第2章 第4节 半角模型-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

以壹学知道中考数学压轴题得高分● 第4节 半角模型 所谓几何模型，即在特定条件组合下存在一般性结论，了解一些常见的模型，有助于快速找出 题中的隐含条件.半角模型是中考中常见模型之一，不仅要了解条件与结论，也要学会思考模型 变式 》知识导航 下列结论： ≥1. 基本结论 45 ®例工(2024·重庆)如图，在边长为4的正 方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD的延 长线上一点，连接AE、AF,AM平分∠EAF交 E CD于点M若BE=DF=1,则DM的长为 结论1：EF=BE+DF; ( 结论2：EA平分∠BEF,FA平分∠DFE; 结论3：过点A作AH⊥EF于点H,则 D AH=AB. 证明： (I)延长CD至点G使得DG=BE,可得 △ABE≌△ADG,∴.∠FAG=45°=∠FAE, A.2 B.√5 AG=AE,又.AF=AF,∴.△AEF≌ C.√6 n号 △AGF(SAS),∴.EF=FG=BE+DF; O解析.BE=DF,.△ABE≌△ADF, G .AE=AF..AM平分∠EAF,∴.∠EAM= ∠FAM,.△EAM≌△FAM(SAS),.EM= FM=BE+DM,设DM=x,则CM=4-x, EM=x+1.在Rt△CEM中，CE2+CM2= EM2,代入得32+(4-x)2=(x十1)2，解得 B D 12 (2)由△AEF≌△AGF可得：EA平分 《模型归纳 ∠BEF,FA平分∠DFE; 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在 (3)·EA平分∠BEF,AB⊥BE,AH⊥ 边BC、CD上，连接EF.若∠EAF=45°，可得 EF,..AH=AB. 50 第2章)几何变换 例3(2023·湖北)如图，将边长为3的正 D 45 方形 ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点 M落在边AD 上(点M 不与点A、D重合)，点 F C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别 H B C 与边AB、CD交于点E、F，连接BM. E (1)求证： ：∠AMB=∠BMP. 反之，在正方形 ABCD 中，点E、F分别 (2)若 DP=1， 求MD的长. 在边 BC、CD 上，连接EF. A M D A D P E F F B C )解析(1)由题意得 EM=EB，∴∠EBM= B C $$\angle E M B \therefore \angle A M B = 9 0 ^ { \circ } - \angle E B M ， \angle B M P =$$ E 满足下列条件中的任意一个，可推得 $$9 0 ^ { \circ } - \angle E M B ， \therefore \angle A M B = \angle B M P .$$ $$\angle E A F = 4 5 ^ { \circ } ；$$ (2)若 DP=1， 则 CP=CD-DP=2. 如图，过点 ①EF=BE+DF； B作 BH⊥MN 于点H，连接 BP.∵∠AMB= ②EA平分 ∠BEF 或FA平分 ∠DFE； ∠BMP，∴BA=BH .在正方形 ABCD 中， ，BA= ③过点A作 AH⊥EF 于点 H，AH=AB. BC，∴BH=BC， ，在 Rt△BHP 和 Rt△BCP 中， BP=BP， BP=BP，∴Rt△BHP≅Rt△BCP(HL)， 2.发现半角 ∴PH=PC=2. .设 MD=x， 则 MH=MA=3- 例2(2022·泰安)如图，四边形 ABCD x，∴MP=MH+PH=5-x. Rt△MDP 中， 为正方形，E是 BC 的中点，将正方形 ABCD 沿AE 折叠，得到点B的对应点为F，延长 $$M D ^ { 2 } + D P ^ { 2 } = M P ^ { 2 } ，$$ 代入得 $$x ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } = \left( 5 - x \right) ^ { 2 } ，$$ EF交线段DC于点P，若 AB=6， ，则DP的 解得 $$x = \frac { 1 2 } { 5 } ， \therefore M D$$ 的长为 $$\frac { 1 2 } { 5 } .$$ 长为. M A D A D H P P E N F F B C B E C 思路点拨 解析 由题意得 ∠AEB=∠AEF， ，连接 AP， 半角模型，题目本身或并不直接给出半 可得 $$\angle E A P = 4 5 ^ { \circ } ，$$ ，设 DP=x， ，则 EP=BE+ DP=3+x，CP=6-x. 在 Rt△CEP 中， $$， C E ^ { 2 } +$$ 角条件，如由翻折得角平分线，由角平分线推 $$C P ^ { 2 } = E P ^ { 2 } ，$$ 代入得 $$3 ^ { 2 } + \left( 6 - x \right) ^ { 2 } = \left( x + 3 \right) ^ { 2 } ，$$ ，解 出半角，再用半角模型的相关结论解决问题. 学习几何模型，需归纳其中的等价条件. 得 x=2，∴DP 的长为2. 51 以壹学知道中考数学压轴题得高分 ≥3.模型进阶 多模型进阶 M 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在 B B 边BC、CD上，连接EF,连接BD分别交 E AE、AF于点M、N,若∠EAF=45°. 证明思路：由题意得∠BAM=∠CAF, 又.·∠ABM=∠ACF,可得△ABM∽ △ACF;同理可得△ADNp△ACE. 结论7：A、B、E、N四点共圆；A、D、F、 M四点共圆. 结论4：BM2+DN=MN2; 证明思路：将△ABM旋转至△ADM,连 F 接NM',可证△AMN≌△AM'N,∴.MN2= M M'N2=DM'+DN2=BM2+DN2. E b 与A、B、E、N四点共圆相关的结论： ①△AMN∽△BME; ②△AMBC∽△NME; ③△ANE是等腰直角三角形 M 结论8：E、F、N、M四点共圆. B D 结论5：△NAM∽△NBA,△MAN∽ △MDA. 45V 459 N 可得△AMN∽△AFE(∠ANM 45M ∠AEB=∠AEF,∠AMN=∠AFE),且 4 E MNAM_AN√2 证明思路：由∠NAM=45°=∠NBA,可 FE AF AE 2 得△NAM∽△NBA(母子型)；同理可得 ®例4(2023·赤峰)数学兴趣小组探究了以 △MANp△MDA. 下几何图形.如图1，把一个含有45°角的三角尺 结论6：△ABM∽△ACF,△ADN∽ 放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与 △ACE. 正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时， 52N 第2章) 几何变换 45°角的两边CM、CN始终与正方形的边AD、 C解析【探究一】由题意得△CDM≌△CBH, AB所在直线分别相交于点M、N,连接MN, .CM=CH,∠DCM=∠BCH,∴.∠HCN= 可得△CMN. ∠BCN+∠BCH=∠BCN+∠DCM=45°= 【探究一】如图2，把△CDM绕点C逆时针旋转 ∠MCN.在△CNM和△CNH中， 90°得到△CBH,同时得到点H在直线AB上. (CM=CH, 求证：∠CNM=∠CNH. ∠MCN=∠HCN,∴.△CNM≌△CNH(SAS), 【探究二】在图2中，连接BD,分别交CM、CN CN-CN, 于点E、F.求证：△CEF△CNM. '.∠CNM=∠CNH. 【探究三】把三角尺旋转到如图3所示位置，直 【探究二】如图，，∠ECF=45°=∠NBF, 线BD与三角尺45°角两边CM、CN分别交于 ∠EFC=∠NFB,.∠CEF=∠FNB= 点E,P,连接AC交BD于点O,求的位 ∠CNM.又.∠ECF=∠NCM,.△CEF∽ △CNM. D E F A B N B H 图1 图2 【探究三】.∠ECF=45°=∠DCA, ∴.∠ECD=∠NCA.又，∠EDC=135°= M E CE CD ∠NAC,ACDE△cAN,∴-CA ,∠CED-∠CNA=∠CNM,:△CEFD √2 A B △cN,柴-层的值为竖 图3 53 以壹学知道中考数学压轴题得高分m心 》真题演练 1.(2023·重庆)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，连接AE、AF、EF, ∠EAF=45°.若∠BAE=a,则∠FEC一定等于 () A.2a B.90°-2a C.45°-a D.90°-a C D G E B E 图1 图2 (第1题) (第2题) 2.(2020·常德)如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE、△DCF分别沿DE、DF向内折叠 得到图2，此时DA与DC重合，点A、C都落在点G.若GF=4,EG=6,则DG的长为 3.(2020·广州)如图，在正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',AB'、AC'分 别交对角线BD于点E、F,若AE=4,则EF·ED的值为 B E (第3题) (第4题) (第5题) (第6题) 4.(2022·达州)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上的动点（不与端点 重合)，连接BE、BF,分别交对角线AC于点P、Q.点E、F在运动过程中，始终保持∠EBF= 45°，连接EF、PF、PD.现有下列结论：①PB=PD;②∠EFD=2∠FBC;③PQ=PA+CQ; ④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF,垂足为H,连接DH,则DH的最小值为 2√2一2.其中所有正确结论的序号是 5.(2021·广元)如图，在正方形ABCD中，O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP 并延长交CD于点E,过点P作PF⊥AP交BC于点F,连接AF、EF,AF交BD于点G,现有以 下结论：①AP=PF;②DE十BF=EF;③PB-PD=√2BF;④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG= S△APG.其中结论正确的有 (填入正确的序号即可) 6.(2021·黄石)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AE交 BD于点M,AF交BD于点N. (1)若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 (2)现有下列结论：①BM+DN2=MN2;②若F是CD的中点，则tan∠AEF=2;③连接MF, 则△AMF为等腰直角三角形.其中正确结论的序号是 54 C)第2章 几何变换 7.(2023·济宁)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D、E在边BC上， 4 若∠DAE=30,tan∠EAC-子，则BD- 8.(2022·河南)综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动， (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接 PM、BM. 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角： (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照(I)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接BQ ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ= ,∠CBQ= ②改变点P在AD上的位置(，点P不与，点A、D重合)，如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量 关系，并说明理由。 (3)拓展应用 在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=1cm时，直接写出AP 的长 A A 图1 图2 图3 55 壹学知道中考数学压轴题得高分● 9.(2024·宿迁)在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动. 【操作判断】 操作一：如图1，对折正方形纸片ABCD,得到折痕AC,把纸片展平； 操作二：如图2，在边AD上选一点E,沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE; 操作三：如图3，在边CD上选一点F,沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF. 把正方形纸片展平，得图4，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H. 根据以上操作，得∠EBF= 【探究证明】 (1)如图5，连接GF,试判断△BFG的形状并证明. (2)如图6，连接EF,过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M.求证：EM=MF. 【深入研究】 者C,南求出的值（调合质的代城式表示） B 图1 图2 图3 E A E H B B 图4 图5 图6 56M 第2章 几何变换 10.(2025·扬州)问题：如图1，P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD,GH∥AB,矩 形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况. 【从特例开始】 (1)小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接 一条线段，由此可得此图形中∠FAH= 0 (2)小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE=PF=6,PG=4,PH=8,求此 图形中∠FAH的度数. 【一般化探索】 (3)利用图1，探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况，并说明理由， AG D B H H 图1 图2 图3 11.(2024·乐山)在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3, CE=4,求DE的长. 解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD',连接ED' 由旋转的性质得∠BAD=∠CAD',∠B=∠ACD',AD=AD',BD=CD'. ∠BAC=90°，∠DAE=45°，.∠BAD+∠EAC=45°. .∠BAD=∠CAD',∴.∠CAD'+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°，∴.∠DAE=∠D'AE. 在△DAE和△D'AE中，AD=AD',∠DAE=∠D'AE,AE=AE, .① ,..DE=D'E. 又，∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90°， ∴.在Rt△ECD'中，② .'CD'=BD=3,CE=4,..DE=D'E=3 459 45 D' B C(B) D E D 图1 图2 57 以壹学知道： 中考数学压轴题得高分● 【问题解决】 (1)上述问题情境中，“①”处应填： ;“②”处应填： ；“③”处应填： 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变 量，就能以不变应万变， 【知识迁移】 (2)如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形 ABCD的周长的一半，连接AE、AF,分别与对角线BD交于M、N两点.探究BM、MN、 DN的数量关系并证明. 【拓展应用】 (3)如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.探究BE、 EF、DF的数量关系： (直接写出结论，不必证明) 【问题再探】 (4)如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,点D、E在边AC上，且∠DBE=45°.设 AD=x,CE=y,求y关于x的函数表达式. D A M B E B 图3 图4 图5 58M10.解析：(1)①CA=CE十CD,理由如下：在等边三角3.16解析：EF·ED=EA2=16. 形ABC和等边三角形ADE中，∠BAC=60°=4.①②④⑤解析：由对称性可知结论①正确；设 ∠DAE,∴.∠BAD=∠CAE,在△ADB和△AEC∠FBC=Q,则∠BFE=∠BFC=90°-a,.∠EFD= (AD=AE, 2a=2∠FBC,故结论②正确；PQ2=AP2十CQ,故结 中，{∠BAD=∠CAE,∴，△ADB≌△AEC(SAS),论③错误，结论④正确；当B、H、D共线时，DH取到 AB=AC, 最小值2√2一2，故结论⑤正确.综上所述，正确的结论 .'.BD=CE,.CA =CB=BD+CD=CE+CD. 有①②④⑤： ②CE=CA十CD,同理①可得△ABD≌△ACE,5.①②③⑤解析：由题意得△APF是等腰直角三角 ∴.CE=BD=BC+CD=CA+CD.(2)BD的长为形，∴.AP=PF,故结论①正确；，∠EAF=45°， 6-√3或6+2W3 ∴.DE十BF=EF,故结论②正确；如图，过点P作 11.解析：(1)BE=3AD,AD⊥BE.(2)一致，理由PM⊥BC于点M,PN⊥CD于点N,则PB-PD= 略.(3)BE=30 √2BM-√2PN=√2(BM-MF)=√2BF,故结论③ 5 正确；点A到EF的距离等于AB的长，，EF的值是 12.解析：(1)成立.由题意得△AEB≌△AGD, 变化的，.△AEF的面积不是定值，故结论④错误； ∴.BE=DG.(2)当∠EAG=∠BAD时，BE=DG. 若∠EAG=∠BAD,由题意得△AEB≌△AGD, S△AEF ∴.BE=DG.(3)如图，连接EG、BD,由题意得 正确综上所述，正确的结论有①②③⑤， △AEG∽△ABD,可得BE⊥DG,.DE2+BG2= EG2十BD2=260,即DE2+BG的值是260. 6.(1)4(2)①③解析：(1)由题意可得EF=BE十 第4节半角模型 DF,∴.CACEF=CE+EB十CF+FD=CB+CD=4, 1.A解析：由题意得∠AEF=∠AEB=90°-a, .△CEF的周长是4.(2)结论①正确；令AB= .∴.∠FEC=2a. CD=BC=2,则DF=CF=1,设BE=x,则CE=2一 2.12解析：如图，EF=EG+FG=10,设DG=x,则 x,EF=1+x.在Rt△ECF中，12+(2-x)2=(1+x)2, AB=BC=DG=x,∴.BE=x-6,BF=x-4.在 Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2,代入得(x-6)2十 解得x-子，即BE-名，am∠AEF=n∠AEB= 红-4)=10，解得x=12或x=-2(合去)，2X-3结论②错误；∠MAF=∠MDF,A,D. .DG=12. F、M四点共圆，∴.∠AFM=∠ADB=45°，.△AMF 是等腰直角三角形，∴结论③正确综上所述，正确的 结论是①③， 7.3一√3解析：取BC的中点M,连接AM,则 AM⊥BC,∠MAC=30°=∠DAE,.∠DAM= 中考数学压轴题得高分 ·13· ∠EAC,an∠DAM=子：BC=6,BM=3,6,PF=x-a,PH=x-b,则(z-a)(x-b)= 2ab,同理(2)证出FH=BH+DF即可，即证(x一 AM=3√3，.DM=√3，∴.BD=3-√3. a)2+(x-b)2=(a+b)2,即证x2-ax-bx=ab,由 (x-a)(x-b)=2ab化简得x2-ax-bx=ab, .FH=BH+DF,可得∠FAH=45°. 8.解析：(1)∠ABP(或∠PBM、∠MBC、∠EMB) (2)①1515②∠MBQ=∠CBQ,由题意得△APB≌ 图1 图2 △MPB,可证△MQB≌△CQB,∴.∠MBQ=∠CBQ. 11.解析：(1)①△DAE≌△D'AE②EC2+D'C2= (3)AP-40 m皮器m D'E③5(2)BM2+DN2=MN,证明参考【模型 9.解析：【操作判断】45【探究证明】(1)△BFG是等 进阶】“结论4”证明，(3)2BE2+2DF2=EF2,理由 腰直角三角形.证明如下：：∠EBF=45°=∠FCH, 如下：如图1，延长FE与AB的延长线交于点P,延长 EF交AD的延长线于点Q,可得△APQ是等腰直角 BHG=∠CHF,△BHG ACHF,HR 三角形，有PE2十FQ2=EF,∴.2BE2十2DF2=EF2. 器=品.又：∠BHC=∠GH, (4)如图2，将△BE℃绕点B逆时针旋转90°得到 △BE'C,延长E'C'交AD于点H,则E'H⊥AC,连接 ∴.△BHC∽△GHF,∴.∠GFH=∠BCH=45°， ∴.∠BGF=90°，GB=GF,∴.△BFG是等腰直角三角 ED,可得ED=ED,∴.ED2=EH+DH=（y+ 形.(2)由(1)可证△BPG≌△GQF,∴.PG=QF,又 )+(x-)=+-+号y+1,又 6 :PG=PA=DQ,∴FQ=DQ,PQ∥AD,∴E日 ED2=(5-x-y)2=x2+y2-10x-10y+2xy+ Q=1,EM=MR.【深入研究】由半角可证得 42 QD x-24 5 42x-12021x-60 25,.y= AG2+CH2=GH2,设AG=a,CH=ma,则GH= 56 10x-56 2x- 5x-28 5 (k-m-1)a,代人得a2+(ma)2=(k-m-1)2a2,整 D 理得m2+1=(k-m-1)2,展开得m2+1=k2+m2+ 1-2km-2k十2m,解得m= k2-2k GH 2k-2,六H0 k一m-1_k2-2k十2 m k2-2k 459 10.解析：(1)如图1，可得∠FAH=45°.(2)如图2， 图1 图2 连接FH,则FH=√PF2+PH=10,又，DF= PG=4,BH=PE=6,∴.FH=BH+DF,可知 第5节旋转的构造 ∠FAH=45°.(3)设正方形边长为x,PE=a,PG=1.A解析：由题意得AB十AD=√2AC,.AC=√2， 中考数学压轴题得高分 ·14·