2026年中考数学二轮复习 《手拉手全等模型》专项练习题

【专题训练】2026年中考数学《手拉手全等模型》专项练习题（原卷版+解析版） 一．解答题（共12小题） 1．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P． （1）求证：BE＝AD． （2）求∠APB的度数． 2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三点共线，说明∠3＝∠1+∠2，并给出理由． 3．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，连结BE、CD交于点O．且分别交AC、AE于点F、G． （1）求证：△BAE≌△CAD； （2）求∠BOC的度数． 4．如图，在△ABC中，分别以BC、AB为边作等边三角形BCE和等边三角形ABD． （1）请说明DE∥BC的理由； （2）如果DE是AB的垂直平分线，那么△ABC≌△DAE吗？为什么？ 5．如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD． （1）若BC＝10，AD＝7，求BD的长． （2）求证：CE⊥AB． 6．在如图中，若等边三角形CDE与等边三角形ABC均在直线BC的同一侧， （1）如图1所示，联结BE、AD，试说明BE＝AD的理由． （2）如图2所示，若将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度（小于60°），第（1）题中BE＝AD的关系还存在吗？简要说明理由． 7．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°． ①则△ABD与△ACE全等吗？请说明理由； ②求∠BCE的度数； （2）如图2，如果∠BAC＝60°，当点D在线段BC上移动，则∠BCE的度数是 　 　 °； （3）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？ 8．如图，已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，点D在边BC边上（不与B、C重合），且∠B＝∠ADE，DE交AC于F． （1）试说明∠BAD与∠CAE相等的理由； （2）联结CE，若CD＝CE，说明DF与EF相等的理由； （3）若∠BAD＝20°，当△DAF是等腰三角形时，直接写出∠B的度数． 9．如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，点E在△ABC内，连结BE，AD． （1）证明：△BEC≌△ADC． （2）如图2，若点B、E、D恰好在同一条直线上，且AD＝2DC，△BCD的面积为1，求△ABD的面积． 10．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形． （1）如图1，线段BD与AE是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由． （2）如图1，若 B、C、E三点在一条直线上，AE与BD交于点O，求∠BOE的度数． （3）如图2，若 B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝3，求BD的长． 11．（1）问题发现 如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数． （2）拓展探究 如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE； 求：①∠AEB的度数； ②线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由． 12．已知：△ABC是等边三角形，点O是直线BC上方的一点，连接AO，BO，CO，并且∠BOC＝60°． （I）如图1，BO交AC于点M，若CO⊥BC，求证：∠CAO＝∠ACO； （Ⅱ）如图2，CO交AB于点N，作AD⊥CO于点D，求的值． 【专题训练】2026年中考数学《手拉手全等模型》专项练习题（原卷版+解析版） 一．解答题（共12小题） 1．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P． （1）求证：BE＝AD． （2）求∠APB的度数． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）60°． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE， 即∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． （2）解：由（1）可得△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠DAC＝∠EBC． ∵∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝60°， ∴∠EBC+∠ADC＝∠APB＝60°， 即∠APB＝60°． 2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三点共线，说明∠3＝∠1+∠2，并给出理由． 【答案】证明见解析． 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠1， ∴∠BAD＝∠1， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠2， ∴∠3＝∠ABD+∠BAD＝∠1+∠2． 3．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，连结BE、CD交于点O．且分别交AC、AE于点F、G． （1）求证：△BAE≌△CAD； （2）求∠BOC的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）∠BOC的度数是60°． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝60°， ∴∠BAE＝∠CAD＝60°+∠CAE， 在△BAE和△CAD中， ， ∴△BAE≌△CAD（SAS）． （2）解：由（1）得△BAE≌△CAD， ∴∠ABE＝∠ACD， ∴∠BOC＝∠BFC﹣∠ACD＝∠AFC﹣∠ABE＝∠BAC＝60°， ∴∠BOC的度数是60°． 4．如图，在△ABC中，分别以BC、AB为边作等边三角形BCE和等边三角形ABD． （1）请说明DE∥BC的理由； （2）如果DE是AB的垂直平分线，那么△ABC≌△DAE吗？为什么？ 【答案】（1）说明过程见解答； （2）△ABC≌△DAE，理由见解答． 【解答】解：（1）∵△BCE和△ABD是等边三角形， ∴BC＝BE，AB＝BD，∠CBE＝∠ABD＝∠C＝∠60°， ∴∠CBE+∠ABE＝∠ABD+∠ABE， ∴∠CBA＝∠EBD， ∴△CBA≌△EBD（SAS）， ∴∠C＝∠BED＝60°， ∴∠CBE＝∠BED＝60°， ∴BC∥DE； （2）△ABC≌△DAE， 理由：∵DE是AB的垂直平分线， ∴DB＝DA，EB＝EA， ∵DE＝DE， ∴△DBE≌△DAE（SSS）， 由（1）得：△DBE≌△ABC， ∴△ABC≌△DAE． 5．如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD． （1）若BC＝10，AD＝7，求BD的长． （2）求证：CE⊥AB． 【答案】（1）BD的长为3； （2）证明过程见解答． 【解答】（1）解：∵△ABD≌△CFD， ∴AD＝CD＝7， ∵BC＝10， ∴BD＝BC﹣CD＝10﹣7＝3， ∴BD的长为3； （2）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵△ABD≌△CFD， ∴∠BAD＝∠DCF， ∴∠B+∠DCF＝90°， ∴∠CEB＝180°﹣（∠B+∠DCF）＝90°， ∴CE⊥AB． 6．在如图中，若等边三角形CDE与等边三角形ABC均在直线BC的同一侧， （1）如图1所示，联结BE、AD，试说明BE＝AD的理由． （2）如图2所示，若将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度（小于60°），第（1）题中BE＝AD的关系还存在吗？简要说明理由． 【答案】（1）理由见解答； （2）存在，理由见解答． 【解答】解：（1）∵△CDE和△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°， ∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE ∴∠BCE＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD． （2）存在， ∵△CDE绕点C逆时针旋转一个角度（小于60°）， ∴∠BCE＝∠ACD仍成立， ∴仍可证明△BCE≌△ACD， ∴BE＝AD的关系存在． 7．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°． ①则△ABD与△ACE全等吗？请说明理由； ②求∠BCE的度数； （2）如图2，如果∠BAC＝60°，当点D在线段BC上移动，则∠BCE的度数是 　120　 °； （3）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？ 【答案】（1）①证明见解析过程；②∠BCE的度数为90°； （2）120； （3）当点D运动到BC的中点时，△DCE是周长最小． 【解答】（1）①证明：∵∠BAC＝∠ADE＝90°， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ②解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ACE＝∠B＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°； ∴∠BCE的度数为90°； （2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠ADE＝∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝60°， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE＝∠B＝60°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝120°， 故答案为：120； （3）由（2）可知：△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE， ∴CD+CE＝CD+BD＝BC， ∵△ECD的周长＝DE+CD+CE＝DE+BC， ∵BC为定值， ∴当DE的值最小时，△DCE得到周长最小， ∵AD＝AE，∠ADE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD ∴AD⊥BC时，AD的值最小，此时BD＝CD， ∴当点D运动到BC的中点时，△DCE是周长最小． 8．如图，已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，点D在边BC边上（不与B、C重合），且∠B＝∠ADE，DE交AC于F． （1）试说明∠BAD与∠CAE相等的理由； （2）联结CE，若CD＝CE，说明DF与EF相等的理由； （3）若∠BAD＝20°，当△DAF是等腰三角形时，直接写出∠B的度数． 【答案】（1）理由详见解析；（2）理由详见解析；（3）（）°或（）°． 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠ADE，AB＝AC，AD＝AE ∴∠BAC＝180°﹣2∠B，∠DAE＝180°﹣2∠ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， （2）证明：如图， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACD， ∴∠ACE＝∠ACD， ∵CD＝CE， ∴DF＝EF（等腰三角形三线合一）． （3）①DA＝DF时，如图， 设∠B＝α，则∠ADF＝∠C＝α， ∵∠ADC＝∠ADF+∠FDC＝∠B+∠BAD， ∴∠FDC＝∠BAD＝20°， ∵DA＝DF， ∴∠DAF＝∠DFA90°α， ∵∠DFA＝∠FDC+∠C，即90°α＝α+20， 解得α，此时∠B． ②AF＝DF时，如图， 由①知∠FDC＝∠BAD＝20°，设∠B＝α，则∠ADF＝∠C＝α， ∵AF＝DF， ∴∠DAF＝∠ADF＝α， ∴∠AFD＝180﹣2α＝α+20， 解得α，此时∠B． ③AD＝AF时，因为AD＝AE，点F在DE上，所以此种情况不存在． 综上，∠B的度数为（）°或（）°． 9．如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，点E在△ABC内，连结BE，AD． （1）证明：△BEC≌△ADC． （2）如图2，若点B、E、D恰好在同一条直线上，且AD＝2DC，△BCD的面积为1，求△ABD的面积． 【答案】（1）在等边△ABC和等边△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， 即∠ECB＝∠DCA， 在△BEC和△ADC中， ， ∴△BEC≌△ADC（SAS）； （2）2． 【解答】（1）证明：在等边△ABC和等边△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， 即∠ECB＝∠DCA， 在△BEC和△ADC中， ， ∴△BEC≌△ADC（SAS）； （2）解：在等边△DEC中，∠DEC＝∠CDE＝60°， ∵B、E、D恰好在同一条直线上， ∴∠BEC＝180°﹣∠CED＝120°， ∵△BEC≌△ADC， ∴∠ADC＝∠BEC＝120°， 又∵∠CDE＝60°， ∴∠ADB＝∠ADC﹣∠CDE＝60°＝∠CDB， 如图2，作BM⊥AD于点M，BN⊥DC交DC的延长线于点N， ∴BM＝BN（角平分线上的点到角两边的距离相等） ∴S△BCD：S△ABD＝CD：AD， ∵AD＝2CD，△BCD的面积为1， ∴S△ABD＝2S△BCD＝2． 10．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形． （1）如图1，线段BD与AE是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由． （2）如图1，若 B、C、E三点在一条直线上，AE与BD交于点O，求∠BOE的度数． （3）如图2，若 B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝3，求BD的长． 【答案】（1）BD＝AE； （2）120°； （3）5． 【解答】解：（1）BD＝AE，理由如下： ∵△ABC和△DCE都是等边三角形． ∴BC＝CA，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE， ∴∠BCD＝∠ACE， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝AE； （2）由△BCD≌△ACE得，∠BDC＝∠AEC， ∵∠BOE＝∠ODE+∠DEO＝∠CDE+∠DEC＝60°+60°＝120°， ∴∠BOE的度数是120°； （3）∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝90°， ∵CD＝DE＝3， 在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE5， 由（1）同理得，△BCD≌△ACE， ∴BD＝AE＝5． 11．（1）问题发现 如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数． （2）拓展探究 如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE； 求：①∠AEB的度数； ②线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）60°；（2）①90°；②AE＝BE+2CM． 【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE是等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△CD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵△CDE是等边三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°， ∴∠BEC＝120°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°； （2）①同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵△DCE是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°， ∴∠BEC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°； ②同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE， ∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴DM＝ME， 在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM＝45°， ∴∠DCM＝∠CDM＝45°， ∴DM＝CM， ∴DM＝ME＝CM， ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 12．已知：△ABC是等边三角形，点O是直线BC上方的一点，连接AO，BO，CO，并且∠BOC＝60°． （I）如图1，BO交AC于点M，若CO⊥BC，求证：∠CAO＝∠ACO； （Ⅱ）如图2，CO交AB于点N，作AD⊥CO于点D，求的值． 【答案】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵CO⊥BC， ∴∠OCB＝90°， ∵∠BOC＝60°， ∴∠OBC＝90°﹣∠BOC＝30°， ∴∠OBA＝∠OBC＝30°， ∵△ABC是等边三角形，BO平分∠ABC， ∴BO垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO． （2）的值是2． 【解答】（I）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵CO⊥BC， ∴∠OCB＝90°， ∵∠BOC＝60°， ∴∠OBC＝90°﹣∠BOC＝30°， ∴∠OBA＝∠OBC＝30°， ∵△ABC是等边三角形，BO平分∠ABC， ∴BO垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO． （2）解：在CO上截取CM＝BO， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB，∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝∠BOC， ∵∠ACM＝∠BNC﹣∠BAC＝∠BNC﹣∠BOC，且∠ABO＝∠BNC﹣∠BOC， ∴∠ACM＝∠ABO， 在△ACM和△ABO中， ， ∴△ACM≌△ABO（SAS）， ∴AM＝AO， ∵AD⊥CO于点D， ∴DM＝DO， ∴CO﹣BO＝CO﹣CM＝MO＝2DO， ∴2， ∴的值是2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/22 11:45:53；用户：名途教育；邮箱：mingtujy@xyh.com；学号：68815084 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $