第二十三章 一次函数 章末小结 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十三章 一次函数 章末小结 考点1一次函数的图象与性质 1．下面是物理课上测量铁块A的体积实验，将铁块匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的大致图象是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 2．对于一次函数y＝2x－1，下列结论不正确的是( ) A．它的图象与y轴交于点(0，－1) B．y随x的增大而增大 C．当x＞时，y＞0 D．它的图象经过第一、二、三象限 3．已知A，B两地相距4 800 m，甲从A地出发步行到B地，20 min后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x min，甲、乙两人离A地的距离分别为y1 m、y2 m，y1，y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)直接写出y1，y2与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？ 考点2　确定一次函数的解析式 4．一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(2，3)，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数解析式是( ) A．y＝x＋3 B．y＝2x－3 C．y＝3x－3 D．y＝4x－4 5．已知M(2，m)，A(1，1)，B(4，0)三点在同一条直线上，则： (1)直线AB的函数解析式为 ； (2)m＝ ． 6．如图，某项研究表明，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距. 如表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d/cm 20 21 22 23 身高h/cm 160 169 178 187 (1)你能确定身高h与指距d之间的函数关系式吗？ (2)若某人的身高为196 cm，一般情况下他的指距应是多少？ (3)按照这个数据，你觉得指距能达到50 cm吗？为什么？说出你的理由． 考点3　一次函数与方程(组)、不等式 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与y＝mx＋n(a＜m＜0)的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是( ) A．在一次函数y＝mx＋n的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程mx＋n＝0的解为x＝2 D．当ax＋b＞mx＋n时，x＞－3 8．如图，已知函数y1＝3x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则不等式3x＋b＞ax－3的解集为 . 9．如图，一次函数y1＝x＋1的图象与正比例函数y2＝kx(k为常数，且k≠0)的图象都经过A(m，2). (1)求正比例函数的解析式； (2)利用函数图象直接写出y1＞y2时对应的x的取值范围． 考点4　一次函数的实际应用 10．如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度y(cm)和注水时间t(s)之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为( ) 　　 A．5 s B．6 s C．15 s D．16 s 11．某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完．图中的线段AB，OC分别表示该工作室每天的成本y1(单位：元)，收入y2(单位：元)与销售量x(单位：个)之间的函数关系．若该工作室某一天既不盈利也不亏损，则这天生产工艺品的个数是 ． 12．甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是40元/kg且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如下表所示(a为常数).设顾客在活动中一次购买x kg枇杷时，在甲、乙两家商店的费用分别为y甲元，y乙元. 一次性购买质量x/kg 优惠方案 x≤a 不优惠 x＞a a kg以内的无优惠，超过a kg的部分打七五折 (1)写出y甲，y乙与x的函数关系式； (2)在此次活动中，小丽在两家商店分别购买10 kg的枇杷，结果费用相同，求a的值； (3)在(2)的条件下，请你帮助顾客设计出最合算的购买方案． 考点5　分类讨论思想与一次函数的运用 13．已知四条直线y＝kx－3，y＝－1，y＝3和x＝1 所围成的四边形的面积是12，则k的值为( ) A．1或－2 B．2或－1 C．3 D．4 14．如图，已知直线l1经过点(5，6)，交x轴于点A(－3，0)，直线l2：y＝3x交直线l1于点B. (1)求直线l1的函数解析式和点B的坐标； (2)求△AOB的面积； (3)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx＋b与x轴，y轴分别交于点A(－8，0)，点B，与直线l2：y＝－x＋1交于点C(m，3)，直线l2交y轴于点D. (1)求m的值及直线l1的函数解析式； (2)求四边形AODC的面积； (3)我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，现将l2沿y轴向下平移n(n是整数)个单位长度，则其与直线l1，y轴围成的三角形(不含边界)中恰好有4个整点，请直接写出n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 章末小结 考点1　一次函数的图象与性质 1．下面是物理课上测量铁块A的体积实验，将铁块匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的大致图象是(B) 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 2．对于一次函数y＝2x－1，下列结论不正确的是(D) A．它的图象与y轴交于点(0，－1) B．y随x的增大而增大 C．当x＞时，y＞0 D．它的图象经过第一、二、三象限 3．已知A，B两地相距4 800 m，甲从A地出发步行到B地，20 min后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x min，甲、乙两人离A地的距离分别为y1 m、y2 m，y1，y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)直接写出y1，y2与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？ (1)设y1＝k1x，由题意，代入点(60，4 800)， 得60k1＝4 800，解得k1＝80，∴y1＝80x. 设 y2＝k2x＋b，由题意，代入点(20，4 800)，(60，0)， 得解得 ∴y2＝－120x＋7 200，即y1＝80x(0≤x≤60)， y2＝－120x＋7 200(20≤x≤60). (2)由题意，可知y1＝y2，即80x＝－120x＋7 200， 解得x＝36，－120×36＋7 200＝2 880(m). 答：甲出发后36 min两人相遇，相遇时乙离A地2 880 m．　 考点2　确定一次函数的解析式 4．一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(2，3)，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数解析式是(C) A．y＝x＋3 B．y＝2x－3 C．y＝3x－3 D．y＝4x－4 5．已知M(2，m)，A(1，1)，B(4，0)三点在同一条直线上，则： (1)直线AB的函数解析式为y＝－x＋； (2)m＝． 6．如图，某项研究表明，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距. 如表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d/cm 20 21 22 23 身高h/cm 160 169 178 187 (1)你能确定身高h与指距d之间的函数关系式吗？ (2)若某人的身高为196 cm，一般情况下他的指距应是多少？ (3)按照这个数据，你觉得指距能达到50 cm吗？为什么？说出你的理由． (1)设h与d之间的函数关系式为h＝kd＋b. 把d＝20，h＝160，d＝21，h＝169， 分别代入，得解得k＝9，b＝－20， 即h＝9d－20，经检验符合题意． (2)当h＝196时，196＝9d－20，解得d＝24 cm. (3)不能．理由如下： 当d＝50时，h＝9×50－20＝430，不符合实际情况；所以不可能． 考点3　一次函数与方程(组)、不等式 7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与y＝mx＋n(a＜m＜0)的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是(D) A．在一次函数y＝mx＋n的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程mx＋n＝0的解为x＝2 D．当ax＋b＞mx＋n时，x＞－3 8．如图，已知函数y1＝3x＋b和y2＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则不等式3x＋b＞ax－3的解集为x＞－2. 9．如图，一次函数y1＝x＋1的图象与正比例函数y2＝kx(k为常数，且k≠0)的图象都经过A(m，2). (1)求正比例函数的解析式； (2)利用函数图象直接写出y1＞y2时对应的x的取值范围． (1)将点A的坐标代入y1＝x＋1， 得m＋1＝2，解得m＝1，故点A的坐标为(1，2)， 将点A的坐标代入y2＝kx，得k＝2， 则正比例函数的解析式为y2＝2x. (2)结合函数图象，可得当y1＞y2时，x＜1. 考点4　一次函数的实际应用 10．如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度y(cm)和注水时间t(s)之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为(C) 　　 A．5 s B．6 s C．15 s D．16 s 11．某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完．图中的线段AB，OC分别表示该工作室每天的成本y1(单位：元)，收入y2(单位：元)与销售量x(单位：个)之间的函数关系．若该工作室某一天既不盈利也不亏损，则这天生产工艺品的个数是30． 12．甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是40元/kg且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如下表所示(a为常数).设顾客在活动中一次购买x kg枇杷时，在甲、乙两家商店的费用分别为y甲元，y乙元. 一次性购买质量x/kg 优惠方案 x≤a 不优惠 x＞a a kg以内的无优惠，超过a kg的部分打七五折 (1)写出y甲，y乙与x的函数关系式； (2)在此次活动中，小丽在两家商店分别购买10 kg的枇杷，结果费用相同，求a的值； (3)在(2)的条件下，请你帮助顾客设计出最合算的购买方案． (1)y甲＝40×0.9x＝36x； 当x≤a时，y乙＝40x，当x＞a时，y乙＝40a＋0.75×40(x－a)＝30x＋10a，∴y乙＝ (2)小丽在甲商店购买10 kg的枇杷费用为36×10＝360(元)， 小丽在乙商店购买10 kg的枇杷费用为y乙＝ ∵小丽在两家商店分别购买10 kg的枇杷，结果费用相同， ∴300＋10a＝360，解得a＝6； (3)由(2)，得当x＜10时，到甲商店购买更合算； 当x＝10时，在甲、乙两家商店购买费用相同； 当x＞10时，在乙商店购买更合算． 考点5　分类讨论思想与一次函数的运用 13．已知四条直线y＝kx－3，y＝－1，y＝3和x＝1 所围成的四边形的面积是12，则k的值为(A) A．1或－2 B．2或－1 C．3 D．4 14．(天津和平区校级月考)如图，已知直线l1经过点(5，6)，交x轴于点A(－3，0)，直线l2：y＝3x交直线l1于点B. (1)求直线l1的函数解析式和点B的坐标； (2)求△AOB的面积； (3)在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． (1)设直线l1的函数解析式为y1＝kx＋b， 把点A(－3，0)，点(5，6)代入，得解得 ∴l1的函数解析式为y1＝x＋. 联立得 ∴点B的坐标为(1，3). (2)S△AOB＝×3×3＝. (3)存在． ①当∠ACB＝90°时，BC⊥x轴， 此时点C的横坐标与点B的横坐标相等， ∴点C的坐标为(1，0). ②当∠ABC＝90°时，如图作BD⊥x轴于点D.由题意，得BD＝3，AD＝4， ∴AB＝＝5. ∵AC2－AB2＝CD2＋BD2， ∴(4＋CD)2－25＝CD2＋9， 解得CD＝，∴OC＝OD＋CD＝1＋＝， ∴点C的坐标为(，0). 综上，点C的坐标为(1，0)或(，0). 15．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx＋b与x轴，y轴分别交于点A(－8，0)，点B，与直线l2：y＝－x＋1交于点C(m，3)，直线l2交y轴于点D. (1)求m的值及直线l1的函数解析式； (2)求四边形AODC的面积； (3)我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，现将l2沿y轴向下平移n(n是整数)个单位长度，则其与直线l1，y轴围成的三角形(不含边界)中恰好有4个整点，请直接写出n的值． (1)将C(m，3)代入直线l2：y＝－x＋1， 得－m＋1＝3，解得m＝－2， ∴点C的坐标为(－2，3). 把点A(－8，0)，C(－2，3)代入直线l1：y＝kx＋b， 得解得 ∴直线l1的函数解析式为y＝x＋4； (2)如图所示，过点C作CE⊥x轴于点E. ∵点A的坐标为(－8，0)，点C的坐标为(－2，3)， ∴OA＝8，OE＝2，CE＝3，则AE＝OA－OE＝8－2＝6. ∵直线l2：y＝－x＋1交y轴于点D， 令x＝0，则y＝1，∴点D的坐标为(0，1)， 则OD＝1， ∴S四边形AODC＝S△ACE＋S梯形ODCE ＝AE·CE＋ ＝×6×3＋ ＝13， ∴四边形AODC的面积为13. (3)2 学科网（北京）股份有限公司 $