甘肃省兰州市学府致远学校2025-2026学年九年级下学期模拟数学试卷（四）

**基本信息** 以洲际导弹三视图、烯分子结构、风电塔筒测量等真实情境为载体，覆盖函数、几何、统计等核心知识，梯度设计适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|绝对值、三视图、统计图表|结合科技（导弹）、文化（民族团结）素材，考查空间观念与数据意识| |填空题|4/12|因式分解、概率、圆的切线|融入创意吊灯概率、割圆八线图，体现数学文化与几何直观| |解答题|11/75|函数综合、解直角三角形、新定义问题|风电塔筒测量（应用意识）、“对称平衡点”新定义（创新意识），契合中考命题趋势|

兰州市学府致远学校2026年中考押题卷 数学试卷答题卡（四） 1.答题前，考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。 5.正确填涂： ! 1、 选择题（共11题、每小题3分，共33分）1. [A] [B] [C] [D] 5. [A] [B] [C] [D] 9. [A] [B] [C] [D] 2. [A] [B] [C] [D] 6. [A] [B] [C] [D] 10. [A] [B] [C] [D] 3. [A] [B] [C] [D] 7. [A] [B] [C] [D] 11. [A] [B] [C] [D] 4. [A] [B] [C] [D] 8. [A] [B] [C] [D] 2、 填空题（共4题、每小题3分，共12分） 12. 13. 14. 15. 3、 解答题（共12题，共72分） 16. （5分） 17.（5分） 18.（5分） 19． （7分） 20（7分） 21（7分） （1） （2）① ② ③ ④　　 22. (7分） （1）　 （2）：　　 ，　　 （3） 内部资料，版权所有，请勿翻印 数学（四）第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ①在点，，中，是线段的“对称平衡点”的是 　　；25.（8分） 26.（9分） （1）①在点，，中，是线段的“对称平衡点”的是 　　； 23.（7分） 24.（8分） $ 兰州市学府致远学校中考数学押题卷（四）答案 1、 选择题（每小题3分，共计33分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 二、填空题(每小题3分，共计12分） 12. 13. 14. 15. 三、解答题 16.．解【解答】解：原式 ..................................................................................................4分 ． ...................................................................................................5分 17. 解：原式 ， 当，时， 原式．.............................................................................5分 18..解：由题意，， ， ， ， 原不等式组的解集为：． ....................................5分 19.解：（1）一次函数的图象与轴交于点， ， 解得：， 该一次函数的表达式为：， 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， 解得：， ...............................................................2分 该反比例函数的表达式为：，点的坐标为， 一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； ..........................3分 （2）点的坐标为， 根据函数的图象得：不等式的解集为：； ..........................4分 （3）过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示： 点的坐标，点的坐标为， ，， ， 设直线的表达式为：，， ， 解得：， 直线的表示为：， 解方程组：，得：，， 点的坐标为， ， ， ， 即△的面积为2． ..................................................7分 20解：延长交于点，延长交于点，则，， 由题意得：米，米，，， ...................................1分 米， 米， ..................................................2分 设米，则米， 在△中，， （米， 在△中，， 米， ， ， ..................................................5分 解得：， ..................................................6分 ， ..................................................7分 风电塔筒的高度约为． 21.（1）解：如图，即为所作； ..................................................3分 （2）证明：，， ， △和△为直角三角形， 又平分，，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ． 故答案为：，，，． ..................................................7分 22.解：（1）由题意可知，抽样调查方式更合理的是从20个班中各随机抽取一个， 故答案为：④． ..................................................1分 （2）把校外课程的打分从小到大排列，排在中间的两个数均为4，故中位数， 在阅读课程的打分中，5出现的次数最多，故众数． ..................................................3分 （3）综合平均分中教师打分占，学生打分占， 校外课程的得分为（分， 阅读课程的得分为（分， ， 该校师生更喜欢阅读课程． ..................................................7分 23.【解答】（1）证明：连接OE，过O作OG⊥AF于点G， ∵AB切⊙O于点E，OE为半径， ∴OE⊥AB， ∵AB＝AF，AC⊥BF， ∴AC平分∠BA， ∴OE＝OG， ∴O到AF的距离OG等于半径OE， ∴AF是⊙O的切线； ..................................................3分 （2）解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°， ∵D为AB的中点， ∴， ∴AB＝10， 在Rt△ACB中，， ∵AC⊥BF，OE⊥AB， ∴∠OEA＝∠ACB＝90°， ∴， ∴设AE＝4x，OE＝3x，则AO＝5x， ∴OC＝8﹣5x， ∵OC＝OE， ∴8﹣5x＝3x， ∴x＝1， ∴OE＝3，AE＝4， ∴ED＝AD﹣AE＝5﹣4＝1， ∴． ..................................................7分 24.解：（1）由条件可知函数图象对称轴为直线． 二次函数的对称轴公式为， ，解得． ..................................................1分 （2）①二次函数的对称轴为直线，， ， 顶点横坐标为，代入函数得最大值． 二次函数的最大值为， ．解得或． 函数有最大值， 抛物线开口向下，即． ，此时． 抛物线表达式为． ..................................................4分 ②不存在满足所有条件的正整数，．理由如下： 当，分式无意义，即， ， ． ， ． ，， ． ， ， 可能的值为4，6，12． 当，则，两点重合，不符合题意，舍去． 又函数最大值为4， 当或也不成立． ..................................................8分 综上所述，不存在满足所有条件的正整数，． 25.解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠1＝∠2＝22.5°， 又∵CP⊥CF， ∴∠3+∠FCD＝∠1+∠FCD＝90° ∴∠3＝∠1＝22.5° ∴∠P＝67.5° 又四边形ABCD为正方形， ∴∠ACP＝45°+22.5°＝67.5° ∴∠P＝∠ACP ∴AP＝AC 又ACAB＝4 ∴AP＝4， ∴S△APCAP•CD44＝8； ..................................................4分 （2）∵在△PDC和△FBC中， ∴△PDC≌△FBC ∴CP＝CF 在CN上截取NH＝FN，连接BH ∵FN＝NH，且BN⊥FH ∴BH＝BF ∴∠4＝∠5 ∴∠4＝∠1＝∠5＝22.5° 又∠4+∠BFC＝∠1+∠BFC＝90° ∴∠HBC＝∠BAM＝45° 在△AMB和△BHC中， ， ∴△AMB≌△BHC， ∴CH＝BM ∴CF＝BM+2FN ∴CP＝BM+2FN． ..................................................8分 26解：（1）①如图1，点，，， ， ，， ， 线段的“对称平衡点”是，， 故答案为：，； ..................................................1分 ②不存在，理由如下： ..................................................2分 设为线段上任意一点，则它与线段上点的距离最小值为0，最大值为和中的较大值， ，， 点关于轴的对称点为，它到线段上任意一点的距离大于等于4， 若、是线段上的任意两点，则，， 不存在， 线段上不存在线段的“对称平衡点”； ..................................................5分 （2）如图2，由②可知线段上不存在的“对称平衡点”， 上存在的“对称平衡点”， ，， ． ..................................................9分 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市学府致远学校中考押题卷（四） 数学 注意事项： 1. 全卷120分，考试时间120分钟。 2. 考生务必将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在试卷及答题卡上。 3. 考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡相应位置。 4. 考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）若一个数的绝对值是4，则这个数是（　　） A．4 B．或 C．4或 D． 2．（3分）如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 3．（3分）若，，则等于（　　） A．1 B．2 C． D． 4．（3分）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是　　厘米． （4题图） （5题图） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（3分）如图，某同学从家到学校有四条不同的路线，路程最短的是（　　） A．从点经过弧到点 B．从点经过线段到点 C．从点经过折线到点 D．从点经过折线到点 6．（3分）体育老师对一班和二班学生参加体育兴趣小组的情况进行了统计（每人只能参加一个兴趣小组），并得到了如图所示的统计图，则下列说法一定正确的是（　　） A．一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数一样多 B．二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的 C．一班参加羽毛球兴趣小组的人数比二班参加羽毛球兴趣小组的人数多 D．二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多 7．（3分）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 8．（3分）如图是某超市叠放的购物车、小艺同学尝试探究购物车的车身总长（单位：米）与购物车数量（单位：辆）之间的关系，她测得几组数据如下表所示： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 6 车身总长米 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 下列结论正确的是（　　） A．是的正比例函数 B． C．当时， D．当时， 9．（3分）临近毕业，九（2）班组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（　　） (10题图） （11题图） A. B． C． D． 11．（3分）如图，分别在正方形边、上取、点，并以、的长分别作正方形．已知，．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（　　） A．一次函数关系 B．二次函数关系 C．正比例函数关系 D．反比例函数关系 二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分） 12．（3分）因式分解：　　． 13．（3分）如图是一组悬挂在天花板上的创意吊灯，清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯前必须先取下吊灯，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个被取下的吊灯是的概率是　　 ． (13题图） （14题图） 14．（3分） 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为，此时　　 ． 15．（3分）如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点．若，则的半径长为　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（5分）计算： 17．（5分）先化简，再求值：，其中， 18．（5分）．解不等式组：． 19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）求△的面积． 20．（7分）风能是一种清洁能源，我国风能资源非常丰富，风力发电发展迅速．习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．某校数学综合与实践小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，风电塔筒是风力发电设施中不可或缺的重要组成部分，它的高度是一个重要的设计参数．于是该小组成员开展了测量风电塔筒高度（即风力发电的塔杆）的实践活动．形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 风电塔筒的高度 测量目的 运用三角函数有关知识解决实际问题 测量工具 测角仪、激光测距仪等 测量示意图 测量方案 1．在风电塔筒前的空轴上取测量点，利用测角仪测得此时点的仰角； 2．改变测量点，在风电塔筒另一侧空地上取点，利用测角仪测得此时点的仰角； 3．测得米，米，米．（图中各点均在同一竖直平面内） 请根据以上测量数据，求风电塔筒的高度（参考数据：，，． 21.（7分）在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形中，．若平分，，求证：．”结合学过的知识，可以知道：首先过点分别作出、的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成下面的作图与填空： （1）尺规作图：用直尺和圆规，过点作出的垂线，交的延长线于点（只保留作图痕迹）； （2）证明：，， ， △和△为直角三角形， 又平分，，， ①　　． 在△和△中， ， △△． ③　　． ， ④　　． 22．（7分）市义务教育阶段初中阶段部分学校践行了“每周半天计划”活动，减少学生的上课时间，按单双周安排轮流设置半天的校外课程与阅读课程，某校为了了解师生对这两类课程的喜爱程度，现抽取部分师生分别对这两类课程进行打分（分数为整数，满分为5分）． 信息一：学生打分的平均数、众数、中位数如表所示： 项目 平均数 众数 中位数 校外课程 3.5 4 阅读课程 3.4 3 信息二：20名学生打分情况的折线统计图如图所示： 抽取的10位教师对“校外课程”和“阅读课程”这两类课程打分的平均分分别为3.8分和4分．请根据以上信息解答下列问题： （1）下列抽样调查的20名学生中，抽样调查方式更合理的是　　 ．（填序号） ①从八年级中抽取； ②从七年级（1）班中抽取； ③抽取20名男生； ④从20个班中各随机抽取一个． （2）填空：　　 ，　　 ． （3）如果该校将根据综合平均分的高低来判断师生对这两类课程的喜爱程度，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，那么请你通过计算分析该校师生更喜欢哪类课程？ 23．（7分）如图，在△ABF中，AB＝AF，AC⊥BF于点C，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点E，点D为AB的中点，连接CD，OD． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若BC＝6，CD＝5，求OD的长． 24．（8分）已知二次函数同时经过点和． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求抛物线表达式； ②点，，，是二次函数图象不重合的两点，且满足，若p，且都是正整数，是否存在满足上述条件的，值，如果存在，求出和的值；如果不存在，请说明理由． 25．（8分）已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P． （1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积； （2）求证：CP＝BM+2FN． 26．（9分）在平面直角坐标系中，有图形和点，我们规定：若图形上存在点、（点和可以重合），满足，其中点是点关于轴的对称点，则称点是图形的“对称平衡点”． （1）如图1所示，已知，点，点． ①在点，，中，是线段的“对称平衡点”的是 　　； ②线段上是否存在线段的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的“对称平衡点”的横坐标的范围，若不存在，请说明理由． （2）如图2，以点为圆心，1为半径作．坐标系内的点满足，再以点为圆心，1为半径作，若上存在的“对称平衡点”，直接写出点纵坐标的取值范围． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $