与球有关的切接问题教学设计-2026届高三数学一轮复习

教材章节

必修二第八章第三节

授课人

家莜

课型

复习课

年级

高三

课题

8.3.2与球有关的切接问题

教学目标

1.通过复习球的相关知识，掌握长方体、正方体、圆柱、圆锥、圆台的外接球求解问题；

2.通过补形法将几何体还原到特殊的几何体中，求解外接球问题；

3.通过外接球的求解，培养学生的空间想象能力、化归与转化能力和计算能力.

教学重点

定义法、补形法求解外接球问题

教学难点

补形法将几何体还原到特殊的几何体求外接球

教学设备

PPT、导学案

教学环节

教师活动

学生活动

【教学过程】

复习引入

1、球的表面积公式：             球的体积公式：          

2、球的性质：

①.用一平面去截球，截面为     ；用一平面去截球面，截线为    .

大圆：截面过球心，半径等于球半径，小圆：截面不过球心

②.球心和截面圆心的连线垂直于截面

③.球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，则

任务一：探究常见几何体外接球求法

1、棱长分别为a、b、c的长方体外接球R?

2、底面半径为r，高为h的圆柱外接球半径R？

3、底面半径为r，高为h的圆锥外接球半径R？

4、探究：上底面半径为，下底面半径为,高为h的圆台外接球半径R的求法？

设计意图：掌握常见几何体外接球求法，圆台外接球求法是难点，教师板展

学生回顾球的性质

自主探究常见几何体的外接球

任务二：完成下面练习

例1、《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若四棱锥为阳马，垂直于平面，四棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_______．

分析：以为棱把补形成一个长方体，是长方体的对角线，是长方体外接球的直径，也是外接球的直径，由此计算出后可得面积．

解析：是阳马，以为棱补形成一个长方体，如图，则是长方体的对角线，

而是该长方体外接球的直径，也是外接球的直径，

由已知，

球的表面积为．

例2、已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝，则球O的体积为________．

解析　设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，连接O1O，如图，易得O1O⊥平面ABC，

学生自主完成练习，核对答案，讨论解题方法

∵AB＝AC＝1，AA1＝2，

∠BAC＝，

∴2r＝＝＝2，

即O1A＝1，O1O＝AA1＝，

∴OA＝＝＝2，即直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球半径R＝2，

∴V球＝π×23＝.

例3、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_______．

解析：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，

记为O，PO=AO=R，，=4-R，

在Rt△中，，

由勾股定理得，

∴球的表面积，

例4、在正四棱台中，，，棱台高为1，其外接球的表面积为_______．（选做）

设计意图：四个例题中的几何体通过补形，分别能放在长方体、圆柱、

例1、例2、例3口展配合PPT，例4板展，并精讲