精品解析：河北保定市2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章至选择性必修第三册第七章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知二项式的展开式共有19项，则（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】A 【解析】 【详解】由二项式的展开式共有19项， 则，故. 2. 某企业为河北农产品设计包装，有两类方式：方式一是使用现成包装模板，共种选择；方式二是自主定制，分两步完成，第一步先从种材质中选种，第二步再从种配色方案中选种．不同的包装选择种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照分类加法计数原理和分类乘法计数原理计算即可. 【详解】方式一：共种选择； 方式二：第一步先从种材质中选种，有种选择， 第二步再从种配色方案中选种，有种选择，共有种选择； 因此方式一和方式二共有种选择. 3. 某非遗工坊推出25款不同的榫卯结构文创盲盒，其中5款为故宫联名隐藏款．某游客一次性购买4个盲盒，则买到的盲盒中至少有1个故宫联名隐藏款的购买种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】一次性买4个盲盒的购买总数为：， 买到的盲盒中没有故宫联名隐藏款的购买总数：， 所以买到的盲盒中至少有1个故宫联名隐藏款的购买种数为. 4. 若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，求得，即可得到答案. 【详解】已知曲线，求导得， 设曲线在点处的切线倾斜角为，其中， 根据直线斜率与倾斜角的关系，有斜率， 因此，由于，得，解得， 因此的最小值为，故B正确. 5. 将8棵相同的小多肉种进4个不同的花盆，要求每个花盆至少种1棵小多肉，则总的种法数为（ ） A. 70 B. 56 C. 35 D. 20 【答案】C 【解析】 【详解】由8棵相同的小多肉，种进4个不同的花盆，每个花盆至少1棵， 相当于把8个相同的元素分成4组，每组至少1个， 需要在8个元素之间的7个空隙中插入3个隔板， 即，所以总的种法数为. 6. 展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出原式第二个因式中项的系数，与第一个因式中的的系数之积，再加上的展开式中常数项与的积，即为所求的常数项. 【详解】由题意，， 又的通项公式为， 令，解得，所以， 令，解得，所以， 所以展开式中的常数项为. 7. 某AI项目组有2名算法工程师（含工程师甲）和6名实习生，共8名成员．现从中随机选取5人组成项目攻坚小组，参与AI大模型优化任务，则在攻坚小组中既有工程师又有实习生的条件下，工程师甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】既有算法工程师又有实习生的安排方法有种不同的方法， 其中工程师甲被选中的有， 所以在攻坚小组中既有工程师又有实习生的条件下，工程师甲被选中的概率为. 8. 某六角星徽章由A，B，C，D，E，F六个平行四边形区域构成，现有3种颜色可供这六个区域进行涂色，要求每个区域只能涂1种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（ ） A. 36 B. 60 C. 66 D. 78 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法原理可得答案. 【详解】若颜色全相同，选颜色共种选法； 涂：每个区域不能是的颜色， 因此每个区域各有种选择，共种.共有种方法. 若用两种不同颜色，选2种颜色种；再分配给三个区域种， 因此共种涂法. 涂，仅夹在两个同色区域之间的那个区域有种选择， 其余两个夹在异色区域之间的区域各只有种选择，共种. 因此共有种方法. 若颜色全不同，用3种颜色，共种涂法； 涂，每个区域夹在两个异色区域之间，仅剩余1种颜色可选，共种. 共有种方法. 将三类相加，总涂色方法为种. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量的分布列如下表所示，其中，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据分布列的性质判断A；结合概率的加法公式及不等式的性质判断BCD. 【详解】由题意知，，，故A正确. ，. 因为，则，，， 所以，，，故B正确，CD错误. 10. 若展开式中所有二项式系数之和为1024，且，则（ ） A. B. C. 能被200整除 D. 除以7所得的余数为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得到，结合换元法得到；结合通项公式判断A；根据赋值法即可判断B；结合求导及赋值法判断C；结合赋值法及二项式定理判断D. 【详解】由题意知，，解得. 于是，， 令，则，代入得. 展开式的通项公式为. 对于A：令，则，所以，故，A正确. 对于B：令，则， 令，则， 所以，B错误. 对于C：对两边求导得，， 令，则， 故能被200整除，C正确. 对于D：令，则. ， 因为均能被7整除，所以只需判断的余数即可. 又，所以. 综上，除以7所得的余数为2，D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. ，存在极值 C. 存在，使得恒成立 D. 若在上存在单调递减区间，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，取的特殊值，结合参数分析的符号，判断是否恒满足，对B，先求的导数，再分析导数的单调性与最值，判断导数是否存在变号零点；对C，将代入表达式化简不等式，转化为判断是否存在实数使得不等式对任意恒成立，分析因式符号判断；对D，将在上存在单调递减区间，转化为在上有解，分离参数后构造新函数求值域，确定的范围. 【详解】由，得 ， 对于A ：对任意实数，指数函数恒成立，因此恒成立， 则 恒成立，A正确； 对于B ：，令，则，时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以在处取最小值： ， 若，则，即恒成立， 因此恒成立，单调递增，不存在极值，B错误； 对于C ：由得， 整理得， 取，不等式变为， 时，，则，所以，成立； 时，，则，所以，成立； 即 不等式对所有恒成立，故存在，使得，C正确； 对于D： 在存在单调递减区间，等价于存在使得， 整理得， 令​，则，时，，单调递减， 时，，单调递增，所以最小值为， 因此要存在满足，只需，解得， 即，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中第______项的二项式系数最大，展开式中含的项的系数为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】借助二项式系数的增减性可得空一；借助二项式的展开式的通项公式计算可得空二. 【详解】的展开式中共有项，其中第项的二项式系数最大； ，其中，且， 则，即展开式中含的项的系数为. 13. 将5名协警分配到3个交通岗亭执勤，每个岗亭至少分配1名协警，每名协警只去1个岗亭，则分配方案共有______种． 【答案】150 【解析】 【分析】先将5名协警分为3组，再将3组全排列分配到3个不同岗亭，结合分类计数原理及分步计数原理计算即可. 【详解】先将5名协警分为3组，则有1，1，3或1，2，2两种分组方法， 对于1，1，3分组：先选3人作为一组，剩下2人各成一组，因为两个1人组是无序的， 所以分组数为：. 对于1，2，2分组：先选1人作为一组，剩下4人分成两个2人组，因为两个2人组是无序的， 所以分组数为：. 将分好的组全排列分配到3个不同岗亭，排列数为. 综上，总方案数为：. 14. 设正整数，其中，或（，，，），记．若且，则满足题意的共有______个． 【答案】792 【解析】 【分析】结合正整数的二进制表示形式，根据已知条件确定的二进制的最多位数，利用分类计数原理计算即可. 【详解】正整数，其中，或，为的二进制表示形式. 表示二进制中1的个数，要求且. 因为，所以的二进制最多有13位（从到）. 要满足，即二进制中恰好有5个1，且，即最高位为1. 当二进制为5位时：最高位固定为1，剩余4位全为1，共个； 当二进制为6位时：最高位固定为1，剩余5位选4个为1，共个； 当二进制为7位时：最高位固定为1，剩余6位选4个为1，共个； 当二进制为8位时：最高位固定为1，剩余7位选4个为1，共个； 当二进制为9位时：最高位固定为1，剩余8位选4个为1，共个； 当二进制为10位时：最高位固定为1，剩余9位选4个为1，共个； 当二进制为11位时：最高位固定为1，剩余10位选4个为1，共个； 当二进制为12位时：最高位固定为1，剩余11位选4个为1，共个； 当二进制为13位时，最高位固定为1，此时4096化为二进制为1000000000000，只有1个1，不满足，排除. 所以满足题意的共有个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记向上的点数大于4的次数为． （1）求的分布列； （2）记，证明服从两点分布，并求的分布列． 【答案】（1）的分布列如下： 0 1 2 0 1 （2）证明过程见解析，的分布列如下：【解析】 【分析】（1）先列出的可能取值，再计算概率，列出分布列； （2）先列出的可能取值，再计算概率，证明服从两点分布，再求出分布列. 【小问1详解】 的可能取值为： ，，， 分布列如下： 0 1 2 【小问2详解】 记，则的可能取值为： ，, , 因为的取值只有和两种可能，所以服从两点分布, 分布列如下： 0 1 16. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域，代入后对求导，再根据导数的正负分别求解，得到的单调递增区间与单调递减区间； （2）对原不等式移项整理分离出参数，将恒成立问题转化为大于等于关于的新函数的最大值问题，对新函数求导分析单调性与最值，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，，则，  令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 在上恒成立，整理不等式得， 又，整理得对恒成立， 只需大于等于的最大值即可， 因为， 因为，因此当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此的最大值为， 的取值范围为. 17. （1）用3个3，5个1，1个8可以组成多少个不同的九位数？ （2）由数字，，，，，，可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的偶数？ （3）甲、乙、丙、丁、戊等8名同学站成一排拍照，其中甲、乙必须相邻，且丁在戊的左边、在丙的右边，其中丁、戊、丙可以不相邻，则共有多少种站法？ 【答案】（1）504种；（2）840个；（3）1680种 【解析】 【分析】（1）利用倍缩法处理相同元素问题即可求解； （2）利用特殊位置和特殊元素优先处理及分类加法计数原理即可求解； （3）利用捆绑法处理相邻问题，再利用倍缩法处理定序问题即可求解. 【详解】（1）用3个3，5个1，1个8可以组成种； （2）当首位为5时，末位为0、2、4、6中一个，其他数字全排：个； 当首位为6时，末位为0、2、4中一个，其他位置全排：个； 综上：可组成没有重复数字的，且比5000000大的偶数 个. （3）甲、乙相邻，其余人全排种，丁、戊、丙全排列种， 所以共有 种. 18. 某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占．设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳．设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳．现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品． （1）求这单花艺作品达到设计标准的概率； （2）若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数表示） （3）求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用全概率公式计算出单花艺作品达到设计标准的概率即可； (2)利用全概率公式计算出单花艺作品未被客户采纳的概率,再利用贝叶斯公式计算该单花艺作品是中式花艺作品的概率； (3)利用全概率公式计算这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率； 【小问1详解】 设事件：这单花艺作品达到设计标准,事件: 抽取一单花艺作品为中式花艺作品， 事件: 抽取一单花艺作品为现代花艺作品，那么 . 【小问2详解】 设事件：单花艺作品未被客户采纳，那么 ， 所以，若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率为 ; 【小问3详解】 设事件：单花艺作品达到标准且被客户采纳,那么 . 19. 设函数． （1）求在上的值域． （2）设关于的方程有两个不相等的根，． （i）证明：． （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，进而可得在上单调递增，在上单调递减，可求值域． （2）（i）令，求导，通过二次求导得的单调性，可求得，设，求导可证，可得，利用的单调性可证结论；（ii）求得曲线在处和在处的切线方程，设，求导可证，结合（1）进而计算可得结论. 【小问1详解】 由，得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以在取得极大值，也是最大值， 又，，，又， 所以在上的值域为． 【小问2详解】 （i）由，得， 令，求导得， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，，， 所以存在唯一的，使得， 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 当时，，当时，， 因为关于的方程有两个不相等的根，， 所以， 设，得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 因为，所以，解得. 可得在上单调递增， 所以， 所以，所以. （ii）因为，所以曲线在处的切线方程为， 因为，所以曲线在处的切线方程为. 由（1）得，所以， 设，则， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 且当时，，， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 当时，，即，所以在上单调递减， 所以，所以， 设直线与两条切线的交点横坐标为，， 由，解得， 由，解得， 所以， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章至选择性必修第三册第七章第2节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知二项式的展开式共有19项，则（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 2. 某企业为河北农产品设计包装，有两类方式：方式一是使用现成包装模板，共种选择；方式二是自主定制，分两步完成，第一步先从种材质中选种，第二步再从种配色方案中选种．不同的包装选择种数为（ ） A. B. C. D. 3. 某非遗工坊推出25款不同的榫卯结构文创盲盒，其中5款为故宫联名隐藏款．某游客一次性购买4个盲盒，则买到的盲盒中至少有1个故宫联名隐藏款的购买种数为（ ） A. B. C. D. 4. 若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 将8棵相同的小多肉种进4个不同的花盆，要求每个花盆至少种1棵小多肉，则总的种法数为（ ） A. 70 B. 56 C. 35 D. 20 6. 展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 7. 某AI项目组有2名算法工程师（含工程师甲）和6名实习生，共8名成员．现从中随机选取5人组成项目攻坚小组，参与AI大模型优化任务，则在攻坚小组中既有工程师又有实习生的条件下，工程师甲被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 某六角星徽章由A，B，C，D，E，F六个平行四边形区域构成，现有3种颜色可供这六个区域进行涂色，要求每个区域只能涂1种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（ ） A. 36 B. 60 C. 66 D. 78 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量的分布列如下表所示，其中，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 10. 若展开式中所有二项式系数之和为1024，且，则（ ） A. B. C. 能被200整除 D. 除以7所得的余数为2 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. ，存在极值 C. 存在，使得恒成立 D. 若在上存在单调递减区间，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中第______项的二项式系数最大，展开式中含的项的系数为______． 13. 将5名协警分配到3个交通岗亭执勤，每个岗亭至少分配1名协警，每名协警只去1个岗亭，则分配方案共有______种． 14. 设正整数，其中，或（，，，），记．若且，则满足题意的共有______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记向上的点数大于4的次数为． （1）求的分布列； （2）记，证明服从两点分布，并求的分布列． 16. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 17. （1）用3个3，5个1，1个8可以组成多少个不同的九位数？ （2）由数字，，，，，，可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的偶数？ （3）甲、乙、丙、丁、戊等8名同学站成一排拍照，其中甲、乙必须相邻，且丁在戊的左边、在丙的右边，其中丁、戊、丙可以不相邻，则共有多少种站法？ 18. 某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占．设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳．设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳．现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品． （1）求这单花艺作品达到设计标准的概率； （2）若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数表示） （3）求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率． 19. 设函数． （1）求在上的值域． （2）设关于的方程有两个不相等的根，． （i）证明：． （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $