精品解析：山东青岛第九中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题

青岛九中2025~2026学年第二学期期中高一质量检测（数学）试题 参考公式：台体体积公式，（S，S'分别为上下底面积，h为高） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算及虚部的概念可得结果. 【详解】由，可得， 所以的虚部为1. 故选：B. 2. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】向量，且， 所以，，得，则. 3. 给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面位置关系和性质逐项判断即可得出结论. 【详解】对于①，若平面平面，直线，直线，则直线与直线无公共点， 故直线与直线平行或异面，①错； 对于②，若直线直线，直线平面，直线平面，则平面、平行或相交，②错； 对于③，若平面平面，直线，则，③对； 对于④，若直线平面，平面平面，则或，④错. 故选：A. 4. 已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用圆台体积公式求出高，再根据外接球球心在上下底面圆心连线上，由球心到两底面圆周的距离相等列方程求出外接球半径，代入球的体积公式计算结果. 【详解】设该圆台的上､下底面的圆心分别为，高为，则圆台的体积为 ，求解可得， 设该圆台外接球的球心为，则在上，设，所以， 设该圆台外接球的半径为，所以，求解可得， 所以该圆台外接球的体积为. 5. 如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 直线与NM是异面直线 B. C. 平面 D. 直线CP，，AM相交于一点 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由异面直线判定定理可判断，对于B，由平行传递性可判断，对于C，由CM与不平行，可判断，对于D，连接，由，，可判断. 【详解】连接， 点，，均在平面上，点不在平面上，所以与是异面直线，A正确． 连接，因为，所以，B正确． 平面，平面平面， 因为CM与不平行，所以CM不平行于平面，C错误． 连接，由，知共面，且平面平面， 如图1，因为，所以. 如图2，因为，所以，则两点重合，所以，，相交于一点，D正确． 故选：C 6. 在中，，且的面积为，则外接圆的半径为（　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先由三角形的面积公式可求出AC的长，再由余弦定理求出BC的长，然后利用正弦定理可求出的外接圆半径. 【详解】由题意，，解得， 由余弦定理得：，故， 设外接圆的半径为R， 由正弦定理得：，故R=2. 故答案为C. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了计算能力，属于基础题. 7. 柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（ ） A. 27 B. C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】分别取，的中点，，连接，，利用线面平行证明平面平面，从而可得即为点的轨迹，即可求解. 【详解】分别取，的中点，，连接，. 因为，， 所以，平面，平面. 所以平面.又，平面，平面. 所以平面，平面， 所以平面平面. 所以当点在线段上运动时，有平面， 所以点的轨迹长为.故B正确. 故选：B. 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果. 【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行， 所以六边形为边长为的正六边形，， 所以， 所以， 设，则， 所以， 因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界）， 所以，所以， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（ ） A. ，间的距离为 B. 为纯虚数 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两点距离公式判断A，根据复数对应点坐标写出复数，再由乘除运算及复数的性质判断B、C，由的几何表示，利用的几何意义求最值判断D. 【详解】由图知，则，A对， 由题意，，则为纯虚数，B对， ，对应点坐标为不在第一象限，C错， 令，，则，即圆心为原点且半径为， 而表示点到圆上的点的距离， 由点到圆心的距离为， 所以点到圆上的点的距离最大值为，即，D对. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（ ） A. 的外接圆半径为1 B. C. D. 可能为钝角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正弦定理有结合面积公式计算判断A；由正弦定理结合判断B；由面积公式及基本不等式判断C；利用余弦定理及正弦定理判断D. 【详解】A：设的外接圆半径为， 因为的面积为， 所以，故A正确； B：由，即，B选项正确； C：由，则，当时取， 所以，当且仅当且时取等号，C选项正确； D：若为钝角三角形，设为钝角，，即得， 由C选项知，所以，即， 又因为，所以，所以与矛盾，假设不成立， 同理B，C也不可能为钝角，D选项错误. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积随着点的运动而变化 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 直线平面 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A选项，连接，由平面，即直线上任意点到平面的距离相等； 对于B选项，为正三角形，则当且仅当在中点时，，即可判断； 对于C选项，证明平面即可， 对于D选项，当为中点时，外接球半径最小，计算即可. 【详解】对于A选项，因为，所以平面，所以，为定值，即A错误； 对于B选项，因为为正三角形，与所成角的范围为，即B正确； 对于C选项，易知，，，，，则平面平面，可知平面，平面，即C正确； 对于D选项，易知当为中点时，外接球半径最小， 此时设的中心为，的中心为，的中点为， 则，，，则易知， 所以最小球即为以为球心，半径，表面积，即D错误． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知非零向量，满足，且在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量垂直性质得到与的关系，再由投影向量得出与的关系，进而求出与的关系，最后根据向量夹角公式求出夹角. 【详解】因为，所以，即， 因为在方向上的投影向量为，所以，联立， 可得，所以， 又因为，所以， 所以，的夹角为. 13. 如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG，找到异面直线所成的角或其补角即，然后找线面位置关系，求相关线段长，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG， 则，且，，则就是异面直线与所成的角或其补角． 易知平面，所以平面，所以. 因为，，所以， 所以由勾股定理得， 又，， 所以在△中，由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． 14. 如图，在中，∠BAC＝，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是______ 【答案】## 【解析】 【分析】设，，先由的面积求出，，再根据平面向量的线性运算求出，进而得到，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由，可得， 所以 ． 由，可得． 因为P为CD上一点，所以设，， 则， 因为，所以，解得，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． （1）求证平面AEF； （2）若，求多面体的体积 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面. （2）求出四棱锥及三棱柱的体积，再利用割补法求出多面体的体积. 【小问1详解】 取AE的中点O，连接OF，OM，由O，M分别为AE，AC的中点， 得，，而，且，则， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 在棱柱中，取BC中点G，连接AG，则AG为四棱锥的高， 而 ，四棱锥的体积， 由，得 ，三棱柱的体积， 所以多面体的体积为． 16. 如图，四边形中，，，，且为锐角． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，分析可知BD是四边形外接圆的直径，再利用正弦定理可求解； （2）由面积公式即可得解. 【小问1详解】 由已知， ∵是锐角，∴． 由余弦定理可得，则． ∵，∴BD是四边形外接圆的直径， ∴BD是外接圆的直径，利用正弦定理知 【小问2详解】 由，，，， 则,, 又，则， 因此， 故的面积为． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． （1）求证：点是的中点； （2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）点为棱BC的中点时，平面平面， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得，再根据四边形是平行四边形得点是的中点，从而得结论； （2）若平面平面，根据面面平行的性质定理，得线面平面，再由线面平行的性质定理得，从而可确定点在棱上的位置. 【小问1详解】 因为平面，平面平面， 又平面，所以， 因为四边形是平行四边形， 所以点是的中点，则点是的中点； 【小问2详解】 当点为棱BC的中点时，平面平面，理由如下： 若平面平面，由于平面， 所以平面， 又平面平面， 则，又点是的中点，所以点是的中点， 故点为棱BC的中点时，平面平面，则. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出即可得解. （2）（i）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度. （ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即， 由余弦定理得，而，所以. 【小问2详解】 （i）已知的角平分线交于点D，则， 又在中，，即， 即，解得. （ii）因为为的中线， 所以， 又，则， 因为，为的角平分线， 在中，因为，得到①， 在中，因为，得到②， 又，由①②得到， 所以， 因为 ， 所以， 即的余弦值为. 19. 人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量，之间的相似度的一种定义为． （1）菱形中，，点在直线上．若，求； （2）在信息处理的过程中，有时为了增加，的相似度，会选取合适的正实数，调整为后再纳入模型计算． （i）对于任意不共线的向量，证明：； （ii）设，夹角为锐角．若，且，讨论和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）（i）见以下证明；（ii）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）建立直角坐标系，分别表示出各点坐标，进而表示出向量坐标，利用进行求解即可； （2）（i）先表示出，通过换元法结合基本不等式进行证明； （ii）由（i）先表示出，利用作差法比较和的大小，通过换元以及为锐角的条件，建立关系式， 分类讨论比较出和的大小关系. 【小问1详解】 解：（1）如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 不妨设菱形边长为，则，，所以. 因为点在直线上，当时，，则， 所以，，， 因此，. 【小问2详解】 （i）由可得，， ，， 所以， 因此，，， 设，，，， 所以，， 要证， 即证，， 只需证. 因为，为不共线的向量，则，所以， 即，因此成立. （ii）由（i）知，所以. 由可得，则，代入上式可得. 因为，夹角为，所以，，， 代入化简，令， 由，，，则，所以. 因为， 化简得. 由题意知夹角，则，所以，，， 当，即时，，所以； 当，即时，，所以； 当，即时，，所以. 综上所述：当时，； 当时，； 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛九中2025~2026学年第二学期期中高一质量检测（数学）试题 参考公式：台体体积公式，（S，S'分别为上下底面积，h为高） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. i D. 2. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 直线与NM是异面直线 B. C. 平面 D. 直线CP，，AM相交于一点 6. 在中，，且的面积为，则外接圆的半径为（　　） A. B. C. 2 D. 4 7. 柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（ ） A. 27 B. C. 12 D. 6 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（ ） A. ，间的距离为 B. 为纯虚数 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 若，则 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（ ） A. 的外接圆半径为1 B. C. D. 可能为钝角三角形 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积随着点的运动而变化 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 直线平面 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知非零向量，满足，且在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为_____. 13. 如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 14. 如图，在中，∠BAC＝，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． （1）求证平面AEF； （2）若，求多面体的体积 16. 如图，四边形中，，，，且为锐角． （1）求； （2）求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． （1）求证：点是的中点； （2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 19. 人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量，之间的相似度的一种定义为． （1）菱形中，，点在直线上．若，求； （2）在信息处理的过程中，有时为了增加，的相似度，会选取合适的正实数，调整为后再纳入模型计算． （i）对于任意不共线的向量，证明：； （ii）设，夹角为锐角．若，且，讨论和的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $