全等三角形模型：半角模型、手拉手模型专项训练-2026年中考数学二轮复习

**基本信息** 聚焦半角与手拉手模型，以旋转为核心方法，构建从特殊到一般的全等三角形解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |半角模型|3例+3变式|旋转构造全等，集中分散条件|从正方形到一般四边形，从边长关系到面积应用，模型条件逐步放宽| |手拉手模型|3例+3变式|旋转证全等，结合中点性质|从等腰直角三角形到普通等腰三角形，从位置关系到数量关系，模型应用深化|

全等三角形模型：半角模型、手拉手模型专项训练 全等三角形模型：半角模型、手拉手模型专项训练 考点目录 半角模型 手拉手模型 考点一 半角模型 例1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 例2．（24-25九年级下·陕西汉中·月考）问题提出 （1）如图1，四边形是正方形，______； 问题探究： （2）如图2，四边形是正方形，点分别在的延长线上，，若，，求正方形的边长； 问题解决： （3）如图3是某生态保护区示意图，和是两条互相垂直的河流，交点为．现计划修建科研基地和四个建在河边的监测站，按照技术要求，点分别在线段上，．并且规划把区域建设成为观光旅游区，区域建设为生态科普基地．若规划的观光旅游区的面积为9平方千米，那么生态科普基地的面积是否存在最大值？若存在请求出最大值，若不存在，请说明理由． 例3．（24-25九年级下·吉林·开学考试）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图1，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 爱动脑筋的小明发现：这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图2，小明将绕点顺时针旋转得到，然后证明，就可以解决这道问题．请直接写出线段，，之间的数量关系__________________ 【类比迁移】如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【拓展延伸】如图4，在中，，，点，在边上，且，当，时，则的长为____________． 变式1．（25-26九年级下·甘肃武威·月考）【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．    变式2．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 变式3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 考点二 手拉手模型 例1．（2026·重庆南岸·模拟预测）如图，在中，． (1)如图，若，点在边上（不与，点重合）．连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求的度数； (2)如图，若，点，分别在，上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接．请用等式表示线段，，的数量关系并证明； (3)如图，若，点在上，且，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，连接，当取最大值时，请直接写出的值． 例2．（25-26九年级下·辽宁沈阳·月考）综合探究与应用 (1)如图1，在和中，，，，点B在上，连接．则与的关系为_____________． 【类比应用】 (2)如图2，在中，，，将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度（）得到线段，连接，过点A作的垂线，分别交与射线于点D，F，连接． ①线段绕点A旋转的过程中，的度数是否发生变化？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； ②直接写出、、这条线段的数量关系为________________； ③若，，请直接写出的面积． 例3．（25-26九年级上·山西朔州·月考）综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 变式1．（25-26九年级下·河南新乡·月考）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 变式2．（2026·广东惠州·模拟预测）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小．李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接．将求分成求和的和即可．请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小； 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积； 变式3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $全等三角形模型：半角模型、手拉手模型专项训练 全等三角形模型：半角模型、手拉手模型专项训练 考点目录 半角模型 手拉手模型 考点一 半角模型 例1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 例2．（24-25九年级下·陕西汉中·月考）问题提出 （1）如图1，四边形是正方形，______； 问题探究： （2）如图2，四边形是正方形，点分别在的延长线上，，若，，求正方形的边长； 问题解决： （3）如图3是某生态保护区示意图，和是两条互相垂直的河流，交点为．现计划修建科研基地和四个建在河边的监测站，按照技术要求，点分别在线段上，．并且规划把区域建设成为观光旅游区，区域建设为生态科普基地．若规划的观光旅游区的面积为9平方千米，那么生态科普基地的面积是否存在最大值？若存在请求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）45°；（2）2；（3）存在最大值，最大值为． 【分析】本题考查了正方形的性质的判定，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形的外接圆，圆周角定理，解直角三角形等相关知识，熟练掌握这些知识点并正确作出辅助线是解题的关键； （1）根据正方形的性质即可求解； （2）连接，证明，进而可得，即可求解； （3）过点P做于点Q，于点C，于点D，得，，且P在的平分线上，连接，同（2）可得，所以千米，证明四边形为正方形，在的延长线上截取，证明，进而可证明，可得，即当有最小值时，则有最大值．设的外接圆圆心为，半径为r，作于R，连接、，由，即， 求得r的取值范围，进而可得当时，取得最小值，此时有最小值，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， ， 故答案为：； （2）解：连接， 四边形是正方形， ， 则， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 所以正方形的边长为2； （3）解：过点P做于点Q，于点C，于点D， ， ， ，且P在的平分线上， 连接，则， ， ， ， ， ， ， 的面积为9平方千米，所以，所以千米， 由角平分线的性质， ， ， 四边形为正方形， 在的延长线上截取， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即当有最小值时，则有最大值． 设的外接圆圆心为，半径为r，作于R，连接、， ， ， ， ， 即， 解得， ， 当时，取得最小值，此时有最小值，最小值为， 此时有最大值，最大值为． 例3．（24-25九年级下·吉林·开学考试）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图1，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 爱动脑筋的小明发现：这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图2，小明将绕点顺时针旋转得到，然后证明，就可以解决这道问题．请直接写出线段，，之间的数量关系__________________ 【类比迁移】如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【拓展延伸】如图4，在中，，，点，在边上，且，当，时，则的长为____________． 【答案】（1）；（2）猜想：，见解析；（3） 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是：利用旋转转化线段关系，将分散的条件集中到同一个三角形求解． （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知，，，，在中，，可求得，所以，证，利用得到． （3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，可证明：，在中，，，，过点D作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出进而根据，即可得出答案． 【详解】（1）解： 证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，   ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． （3）证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4，   ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中 ， ， 过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴ ∴ 变式1．（25-26九年级下·甘肃武威·月考）【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得． （2）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得． （3）把旋转到的位置，连接，先根据SAS证明，由此可得，．又由可得．因此是直角三角形，由此可得，因此． 【详解】（1）如图1，    ∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，如图1， ∵， ∴，点F，D、G共线， 则，， ， 即， 在和中，， ∴， ∴； （2），理由如下：如图2， ∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，    ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线 在和中，， ∴， ∴， 即：， （3）， 理由是：把旋转到的位置，连接，则，．    ∵，， ∴， 又∵， ∴， 则在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 变式2．（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E． (1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E； (2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由． (3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)见解析 (2)∠DAE＝∠BAC，理由见解析 (3)DE＝BD 【分析】（1）根据旋转的性质可得AD＝A，∠CA＝∠BAD，然后求出∠D′AE＝60°，从而得到∠DAE＝∠AE，再利用“边角边”证明△ADE和△AE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据旋转的性质可得AD＝A，再利用“边边边”证明△ADE和△AE全等，然后根据全等三角形对应角相等求出∠DAE＝∠AE，然后求出∠BAD＋∠CAE＝∠DAE，从而得解； （3）求出∠CE＝90°，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍可得E＝C，再根据旋转的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴AD＝A，∠CA＝∠BAD， ∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°， ∴∠AE＝∠CA＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DAE＝∠AE， 在△ADE和△AE中， ∵， ∴△ADE≌△AE（SAS）， ∴DE＝E； （2）解：∠DAE＝∠BAC． 理由如下：在△ADE和△AE中， ， ∴△ADE≌△AD′E（SSS）， ∴∠DAE＝∠AE， ∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠BAC； （3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝∠AC＝45°， ∴∠CE＝45°＋45°＝90°， ∵△EC是等腰直角三角形， ∴E＝C， 由（2）DE＝E， ∵△ABD绕点A旋转得到△AC， ∴BD＝， ∴DE＝BD． 变式3．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析 【分析】（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解； （2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解； （3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解． 【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， 在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC    ， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN=45°， ∴∠ABM+∠CBN=45°， ∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°， 即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （2）MN=AM+CN；理由如下： 如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， ∵∠A+∠C＝180°， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN， ∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （3）MN=CN-AM，理由如下： 如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'， ∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠C+∠BAD=180°， ∵∠BAM+∠BAD=180°， ∴∠BAM=∠C， ∵AB＝BC， ∴△ABM≌△CB M'， ∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'， ∴∠MA M'=∠ABC， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N=CN-C M'，   ∴MN=CN-AM． 故答案是：MN=CN-AM． 考点二 手拉手模型 例1．（2026·重庆南岸·模拟预测）如图，在中，． (1)如图，若，点在边上（不与，点重合）．连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求的度数； (2)如图，若，点，分别在，上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接．请用等式表示线段，，的数量关系并证明； (3)如图，若，点在上，且，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，连接，当取最大值时，请直接写出的值． 【答案】(1)，见详解 (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）观察图形，结合已知条件证即可； （2）通过取特殊点，先猜想出三条线段应满足的数量关系：，然后结合已知条件，过点F作，交于点G，连接，通过全等把转化为一条线段的长，最后利用等腰直角三角形的性质即可得证； （3）首先通过取特殊点猜想点E的运动轨迹，进而确定出取得最小值时的位置以及对应的线段、角度等；然后再探究点Q的运动轨迹，进而确定取得最大值时的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． 由旋转，得，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：，证明： 如图1，过点F作，交于点G，连接， ∴． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，． ∴为等腰直角三角形． ∵点是的中点， ∴，， ∴，即． 在四边形中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴． （3）解：，思路提示： 第一步，确定取得最小值时的位置 如图2，在直线上再取一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于H，I，则易知，为等腰直角三角形． ∴，， ∴，即， ∴，∴． ∵在和中，， ∴， ∴． 由条件易知， ∴． 由条件可知当D和A重合时，点E恰好和点H重合，此时． ∴点E在与边垂直、且经过点H的直线上运动． 根据垂线段最短，当时取得最小值，如图3所示． 连接，设，则由条件易知 ． 在等腰直角三角形，和中，，，， ∴，． 第二步，确定取得最大值的位置 ∵点是的中点， ∴． ∵是由沿所在直线翻折得到的， ∴， ∴点Q的运动轨迹为以E为圆心，为半径的圆上（如图4）． ∴当Q在的延长线上时，最大（如图5），此时有． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 例2．（25-26九年级下·辽宁沈阳·月考）综合探究与应用 (1)如图1，在和中，，，，点B在上，连接．则与的关系为_____________． 【类比应用】 (2)如图2，在中，，，将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度（）得到线段，连接，过点A作的垂线，分别交与射线于点D，F，连接． ①线段绕点A旋转的过程中，的度数是否发生变化？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； ②直接写出、、这条线段的数量关系为________________； ③若，，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；②；③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理求直角三角形的边长，等腰三角形的性质等知识，综合性强． （1）与的关系为：，．通过证明，由全等三角形对应边相等，对应角相等可得，，再证，从而证得； （2）①，证明思路：先证明，是等腰三角形，通过已知条件，，结合三角形内角和定理，推导出， ，从而证得； ②，证明思路：过点A作交延长线于点H，先证 ，从而证明是等腰直角三角形，再证，由全等三角形的性质可得，结合等腰直角三角形性质，证得； ③先证，结合②的结论以及，得到，再求得，在中，由勾股定理可知，， 运用完全平方公式，变形得到，从而求得的值，最后求得的面积． 【详解】（1）解：与的关系为：，，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故，； （2）解：①，理由如下： ∵将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度得到线段， ∴，， 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 同理，在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ②，证明如下： 如图，过点A作交延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 由①可知，， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③由②可知，，， ∴， 即． 由②可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 例3．（25-26九年级上·山西朔州·月考）综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 【答案】（1）① ；② ；（2）与的位置关系和数量关系没有发生变化，见解析；（3）与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 【分析】（1）根据题意证明，再根据全等可得，，即可求解； （2）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，，即可求解； （3）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，即可求解； 【详解】解：（1）理由：延长交于点，如图 在和中， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为： ① ；②； （2）由题意得， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图；          ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的位置关系和数量关系没有发生变化； （3）设， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不垂直， ∴与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 变式1．（25-26九年级下·河南新乡·月考）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键； （1）由题意得，结合即可求解； （2）证即可求解； （3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解； 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 变式2．（2026·广东惠州·模拟预测）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小．李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接．将求分成求和的和即可．请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小； 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将绕B点逆时针旋转得到，连接，则为等边三角形，．再由 得到，用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，从而得到． （2）将绕点逆时针旋转得到，得到，证明得到． 【详解】解：（1）如图，将绕B点逆时针旋转得到，连接，则 ，， ∴为等边三角形． ∴， 又∵， ∴， ， ∴ 是直角三角形，， ． （2）由正方形的性质得：，， 如图，将绕点逆时针旋转得到， ，， ∴， ， ， ∵，，， ， ． 变式3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 【答案】(1)，顺， (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，旋转等知识点，掌握相关结论即可； （1）由图即可求解； （2）设与交于点，证即可； 【详解】（1）解：由图可知：可以看作是由旋转得到，其旋转中心是点，旋转方向是顺时针．旋转角的度数是； （2）解：设与交于点, ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 根据三角形的外角的性质可知， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $