满足，，则______． 【答案】 【分析】将，两式相加，再利用立方和公式，求解即可． 【详解】解：将，两式相加，可得 ， 即， 即， ∵恒成立， ∴，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了立方和公式的应用．解答该题时需要熟记立方和公式． 39．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 2030 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式等，解题的关键是掌握以上运算法则． 先对多项式进行化简，然后根据给出的等式进行整理，最后整体代入求值即可． 【详解】解： ∵ ∴，代入上式得， 原式． 40．规定新运算：（其中m，n为正整数）．例如：若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2) 【分析】（1）①利用新运算的规定进行运算即可；②将变换为，再利用新运算的规定解答即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出的幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①， ． ②， ． （2）解：依题意，得， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，本题是新定义型题目，连接并熟练应用新运算的规定是解题的关键． 41．（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令x的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将A、B的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为0，即可求出的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于x的代数式，根据其值不变，令x的系数为0 ，即可求得与的关系． 【详解】解：（1） ， 多项式的值与的取值无关， ∴， 解得； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得； （3）设，由图可知，， ∴， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴， ∴． 42．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：， 变形一下，就是， 依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子： ； ； ； ； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的加减运算，完全立方公式，因式分解的应用，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键． 仿照题干进行求解即可． 【详解】解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ， ， ， ， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． 43．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 【答案】(1)2；4； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：2；4； （2）解：∵若，，， ∴，，， ∴， ∴． （3）解：∵（k为奇数）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为奇数时,． 44．（25-26八年级上·湖南永州·期中）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”．    ①与（　　）      ②与（　　） (2)已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； (3)已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足．求b，c，d的值； 【答案】(1)； (2)或或或； (3)， 【分析】（1）根据定义解答即可得解； （2）先由定义得出或，解方程即可得解； （3）S，T互为“差值代数式”当，且“差值”为，恒等变形得出，然后由新定义即可得解. 【详解】（1）解：①，所以当时，与互为“差值代数式”，“差值”为1， 故答案为： ； ②，所以与不是“差值代数式”， 故答案为：； （2）∵关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4， ∴， ∴或， 当时，即 ，所以或； 当时，即，所以或； 综上所述，或或或； （3）∵关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”， ∴结果为常数， ∴当，且“差值”为，   又∵ ∴ ∴，， 故：，. 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，分式的混合运算，利用平方根解方程，代数式的配方等知识点，熟练掌握其性质并能灵活对代数式进行恒等变形是解决此题的关键． 45．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析    【分析】（1）由题意可得，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由，可得，，由同底数幂的乘法可得，由同底数幂的除法可得，由幂的乘方可得，于是可得，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由，，可得，，，由可得，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由可得，设，，，由探索的结论可得，即，由于，因而可得，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $