第5章 分式与分式方程 单元练习卷（提高篇） 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第5章 北师版八年级下册分式与分式方程练习卷（提高篇） 一．选择题（共13小题） 1．分式中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（　　） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若a时，分式的值为零 D．若a时，分式的值为零 2．若分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 3．若关于x的方程2的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m且m≠0 D．m且m 4．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（　　） A． B． C． D． 5．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1或0 D．0或1 6．在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳x下，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 7．若分式方程1的解为负数，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a＜0且a≠﹣2 C．a＜﹣2且a≠﹣3 D．a＜﹣1且a≠﹣3 8．若关于x的分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 9．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．0或2 D．﹣1或3 10．若分式方程有增根，则m的值是（　　） A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣3 11．一艘轮船在静止中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为xkm/h，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 12．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．﹣3或 B．或 C．﹣3或或 D．﹣3或 13．若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程2有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（　　） A．15 B．14 C．8 D．7 二．填空题（共12小题） 14．已知，则　 　 ． 15．若分式方程有增根，则m的值是　 　 ． 16．若关于x的分式方程无解，则m的值是　 　 ． 17．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　 ． 18．若关于x的分式方程2的解为正数，则m的取值范围是 　 　 ． 19．若整数m既能使关于x的不等式组有解，也能使关于y的分式方程有整数解，则整数m的值为 　 　 ． 20．已知：a2+4a+1＝0，且3，则m的值为　 　 ． 21．已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是 　 　 ． 22．若分式方程：3无解，则k＝　 　 ． 23．若关于x的分式方程2的解为负数，则m的取值范围是 　 　 ． 24．若，则B＝　 　 ． 25．关于y的方程的解为非负数，则a的取值范围是 　 　 ． 三．解答题（共35小题） 26．先化简，再求值：（x﹣2），其中x． 27．先化简：（a+1），并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． 28．某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 29．先化简代数式，再从2，﹣2，1，﹣1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 30．先化简，再求值：（），其中x＝3． 31．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 32．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元． （1）求该商家第一次购进冰墩墩多少个？ （2）若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？ 33．在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 34．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 35．先化简，再求值（m﹣1），其中m2． 36．先化简，再求值：（），其中a，b满足|b|＝0． 37．先化简，再求值（），其中a满足a2+3a﹣2＝0． 38．先化简（x+1），再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值． 39．某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同． （1）求A，B两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？ 40．“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． （1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ （2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 41．2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 42．解方程： （1）； （2）． 43．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知x≠0，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． （3）已知，，，求的值． 44．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 45．永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： （方案一）甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成： （方案二）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天； （方案三）若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工． （1）请你求出完成这项工程的规定时间； （2）如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案？说明理由． 46．为了创建国家卫生城市，我县某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元． （1）求购买一个A型垃圾桶需多少元？ （2）若小区一次性购买A型，B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过4000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？ 47．某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元． （1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？ （2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？ 48．为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊．预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 49．佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果． （1）求第一次水果的进价是每千克多少元？ （2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 50．先化简，再求值：（x﹣1），其中x＝4． 51．加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； （2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 52．先化简，再求值：，然后从0，1，2，3四个数中选择一个恰当的数代入求值． 53．先化简，再求值：，其中． 54．“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． （1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 55．宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价； （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 56．先化简，再求值：，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 57．先化简，再求值：（x﹣1），其中x＝4． 58．先化简，再求值：1，其中a、b满足（a）20． 59．先化简，再求值：（），其中x＝2021． 60．先化简，再求值：（1），其中x满足x2﹣x﹣1＝0． 参考答案与试题解析 一．选择题（共13小题） 1．【分析】当x＝﹣a时，分式的分子是0即分式的值是0，但前提是只有在保证分式的分母不为0时，分式才有意义． 【解答】解：由3x﹣1≠0，得x， 故把x＝﹣a代入分式中，当x＝﹣a且﹣a时，即a时，分式的值为零． 故选：C． 2．【分析】先把方程两边同时乘x﹣3得整式方程，然后根据方程无解，分两种情况讨论：①分式方程的分母等于0，求出x再代入整式方程，求出a；②整式方程无解，列出关于a的方程，求出a即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘x﹣3得： ax﹣3＝2（x﹣3）， ax﹣3＝2x﹣6， ax﹣2x＝3﹣6， （a﹣2）x＝﹣3， ∵分式方程无解， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴3（a﹣2）＝﹣3， 解得：a＝1， ∵分式方程无解， ∴a﹣2＝0， 解得：a＝2， 综上可知：a＝2或1， 故选：D． 3．【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围． 【解答】解：2， 去分母得，2x﹣4（x﹣1）＝3m， 整理得，2x﹣4x+4＝3m， 解得，x， ∵分式方程的解为正数， ∴4﹣3m＞0且， ∴m且m． 故选：D． 4．【分析】等量关系式：绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文，据此列方程，即可求解． 【解答】解：由绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文得方程为： ， 故选：B． 5．【分析】先解方程得2ax＝3a+1，再由方程无解可得2a＝0或2，分别求出a的值即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘以x﹣2，得1﹣a＝2ax﹣4a， 移项、合并同类项，得2ax＝3a+1， ∵方程无解， ∴2a＝0或2， 解得a＝0或a＝1． 故选：D． 6．【分析】如果设小季每分钟跳x下，那么小范每分钟跳（x+30）下．题中有等量关系：小季跳100下所用的时间＝小范跳120下所用的时间，据此可列出方程． 【解答】解：由于小季每分钟跳x下，所以小群每分钟跳（x+20）下． 根据题意，得． 故选：B． 7．【分析】求出分式方程的解，按照解为负数列出不等式进行计算即可得出a的取值范围． 【解答】解：方程两侧同乘（x+2）得，a＝x+2﹣3， ∴x＝a+1， ∵解为负数， ∴a+1＜0， 即a＜﹣1， 要是分式有意义，x≠﹣2，即a+1≠﹣2， ∴a≠﹣3． 故选：D． 8．【分析】找出方程中的最简公分母：x﹣3，然后方程两边同乘最简公分母，化为整式方程可解，然后根据分式有无意义即可得出结果． 【解答】解：原方程去分母可得： 3﹣ax＝2（3﹣x）， 3﹣ax＝6﹣2x， （a﹣2）x＝﹣3， 根据题意，原分式方程无解， ①当a﹣2＝0时，即a＝2时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意； ②当原分式方程最简公分母x﹣3＝0时，即x＝3，是原分式方程的增根，也符合题意， 此时，3（a﹣2）＝﹣3， 解得a＝1； ∴a的值是1或2， 故选：D． 9．【分析】去分母、去括号、一箱、合并同类项、系数化为1，求出x，根据方程无解，可得x﹣2＝0或a+1＝0，据此求出a． 【解答】解：， ， ， 3﹣ax＝﹣a+x﹣2， ax+x＝a+5， x（a+1）＝a+5， ， 因为关于x的分式方程无解， 所以有或a+1＝0， 解得：a＝3或a＝﹣1． 故选：D． 10．【分析】先判断出增根为x＝4，再把分式方程化为整式方程，然后把x＝4代，入求值． 【解答】解：∵分式方程有增根， ∴可判断增根为使得分母为0的x的值，即x＝4； 分式方程两边同时乘以（x﹣4），得3﹣x+m＝（x﹣4）， 整理得m＝2x﹣7， 当x＝4时，m＝2×4﹣7＝1． 故选B． 11．【分析】根据题意可得顺水速度为（30+x）km/h，逆水速度为（30﹣x）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行90km所用时间＝以最大航速逆流航行60km所用时间，根据等量关系列出方程求解即可． 【解答】解：设江水的流速为vkm/h， 根据题意得： 故选：A． 12．【分析】首先最简公分母为0，求出增根，在把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字母系数为0，满足这两个条件求出m的值． 【解答】解：当（x+3）（x﹣3）＝0时，x1＝3或x2＝﹣3， 原分式方程可化为：1， 去分母，得x（x+3）＝（x+3）（x﹣3）﹣（mx﹣2）， 整理得（3+m）x＝﹣7， ∵分式方程无解， ∴3+m＝0， ∴m＝﹣3， 把x1＝3或x2＝﹣3，分别代入（3+m）x＝﹣7， 得m或m， 综上所述：m的值为m或m或m＝﹣3， 故选：C． 13．【分析】解不等式组，根据整数解得个数判断a的取值范围；解分式方程，用含a的式子表示y，检验增根的情况，再根据解的非负性，确定a的范围，然后根据方程的整数解，确定符合条件的整数a，相加即可． 【解答】解： 解不等式①，得：x≤11， 解不等式②，得x＞a， ∵不等式组至少有五个整数解， ∴a＜7； ， a﹣3+2＝2（y﹣1）， a﹣1＝2y﹣2， 2y＝a+1， y， ∵y﹣1≠0， ∴y≠1， ∴1， ∴a≠1， ∵y≥0， ∴0， ∴a≥﹣1， ∴﹣1≤a＜7，且a≠1，a为整数， 又∵为整数， ∴a可以取﹣1，3，5， ∴所有整数a之和为：﹣1+3+5＝7． 故选：D． 二．填空题（共12小题） 14．【分析】首先设恒等式等于某一常数，然后得到x、y、z与这一常数的关系式，将各关系式代入求值． 【解答】解：设k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，则． 故答案为． 15．【分析】解：先把分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得出x的值，再代入整式方程求得k的值即可． 【解答】解：去分母得，m﹣2（x﹣2）＝x+2， ∵方程有增根， ∴x＝±2， 当x＝2时，m＝4； 当x＝﹣2时，m＝﹣8； 故答案为4或﹣8． 16．【分析】先把分式方程化为整式方程得到（m﹣1）x＝﹣1，由于关于x的分式方程无解，分最简公分母为0分式方程有增根和化简后的整式方程无解两种情况可求得m． 【解答】解：原分式方程去分母，得mx﹣1﹣1＝x﹣3， （m﹣1）x＝﹣1． ∵关于x的分式方程无解， 当m﹣1＝0时，原方程无解， ∴m＝1， 当最简公分母x﹣3＝0， x＝3， 当x＝3时，得， 综上m的值为1或， 故答案为：1或． 17．【分析】先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数a的值，再进行相加求解．． 【解答】解：， 解不等式①，得x≤4， 解不等式②，得x＜a+2， 由题意得a+2＞4， 解得a＞2； 解方程1得， y，且y≠﹣2， 当a＝8时，y1； 当a＝6时，y2（不合题意，舍去）； 当a＝4时，y3， ∴符合条件的a有8，4， ∴8+4＝12， 即所有满足条件的整数a的值之和是12． 18．【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式，又分式方程有可能产生增根x＝1，所以分式方程的解不等于1，根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到m的取值范围． 【解答】解：去分母，得： 3x＝﹣m+2（x﹣1）， 去括号，移项，合并同类项，得： x＝﹣m﹣2． ∵关于x的分式方程2的解为正数， ∴﹣m﹣2＞0． 又∵x﹣1≠0， ∴x≠1． ∴﹣m﹣2≠1． ∴， 解得：m＜﹣2且m≠﹣3． 故答案为：m＜﹣2且m≠﹣3． 19．【分析】先解一元一次不等式组得到，根据不等式组有解求出m的范围，再解分式方程，再由解为整数且y≠3，m≠2，即可求出m的值． 【解答】解：解关于x的不等式组得：， ∵不等式组有解， ∴m﹣3＜﹣1， 解得：m＜2， 解关于y的分式方程 得：y， ∵y≠3，m≠2， ∴3，m≠2， ∴m≠1且m≠2， ∵为整数，且m为整数， ∴m＝﹣1， ∴整数m的值为﹣1． 故答案为：﹣1． 20．【分析】由a2+4a+1＝0，得a2＝﹣4a﹣1，代入所求的式子化简即可． 【解答】解：∵a2+4a+1＝0，∴a2＝﹣4a﹣1， 3 即（﹣56﹣4m）a﹣14﹣m＝（﹣12m+96）a﹣3m+24， ∴﹣56﹣4m＝﹣12m+96，﹣14﹣m＝﹣3m+24， 解得m＝19． 故答案为19． 21．【分析】将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【解答】解：关于x的分式方程化为整式方程得， k+2（x﹣1）＝﹣x， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以k≤2， 当x＝1时，k＝﹣1， 因此k的取值范围为k≤2且k≠﹣1， 故答案为：k≤2且k≠﹣1． 22．【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【解答】解：方程去分母得：3（x﹣3）+2﹣kx＝﹣1， 整理得（3﹣k）x＝6， 当整式方程无解时，3﹣k＝0即k＝3， 当分式方程无解时，x＝3，此时3﹣k＝2，k＝1， 所以k＝3或1时，原方程无解． 故答案为：3或1． 23．【分析】先解分式方程，根据分式方程解的情况得不等式，解不等式确定字母的取值范围． 【解答】解：去分母，得：3x＝﹣m+2（x﹣1）， 去括号，移项合并同类项，得：x＝﹣m﹣2， ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴﹣m﹣2＜0， 又∵x﹣1≠0， ∴x≠1， ∴﹣m﹣2≠1， ∴， 解得：m＞﹣2， 故答案为：m＞﹣2． 24．【分析】将通分得到，再根据对应项相等得到关于A、B的方程组，解方程即可求解． 【解答】解：∵，， ∴， 解得． 故答案为：2． 25．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数，确定出a的值．注意方程无解的时候． 【解答】解：解分式方程得，y＝2﹣a， ∵a使关于y的方程的解为非负数， ∴2﹣a≥0，且2﹣a≠1 ∴a≤2且a≠1． 故答案为：a≤2且a≠1． 三．解答题（共35小题） 26．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝（）• • ＝2（x+2） ＝2x+4， 当x时， 原式＝2×（）+4 ＝﹣1+4 ＝3． 27．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在0，﹣1，2中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题． 【解答】解：（a+1） ， 当a＝0时，原式． 28．【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，由题意：购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50﹣a）个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元， 由题意得：2， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， 则x+30＝80． 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元． （2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50﹣a）个， 由题意得：50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3060， 解得：a≤20， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 29．【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可． 【解答】解：原式 • ， ∵a+2≠0，a﹣2≠0，a﹣1≠0， ∴a只能取﹣1， 当a＝﹣1时，原式． 30．【分析】先根据分式的加减法则算括号里面的，同时把除法变成乘法，再进行约分，最后把x＝3代入求出即可． 【解答】解：原式＝[]， ， ， ， 当x＝3时，原式1． 31．【分析】（1）根据“用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同”列方程求解； （2）先根据“购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍”求出取值范围，再根据一次函数的性质求解． 【解答】解：（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x﹣200）元． 根据题意：， 解这个方程，得：x＝500， 经检验，x＝500是原方程的根， ∴x﹣200＝300， 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元； （2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40﹣m）台， 购买A型和B型编程机器人模型共花费w元， 由题意得：40﹣m≤3m， 解得：m≥10， w＝500×0.8•m+300×0.8（40﹣m）， 即：w＝160m+9600， ∵160＞0 ∴w随m的减小而减小． 当m＝10时，w取得最小值11200， ∴40﹣m＝30 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 32．【分析】（1）设第一次购进冰墩墩x个，由题意：第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．列出分式方程，解方程即可； （2）设每个冰墩墩的标价为a元，由题意：全部销售完后的利润率不低于20%，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设第一次购进冰墩墩x个，则第二次购进冰墩墩2x个， 根据题意得：10， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意， 答：该商家第一次购进冰墩墩200个． （2）由（1）知，第二次购进冰墩墩的数量为400个． 设每个冰墩墩的标价为a元， 由题意得：（200+400）a≥（1+20%）（22000+48000）， 解得：a≥140， 答：每个冰墩墩的标价至少为140元． 33．【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元，由题意：用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，由题意：资金不超过600元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元， 由题意得：， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意， 则x+5＝15， 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元； （2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆， 由题意得：15m+10×2m≤600， 解得：m， ∵m为正整数， ∴m的最大值为17， 答：购买吊兰的数量最多是17盆． 34．【分析】（1）设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是（x+0.2）万元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为（15﹣m）个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得m≥5，再设所需费用为w万元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是（x+0.2）万元， 由题意得：， 解得：x＝0.6， 经检验，x＝0.6是原方程的解，且符合题意， ∴x+0.2＝0.6+0.2＝0.8， 答：甲型充电桩的单价是0.8万元，乙型充电桩的单价是0.6万元； （2）解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为（15﹣m）个， 由题意得：15﹣m≤2m， 解得：m≥5， 设所需费用为w万元， 由题意得：w＝0.8m+0.6×（15﹣m）＝0.2m+9， ∵0.2＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝5时，w取得最小值＝0.2×5+9＝10， 答：购买这批充电桩所需的最少总费用为10万元． 35．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得． 【解答】解：原式（） • ， 当m2时， 原式 ＝﹣1+2． 36．【分析】先化简，再求出a，b的值代入求解即可． 【解答】解：（） ＝[]•， •， ， ∵a，b满足|b|＝0． ∴a+1＝0，b0，解得a＝﹣1，b， 把a＝﹣1，b，代入原式． 37．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a2+3a﹣2＝0，可以求得所求式子的值． 【解答】解：（） ＝[] ＝（） ， ∵a2+3a﹣2＝0， ∴a2+3a＝2， ∴原式1． 38．【分析】先算括号内的加法和减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可． 【解答】解：（x+1） ＝[（x﹣1）] • • ， ∵分式的分母x+1≠0，x2﹣1≠0，x2+2x+1≠0， 解得：x≠±1， ∴取x＝0， 当x＝0时，原式1． 39．【分析】（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设准备购买m个A种书架，则购买B种书架（15﹣m）个，根据题意列出不等式并解答． 【解答】解：（1）设B种书架的单价为x元，根据题意，得． 解得x＝80． 经检验：x＝80是原分式方程的解． ∴x+20＝100． 答：购买A种书架需要100元，B种书架需要80元． （2）设准备购买m个A种书架，根据题意，得100m+80（15﹣m）≤1400． 解得m≤10． 答：最多可购买10个A种书架． 40．【分析】（1）设A型玩具的单价为x元/件．根据用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，列方程即可得到结论； （2）设购买A型玩具m个．根据张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，列不等式即可得到结论． 【解答】解：（1）设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个． 由题意得：， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解， ∴B型玩具的进价为10×1.5＝15（元/个）， 答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个． （2）设购买A型玩具m个，则购进B型玩具（75﹣m）个． 根据题意得，（12﹣10）m+（20﹣15）（75﹣m）≥300， 解得：m≤25， 答：最多可购进A型玩具25个． 41．【分析】（1）依据题意，设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元，可得7，求出x后即可判断得解； （2）依据题意，设该游客购买m个A种挂件，则购买（m+5）个B种挂件，又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为25＝20元，可得25m+20（m+5）≤600，进而计算可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，设每个A种挂件的价格为x元， 则每个B种挂件的价格为x元， ∴7． ∴x＝25． 经检验：x＝25是原方程的根． 答：每个A种挂件的价格为25元． （2）由题意，设该游客购买m个A种挂件， 则购买（m+5）个B种挂件， 又结合（1）每个A种挂件的价格为25元，每个B种挂件的价格为25＝20元， ∴25m+20（m+5）≤600． ∴m11． 又∵m为整数， ∴m＝11，则该游客最多购买11个A种挂件． 42．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5， 解得：x＝2， 经检验x＝2是分式方程的解； （2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4， 解得：x＝2， 经检验x＝2是增根，分式方程无解． 43．【分析】（1）把已知等式变形求出x的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出x的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）把已知三个等式变形后相加可以求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可． 【解答】解：（1）由，知x≠0， 所以， 即， ∴x2 ＝（x）2﹣2 ＝22﹣2 ＝2， ∴的值为2的倒数，即； （2）由，知x≠0， 所以：7， ∴x﹣17， 即， ∴x2﹣1 ＝（x）2﹣3 ＝82﹣3 ＝61， ∴的值为61的倒数，即； （3）由，知x≠0，y≠0， ∴， ∴①， 由，知y≠0，z≠0， ∴， ∴②， 由，知z≠0，x≠0， ∴， ∴③， ①+②+③得： 2（）， ∴1， ∴1， ∴的值为1的倒数，即1． 44．【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【解答】解：（1）由表格可得， 新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； （2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元， ∴0.54， 解得a＝600， 经检验，a＝600是原分式方程的解， ∴0.6，0.06， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元； ②设每年行驶里程为xkm， 由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500， 解得x＞5000， 答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低． 45．【分析】（1）设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队需（x+6）天完成这项工程，由题意：由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论； （2）根据总费用＝每天需付费用×工作天数，分别求出方案一、三需付的工程款，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设完成这项工程的规定时间为x天，则甲工程队需x天完成这项工程，乙工程队需（x+6）天完成这项工程， 根据题意得：5×（）1， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意． 答：完成这项工程的规定时间为30天． （2）选择方案三，理由如下： 方案一需付工程款：2.4×30＝72（万元）； 方案二不能如期完工，不符合题意； 方案三需付工程款：2.4×5+1.8×30＝66（万元）． ∵72＞66， ∴选择方案三． 46．【分析】（1）设一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需（x+30）元，根据购买A型垃圾桶数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可． （2）设小区一次性购买y个A型垃圾桶，则购买（60﹣y）个B型垃圾桶，根据“总费用不超过4000元”列出一元一次不等式并解答即可． 【解答】解：（1）设购买一个A型垃圾桶需x元，则购买一个B型垃圾桶需（x+30）元， 由题意得：2， 解得：x＝50， 经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意， 则x+30＝80， 答：购买一个A型垃圾桶需50元，一个B型垃圾桶需80元． （2）设小区一次性购买y个A型垃圾桶，则购买（60﹣y）个B型垃圾桶， 由题意得：50y+80（60﹣y）≤4000， 解得：y≥27． 答：最少要购买27个A型垃圾桶． 47．【分析】（1）设该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是x元和（x+4）元，根据所购数量是第一批购进量的2倍列出方程解答即可； （2）设每件T恤衫的标价至少是y元，根据题意列出不等式解答即可． 【解答】（1）解：设该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是x元和（x+4）元，根据题意可得： ， 解得：x＝40， 经检验x＝40是方程的解， x+4＝40+4＝44， 答：该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是40元和44元； （2）解：（件）， 设每件T恤衫的标价是y元，根据题意可得：（300﹣40）y+40×0.7y≥（4000+8800）×（1+80%）， 解得：y≥80， 答：每件T恤衫的标价至少是80元． 48．【分析】（1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元，根据购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株，列出分式方程，解方程即可； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉（120﹣m）株，根据总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得45≤m≤50，得出购买这两种花卉有6种方案，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元， 由题意得：2， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝1.2×25＝30， 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉（120﹣m）株， 由题意得：， 解得：45≤m≤50， ∵m为正整数， ∴m＝45，46，47，48，49，50， ∴购买这两种花卉有6种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：y＝25×0.8m+30×0.8（120﹣m）＝﹣4m+2880， ∵﹣4＜0， ∴y随m的增大而减小， ∴当m＝50时，y有最小值＝﹣4×50+2880＝2680， 答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 49．【分析】（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，第一次购买用了1200元，第二次购买用了1452元，第一次购水果千克，第二次购水果千克，根据第二次购水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案； （2）先计算两次购水果数量，赚钱情况：卖水果量×（实际售价﹣当次进价），两次合计，就可以回答问题了． 【解答】解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元， 根据题意得：20， 解得：x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解， （2）第一次购水果1200÷6＝200（千克）． 第二次购水果200+20＝220（千克）． 第一次赚钱为200×（8﹣6）＝400（元）． 第二次赚钱为100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6×1.1）＝﹣12（元）． 所以两次共赚钱400﹣12＝388（元）， 答：第一次水果的进价为每千克6元，该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了388元． 50．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝（） • ， 当x＝4时，原式． 51．【分析】（1）甲分类垃圾桶的单价是x元，则乙分类垃圾桶的单价是（x+40）元，利用数量＝总价÷单价，结合用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买甲分类垃圾桶y个，则购买乙分类垃圾桶（20﹣y）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3600元，列出一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最小整数值即可． 【解答】解：（1）甲分类垃圾桶的单价是x元，则乙分类垃圾桶的单价是（x+40）元， 根据题意得， 解得x＝160， 经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意， ∴x+40＝160+40＝200． 答：甲分类垃圾桶的单价是160元，乙分类垃圾桶的单价是200元； （2）设购买甲分类垃圾桶y个，则购买乙分类垃圾桶（20﹣y）个， 依题意得：200（20﹣y）+160y≤3600， 解得：y≥10， ∵y为正整数， ∴y的最小值为10． 答：最少需要购买甲种分类垃圾桶10个． 52．【分析】先通分，分解因式，再根据同分母相加减，分母不变分子相加减计算，化简后，再算乘法，进而约分化为最简分式，根据分式的意义确定x的值，代入原式计算即可． 【解答】解：原式＝（）• • ， ∵x≠3，0，2， ∴当x＝1时，原式． 53．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可． 【解答】解： ． 当时，原式． 54．【分析】（1）设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是（x﹣8）元，根据购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买a千克“樱珠”，则购买（60﹣a）千克“樱桃”，根据再次购买的费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解得a≤50，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是（x﹣8）元， 根据题意得：， 解得：x＝18， 经检验，x＝18是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣8＝10， 答：每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元； （2）设购买a千克“樱珠”，则购买（60﹣a）千克“樱桃”， 根据题意得：18a+10（60﹣a）≤1000， 解得：a≤50， 设总利润为w元， 根据题意得：w＝（30﹣18）a+（18﹣10）（60﹣a）＝4a+480， ∵4＞0， ∴w最a的增大而增大， ∴当a＝50时，w有最大值，w最大＝4×50+480＝680， 此时，60﹣a＝10， 答：该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元． 55．【分析】（1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是（x+30）元，根据花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装（30﹣m）套，根据经费预算不超过5000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是（x+30）元， 根据题意得：1.5， 解得：x＝148， 经检验，x＝148是所列方程的解，且符合题意， ∴x+43＝178， 答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； （2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装（30﹣m）套， 根据题意得：148（30﹣m）+178m≤5000， 解得：m≤18， ∴m的最大值为18， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 56．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用分式有意义的条件选取符合条件的a的值代入计算即可． 【解答】解： ＝﹣a﹣1， 根据分式有意义的条件知a≠﹣1且a≠2， 则a＝3， 原式＝﹣3﹣1＝﹣4． 57．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后求出答案即可． 【解答】解：原式• • • ， 当x＝4时，原式3． 58．【分析】首先化简1，然后根据a、b满足（a）20，求出a、b的值各是多少，再把求出的a、b的值代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可． 【解答】解： ＝1 ＝1 ∵a、b满足， ∴a0，b+1＝0， ∴a，b＝﹣1， 当a，b＝﹣1时， 原式． 59．【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可． 【解答】解：（） • • ， 当x＝2021时，原式． 60．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后根据x2﹣x﹣1＝0，得x2＝x+1，最后把x2＝x+1代入计算即可 【解答】解：（1） ＝（）• • ， ∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2＝x+1， ∴原式2 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $