因式分解的概念、提公因式法、公式法、因式分解的应用 专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦因式分解全流程能力培养，以“概念辨析-方法训练-综合应用”为逻辑主线，融合试根法、类比推理等解题策略，体现数学抽象与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |因式分解的概念|3例+3变式|辨析“整式积”特征，强化定义理解|从概念本质出发，建立因式分解与整式乘法的互逆关系| |提公因式法|3例+3变式|“三找”策略（找系数、字母、指数公因式）|基于概念延伸，培养符号意识与运算能力| |公式法|3例+3变式|平方差/完全平方公式选择与变形技巧|深化公式结构认知，发展推理意识| |因式分解的应用|3例+2变式|试根法、几何拼图法、类比推导法|联结代数与几何，提升应用意识与创新思维|

因式分解的概念、提公因式法、公式法、因式分解的应用专项训练 因式分解的概念、提公因式法、公式法、因式分解的应用专项训练 考点目录 因式分解的概念 提公因式法 公式法 因式分解的应用 考点一 因式分解的概念 例1．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（  ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·期中）在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·江西九江·期中）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 考点二 提公因式法 例1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）因式分解： (1)； (2)． 例2．（25-26八年级下·四川达州·期中）因式分解 (1)； (2)． 例3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)． 变式1．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 变式2．（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 变式3．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 考点三 公式法 例1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 例2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 例3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 变式1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因式分解： (1) (2) 变式2．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）因式分解． (1)； (2)； (3)． 变式3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）分解因式： (1)； (2)． 考点四 因式分解的应用 例1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）对于某些次数较高的多项式，我们可以用“试根法”进行因式分解． 例如，将多项式因式分解． 思路解析：通过观察、尝试，我们发现当时，多项式的值为0，因此因式分解后的结果中一定含有，于是我们设多项式可以分解成，再通过因式分解是整式乘法的逆运算可求出m和n． 解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． (1)用试根法因式分解：； (2)若多项式含有因式和，则这个多项式因式分解的结果是_____． 例2．（25-26八年级上·河北沧州·期末）认真阅读下面材料并解决问题 阅读材料： 材料一： 分解因式：； 解：， ， ， ， ； 材料二： ∵无论为何值，代数式的值都大于等于，即， ∴， 即有最小值，最小值是． 问题解决： (1)分解因式： ①； ②； (2)①求的最小值； ②直接填空：二次三项式有最 值是 ． 例3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式： ． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，若，则： ① ； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 变式1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）按要求解答： (1)如图所示的四个图形可拼成如图所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解为______； (2)如图，有足够多的边长为的大正方形，长为，宽为的长方形和边长为的小正方形，请利用拼图将多项式进行因式分解，在图虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果； (3)若多项式（为正整数）可以用拼图法因式分解，则______． 变式2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则96是和谐数； (1)请判断56是否是和谐数？如果是，请直接写出平方差为56的连续的两个奇数； (2)求证：任何一个和谐数一定能被8整除． 2 学科网（北京）股份有限公司 $因式分解的概念、提公因式法、公式法、因式分解的应用专项训练 因式分解的概念、提公因式法、公式法、因式分解的应用专项训练 考点目录 因式分解的概念 提公因式法 公式法 因式分解的应用 考点一 因式分解的概念 例1．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式， A、符合因式分解的定义，故符合题意； B、等式右边不是整式积的形式，不符合因式分解定义，不符合题意； C、该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不是因式分解，不符合题意； D、左边不是多项式，不符合因式分解的要求，不符合题意． 例2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：选项A：，是因式分解，但未分解彻底，所以选项A不符合题意； 选项B：是乘法运算，没有化为几个整式的积的形式，所以选项B不符合题意； 选项C：右侧没有化为几个整式的积的形式，所以选项C不符合题意； 选项D：符合因式分解的定义，所以选项D符合题意． 例3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】多项式因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：，等式右边是整式和差形式，不是乘积，A不是多项式因式分解； B选项：，左边是多项式，右边是整式的乘积形式，符合定义，B是多项式因式分解. C选项：，等式右边是整式和差形式，不是乘积，C不是多项式因式分解. D选项：，左边是单项式，而多项式因式分解一般是对两个或两个以上项的多项式进行变形，D不是多项式因式分解． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·期中）在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项即可． 【详解】解： 选项A的变形是整式的乘法，结果是多项式的和，不符合定义； 选项B的结果是，是和的形式，不是积的形式，不符合定义； 选项C：左边是多项式，右边，是几个整式的积，变形正确，符合定义； 选项D：是分式，不是整式，右边不是整式的积，不符合定义； 综上，故选C． 变式2．（25-26八年级下·江西九江·期中）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项，等式左边是单项式，不是多项式，不符合要求，错误； B选项，等式右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不符合要求，错误； C选项，，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，正确； D选项，该变形是整式乘法，将积化为多项式，不是因式分解，错误． 变式3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因式分解要求左边是多项式，结果为几个整式乘积的形式， A 左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，不符合题意. B 结果为 ，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意. C 将多项式化为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义，符合题意. D 该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意. 考点二 提公因式法 例1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 例2．（25-26八年级下·四川达州·期中）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先凑成公因式，然后提取公因式即可解答； （2）先展开，然后再加括号，最后再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 变式1．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 变式2．（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）把变形为，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 变式3．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意，运用提公因式法即可分解因式得解； （2）依据题意，根据提公因式法进行分解可以得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 考点三 公式法 例1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， ． 例2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 例3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式解答即可； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式解答即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．（25-26八年级下·山东枣庄·期中）因式分解． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用平方差公式分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可； （3）先用平方差公式分解因式，再用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 变式3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 考点四 因式分解的应用 例1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）对于某些次数较高的多项式，我们可以用“试根法”进行因式分解． 例如，将多项式因式分解． 思路解析：通过观察、尝试，我们发现当时，多项式的值为0，因此因式分解后的结果中一定含有，于是我们设多项式可以分解成，再通过因式分解是整式乘法的逆运算可求出m和n． 解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． (1)用试根法因式分解：； (2)若多项式含有因式和，则这个多项式因式分解的结果是_____． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，仿照题干，设，即可求解； （2）已知两个一次因式，同理设出剩余的二次因式，求出参数后对二次因式继续分解即可得到最终结果． 【详解】（1）解：当时，， 设， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴； （2）解：多项式含有因式和， 设， 又， ，， ， ． 例2．（25-26八年级上·河北沧州·期末）认真阅读下面材料并解决问题 阅读材料： 材料一： 分解因式：； 解：， ， ， ， ； 材料二： ∵无论为何值，代数式的值都大于等于，即， ∴， 即有最小值，最小值是． 问题解决： (1)分解因式： ①； ②； (2)①求的最小值； ②直接填空：二次三项式有最 值是 ． 【答案】(1)①；② (2)①；②大；5 【分析】（1）①使用分组分解法，先利用完全平方公式对部分进行变形，再利用平方差公式进行因式分解； ②使用分组分解法，先利用完全平方公式对部分进行变形，再利用平方差公式进行因式分解； （2）①利用完全平方公式将原式变形为，结合平方的非负性求出最小值； ②利用完全平方公式将原式变形为，结合平方的非负性求出最大值． 【详解】（1）解：①， ， ， ， ； ②， ， ， ， ； （2）解：①， ， ， ， ∵， ∴， ∴当时，取得最小值； ②， ， ， ， ∵， ∴， ∴当时，取得最大值． 例3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式： ． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，若，则： ① ； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①11；② 【分析】（1）推导立方差公式 将转化为，代入两数和的立方公式，替换b为，得到； （2）利用分组法以及完全平方公式进行分解即可； （3）①设直角三角形短直角边为a，长直角边为b，一个直角三角形的面积为，个三角形的面积，大正方形边长，小正方形边长．由，求出． ②因式分解并求值：将分组为，提取公因式得．结合已知条件，代入得值即可． 【详解】（1）解：∵， 将转化为，代入和的立方公式得： ． （2）解： ． （3）解：①设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，则大正方形的边长为，面积；小正方形MNPQ的边长为，面积，三角形的面积为，， ∵， ∴， 整理得：， ∴即． ② ， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式． 变式1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）按要求解答： (1)如图所示的四个图形可拼成如图所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解为______； (2)如图，有足够多的边长为的大正方形，长为，宽为的长方形和边长为的小正方形，请利用拼图将多项式进行因式分解，在图虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果； (3)若多项式（为正整数）可以用拼图法因式分解，则______． 【答案】(1)； (2)画图见解析，； (3)或． 【分析】（）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解即可； （）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解即可； （）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴； （2）解：如图，， ； （3）解：如图 或 ∴或， ∴或． 变式2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则96是和谐数； (1)请判断56是否是和谐数？如果是，请直接写出平方差为56的连续的两个奇数； (2)求证：任何一个和谐数一定能被8整除． 【答案】(1)56是和谐数，两个连续奇数是13和15 (2)见解析 【分析】解决本道题的关键是利用平方差公式将 “两个连续奇数的平方差” 转化为含参数的代数式，再进行计算或证明； （1）利用平方差公式设出两个连续奇数，列方程求解，判断 56 是否能表示为两个连续奇数的平方差； （2）设两个连续奇数为含整数参数的代数式，利用平方差公式展开并化简，证明结果是 8 的倍数． 【详解】（1）解：设任意两个连续奇数分别为和（为正整数）， ， 56是和谐数，两个连续奇数是13和15； （2）证明：设任意两个连续奇数分别为和（为正整数），对应的和谐数为， ∵ ∴ ∵为正整数，即是8的倍数， ∴任何一个和谐数一定能被8整除． 2 学科网（北京）股份有限公司 $