全等三角形：倍长中线问题、截长补短问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

全等三角形：倍长中线问题、截长补短问题专项训练 全等三角形：倍长中线问题、截长补短问题专项训练 考点目录 倍长中线问题 截长补短问题 考点一 倍长中线问题 例1．（2026·江苏扬州·一模）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)或2 【分析】（1）由旋转证明 是等边三角形，再证明，进而得到，证明，则四边形是平行四边形．证明 ，则问题可证； （2）延长至点 ，使 ，连接，证明，从而证明，C、B、F共线，再证明，得到，再由角度的互余关系证明，则问题可证； （3）延长交延长线于点F，证明，得到，再有，和证明，再证明，由，故得到，最后分别利用G是BE的三等分点，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 点 落在 边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E 是 中点，， 在 和 中： ，， （SAS）， ，， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2），且 ， 理由：延长至点 ，使 ， 连接， 是的中点， ， 在 和 中： ， ， ， （SAS）， ，， ， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在 和 中： ， ， ， ， ，， ， ，即 ， ， ． （3）解：延长交延长线于点F， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ， ， ∵ ， ， ∵G是的三等分点 ∴当 时，， 当 时，， 或 ． 例2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）（1）凸四边形中，，为上一点，． ①如图1，连，将线段绕点顺时针旋转，得到，连，画线段，； ②连，将绕点逆时针旋转得到，连，取中点，连，，如图，请判断的形状，并说明理由． （2）如图3，凸四边形中，将绕点顺时针旋转，使点的对应点在上，将绕点逆时针旋转，使点的对应点在上，连并取其中点，连，，若于点，直接写出，满足的数量关系，不需要说明理由． 【答案】（1）①图见解析；②为等腰直角三角形，理由见解析； （2）． 【分析】本题主要考查旋转的性质、全等的性质和判定、等腰直角三角形的判定和性质、多边形的内角和等，能作出辅助线是解题的关键． （1）①作，作，连接即可求解； ②延长作，连接，证明，结合全等性质和五边形的内角和推出，再证明，推出为等腰直角三角形，最后根据三线合一为等腰直角三角形； （2）延长作，连接，，，证明，再证明，结合全等性质和三角形内角和性质即可求解． 【详解】（1）①解：如图所示： ； ②如图，延长作，连接， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点为中， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵五边形的内角和为：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）如图，延长作，连接，，， ∵绕点顺时针旋转得，绕点逆时针旋转得， ∴，，，， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵内角和为， ∴， ， ∴． 例3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． (1)如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________； (2)如图3，当，时，则长为____________； (3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和中线倍长的辅助线作法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，得到，证得是顶角为的等腰三角形，由等腰三角形三线合一得到，即可求解． （2）证，得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． （3）结论，延长到点M，使得，连接，，先证四边形是平行四边形，得到，，再由，得到，即，可证，即可求解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， ，， ， ， 又是的中线， ， ， ． （2）解：，， ， 又， ， ， 是斜边上的中线， ． （3）解：结论，， 证明：如图，延长到点M，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， ， ， ． 变式1．（2025·湖北武汉·三模）如图，在和中，，，，点在边上，是的中点．连接，是的中点． (1)求证：； (2)如图（1），若点在上，直接写出的值； (3)①如图（2），若点在下方，判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论． ②如图（2），若线段（m为常数），请直接写出点从点运动到点，点的运动路径长．（请用含 的式子表示）． 【答案】(1)见详解 (2) (3)①等腰直角三角形，② 【分析】（1）利用“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明，即可得出结论； （2）作，垂足为，由（1）可知，，，由相似三角形的性质可得，利用等腰三角形“三线合一”的性质以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，即，再证明，易得，然后根据，由此得出，进而求出得出求解即可； （3）①延长交于点，连接，，设交于点，证明，得到，，再证明，得到，，进而得到，即可得出结论． ②取的中点，连接，可以证明，，由此可得点在过点平行于直线上运动，点从点运动到点，点的运动路径长为 ，由此即可解题． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，即，， ∴， ∴； （2）解：如下图，连接，作，垂足为， 由（1）可知，，， ∴， ∵，，是的中点， ∴，，即， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵，且， ∴， ， ∴ （3）以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，证明如下： 延长交于点，连接，，设交于点， ∵， ∴， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． ②取的中点，连接， ∵， ∴，， ∴点在过点平行于直线上运动， 当点在点时，点与点重合，点与点重合， ∵， ∴， ∴， 当点运动到点时，此时，则，， ∴点从点运动到点，点的运动路径长为 变式2．（24-25九年级上·江苏扬州·月考）【感知】如图①，在中，点E为的中点，连接并延长的延长线于点F，求证：点D是的中点； 【应用】如图②，在四边形中，，，E是的中点，的延长线相交于点F，求的长． 【扩展】如图③，在中，点D是的中点，  ，相交于点F，求的值． 【答案】【感知】见解析；【应用】；【扩展】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，根据中点作辅助线构造全等三角形是解题关键． 感知:证即可； 应用:由题意得，垂直平分，推出;同理可证：，得，即可求解； 扩展:过点作，同理可证：，推出；证，得，即可求解； 【详解】感知:证明：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：点D是的中点； 应用:解：∵， ∴； ∵E是的中点， ∴垂直平分， ∴； 同理可证：， ∴， ∴； 扩展:解：过点作，如图所示： 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 变式3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）【问题背景】如图1，和都是等边三角形，求证：； 【尝试运用】如图2，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，E为边上不与点C重合的点，且，M为的中点，连接，．求的度数； 【拓展创新】如图3，在和中，，，，连接，，点F，G分别为，的中点，若，请直接写出线段的长（用含a和b的式子表示）． 【答案】问题背景：见解析；尝试应用：；拓展创新： 【分析】问题背景∶由判定，由全等三角形的性质即可得证； 尝试应用：延长至，使得，连接，，由判定，由全等三角形的性质得，，再由 判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质即可求解； 拓展创新：连接并延长至，使，连接、，过作交于，由直角三角形的特征及勾股定理得，由三角形中位线定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】问题背景∶ ∵和都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ； 尝试应用：延长至点，使得，连接，， ，， ， 边绕点C逆时针旋转到， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； 拓展创新：如图，连接并延长至，使，连接、，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点F，G分别为，的中点， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ． 考点二 截长补短问题 例1．（25-26九年级上·河南周口·期中）在中，，，平分，在射线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为点，作，垂足为点． (1)如图1，当___________°．时，点恰好落在上，此时___________；（填“>”“<”或“=”） (2)如图2，若点在内部，点不在上时，（1）问中、、的数量关系的成立吗？说明理由； (3)如图3，当点在外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段、、的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的判定依据是解题的关键． （1）作，通过证和全等，得到，同时利用等腰三角形三线合一得到，即可求解． （2）作，连接交于点P，通过证和全等，得到， 通过证和全等，得到，即可求解． （3）作，连接交于点P，通过证和全等，得到， 通过证和全等，得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 同理， 要使点恰好落在上，则， 平分， ， ， 如图，作， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）关系成立， 如图作，连接交于点P， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 故（1）问中、、的数量关系成立． （3）不成立，关系为， 如图，作，连接交于点P， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 例2．（24-25九年级下·河北唐山·阶段检测）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）解：正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作且，连接， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 例3．（2025·广东汕头·模拟预测）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】 （1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 （2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】 （3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明： ①； ②． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）是定值，①；②． 【分析】（1）证明，推出，再根据角度的和差可得结论； （2）如图2，在上取一点，使得，证明是等边三角形，然后证明，可得，利用线段的和差即可解决问题； （3）如图3，在上取一点，使得，证明，，，证明是等边三角形，所以，过点作，，垂足分别为，，根据，可得的面积的面积，根据，可得，根据，可得，所以，，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：如图1，设与交于点，   ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，在上取一点，使得，   是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ，， 是外角平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①，②都是定值，证明如下： 如图3，在上取一点，使得，   和均为正三角形，，，三点共线， ，， 由（1）知：， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 过点作，，垂足分别为，， ， 的面积的面积， ， ， ， ， ， ， ①； ②， ， ， ． 综上所述：①，②都是定值． 变式1．（25-26九年级上·福建三明·月考）在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G． (1)如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF； (2)如图②，连接CG．求证：BG＋DG＝CG． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据菱形的四条边相等以及全等三角形的判定得出，，再由AE＝DF利用边角边即可判定； （2）延长BF至点H，使，连接HD、BD，如图（见详解），由第一问可知，和都是等边三角形，由全等的性质以及三角形的内角和定理得出，可证是等边三角形，得到，利用角的等量代换，通过边角边的判定定理即可证明，得到，利用线段的等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，，且AE＝DF， ∴是等边三角形． 在和中，， ∴． （2）证明：延长BF至点H，使，连接HD、BD，如图②所示， 由（1）可知，是等边三角形， ∴，且， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 变式2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知：如图1，△ABC中，∠CAB=120°， AC=AB，点D是BC上一点，其中∠ADC=α（30°＜α＜90°），将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，AE交CB于F，连接CE (1)求∠CDE与∠AEC的度数（用含α的代数式表示）； (2)如图2，当α=45°时，解决以下问题： ①已知AD=2，求CE的值； ②证明：DC-DE=AD； 【答案】(1)， (2)①4；②见解析 【分析】（1）由折叠对应角相等与“双蝴蝶型”相似可得； （2）由α=45°求出∠CAF=90°，再由“蝴蝶型”相似求得； （3）“截长补短”法：在BC上取一点H，使得CH=DE． 【详解】（1）∵ΔABD沿AD所在的直线折叠得到ΔAED， ∴∠ADE=∠ADB=180°-α， ∴∠CDE=180°-2α； ∵∠CAB=120°， AC=AB， ∴∠ACB=∠B=∠AED=30°， ∵∠DFE=∠AFC， ∴△DEF∽△AFC， ∴DF：AF=EF：CF， ∵∠EFC=∠AFD， ∴△AFD∽△CFE， ∴∠AEC=∠ADC=α， 故答案：180°-2α；  α （2）① ∵α=45°， ∴∠DAF=∠DAB=15°， ∴∠CAF=90°， ∴AF：CF=1：2， ∵△AFD∽△CFE， ∴AD：CE=AF：CF=1：2， ∴CE=4，故答案：4； ②在BC上取一点H，使得CH=DE， ∵AC=AE，∠ACH=∠AED， ∴ΔACH≌ΔADE， ∴AD=AH，∠DAE=∠CAH， ∴∠DAH=90°， ∴DH=AD， ∴DC-ED=DC-CH=DH=AD 变式3．（25-26九年级上·辽宁本溪·月考）在正方形ABCD中，过点B作直线l，点E在直线l上，连接CE，DE，其中，过点C作于点F，交直线l于点H． （1）当直线l在如图①的位置时 ①请直接写出与之间的数量关系______． ②请直接写出线段BH，EH，CH之间的数量关系______． （2）当直线l在如图②的位置时，请写出线段BH，EH，CH之间的数量关系并证明； （3）已知，在直线l旋转过程中当时，请直接写出EH的长． 【答案】（1）①；②；（2）；证明见解析；（3）或． 【分析】（1）①，根据CE=BC，四边形ABCD为正方形，可得BC=CD=CE，根据CF⊥DE，得出CF平分∠ECD即可； ②，过点C作CG⊥BE于G，根据BC=EC，得出∠ECG=∠BCG=，根据∠ECH=∠HCD=，可得CG=HG，根据勾股定理在Rt△GHC中，，根据GE=，得出即可； （2），过点C作交BE于点M，得出，先证得出，可证是等腰直角三角形，可得即可； （3）或，根据，分两种情况，当∠ABE=90°-15°=75°时，BC=CE，先证△CDE为等边三角形，可求∠FEH=∠DEC=∠CEB=60°-15°=45°，根据CF⊥DE，得出DF=EF=1，∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°，根据勾股定理HE=，当∠ABE=90°+15°=105°，可得BC=CE得出∠CBE=∠CEB=15°，可求∠FCE=，∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°，根据30°直角三角形先证得出CF=，根据勾股定理EF=，再证FH=FE，得出EH=即可． 【详解】解：（1）① ∵CE=BC，四边形ABCD为正方形， ∴BC=CD=CE， ∵CF⊥DE， ∴CF平分∠ECD， ∴∠ECH=∠HCD， 故答案为：∠ECH=∠HCD； ②，过点C作CG⊥BE于G， ∵BC=EC， ∴∠ECG=∠BCG=， ∵∠ECH=∠HCD=， ∴∠GCH=∠ECG+∠ECF=+， ∴∠GHC=180°-∠HGC+∠GCH=180°-90°-45°=45°， ∴CG=HG， 在Rt△GHC中，   ∴， ∵GE=，     ∴GH=GE+EH=， ∴， ∴， ∴， 故答案是：； （2）， 证明：过点C作交BE于点M， 则， ∴⁰， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，   （3）或， ∵，分两种情况， 当∠ABE=90°-15°=75°时， ∵BC=CE， ∴∠CBE=∠CEB=15°， ∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB==180°-15°-15°=150°， ∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°=90°=60°， ∵CE=CD， ∴△CDE为等边三角形， ∴DE=CD=AB=2，∠DEC=60°， ∴∠FEH=∠DEC=∠CEB=60°-15°=45°， ∵CF⊥DE， ∴DF=EF=1，∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°， ∴EF=HF=1， ∴HE=， 当∠ABE=90°+15°=105°， ∵BC=CE，∠CBE=∠CEB=15°， ∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB=150°， ∴∠DCE=360°-∠DCB-∠BCE=120°， ∵CE=BC=CD，CH⊥DE， ∴∠FCE=，   ∴∠FEC=180°-∠CFE-∠FCE=30°， ∴CF=， ∴EF=， ∵∠HEF=∠CEB+∠CEF=15°+30°=45°， ∴∠FHE=180°-∠HFE-∠FEH=45°=∠FEH， ∴FH=FE， ∴EH=， ∴或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $全等三角形：倍长中线问题、截长补短问题专项训练 全等三角形：倍长中线问题、截长补短问题专项训练 考点目录 倍长中线问题 截长补短问题 考点一 倍长中线问题 例1．（2026·江苏扬州·一模）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 例2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）（1）凸四边形中，，为上一点，． ①如图1，连，将线段绕点顺时针旋转，得到，连，画线段，； ②连，将绕点逆时针旋转得到，连，取中点，连，，如图，请判断的形状，并说明理由． （2）如图3，凸四边形中，将绕点顺时针旋转，使点的对应点在上，将绕点逆时针旋转，使点的对应点在上，连并取其中点，连，，若于点，直接写出，满足的数量关系，不需要说明理由． 例3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． (1)如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________； (2)如图3，当，时，则长为____________； (3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 变式1．（2025·湖北武汉·三模）如图，在和中，，，，点在边上，是的中点．连接，是的中点． (1)求证：； (2)如图（1），若点在上，直接写出的值； (3)①如图（2），若点在下方，判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论． ②如图（2），若线段（m为常数），请直接写出点从点运动到点，点的运动路径长．（请用含 的式子表示）． 变式2．（24-25九年级上·江苏扬州·月考）【感知】如图①，在中，点E为的中点，连接并延长的延长线于点F，求证：点D是的中点； 【应用】如图②，在四边形中，，，E是的中点，的延长线相交于点F，求的长． 【扩展】如图③，在中，点D是的中点，  ，相交于点F，求的值． 变式3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）【问题背景】如图1，和都是等边三角形，求证：； 【尝试运用】如图2，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，E为边上不与点C重合的点，且，M为的中点，连接，．求的度数； 【拓展创新】如图3，在和中，，，，连接，，点F，G分别为，的中点，若，请直接写出线段的长（用含a和b的式子表示）． 考点二 截长补短问题 例1．（25-26九年级上·河南周口·期中）在中，，，平分，在射线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为点，作，垂足为点． (1)如图1，当___________°．时，点恰好落在上，此时___________；（填“>”“<”或“=”） (2)如图2，若点在内部，点不在上时，（1）问中、、的数量关系的成立吗？说明理由； (3)如图3，当点在外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段、、的数量关系． 例2．（24-25九年级下·河北唐山·阶段检测）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 例3．（2025·广东汕头·模拟预测）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】 （1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 （2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】 （3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明： ①； ②． 变式1．（25-26九年级上·福建三明·月考）在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，BF与DE交于点G． (1)如图①，连接BD．求证：△ADE≌△DBF； (2)如图②，连接CG．求证：BG＋DG＝CG． 变式2．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知：如图1，△ABC中，∠CAB=120°， AC=AB，点D是BC上一点，其中∠ADC=α（30°＜α＜90°），将△ABD沿AD所在的直线折叠得到△AED，AE交CB于F，连接CE (1)求∠CDE与∠AEC的度数（用含α的代数式表示）； (2)如图2，当α=45°时，解决以下问题： ①已知AD=2，求CE的值； ②证明：DC-DE=AD； 变式3．（25-26九年级上·辽宁本溪·月考）在正方形ABCD中，过点B作直线l，点E在直线l上，连接CE，DE，其中，过点C作于点F，交直线l于点H． （1）当直线l在如图①的位置时 ①请直接写出与之间的数量关系______． ②请直接写出线段BH，EH，CH之间的数量关系______． （2）当直线l在如图②的位置时，请写出线段BH，EH，CH之间的数量关系并证明； （3）已知，在直线l旋转过程中当时，请直接写出EH的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $