精品解析：河北省保定市六校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

六校联盟2025年4月期中联考 高二数学试题 考生注意： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章、第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的最小值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求导可得，即可得到函数的极小值，从而得到结果. 【详解】函数定义域为， ，令可得， 当时，，即函数单调递减， 当时，，即函数单调递增， 所以时，取得极小值，即最小值，且. 故选：A 2. 设随机变量，，则（ ） A. 0.70 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.25 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性得即可计算. 【详解】由题意有， 故选：C. 3. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ） 0 1 2 3 0.12 0.16 A. 0.16 B. 0.09 C. 0.59 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由表可得，所以， 满足，故. 故选：A. 4. 对任意的实数，若，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 16 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C． 5. 如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（ ） A. 48 B. 24 C. 144 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分选三种颜色与选四种颜色讨论，结合排列数代入计算，即可得到结果. 【详解】若选三种颜色，则①③同色且②④同色， 则有种方法； 若选四种颜色，则①③同色或②④同色， 则有种方法； 所以一共有种方法. 故选：D 6. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. 1 B. 6 C. 20 D. 6或20 【答案】B 【解析】 【分析】利用极小值求出，根据组合数公式即可求解. 【详解】由题意有， 由，解得，或. 当时，， 由有或，有. 所以在上单调递减，在单调递增， 所以的极小值点为1满足题意，此时； 当时，， 由有或，有. 所以在单调递减，上单调递增，所以为的极大值点，不满足题意. 故选：B 7. 某校春季运动会需从6名男生和4名女生中选出5人组成志愿者小组，要求小组中至少有2名女生，则不同的选法共有（ ） A. 144种 B. 186种 C. 190种 D. 336种 【答案】B 【解析】 【分析】分只有2名女生入选和有3,4名女生入选3种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理，即可得出答案. 【详解】当只有一名女生入选时，先选2名女生，有种，再选3名男生，有种，则根据分步乘法计数原理可知，有种； 当有3名女生入选时，选3名女生，有种，再选2名男生，有种，则根据分步乘法计数原理可知，有种； 当有4名女生入选时，选4名女生，有种，再选1名男生，有种，则根据分步乘法计数原理可知，有种； 所以从中选出5名同学参加比赛，其中至少有2名女生入选的不同选法种数为. 故选：B 8. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ） A. B. C. 或0 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义得到切线方程，得到，，联立求出或，从而得到切线方程，求得答案. 【详解】设与相切于点， ，故切线斜率， 在点处的切线方程为， 即，故， 设与相切于点， ，则，所以，解得， 在处的切线方程为， 即，故， 所以， 将代入上式得， 整理得，解得或， 当时，切线方程为，此时，所以； 当时，切线方程为，故，，所以； 综上所述：或0. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的求导公式及求导法则判断ABC，根据复合函数的求导公式判断D. 【详解】因为， ， ， ， 所以ACD错误，B正确. 故选：ACD. 10. 1990年9月，美国《Parade》杂志首次公开讨论了源自美国电视节目《Let’s Make a Deal》的蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）：主持人事先在编号为1，2，3的三个外观相同的三扇门后随机选择一个放入豪车，其余两扇门后放入山羊，再将三个门关闭．当游戏参与者在三扇门中选择一个门后，在门打开之前主持人先打开了另外两个门中的一个门，按游戏规定，主持人只打开游戏参与者的选择之外的门后是山羊的门，当两个都是山羊时，他随机选择其中一个打开，并问参与者是否愿意更改选择以便更大概率获得豪车．用表示号门后有豪车，用表示主持人打开号门，已知甲选择了1号门，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该坚持选择1号门 D. 主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该改选3号门 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，全概率公式及贝叶斯公式逐个判断即可. 【详解】A选项，由题意，故A正确， B选项，甲选择1号箱，奖品在3号箱里，主持人打开2号箱的概率为1， 即，故B正确， CD选项，在选择了1号门的前提下，主持人打开2号门有以下几种可能的情况： 豪车在1号门里，主持人打开2号门，故， 豪车在2号门里，主持人打开2号门，故， 豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故， 由全概率公式， 由贝叶斯公式，在2号门打开的条件下，1号门和3号门里有豪车的条件概率为 ， 故选3号门会使获得豪车的概率更大，即错误，正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有唯一零点 B. C. ，使得有三个不等实根 D. ，使得有六个不等实根 【答案】AD 【解析】 【分析】求出函数零点判断A，取特殊值判断B，利用导数研究函数的单调性及极值，作图象数形结合判断CD. 【详解】令 ，解得，故A正确； 当时，，故B错误； 因为，所以当时，， 当时，，所以函数在和上单调递增， 在和上单调递减，且当， 当且时，，当且时，， 当时，，且， 根据单调性及极值，作大致图象， 由图象可知，不存在，使得有三个不等实根，故C错误； 由可知，，，所以函数为偶函数， 只需研究当时，的根的个数即可，由C选项可知当时， 的图象大致如图， 由图象可知，当时，的根的个数为3个， 所以，使得有六个不等实根，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________． 【答案】28 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式可得答案. 【详解】设的展开式的通项为， 令，可得展开式中的系数为. 故答案为：28. 13. 定义在上的函数满足且，则满足的的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，求导，判断函数的单调性，在结合函数的定义域，可求所给不等式的解集. 【详解】设函数，，则. 所以在上单调递增. 又当时，， 所以当时，即. 故答案为： 14. 勒让德三平方和定理（Legendre’s Three-Square Theorem）是数论中关于自然数表示为三个整数平方和的重要定理，其核心内容为：如果一个自然数符合下述条件时，则可以表示为三个整数平方之和，其中，均为非负整数：，．例如：正整数，，设，其中，，均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是______．（用数字作答） 【答案】12 【解析】 【分析】分类讨论三个数的组成后，由排列数公式与计数原理求解即可． 【详解】显然均为不超过5的自然数，下面进行讨论： ①最大数为5的情况：，三个数互不相同，此时共有种情况. ②最大数为4的情况：，三个数互不相同，此时共有种情况. 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组的个数是. 故答案为：12 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的值； （2）求的极值． 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值． 【解析】 【分析】（1）求导可得，然后令代入计算，即可得到结果； （2）求导可得，然后令，即可得到极值点，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 的定义域为， ∴， 令得，解得． 【小问2详解】 由（1）可知， ， 令，解得（舍去）或， 当变化时，变化情况如下表所示： 3 - 0 + 单调递减 单调递增 因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值． 16. 为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果） （1）若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ （2）若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ （3）同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 【答案】（1）种 （2）种 （3）种 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法，将男生、女生分别捆绑在一起，求出各自的排列数，然后将捆绑后的男生、女生视为一个整体进行排列，最后根据分步乘法计数原理得到结果. （2）利用插空法，先求出3名男生的排列种数，然后利用插空法，将女生插入男生之间，进行排列，最后利用分步乘法计数原理求得答案. （3）先将甲乙丙以外的其余2人排好,然后根据题意将甲乙、丙排好，最后利用分步乘法计数原理求出答案. 【小问1详解】 先将3名男生排在一起，有种排法， 再将2名女生排在一起，有种排法， 将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理可知，共有种排法． 【小问2详解】 先将3名男生排好，共有种排法， 再在这3名男生中间的2个空位中插入2名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，共有种排法． 【小问3详解】 先将甲乙丙以外的其余2人排好，共有种排法， 由于甲乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的2人的中间及两边共3个空位中，共有种排法， 由分步计数原理，共有种排法． 17. 投掷一枚质地均匀的骰子，每次掷得的点数是3的倍数时得2分，掷得的点数不是3的倍数时得1分．独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分． （1）设投掷3次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； （2）学生甲、乙各投掷4次骰子，已知甲前两次投掷后得了4分，求甲、乙4次投掷后，乙最终得分高于甲最终得分的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得的取值为3，4，5，6，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列； （2）由全概率公式代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 由题意得学生每次掷骰子得2分的概率为， 得1分的概率为． 学生投掷3次得分的取值为3，4，5，6， ， ， ， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 所以． 【小问2详解】 记“甲最终得分为分”，；“乙最终得分高于甲最终得分”． ，，， 当甲最终得6分时，乙需要最终得7分或者8分，则； 当甲最终得7分时，乙需要最终得8分，则； 当甲最终得8分时，乙不会比甲得分高，则， 故 ， 即乙最终得分高于甲最终得分的概率为． 18. 相约春风里奔跑幸福中—2025石家庄马拉松赛后，掀起了体育运动的热潮．为推进“阳光体育”进校园活动，市教育局随机选取8所小学调研“趣味体操”的参与情况，统计各校参与学生人数，得到数据如下表所示： 学校 参加趣味体操人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48 （1）体育特色校评选 若“趣味体操”参与人数超过30人的学校可评为“体育特色校”，现在从这8所学校中随机选出3所，记可作为“体育特色校”的学校数量为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）体操技能测试 在趣味体操课程中，学生需掌握“平衡木”“跳箱”“前滚翻”三项基础技能．阶段性测试要求：在一轮测试中，这三项至少有两项达到“优秀”，该轮测试才被记为“优秀”．某同学3项基本技能每项达到“优秀”的概率均为，每项测试及每轮测试互不影响． ①求单轮测试“优秀”的概率； ②如果该同学进行多轮独立测试，若希望“优秀”总次数的期望达到2次，理论上至少需测试多少轮？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）①；②6轮 【解析】 【分析】（1）先计算随机变量X不同取值的概率，得到分布列和期望； （2）①运用独立乘法公式计算一轮测试“优秀”的概率，②根据二项分布期望公式求出至少进行的测试轮数. 【小问1详解】 参加“趣味体操”人数在30人以上的学校共5所，所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 【小问2详解】 ①由已知该同学在一轮测试中为“优秀”的概率为 . ②该同学在轮测试中获“优秀”次数服从二项分布，即满足．， 由. 所以理论上至少要进行6轮测试． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况分别求解即可； （2）方法一：由已知可得恒成立，令，通过求导判断函数的单调性可得的最小值，即可求解；方法二：令，通过求导判断函数的单调性可得，对变形，将函数分为两部分，分情况讨论即可求解. 【小问1详解】 ∵， ∴， ①当时，，在上单调递增， ②当时，由得， 令得；令得； ∴在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 方法一： 当时，恒成立， 即恒成立，令，只需， ， 令，， 当时，，单调递增， ∵，， ∴，使得，即， 令，则， ∵，∴时单调递增， ∴，即，① 时，，，单调递减， 时，，，单调递增， 故在处取得最小值， 结合①可得， ∴，解得； 方法二： 令，则，令得， ∴，单调递减；，，单调递增， ∴，即，①当且仅当时等号成立， ，， 由①知当且仅当时等号成立， 令，，，在上单调递增， ，， ∴，使得， ∴当即时，，∴恒成立， 当时，∵，∴， 则必有， ∴使得不符合题意， 综上可知，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六校联盟2025年4月期中联考 高二数学试题 考生注意： 1、本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章、第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的最小值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2. 设随机变量，，则（ ） A. 0.70 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.25 3. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ） 0 1 2 3 0.12 0.16 A. 0.16 B. 0.09 C. 0.59 D. 4. 对任意的实数，若，则的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 16 D. 24 5. 如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．现有红、黄、蓝、绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为（ ） A. 48 B. 24 C. 144 D. 72 6. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. 1 B. 6 C. 20 D. 6或20 7. 某校春季运动会需从6名男生和4名女生中选出5人组成志愿者小组，要求小组中至少有2名女生，则不同的选法共有（ ） A. 144种 B. 186种 C. 190种 D. 336种 8. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ） A. B. C. 或0 D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 1990年9月，美国《Parade》杂志首次公开讨论了源自美国电视节目《Let’s Make a Deal》的蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）：主持人事先在编号为1，2，3的三个外观相同的三扇门后随机选择一个放入豪车，其余两扇门后放入山羊，再将三个门关闭．当游戏参与者在三扇门中选择一个门后，在门打开之前主持人先打开了另外两个门中的一个门，按游戏规定，主持人只打开游戏参与者的选择之外的门后是山羊的门，当两个都是山羊时，他随机选择其中一个打开，并问参与者是否愿意更改选择以便更大概率获得豪车．用表示号门后有豪车，用表示主持人打开号门，已知甲选择了1号门，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该坚持选择1号门 D. 主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该改选3号门 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有唯一零点 B. C. ，使得有三个不等实根 D. ，使得有六个不等实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________． 13. 定义在上的函数满足且，则满足的的取值范围为________． 14. 勒让德三平方和定理（Legendre’s Three-Square Theorem）是数论中关于自然数表示为三个整数平方和的重要定理，其核心内容为：如果一个自然数符合下述条件时，则可以表示为三个整数平方之和，其中，均为非负整数：，．例如：正整数，，设，其中，，均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是______．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的值； （2）求的极值． 16. 为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果） （1）若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ （2）若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ （3）同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 17. 投掷一枚质地均匀的骰子，每次掷得的点数是3的倍数时得2分，掷得的点数不是3的倍数时得1分．独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分． （1）设投掷3次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； （2）学生甲、乙各投掷4次骰子，已知甲前两次投掷后得了4分，求甲、乙4次投掷后，乙最终得分高于甲最终得分的概率． 18. 相约春风里奔跑幸福中—2025石家庄马拉松赛后，掀起了体育运动的热潮．为推进“阳光体育”进校园活动，市教育局随机选取8所小学调研“趣味体操”的参与情况，统计各校参与学生人数，得到数据如下表所示： 学校 参加趣味体操人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48 （1）体育特色校评选 若“趣味体操”参与人数超过30人的学校可评为“体育特色校”，现在从这8所学校中随机选出3所，记可作为“体育特色校”的学校数量为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）体操技能测试 在趣味体操课程中，学生需掌握“平衡木”“跳箱”“前滚翻”三项基础技能．阶段性测试要求：在一轮测试中，这三项至少有两项达到“优秀”，该轮测试才被记为“优秀”．某同学3项基本技能每项达到“优秀”的概率均为，每项测试及每轮测试互不影响． ①求单轮测试“优秀”的概率； ②如果该同学进行多轮独立测试，若希望“优秀”总次数的期望达到2次，理论上至少需测试多少轮？ 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，当时，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $