山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高一下学期期中测试数学试卷

2025级高一（下）期中测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，不共线，且则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知过球面上三点A， B， C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量、满足，，且与的夹角为．设为实数，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（ ） A. 当时，截面为五边形 B. 当时，截面只能是六边形 C. 当时，截面的面积最大 D. 当时，截面只能是五边形 8. 在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（ ） A. 5 B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 在三角形中，，，若三角形有两解，则c的可能取值为（ ） A. B. 1.1 C. D. 1.01 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若复数z满足，则 C. 若，为实数，则的最小值为1 D. 若复数，则z是方程的一个根 11. 在长方体中，，，，动点在平面内且满足，则（ ） A. 无论，取何值，三棱锥的体积为定值10 B. 当时，的最小值为 C. 当时，直线与直线为异面直线 D. 当时，平面 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知单位向量，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为__________. 13. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________ ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________ ． 14. 在中，三个内角对边分别为的角平分线交于点，记内切圆半径为，外接圆半径为，则的取值范围为_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 正四棱锥中，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点. （1）求四棱锥的表面积 （2）求四面体的体积. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 17. 如图，直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点． （1）证明：//平面； （2）设，求异面直线与所成角的大小． 18. 如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ． （1）求角； （2）若BC的长为，求的取值范围． （3）若D为线段BC延长线上一点，且，，求． 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为. （1）在斜坐标系中，，求； （2）在斜坐标系中，，且与的夹角. ①求； ②分别在射线上，为线段上两点，且，，求的最小值及此时的大小. 20. 设的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则________． 21. 四棱锥的底面ABCD为平行四边形，过顶点A的平面与棱PB，PC，PD分别交于点M，N，T．若N为棱PC的中点，则当四棱锥的体积与四棱锥的体积之比最小时，________． 2025级高一（下）期中测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）见解析；（2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）①②最小值为， 【20题答案】 【答案】##0.75 【21题答案】 【答案】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $