精品解析：山东省青岛第十七中学2024-2025学年高一下学期期中阶段性检测数学试卷

青岛十七中2024-2025学年度第二学期高一期中阶段性检测 数学试题 考试时间：120分钟 命题人：赵娟 审核人：李春娟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数z对应的点为，设i是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数对应点写出复数的代数形式，再应用复数的除法化简即可. 【详解】由题设，，故. 故选：D 2. 已知向量满足，，，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据模长与数量积的关系列出得的方程，解方程组即可. 【详解】因，且， 所以，解得. 故选： 3. 的内角所对的边分别为．若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】直接由余弦定理的变形式解出即可. 【详解】在中，由余弦定理可得：， 化简得：，解得：或（舍）. 故选：A. 4. 如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（ ） A. B. C. 16 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则求出，判断的形状，确定，由此求出原四边形的面积. 【详解】在正方形中可得， 由斜二测画法可知，， 且，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 故选：B. 5. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. 16 B. C. D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等， 故. 故选：D 6. 设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，，，，只有直线与相交时，可得，所以A不正确； 对于B中，由，，，则与平行、相交或异面，所以B错误； 对于C中，由，，，则，所以C错误； 对于D中，由，，可得，又因为，所以，所以D正确. 故选：D. 7. 如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线的性质分别设，，结合条件依次表示出，，对应解出，即可求解. 【详解】设，， 则， 而与不共线，∴，解得，∴. 故选：A. 8. 如图，在正三棱柱中，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】利用平移法作出异面直线与所成角，利用余弦定理解三角形即可求得答案. 【详解】 如图所示，不妨取，分别取棱上点， 使得，由，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 在中，由得， 所以故（或其补角）为异面直线与所成角， 因为，所以底面，而底面，所以， 在中，， 所以， 在中，， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列命题正确的有（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B. 若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上 C. 的充要条件是且 D. “若A，B，C，D是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 【答案】BD 【解析】 【分析】根据相等向量的概念判断A，根据共线向量基本定理判断B，结合充要条件的概念利用相等向量、共线向量的概念判断C，根据结合充要条件的概念利用相等向量、平行四边形的概念判断D. 【详解】A选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等， 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误； B选项，因为与共线，且有公共点B，所以A，B，C三点在同一条直线上，所以B正确； C选项，当且方向相反时，即使，也不能得到， 所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件，所以C错误； D选项，A，B，C，D是不共线的点，，即模相等且方向相同， 即四边形对边平行且相等，反之也成立，所以D正确． 故选：BD 10. 如图，正方体的棱长为，且，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. 直线与平面所成角为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取棱中点，利用线面平行的判定推理判断A；利用线面垂直的性质推理判断B；求出EF与平面ABCD所成的线面角判断C；使用等积法求点到平面的距离. 【详解】在正方体中，取棱中点，连接， 因为M，N分别为AC，的中点，则， 因此四边形为平行四边形，则平面， 平面，所以平面，A正确； 因为平面，平面，则，所以，B正确； 显然平面，则是与平面所成的角，又， 有，由于，所以直线MN与平面ABCD所成的角为，C错误； 等边三角形的面积为，设到平面的距离为， 由得，解得 ，D正确. 故选：ABD 11. 已知三个内角的对边分别是，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A由利用正弦定理有即可判断，对于B在锐角中有，即，利用正弦函数的单调性即可判断，对于C由即可判断，对于D利用正弦定理和余弦定理得，即，利用得，由即可求解. 【详解】对于A：由正弦定理有，所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误， 对于B：在锐角中有：，又在为增函数，所以，故B正确； 对于C：由有， 又为的内角，所以，即， 所以为锐角三角形，故C正确； 对于D：由正弦定理有，又由余弦定理有， 即，又，所以， 所以， 因为，所以，即， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 知，，，则在上投影向量是______．（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积、模的坐标运算求解即可. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量， 故答案为： 13. 如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 【答案】90 【解析】 【分析】中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】中，，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理，得， 中，（米）， 故答案为：90. 14. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，由正三角形性质求出圆柱底面圆半径，利用锥体体积公式求出圆柱的高，再利用圆柱及外接球的结构特征求出球半径即可. 【详解】由圆的内接正的边长为3，得圆的半径， ，三棱锥的高即圆柱的高， 由，解得，圆柱的两底面圆是其外接球的两个截面小圆， 由这两个截面小圆平行且全等，得该球球心到截面小圆距离，则球半径， 所以圆柱的外接球的体积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答． 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可. 小问1详解】 因为向量，且， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 16. 已知复数. （1）若是实数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； （3）若，求的值. 【答案】（1）. （2）. （3）或. 【解析】 【分析】（1）先算出表达式，实数虚部是，让虚部对应式子为求. （2）已知形式，按条件列不等式组，分别解不等式，取交集得范围. （3）由模的值列等式，两边平方去掉根号，展开合并得方程，因式分解求解. 【小问1详解】 ， 因为是实数，所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以 解得，即的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以， 化简得， 解得或. 17. 如图，在长方体中，，，点P为的中点．求证： （1）直线平面PAC； （2）平面平面． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）结合三角形中位线性质，利用线面平行的判断推理得证. （2）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判断推理得证. 【小问1详解】 在长方体中，连接，分别是的中点，则， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 在长方体中，平面，平面，则， 在长方体中，，四边形为正方形，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. 18. 在中，角，，所对的边分别是，，，且． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知根据正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式即可求解； （2）由余弦定理结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 因为，所以，则， 又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得， 即， 可得，当且仅当时等号成立，即， 所以， 即周长的最大值为. 19. 如图，已知四面体中，平面，． （1）求证：； （2）若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值； （3）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度． 【答案】（1）证明见解析； （2）10； （3）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到线面垂直，进而证明出线线垂直. （2）根据线线垂直、线面垂直以及面面垂直分析求解即可. （3）将平面与平面沿展开成平面图形，则BD即为所求，从而利用余弦定理求出答案即可. 【小问1详解】 由平面，平面BCD，得， 又，，平面ABC，因此平面， 而平面ABC，所以. 【小问2详解】 由（1）知：，， 且平面，平面ABC，则，且其余各棱均不垂直，得； 由平面，且平面，平面， 得平面平面，平面平面， 同理由平面得：平面平面，且其余各面均不垂直，得； 由平面，平面，且其余各线面均不垂直，得， 所以. 【小问3详解】 将平面与平面沿展开成如图2所示的平面图形，连接BD， 所以彩带的最小长度为图2平面图中的长， . 由（1）知， 在图1中，由平面，平面BCD，得， 又，则，因此在图2中，， 由余弦定理得， 所以彩带最小长度为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 青岛十七中2024-2025学年度第二学期高一期中阶段性检测 数学试题 考试时间：120分钟 命题人：赵娟 审核人：李春娟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数z对应的点为，设i是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2 已知向量满足，，，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 3. 的内角所对的边分别为．若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 4. 如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（ ） A. B. C. 16 D. 8 5. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. 16 B. C. D. 21 6. 设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C 若，，则 D. 若，，，则 7. 如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正三棱柱中，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）下列命题正确的有（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B. 若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上 C. 的充要条件是且 D. “若A，B，C，D是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 10. 如图，正方体的棱长为，且，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B C. 直线与平面所成角 D. 点到平面的距离为 11. 已知三个内角的对边分别是，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 知，，，则在上的投影向量是______．（用坐标表示） 13. 如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 14. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答． 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与夹角是钝角，求实数的取值范围. 16. 已知复数. （1）若是实数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； （3）若，求的值. 17. 如图，在长方体中，，，点P为的中点．求证： （1）直线平面PAC； （2）平面平面． 18. 在中，角，，所对的边分别是，，，且． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 19. 如图，已知四面体中，平面，． （1）求证：； （2）若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值； （3）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$