23.3一次函数与方程（组）、不等式 自主学习同步练习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版八年级数学下册《23.3一次函数与方程（组）、不等式》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 3．如图是函数的图象，当x取何值时，函数的图象在第三象限（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 5．小亮通过“列表、描点、连线”画函数的图象时，列出如下表格： … 0 1 2 … … 8 6 4 2 0 … 则下列说法正确的是（   ） A．函数值y随x的增大而增大 B．函数图象不经过第四象限 C．不等式的解集为 D．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为2 6．如图是一次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 7．已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③，是直线上不重合的两点，则；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．一次函数，当时，________，这条直线与x轴的交点的坐标是________，因此，方程的解是________． 9．已知直线与直线相交于x轴上一点,则________． 10．写出一个以如图所示的直线的交点坐标为解的二元一次方程组：______． 11．如图，一次函数的图象经过点，当时，的取值范围是_____． 12．如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是______． 13．直线：，：的图象如图所示，当动点在，与x轴所围成的封闭区域内部（不包括边界）时，m的取值范围为______． 14．已知一次函数的图象如图所示，利用图象回答下列问题： （1）关于的方程的解为______； （2）关于的方程的解为______； （3）关于的方程的解为______． 三、解答题 15．已知直线与直线，且直线与轴交于点． (1)若与交于点，求和的值及关于的方程组的解． (2)若，求的值及关于的方程组的解的组数． (3)若与重合，求和的值并写出关于的方程组的任意一组解． 16．一次函数图像经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求的值． (3)将的图像向下平移3个单位长度得到的图像，求的解析式． (4)若的图像与y轴交于点C，求的面积. 17．如图1，直线经过两点，且与直线交于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)如图2，已知点，过点作直线的平行线交直线于点． ①求直线的表达式； ②判断是什么特殊的三角形？（直接写出结果，不必说明理由） 18．如图，一次函数与相交于点，且与轴相交于点，交轴于点． (1)求k，b的值； (2)求点P的坐标； (3)若是垂直于x轴的直线交于点M，交点于点N，且的长度等于3，求a的值． 19．如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． (1)求点的坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)求的面积； (4)通过图象直接写出直线自变量的取值范围； (5)在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标． 20．数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题，他们确定以函数为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系． 请根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 0 1 2 3 … 其中，表格中的值为 ． ②描点，连线： 根据平面直角坐标系中描出的对应值的坐标点，请你依次连接画出该函数的图象． (2)观察函数|的图象，回答下列问题： ①当 时，函数有最小值，最小值为 ； ②当 时（填自变量x的取值范围），随的增大而增大． (3)已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是 ． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象求出不等式的解集是解题的关键．观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象得，当时，，即， ∴关于的不等式的解集为． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．点是两个函数图象的交点，同时满足函数解析式，即同时是函数解析式以及方程组的公共解，则关于、的二元一次方程组解即可求出． 【详解】解：一次函数和的交点为． 它们关于轴对称的一次函数和的交点也关于轴对称，为， 关于，的方程组的解为， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了一次函数的图象，数形结合是解题的关键；观察函数图象即可完成． 【详解】解：观察函数图象知，当时，函数的图象在第三象限； 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 先将代入函数得出的值，从而得出，再利用待定系数法得出的值，当时，由题意得，从而得出，结合题意即可得出答案． 【详解】解：由题意，点在函数的图象上， ∴， ∴ ， 将代入，得， ∴， ∴一次函数的解析式为， 当时，由题意得：， 解得：， ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴， ∴的取值范围是， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数与不等式的关系，一次函数的性质，三角形面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先用待定系数法求一次函数解析式，再用一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，三角形面积公式，即可选出正确选项． 【详解】解： 由表格知，当时，，即；当时，，代入得，解得， 故函数解析式为； A、，函数值随的增大而减小，错误； B、函数图象经过点和，连接这两点必经过第四象限（如时），错误； C、解不等式，得，即，正确； D、图象与坐标轴交于和，围成三角形面积为，错误， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查一次函数图象的性质，根据函数的性质进行判断即可．熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：A、由图知，y随x的增大而增大，因此，本选项正确，不符合题意； B、由图知过点 ∴，本选项正确，不符合题意； C、由图知，与x轴的交点的纵坐标小于1， ∴当时，，本选项错误，符合题意； D、由图知，过点，时，，本选项正确，不符合题意； 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式的关系．由图象得出，，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵的图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴，故①正确； 将分别代入和得：，， 观察图象可得点在点的上方， ∴，故②正确； ∵，是直线上不重合的两点， ∴由图象可得：当时，，则，当时，，则，故③正确； 由图象可得，与交点的横坐标为， ∴当时，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 8． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．代入求出的值，进而可得出这条直线与轴的交点坐标，于是得到方程的解． 【详解】解：当时，， 解得：， 这条直线与轴的交点是． 方程的解是， 故答案为：；，． 9．3 【分析】此题主要考查了两条直线的交点问题,两条直线与x轴的交点坐标,就是由这两条直线相对应的一次函数表达的． 首先求出一次函数与x轴交点,再把此点的坐标代入,即可得到k的值． 【详解】解：∵直线与x轴相交, ∴, ∴, ∴与x轴的交点坐标为, 把代入中：, ∴． 故答案为：3． 10．（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程组解集与一次函数交点的问题，由图知：直线、相交于，那么以两个函数的解析式为方程组的二元一次方程组的解即为两个函数图象的交点坐标，分别根据待定系数法求解出两个函数表达式，并联立得到方程组． 【详解】解：设直线的解析式是，已知直线经过， 根据题意可得，由图可知，， 满足这个条件的二元一次方程解为（答案不唯一）， 符合条件的函数表达式为（答案不唯一）， 设直线的函数解析式是，已知直线经过，， 代入解析式得， 解得， 直线的函数解析式是， 所求的方程组是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 11． 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．先求出一次函数的解析式，再根据数形结合思想求解． 【详解】解：点， 直线：， 一次函数的图象经过点， 由图象得：的解集为：， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的三角形的面积，求直线与坐标轴的交点，求得直线解析式是解题的关键． 先根据交点坐标求得，进而求得点的坐标，的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可 【详解】解：两条直线和相交于点， 解得 ， 令，解得 由，令，解得， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，分别求出直线：，：与x轴的交点坐标，再结合点在，与x轴所围成的封闭区域内部（不包括边界）的条件，列出关于m的不等式组，进而求解m的取值范围． 【详解】解：对于直线：，当时，，解得， 直线：与x轴的交点坐标为， 对于直线：，当时，，解得， 直线：与x轴的交点坐标为， 动点在，与x轴所围成的封闭区域内部（不包括边界）， 且， 解得 故答案为： 14． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图知，一次函数过点， 则（1）关于的方程的解为； （2）关于的方程的解为； （3）关于的方程的解为． 故答案为：；；． 15．(1) (2)，解的组数为0 (3) 【分析】（1）直线与轴交于点，可求出直线的解析式；将两直线的交点坐标分别代入两直线解析式中可求出，，； （2）两直线平行，比例系数相等，方程组无解； （3）两直线重合，和都相等，可根据解析式写出任意一组解. 【详解】解：∵直线与轴交于点， ∴直线的表达式为，即． （1）∵与交于点， ∴将点代入到中，得， 解得． 将点代入到中，得， 解得， ∴， 所以关于的方程组为此方程组的解为， （2）∵， ∴， 关于的方程组无解， ∴解的组数为0． （3）∵与重合， ∴． 示例：关于的方程组的一组解为 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与方程组的关系等知识，解题的关键是理解题意. 16．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，一次函数的平移，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）将代入一次函数解析式，求出的值即可； （3）根据平移的性质，求出的解析式即可； （4）先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为：，把和代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：把代入得：； （3）解：∵将的图像向下平移3个单位长度得到的图像， ∴的解析式为； （4）解：把代入得：， ∴点C的坐标为， 把代入得：， ∴的函数图象与y轴的交点坐标为， ∴． 17．(1)， (2)①；②等腰直角三角形 【分析】此题考查一次函数的应用， （1）利用待定系数法求出函数解析式，解两直线解析式组成的方程组即可求出点的坐标； （2）①利用平行直线的性质设直线的解析式为，利用待定系数法求出函数解析式； ②利用点P，C的坐标得到轴，，，由此得到是等腰直角三角形． 【详解】（1）设直线l的解析式为， 将和代入，得： ， 解得：， ∴直线l解析式为； 解方程组：， 得：， ∴； （2）解：①∵过点作直线的平行线交直线于点． ∴设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； ②∵， ∴轴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 18．(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次方程组的关系，掌握的长度等于，纵坐标之差的绝对值是解决问题的关键． （1）由图象可知一次函数的图象经过，，由待定系数法可求得和的值； （2）解方程组可得点的坐标； （3）由于是垂直于轴的直线交于点，交点于点，故设，，的长度等于，纵坐标之差的绝对值，解方程即可求得的值． 【详解】（1）解：由图象可知， 一次函数的图象经过，， 把，点的坐标代入得：， 解得， 即，； （2）解：由（1）得，一次函数的解析式为， 解方程组， 解得： 点的坐标为； （3）解：是垂直于轴的直线交于点，交点于点， ，， 的长度等于3， ， 即， 解得：或． 19．(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，二元一次方程组，以及三角形面积的计算等有关知识，难度中等．掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键． （）直线与轴交点的纵坐标为，令，解方程即可得； （）设直线的解析式为，将已知点和代入，得到关于的方程组，解方程组即可； （）联立和的解析式，求出交点 ,由，则，以为底，到轴的距离(即纵坐标绝对值 )为高，根据三角形面积公式求解即可； （）通过图象写出直线自变量的取值范围，即当时自变量的取值范围，观察图象即可得； （）两三角形面积相等且共底边，故到 轴的距离与相等(为)，在上， 代入，求解即可； 【详解】（1）∵一次函数与轴交于点， 令，得， 解得：， ∴点的坐标是； （2）设直线的解析式为， ∵直线经过点，， 由图象知，，， ∴把，，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）∵直线，交于点， 解方程组， 得， ∴点的坐标是， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ； （4）∵直线，交于点， 点的坐标是， 当时，由图可知时， 即：直线自变量； （5）∵点在轴的下方， ∴由题意知直线上的点在轴的上方， ∴点的纵坐标是正数， ∵和的面积相等，， ， ∵， ∴点的纵坐标是：， 把代入得： ， 解得：， ∴点的坐标是； 20．(1)①；②见解析 (2)①，；② (3) 【分析】本题属于“新函数”类型的题目，掌握函数的定义、函数图象的画法、函数的性质以及利用数形结合思想解决不等式问题、交点问题是解决此类问题的关键． （1）根据解析式即可求出的值，描点、连线即可画出图象； （2）观察函数图象，即可得出相应结论； （3）画出直线的图象，确定交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，， 故的值为， 故答案为：； ②函数图象如图所示： （2）解：由图象可知： ①当时，函数有最小值，最小值为； 故答案为：，； ②当时，随的增大而增大， 故答案为：； （3）解：在同一坐标系中画出直线的图象，如图所示： 交点坐标为和， 故当时，， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $