4.1 因式分解&提公因式法（高效学习日日优）-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

第四章因式分解 1因式分解 堂清练习 名师讲坛 1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是( A.ab+ac+d=a(b+c)+d 01要点领悟 B.a2-4=(a+2)(a-2) 1.多项式因式分解与多项式 乘法是互为逆运算的过程。 C.(a+b)2=a2+2ab+b2 2.因式分解是恒等变形，因 D.a2b=ab·a 式分解的对象是多项式，结果是 2.下列变形：①(x十1)(x-1)=x2-1;②9a2-12a十 整式的积。 4=(3a-2)2;③3abc3=3c·abc2;④3a2-6a=3a(a 3.因式分解的结果中每个因 2),其中是因式分解的为 。(填序号) 式必须是整式，且每个因式的次 3.利用1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形 数都不高于原来多项式的次数。 和2个长、宽分别为a,b的长方形可拼成一个正方 02典例导学 形（如图所示），由此可得到因式分解的公式为 【例】已知二次三项式2x2+x+a 有一个因式是(x十2)，求另一个 因式以及a的值。 解：设另一个因式是(2x+b), 根据题意，得2x2+x+a=（x+2) (2x+b)。 4.若x2-ax+6可以分解为(x一2)(x一3)，则a的值 展开，得2x2+x+a=2x2+(b+4) 为 x+2b0 5.在x2一6x十k中，有一个因式为(x一-2)，则k的值为 6+4=1, 所以 a=2b。 6.将下面相对应的因式分解用线连起来。 a=-6, 解得 1b=-3。 (1)a2-1 (a+1)(a-1) 所以，另一个因式是(2x-3),a的 (2)a2+6a+9 (2a+1)(2a-1) 值是-6。 (3)a2-4a+4 a(a-b) (4)4a2-1 (a+3)2 (5)a2-ab (a-2)2 29 2提公因式法 第1课时 提单项式因式分解 堂清练习 名师讲坛 1.多项式8ab2+12abc的公因式是 01方法技巧 A.abc B.ab? C.4ab2 D.4ab2c 确定公因式的方法：(1)定系 2.用提公因式法分解因式x2y+3xy2十xy,提出公因 数：取多项式各项系数的最大公 式xy后，另一个因式是 () 因数作为公因式的系数；(2)定字 A.x+3y B.2x+6y 母：公因式中的字母是各项的相 C.x+3y+1 D.x+6y+1 同字母；(3)定指数：公因式中字 3.下列各式中，能用提公因式法分解因式的是() 母的指数是各项相同字母的最低 B.2m+4 指数。 A.x-y C.x2+y2 D.x2-xy+1 02典例导学 4.(2025·湖南)因式分解：a2+13a= 【例】因式分解：-24x3+12x2 5.已知ab=2,a十b=3,求ab十ab的值是 4x。 6.用提公因式法分解下列多项式： 解：原式=-4x(6x2-3x+1)。 (1)3x3+6x4; 【点拨】多项式提公因式法因式分 解前有多少项，因式分解后，除公 (2)6x2y3+15xy2x; 因式外，另一个因式就有多少项。 【变式1】已知x-y=4,xy=6,求 x2y-xy2的值。 (3)4a3b2-10ab3c; 解：x2y-xy =xy(x-y) (4)8a2b-4ba; =6×4 =24。 (5)8x2y2-4x2y+2xy。 【变式2】计算（一2）2025十（一2）2026 的结果为 (A) 7.用提公因式法计算： A.22026 B.2 (1)2026+20262-2026×2027; C.-22025 D.-2 (2)29×20.26+72×20.26+13×20.26-14×20.26。 30 第2课时提多项式因式分解 堂请练习 名师讲坛 1.下列各式从左到右的变形，正确的是 01要点领悟 A.-x-y=-(x-y) B.-a+b=-(a+b) 1.提公因式法的依据是乘法 C.（y-x)2=(x-y)2 D.(a-b)3=(b-a)3 的分配律，它的实质是单（多）项 2.下列分解因式结果正确的是 式乘多项式时乘法分配律的逆 A.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(6+x) 用。 B.x3+2x2+x=x(x2+2x) 2.公因式可以是单项式，也 C.a(a-b)2+ab(a-b)=a(a-b) 可以是多项式，当公因式是形如 D.3x+1十6x"=3x"(x+2) (a一b)”时，要注意幂指数n的奇偶 3.多项式2(x-y)3一3(y一x)的公因式是 性：当n为偶数时，(a一b)”= 多项式12x(a+b)一4y(a+b)的公因式是 (b-a)”;当n为奇数时，(a b)"=-(b-a)”。 4.因式分解x(x一3)一x十3的结果为 02典例导学 5.已知a=-1,b=3,则2a(a+b)-3(a十b)的值为 【例】分解因式： (1)(a+5b)2+(a+5b)(a-b); 6.因式分解： 解：原式=(a+5b)[(a+5b)+(a (1)-x+2+2y(x-2); b)] =(a+5b)(2a+4b) =2(a+5b)(a+2b); (2)(a2+ab)-c(a+b); (2)3x2(x-y)+6x(y-x)。 解：原式=3x2(x-y)-6x(x-y) =3x(x-y)(x-2)。 (3)(a-3)2+2a-6。 【点津】(1)准确找出公因式； (2)提完公因式后的式子化简后， 若还有公因式，还需再次因式 (4)4xy(x+y)2-6x2y(x+y)。 分解。 31第三章图形的平移与旋转 1图形的平移 第1课时平移的认识 1.C2.C3.D4.30°5.35°6.(1)DC(2)DEEF(3)∠D ∠C 第2课时沿x轴或y轴方向一次平移的坐标变化 1.A2.C3.一4.(4,2)5.46.解：(1)图略。(2)图略，A'(5,- 1 2),B'(5.一3)，C'(2,-2),D'(2,0)。(3)S边形gcm=S边形An=2X(1十 2》×3=号 第3课时沿x轴、y轴方向两次平移的坐标变化 1.B2.C3.(3,-3)4.325.解：(1)(5，-1)(4,4)(2)如图， △A'B'C'为所求作的图形，A(3,0),B(2,5),C(-1,3)。 A 2图形的旋转 第1课时旋转的认识 1.B2.B3.55°4.55.解：(1)150°；(2)等腰三角形；(3)15°。 第2课时旋转作图 1.C2.A3.C4.解：(1)如图，△ABC1即为所求；(2)点A1,C的坐标 分别是(4,0)，(3，一2)。 -43-2-E 第3课时中心对称 1.B2.D3.D4.2cm50°5.2√106.解：图略. 第4课时中心对称图形 1.B2.A3.轴对称“一、口、田”4.3155.解：如图，直 线EF即为所求。（答案不唯一） 3简单的图案设计 1.A2.C3.④4.解：(1)如图所示。 (2)是4是O 第四章因式分解 1因式分解 1.B2.②④3.a2+2ab+b=(a+b)24.55.86.略 2提公因式法 第1课时提单项式因式分解 1.C2.C3.B4.a(a十13)5.66.(1)解：原式=3x3(1+2x); (2)解：原式=3xy2(2xy+5z);(3)解：原式=2ab(2a2-5bc);(4)解：原 式=4ab(2a一1)；(5)解：原式=2xy(4xy一2x十1)。7.(1)解：原式=2 026×(1+2026-2027)=0;(2)解：原式=20.26(29+72+13-14)=20. 32 26×100=2026。 第2课时提多项式因式分解 1.C2.D3.(x-y)24(a十b)4.(x-3)(x-1)5.-106.(1)解： 原式=(x-2)(-1+2y):(2)解：原式=a(a+b)-c(a+b)=(a-c)(a十 b);(3)解：原式=(a-3)2+2(a-3)=(a-3)(a-3+2)=(a-3)(a-1): (4)解：原式=2xy(x十y)[2(x十y)-3x]=2xy(x十y)(2y-x)。 3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 1.B2.A3.C4.245.1286.(1)解：原式=(1+x)(1-x)；(2)解： 原式=(2x)2-y=(2x十y)(2x-y)；(3)解：原式=(a-2b+2a)(a-2b -2a)=(3a-2b)(-a-2b)=-(3a-2b)(a+2b);(4)解：原式=(a+b+ 2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a)。 第2课时运用完全平方公式因式分解 1.D2C3A416516.9或-77.1)解：原式-(a+2b): (2)解：原式=(a-b-3)2；(3)解：原式=(m2-1-3)2=(m2-4)2=[(m +2)(m-2)]=(m十2)(m-2)2.8.解：原式=2022+2×202×98+982 =(202+98)2=3002=90000。 第五章分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时分式及其相关概念 1.D2.B3.04.(1)x≠5(2)0（答案不唯一）5.②⑤⑥⑧①③④ 可61)解：≠-2：(2)解：x≠士日。7解：当x-2时子 X是音当=0时号0千=-2。 第2课时分式的基本性质及约分 1.D2.C3.A4.C5.D解：原式=4y4x=-(2)解 4xy3·(5y) =a+3:（4)解：原式= 原式=-2a；3)解：原式=a3a2=43、 (a+3)2 a(a+2b)(a-2b)_a2+2ab (a-2b)2 a-26 2分式的运算 第1课时分式的乘除法 1D2D3A4A51懈：原式-荒高会· -=9b: (2)解：原式=+2y)一2型，4-22义。6.解：原式= 8xy x+2y 2y9 a3》.·十8a“2当a=1时，原式-2 。1 (a-2)2 a-2-1-2 -1。 第2课时同分母分式的加减法 1.C2.C3.B4.25.(1)解：原式=x+y+x-y=2x=2 xy 0=y:(2)解： 原式=3m3=3(m)-3;(3)解：原式=--x+2),2)=x m-1m-1 x十2 x十2 2:(4)解：原式=4Y=2x十y:(5)解：原式=3江5+(3-）=2. 2x-y x-1 第3课时异分母分式的加减法 3y25 1.C2.B3.A4.(1)解：最简公分母是12xy。4立=12x6y y 10x 2n2n(n+3) 2xy（2)解：最简公分母是(m-2)(n+3)。n”2-(2(n十3) 2n2+6n3n 3n(n-2)3n2-6n n2+n-6'0+3=(m-2)(m千3)=n2+n-6 5.(1)解：原式=