精品解析：甘肃兰州市学府致远学校中考2026年九年级数学押题卷（三）

兰州市学府致远学校中考数学押题卷（三） 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴． 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：对A、C、D选项中三个图案，都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形； 对B选项中的图案，能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形． 3. 将代数式进行因式分解，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察原式符合完全平方公式的结构，套用公式分解即可得到结果． 【详解】解：． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式，再计算判别式的值判断根的情况即可． 【详解】解：将方程化为一般形式，得， ，，， ， 该一元二次方程没有实数根． 5. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的示意图，座椅靠背与地面垂直，小桌板与地面平行，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，先由平行线的性质求解，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，由题意得 ∵， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点, 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 7. 如图所示的两个五角星是位似图形，是位似中心，位似比为．点，的对应点分别为点，，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入数据计算即可． 【详解】解：∵两个五角星是位似图形，位似比为， ∴，即， 解得：． 8. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则该函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，列方程组计算即可；熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 解得 ∴该函数的表达式为 故选：B． 9. 如图所示的是某班级一次数学考试成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法错误的是（ ） A. 得分在70分～80分的人数最多 B. 该班的总人数为40 C. 人数最少的得分段的频数为2 D. 得分及格（大于等于60）的有12人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，解题的关键是读懂图像信息，灵活运用所学知识解决问题． 利用频数分布直方图中的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由图可知，得分在分～分的人数为人，得分在分～分的人数为人，得分在分～分的人数为人，得分在分～分的人数为人，得分在分～分的人数为人，得分在分～分的人数最多，说法正确，不符合题意； B、（人），该班的总人数为，说法正确，不符合题意； C、人数最少的得分段在分～分，该得分段的频数为，说法正确，不符合题意； D、（人），得分及格（大于等于）的有人，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 10. 第25届冬季奥林匹克运动会在意大利米兰举行，中国代表团在滑雪技巧比赛中的优异表现，带动了中国青少年学习滑雪的热潮，某滑雪训练基地出售滑雪设备，已知购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元；购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同，如果设1双滑雪鞋的单价是x元，1套滑雪杖的单价是y元．根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元可得方程，根据购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设1双滑雪鞋的单价是元，1套滑雪杖的单价是元． 由题意得，． 11. 如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点M，N，P，Q分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，反比例函数关系 B. 二次函数关系，一次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 反比例函数关系，二次函数关系 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，关键是对这些知识的掌握和运用． 设 ，根据菱形和矩形的性质，求出与、S与x的函数解析式，从而得出结论． 【详解】连接对角线，，交于点，如图： 根据菱形和矩形都是中心对称图形可得： ， ， ， ， 是等边三角形， ， 设 ，则， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 与满足一次函数关系； ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 与满足二次函数关系； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题．每小题3分，共12分） 12. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 13. 如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，连接，若，，则的长为__________． 【答案】18 【解析】 【分析】先求出，再根据勾股定理求出，由线段垂直平分线的性质得到，得出． 【详解】解： ， ， ， ， 垂直平分， ， ． 14. 扇形餐盘具有独特的视觉效果和实用性，广泛应用于家庭、餐饮及商业场景，如图，一餐盘所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，对应的圆心角为 ，则该餐盘的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】直接利用餐盘的面积，再代入即可求解． 【详解】解：如图， 该餐盘的面积 ． 15. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意列出所有的可能组合数，其中两瓶都是酸性溶液的只有一种组合，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：从四瓶溶液中随机抽取两瓶，可能的组合为：（稀硫酸，氧化钠）、（稀硫酸，稀盐酸）、（稀硫酸，碳酸钠）、（氧化钠，稀盐酸）、（氧化钠，碳酸钠）、（稀盐酸，碳酸钠），则总共可能组合数有6种，其中，两瓶都是酸性溶液的只有一种组合，因此这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式、完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先求解两个不等式的解集，再求得它们的公共部分即可解答． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为． 18. 化简求值，其中． 【答案】化简结果为，求值为 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，涉及平方差公式、完全平方公式及单项式乘多项式的运算法则，关键是准确运用公式展开，注意符号的处理，避免合并同类项时出错．先利用乘法公式和整式运算法则将原式展开，再合并同类项化简为最简整式，最后代入计算出结果； 【详解】解： ． 当时，原式． 19. 如图，反比例函数（）的图象经过点和点，直线 经过点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）连接，，求的面积． 【答案】（1） ， （2）9 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，坐标系中点的坐标的特点，三角形的面积公式； （1）将点代入直线解析式可求出，把代入直线解析式可求出，再代入即可求出； （2）过点作轴于点 ，交于点，利用反比例函数解析式先求出点坐标，再由三点坐标可求出的底和高，最后利用三角形的面积公式即可求出面积． 【小问1详解】 解：将点代入直线 ，得， ， 一次函数的表达式为 ， 把代入 ，得 ， ， 把代入，得， ， 反比例函数的表达式为． 综上所述：一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点 ，交于点， 点在反比例函数的图象上， ， ， 轴，， ， ，即， . 20. 项目式学习：某数学实践小组观测太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）与物体影长的关系，并借助相关知识探究合肥骆岗公园“大蘑菇”的高度．下面是小组成员进行交流展示时的部分资料及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务： 项目主题： 测量骆岗公园“大蘑菇”建筑的高度 项目素材 合肥市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角α参照表： 时刻 太阳高度角（度） 47 35 22 参考数据：，， 示意图 项目成果 “自律”小组 “自强”小组 下午时，在观测点C处测“大蘑菇”的影子．但因为“大蘑菇”周围有一圈栅栏，所以无法直接测量影子的长度． 下午时，从C向“大蘑菇”方向前进27米到达点D，在点D处用高1米的测角仪测得塔顶A的仰角为． 项目任务 请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）． 项目任务：请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）． 【答案】约61米 【解析】 【分析】延长 交于，根据题意得 ，， ，米，设米，则,米，然后根据，即可列方程求解． 【详解】解：延长 交于，则四边形为矩形， ∴，， 根据题意得 ，， ，米， ∴， 设米，则,米， ∴， ∴， 解得， 经检验：是原方程的根， ∴米， 答：“大蘑菇”的高度约为米． 21. 在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神． 如今，借助尺规来完成一道几何构造题： 如图，已知：，尺规作图得四边形 ．作图步骤如下： ①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； ②作直线交于点D，连接； ③以B为圆心，的长为半径作弧，交直线于点E，连接． （1）请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形 ．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，则四边形 的面积是__________ ． 【答案】（1） 由题意，作图如下： （2）80 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作线段，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据题干给出的作图方法作图即可； （2）证明四边形 为菱形，菱形的性质结合勾股定理，求出菱形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据作图可得，垂直平分， ∴，， ∵由作图得，， ∴， ∴四边形 是菱形， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴四边形 的面积． 故答案为：80． 22. “百度迁徙”是由百度提供的一个在线数据平台，旨在通过大数据分析展现用户人口迁徙、旅行、交通出行等相关活动趋势． 下面是通过“百度迁徙”查到的相关数据和统计图表．两个统计表分别反映9月29日进入青岛（入青）和离开青岛（离青）的人数分布情况，折线统计图反映2023年部分时间入青规模指数的变化情况，数据显示9月29日从北京入青的人数约为11200人．（注：入青规模指数） 表1：9月29日入青人数分布情况 入青来源地 入青人数占比 排名 潍坊市 1 烟台市 2 济南市 3 北京市 4 威海市 5 … … … 表2：9月29日离青人数分布情况 离青目的地 离青人数占比 排名 潍坊市 1 烟台市 2 临沂市 3 日照市 4 菏泽市 5 … … … 根据以上信息回答下面的问题： （1）求出9月29日入青规模指数，并补全折线统计图； （2）根据表1的数据绘制扇形统计图，“潍坊入青”对应的扇形圆心角度数为 ； （3）下列说法正确的是 ．（填序号） ①如果要表示各地入青具体人数的多少，可以选用条形统计图； ②从折线统计图可以看出，9月29日﹣10月6日相比其他时间有较大波动，主要因为假期出行的人增多； ③9月29日，从烟台入青的人数要比离青到烟台的人数多； ④9月29日，在青岛胶东机场随机调查1000名入青旅客，来自济南的约有116人． 【答案】（1）6.48； 补全折线统计图如图所示： （2）54 （3）①② 【解析】 【分析】（1）用9月29日从北京入青的人数11200除以北京市入青人数占比求得总人数，再根据计算入青规模指数的公式计算，最后画出折线统计图即可； （2）用乘以潍坊市入青人数占比即可求解； （3）逐一结合表格分析每个说法即可． 【小问1详解】 解：∵9月29日从北京入青的人数约为11200人， 又∵由表1可知：北京市入青人数占比为， ∴9月29日总入青人数为：（人）， 9月29日入青规模指数； 图略； 【小问2详解】 解：由表1可知：潍坊市入青人数占比， ∴潍坊市入青对应的扇形圆心角度数为：； “潍坊入青”对应的扇形圆心角度数为； 故答案为：54． 【小问3详解】 解：①如果要表示各地入青具体人数的多少，可以选用条形统计图，正确； ②从折线统计图可以看出，9月29日﹣10月6日相比其他时间有较大波动，主要因为假期出行的人增多，正确； ③9月29日，从烟台入青的人数为（人） 根据表格信息无法计算离青到烟台的具体人数，故③错误； 无法确定从济南入青的人均从机场入青，故④错误． 23. 如图，已知是的直径，点F在上，点C为延长线上一点，，垂足为E，平分， ，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若， ，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先利用等边对等角和角平分线的定义得到，则，进而可得，利用切线的判定可得结论； （2）先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：． 24. 如图，在正方形中，点P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且， 交于点F． （1）证明： ； （2）如图，把正方形改为菱形，其它条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：在正方形中， ，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）线段与线段的数量关系是： ， 理由如下： 在菱形中，，，， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）先证出，得，由于，得 ； （2）先证，得 ， ，由，得到， ，而可得 ，再结合三角形内角和定理可得，为等边三角形，即可得到结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记菱形的性质确定出是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点 ． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若二次函数 的最大值为． （ⅰ）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若，为该二次函数图象上的不同两点，，且 ，求证： ． 【答案】（1） （2）（ⅰ） ； （ⅱ）证明：∵点在函数 的图象上， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ． ∴ ，即 ． 不妨设， ∴． ∵该抛物线的对称轴为， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）先将 代入函数解析式求出 ，再根据二次函数的性质求解即可； （2）（ⅰ）先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； （ⅱ）根据点在函数 的图象上，得出 ，再将 通分后求出 ，然后根据二次函数的对称性即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数 的图象经过点 ， ∴ ． ∴ ． ∴． ∴该抛物线的对称轴为． 【小问2详解】 （ⅰ）解：由（1）可得 ， ∴该函数的解析式为 ． ∴函数图象的顶点坐标为． ∵函数的最大值为， ∴ ，且 ， 解得，或 （舍去）． ∴该二次函数的表达式为 ． （ⅱ）略 26. 平面直角坐标系中，对于点A，直线（点A不在上）和，给出如下定义：若点A关于直线的对称点在上，则称点A是关于直线l的映像点，称线段的长度为点A与的映像距离． （1）如图，⊙O的半径为1，直线． ①在点，，中，点 是关于直线的映像点，该点与的映像距离为 ． ②点B是关于直线的映像点，当点B与的映像距离最小时，点B的坐标为 ； （2）已知点，，点D在y轴的正半轴上且 为等边三角形．点，的半径为1．若 上存在关于直线的映像点，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①；；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①作关于直线的对称，设直线与轴的交点为点，与轴交于点，根据题意可得点必定在上，即；求得点和点的坐标，可得 是等腰直角三角形，则 ，进而可判断点是关于直线的映像点，然后利用两点坐标距离公式求得即可； ②先判断当、、、四点共线时，最小，再作，垂足为，判断是等腰直角三角形得到，由勾股定理可得，则，利用锐角三角函数求得和即可求解； （2）设点为关于直线的映像点，关于直线的对称圆为，则点在上，先推导出直线过定点，设这个定点为点，由轴对称的性质可得，即点在以点为圆心， 为半径的圆上，进而点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上，分为①当外圆与相切时，圆最小，即 最小；②当内圆过点时，圆最大，即 最大两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 ①如图，作关于直线的对称，设直线与轴的交点为点，与轴交于点， ∵点关于直线的对称点在上， ∴点必定在上，即， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， ∴只有点是关于直线的映像点， 由图可知，点关于直线的对称点的坐标为， ∴映像距离； ②由①可知，点在上，点在上， ∴， ∴， ∴当、、、四点共线时，最小， 如图，作，垂足为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，，， ∴， ， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：点为关于直线的映像点，关于直线的对称圆为， 由题意，点在上， 对于直线，当时，， ∴直线过定点， 设这个定点为点，由轴对称的性质可得，即点在以点为圆心， 为半径的圆上， ∵半径为，点在上， ∴点在以点为圆心，为半径的外圆或为半径的内圆上， ①当外圆与相切时，圆最小，即 最小， 如图，设切点为，连接，， ∵圆与相切于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴ 轴，轴，， ∴， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴，即 ②当内圆过点时，圆最大，即 最大，如图， 由勾股定理可得， ∴，即， 综上所述，， ∵，， ∴， ∴， 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市学府致远学校中考数学押题卷（三） 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 将代数式进行因式分解，结果是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 图1为我国高铁座位的实物图，图2是它的示意图，座椅靠背与地面垂直，小桌板与地面平行，小桌板支撑杆 与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆 形成的夹角 的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 7. 如图所示的两个五角星是位似图形，是位似中心，位似比为．点，的对应点分别为点，，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则该函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示的是某班级一次数学考试成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法错误的是（ ） A. 得分在70分～80分的人数最多 B. 该班的总人数为40 C. 人数最少的得分段的频数为2 D. 得分及格（大于等于60）的有12人 10. 第25届冬季奥林匹克运动会在意大利米兰举行，中国代表团在滑雪技巧比赛中的优异表现，带动了中国青少年学习滑雪的热潮，某滑雪训练基地出售滑雪设备，已知购买1双滑雪鞋和2套滑雪杖需120元；购买3双滑雪鞋与购买6套滑雪杖的价格相同，如果设1双滑雪鞋的单价是x元，1套滑雪杖的单价是y元．根据题意列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点M，N，P，Q分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，反比例函数关系 B. 二次函数关系，一次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 反比例函数关系，二次函数关系 二、填空题（本大题共4小题．每小题3分，共12分） 12. 因式分解=______． 13. 如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点、，连接，若，，则的长为__________． 14. 扇形餐盘具有独特的视觉效果和实用性，广泛应用于家庭、餐饮及商业场景，如图，一餐盘所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，对应的圆心角为 ，则该餐盘的面积为______．（结果保留） 15. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是__________． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 解不等式组： 18. 化简求值，其中． 19. 如图，反比例函数（）的图象经过点和点，直线 经过点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）连接，，求的面积． 20. 项目式学习：某数学实践小组观测太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）与物体影长的关系，并借助相关知识探究合肥骆岗公园“大蘑菇”的高度．下面是小组成员进行交流展示时的部分资料及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务： 项目主题： 测量骆岗公园“大蘑菇”建筑的高度 项目素材 合肥市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角α参照表： 时刻 太阳高度角（度） 47 35 22 参考数据：，， 示意图 项目成果 “自律”小组 “自强”小组 下午时，在观测点C处测“大蘑菇”的影子．但因为“大蘑菇”周围有一圈栅栏，所以无法直接测量影子的长度． 下午时，从C向“大蘑菇”方向前进27米到达点D，在点D处用高1米的测角仪测得塔顶A的仰角为． 项目任务 请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）． 项目任务：请你求出“大蘑菇”的高度（注意：计算结果保留整数）． 21. 在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神． 如今，借助尺规来完成一道几何构造题： 如图，已知：，尺规作图得四边形 ．作图步骤如下： ①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； ②作直线交于点D，连接； ③以B为圆心，的长为半径作弧，交直线于点E，连接． （1）请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形 ．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，则四边形 的面积是__________． 22. “百度迁徙”是由百度提供的一个在线数据平台，旨在通过大数据分析展现用户人口迁徙、旅行、交通出行等相关活动趋势． 下面是通过“百度迁徙”查到的相关数据和统计图表．两个统计表分别反映9月29日进入青岛（入青）和离开青岛（离青）的人数分布情况，折线统计图反映2023年部分时间入青规模指数的变化情况，数据显示9月29日从北京入青的人数约为11200人．（注：入青规模指数） 表1：9月29日入青人数分布情况 入青来源地 入青人数占比 排名 潍坊市 1 烟台市 2 济南市 3 北京市 4 威海市 5 … … … 表2：9月29日离青人数分布情况 离青目的地 离青人数占比 排名 潍坊市 1 烟台市 2 临沂市 3 日照市 4 菏泽市 5 … … … 根据以上信息回答下面的问题： （1）求出9月29日入青规模指数，并补全折线统计图； （2）根据表1的数据绘制扇形统计图，“潍坊入青”对应的扇形圆心角度数为 ； （3）下列说法正确的是 ．（填序号） ①如果要表示各地入青具体人数的多少，可以选用条形统计图； ②从折线统计图可以看出，9月29日﹣10月6日相比其他时间有较大波动，主要因为假期出行的人增多； ③9月29日，从烟台入青的人数要比离青到烟台的人数多； ④9月29日，在青岛胶东机场随机调查1000名入青旅客，来自济南的约有116人． 23. 如图，已知是的直径，点F在上，点C为延长线上一点，，垂足为E，平分， ，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若， ，求线段的长． 24. 如图，在正方形中，点P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且， 交于点F． （1）证明： ； （2）如图，把正方形改为菱形，其它条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点 ． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若二次函数 的最大值为． （ⅰ）求该二次函数的表达式； （ⅱ）若，为该二次函数图象上的不同两点，，且 ，求证： ． 26. 平面直角坐标系中，对于点A，直线（点A不在上）和，给出如下定义：若点A关于直线的对称点在上，则称点A是关于直线l的映像点，称线段的长度为点A与的映像距离． （1）如图，⊙O的半径为1，直线． ①在点，，中，点 是关于直线的映像点，该点与的映像距离为 ． ②点B是关于直线的映像点，当点B与的映像距离最小时，点B的坐标为 ； （2）已知点，，点D在y轴的正半轴上且 为等边三角形．点，的半径为1．若 上存在关于直线的映像点，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $