2027届高考物理一轮复习讲义 2.3 自由落体与竖直上抛运动

高中物理（一轮复习） 第二部分 直线运动 第三节 自由落体与竖直上抛运动 知识点一 自由落体运动 1、定义:物体只在重力作用下从静止开始下落的运动,叫自由落体运动. 2、特点： ①初速度v0=0. ②受力特点:只受重力作用,没有空气阻力或空气阻力可以忽略不计. ③加速度是重力加速度g,方向始终竖直向下. 3、运动性质：自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动. 4、自由落体加速度： 在同一地点,一切物体在自由落体运动中的加速度都相同,这个加速度叫自由落体加速度,也叫重力加速度. ①方向:重力加速度g的方向总是竖直向下. ②大小:随地点的不同而不同.一般计算中取g=9.8m/s2,题中有说明或粗略计算中也可取g=10m/s2. 在地球表面上从赤道到两极,重力加速度随纬度的增大而逐渐增大;在地球表面上方越高处的重力加速度越小.在其他星球表面的重力加速度不可简单认为与地球表面的重力加速度相同. 典例1、关于重力加速度的说法不正确的是(　　) A．重力加速度g是标量，只有大小没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2 B．在地球上不同的地方，g值的大小不同，但它们相差不是很大 C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同 D．在地球上的同一地方，离地面高度越大重力加速度g越小 答案：A 解：首先重力加速度是矢量，方向竖直向下，与重力的方向相同，在地球的表面，不同的地方，g值的大小略有不同，但都在9.8 m/s2左右，在地球表面同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐变小． 随堂练习：关于自由落体运动,下列说法正确的是（ ） A.物体竖直向下的运动就是自由落体运动 B.加速度等于重力加速度的运动就是自由落体运动 C.在自由落体运动过程中,不同质量的物体运动规律相同 D.物体做自由落体运动位移与时间成反比 答案：C 解：自由落体运动是指初速度为零,加速度为g的竖直向下的匀加速直线运动.A选项加速度不一定为g,故A错.B选项中物体的初速度不一定为0,运动方向也不一定竖直向下,不符合自由落体的定义,故B错.加速度g与质量无关,则运动规律也与质量无关,故C对.自由落体的位移:x=gt2,x与t2成正比,故D错. 典例2、跳水运动员训练时从10 m跳台双脚朝下自由落下，某同学利用手机的连拍功能，连拍了多张照片.从其中两张连续的照片中可知，运动员双脚离水面的实际高度分别为5.0 m和2.8 m.由此估算手机连拍时间间隔最接近以下哪个数值(　　) A.1×10－1 s B.2×10－1 s C.1×10－2 s D.2×10－2 s 答案：B 解：设在该同学拍这两张照片时运动员下落高度h1、h2所用的时间分别为t1、t2，则h1＝10 m－5 m＝5 m，t1＝＝1 s. h2＝10 m－2.8 m＝7.2 m，t2＝＝1.2 s. 所以手机连拍时间间隔为Δt＝t2－t1＝2×10－1 s，故B项正确. 随堂练习：1、一个物体从某一高度做自由落体运动.已知它在第1 s内的位移恰为它在最后1 s内位移的三分之一.则它开始下落时距地面的高度为(不计空气阻力，g＝10 m/s2)(　　) A.15 m B.20 m C.11.25 m D.31.25 m 答案：B 解：物体在第1 s内的位移h＝gt2＝5 m，物体在最后1 s内的位移为15 m，由自由落体运动的位移 与时间的关系式可知，gt总2－g(t总－1 s)2＝15 m，解得t总＝2 s，则物体下落时距地面的高度为H＝gt总2＝20 m，B正确. 2、科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(取g＝10 m/s2)(　　) A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tAB＜tBC＜tCD B．闪光的间隔时间是 s C．水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD＝1∶4∶9 D．水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶3∶5 答案：B 解：由题图可知∶∶＝1∶3∶5，水滴做初速度为零的匀加速直线运动，由题意知水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间相等，A错误；由h＝gt2可得水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间为 s，即闪光的间隔时间是 s，B正确；由＝知水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD＝1∶3∶5，C错误；由v＝gt知水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶2∶3，D错误。 知识点二 竖直上抛运动 1、概念:将物体以一定的初速度竖直向上抛出去,物体只在重力作用下的运动叫竖直上抛运动. 2、基本特征:只受重力作用且初速度竖直向上,以初速度方向为正方向则a=-g. 3、竖直上抛运动的基本规律 速度公式:v=v0-gt 位移公式:x=v0t-gt2 速度—位移关系:v2- =-2gx 4、竖直上抛运动的基本特点 ①上升到最高点的时间t=v0/g. ②上升到最高点所用时间与从最高点落回到抛出点所用时间相等. 落回到抛出点的速度与抛出时速度大小相等,方向相反,上升过程与下落过程具有对称性,利用其运动的对称性解决问题有时很方便. ③上升的最大高度H= 注：上升阶段与下降阶段（回到抛出点的过程）具有对称性。 时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA. 且可得，从A→B与从B→A所需时间相等 ： 速度大小对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等. 当运动时间t>t2即时，物体在抛出点之下，位移为负值。 5、多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性. 6、研究方法 分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动 全程法 初速度v0向上，加速度g向下的匀减速直线运动(以竖直向上为正方向) 若v>0，物体上升，若v<0，物体下降 若x>0，物体在抛出点上方，若x<0，物体在抛出点下方 典例3、一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是5 s，两次经过一个较高点B的时间间隔是3 s，则A、B之间的距离是(不计空气阻力，g＝10 m/s2)(　　) A.80 m B.40 m C.20 m D.无法确定 答案：C 解：物体做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到A点的时间为，从最高点自由下落到B点的时间为，A、B间距离为：hAB＝g[()2－()2]＝×10×(2.52－1.52) m＝20 m 随堂练习：1、如图所示，将一小球以10 m/s的初速度在某高台边沿竖直上抛，不计空气阻力，取抛出点为坐标原点，向上为坐标轴正方向，g取10 m/s2。则3 s内小球运动的(　　) A．路程为25 m B．位移为15 m C．速度改变量为30 m/s D．平均速度为5 m/s 答案：A 解：应用全程法求解位移，由x＝v0t－gt2得位移x＝－15 m，B错误；平均速度＝＝－5 m/s，D错误；小球竖直上抛，由v＝v0－gt得速度的改变量Δv＝v－v0＝－gt＝－30 m/s，C错误；上升阶段通过路程x1＝＝5 m，下降阶段通过的路程x2＝gt22，t2＝t－＝2 s，解得x2＝20 m，所以3 s内小球运动的路程为x1＋x2＝25 m 2、在离地高h处，沿竖直方向同时向上和向下抛出两个小球，它们的初速度大小均为v，不计空气阻力，两球落地的时间差为(　　) A.　　　　 B.　　　 　C.　　　 　D. 答案:A 解：根据竖直上抛运动的对称性，可知向上抛出的小球落回到出发点时的速度大小也是v，之后的运动与竖直下抛的小球运动情况相同。 因此上抛的小球比下抛的小球多运动的时间为：t＝＝，A项正确。 3、在h=12m高的塔上,以一定初速度竖直上抛出一个物体,经t=2s到达地面,则物体抛出时初速度v0多大?物体上升的最大高度是多少?(离地面的高度)(g取10m/s2) 答案：4m/s12.8m 解： 方法一:把物体看做匀减速上升和自由下落两个过程.设上升时间为t1,下降时间为t2.则物体抛出的初速度v0=gt1,物体上升到达最高点时离地面的高度H=,同时,又t1+t2=t=2s,联立以上四式得v0=4m/s,H=12.8m. 方法二:看做竖直向上的匀减速运动.由于落地点在抛出点的下方,所以h=-12m.则:h=v0t-,得v0=4m/s,物体上升到达最高点时离塔的距离h′= =0.8m，物体离地面的最大高度H=h+h′=12.8m. 解题思路与方法 一、竖直上抛运动的基本处理方法 处理竖直上抛运动的基本方法有两种:分段法和整体法. 1、分段法: 把竖直上抛运动分为两段:上升阶段和下降阶段.上升阶段可以看作初速度为v0、末速度为0、加速度a=-g的匀减速直线运动；下降阶段可以看作是自由落体运动.这两段都符合匀变速直线运动的规律. 2、整体法：从整体看来，运动全过程中的加速度恒定，且方向与初速度v0方向相反，因此，可以把竖直上抛运动看作是一个统一的匀减速直线运动，而上升阶段和下降阶段不过是整体运动的两个过程，在取初速度v0的方向为正方向的条件下，可以直接应用公式vt=v0-gt和s=v0t-gt2等进行计算.若物体位于抛出点上方，则位移s为正值；若物体位于抛出点下方，则位移s为负值. 注：如果把竖直上抛运动按整体来处理，各量要严格按照正负号法则代入公式，且这种方法求出的是物体的位移，而不是路程，如果求路程则用分段法. 随堂练习：气球以5m/s的速度匀速上升，当它上升到150m时，气球下面绳子吊的重物掉下，则重物经多长时间才能落回到地面？到达地面时的速度是多大？ 解：(1)分段法：上升阶段: 下落阶段:vt2=2g(h1+h2) 重物落回到地面所用的时间:t=t1+t2=6s. (2)整体法：绳子断后,重物以初速度v0=5m/s做竖直上抛运动, 取向上为正方向,则落回到地面时重物的位移h=-150m,a=-g, 根据vt2-v02=-2gh得vt= =m/s=55m/s 又h=×t . 二、运用对称性巧解竖直上抛问题 竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段具有对称性，包括速度对称和时间对称. 1、速度对称：上升和下降过程经过同一位置时的速度大小相等、方向相反. 2、时间对称：上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等. 随堂练习：以v0=20m/s的速度竖直上抛一小球，2s后以同一初速度在同一位置上抛另一小球，则两球相遇处离抛出点的高度是多少？ 解：（1）根据速度对称性得：-［v0-g（t+2）］=v0-gt，解得t=1s， 代入位移公式h=v0t-gt2得：h=15m. (2)根据位移相同得：v0（t+2）-g(t+2)2=v0t-gt2, 解得t=1s,代入位移公式得h=15m. 三、利用匀变速运动推论解自由落体运动 自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，是匀变速直线运动中的一种具体而又特殊的运动.在求解有关问题时，除注意应用其他规律外，还要特别注意初速度为零的匀加速直线运动的特殊规律在自由落体运动中的应用. 随堂练习：在一座高25m的屋顶边，每隔一定时间有一滴水滴落下.第一滴水落到地面的时刻，正好是第六滴水离开屋顶的时刻.如果水滴的运动是自由落体运动，求第一个水滴落地的时刻空中各相邻的两个水滴间的距离.(g=10m/s2) 解：把六个水滴看作一个水滴的自由落体运动.则由自由落体运动是初速为零的匀加速直线运动.用初速为零的匀加速直线运动的特殊规律进行解答. 从第六滴刚离开屋顶的时刻算起，由初速为零的匀加速直线运动的特殊规律可得，通过相等的时间间隔内各相邻水滴的间距之比为： Δs1：Δs2：Δs3：Δs4：Δs5=1：3：5：7：9 则Δs1=×25m=1m 故Δs2=3Δs1=3m,Δs3=5Δs1=5m, Δs4=7Δs1=7m,Δs5=9Δs1=9m 课 堂 练 习 1、1971年7月26号发射的阿波罗—15号飞船首次把一辆月球车送上月球，美国宇航员科特驾驶月球车行驶28千米，并做了一个落体实验：在月球上的同一高度同时释放羽毛和铁锤，如图所示.出现的现象是( ) A.羽毛先落地，铁锤后落地 B.铁锤先落地，羽毛后落地 C.铁锤和羽毛都做自由落体运动，重力加速度为9.8m/s2 D.铁锤和羽毛都做自由落体运动，同时落地 答案：D 解：由于物体在月球表面只受重力，物体做自由落体运动，铁锤和羽毛同时落地，但月球表面的重力加速度要小于地球表面的重力加速度，选项D正确. 2、在一根轻绳的上、下两端各拴一个小球，一人用手拿住上端的小球站在某高台上，放手后小球自由下落，两小球落地的时间差为Δt.如果将它们开始下落的高度提高一些,用同样的方法让它们自由下落，不计空气阻力，则两小球落地的时间差将( ) A.减小 B.增大 C.不变 D.无法判定 答案：A 解：两球在落地之前都做自由落体运动，速度时刻相同.当下端小球着地后，上端小球继续做匀加速运动.若开始下落的高度提高一些，则下端小球着地时两球的速度较大,由于此后上端小球的运动位移等于绳长不变，所以两小球落地的时间差将减小，选项A正确. 3、某科技馆中有一个展品，该展品放在较暗处，有一个不断均匀滴水的水龙头（刚滴出的水滴速度为零），在某种光源的照射下，可以观察到一种奇特的现象：只要耐心地缓慢调节水滴下落的时间间隔，在适当的情况下，看到的水滴好像都静止在各自固定的位置不动（如图中A、B、C、D所示，其右边数值的单位是cm）.要出现这一现象，所用光源应满足的条件是（取g=10m/s2）( ) A.普通的白炽光源即可 B.频闪发光，间歇时间为0.30s C.频闪发光，间歇时间为0.14s D.频闪发光，间歇时间为0.17s 答案：D 解 ：水滴向下做自由落体运动，由A、B、C、D的位置可知,Δx=xCD-xBC=xBC-xAB=0.3m，则由匀变速直线运动的推论Δx=gΔt2可知，只要调节水滴下落的时间间隔为Δt,看到的水滴就好像都静止在各自固定的位置不动.≈0.17s，故选项D正确. 4、从高处释放一粒小石子,经过0.5s,从同一地点再释放一粒小石子,在两石子落地前,它们之间的距离( ) A.保持不变 B.不断减小 C.不断增大 D.根据两石子的质量的大小来决定 答案：C 5、某同学身高1.8m,在运动会上他参加跳高比赛,起跳后身体横着越过了1.8m高度的横杆.据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10m/s2)( ) A.2m/s B.4m/s C.6m/s D.8m/s 答案：B 6、（多选）从地面竖直上抛一个物体甲,同时在离地面某一高度处有另一物体乙自由下落,两物体在空中相遇(未发生碰撞)时的速率都是V,则( ) A、竖直上抛物体甲的初速度大小与物体 乙落地时的速度大小相等,都是2V B、甲、乙在空中运动时间相等 C、甲上升的最大高度与乙开始下落时高度相同 D、两物体在空中相遇处一定是乙开始下落时高度的中点 答案：AC 7、(多选)气球以10m/s的速度匀速上升，某时刻在气球正下方距气球4m处有一石子以20m/s的速度竖直上抛，不计阻力，取g=10m/s2.则石子（ ） A、一定能击中气球 B、一定不能击中气球 C、若气球速度减小，一定还能击中气球 D、若气球速度增大，一定不能击中气球 答案：AC 8、从地面竖直上抛一物体A，同时在离地面某一高度处有另一物体B自由落下，两物体在空中同时到达同一高度时速度都为v，则下列说法中正确的是( ) A.物体A上抛的初速度和物体B落地时速度的大小相等 B.物体A、B在空中运动的时间相等 C.物体A能上升的最大高度和B开始下落的高度相同 D.两物体在空中同时达到同一高度处一定是B物体开始下落时高度的中点 答案：AC 9、（多选）某人在高层楼房的阳台外侧上以20m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15m处所经历的时间可以是(空气阻力不计，g取10m/s2)( ) A.1s B.2s C.3s D.(2+)s 答案：ACD 10、从离地面500 m的空中自由落下一个小球，取g＝10m/s2，求小球： （1）经过多长时间落到地面？ （2）自开始下落计时，在第1 s内的位移、最后l s内的位移。 （3）下落时间为总时间的一半时的位移。 解：（1）由，得落地时间 s （2）第l s内的位移： m 因为从开始运动起的前9 s内的位移为 m 所以最后1 s内的位移为 m （3）落下一半时间即t＝5s，其位移为 m 课 后 练 习 1、一物体在做自由落体运动的过程中( ) A.位移与时间成正比 B.加速度与时间成正比 C.加速度不变化 D.速度与位移成正比 答案:C 解: 由自由落体运动公式s=gt2可知位移与时间的二次方成正比，选项A错；自由落体运动加速度为恒量，选项B错C正确；由v2=2gs可知速度与位移s的二次方根成正比；选项D错. 2、一个小石块从空中a点自由落下，先后经过b点和c点.不计空气阻力.已知它经过b点时的速度为v，经过c点时的速度为3v.则ab段与ac段位移之比为( ) A.1：3 B.1；5 C.1：8 D.1：9 答案:D 解: 由v=gt可知小石块在ab段运动时间与ac段运动时间之比为1：3，由匀变速直线运动的平均速度公式可知小石块在ab段运动的平均速度与ac段运动的平均速度之比为1：3，则ab段与ac段位移之比为1：9. 3、将一小球以初速度为v从地面竖直上抛后，经过4s小球离地面高度为6m.若要使小球竖直上抛后经2s到达相同高度，g取10m/s2，不计阻力，则初速度v0应( ) A.大于v B.小于v C.等于v D.无法确定 答案:B 解: 本题中小球到达高度为6m时，速度大小和方向未给出，不知物体是上升还是下降，应当作出判断.由自由落体运动知，在前2s内的位移是20m，故题中所给的4s、2s均是小球上升到最大高度再返回到6m的高度所用的时间.由竖直上抛运动特点t上=t下知：第一次上抛，小球未返回抛出点就用去了4s，故第一次上抛上升到最大高度所用的时间要大于2s而小于4s；同理，第二次上抛到达最大高度所用的时间大于1s而小于2s.所以，可判断第一次上抛到达的最大高度要大于第二次上抛到达的最大高度，故选B. 4、某同学在一根不计质量且不可伸长的细绳两端各拴一个可视为质点的小球，然后拿住绳子一端的小球让绳子竖直静止后，从三楼的阳台上由静止无初速度释放小球，两个小球落地的时间差为T.如果该同学用同样的装置和同样的方法从该楼四楼的阳台上放手后，让两小球自由下落，那么，两小球落地的时间差将（空气阻力不计）( ) A.不变 B.增加 C.减小 D.无法确定 答案:C 解:球从越高的地方下落，接近地面时其平均速度越大，故下落相同的距离所用时间越少. 5、在一竖直砖墙前让一个小石子自由下落,小石子下落的轨迹距离砖墙很近.现用照相机对下落的石子进行拍摄.某次拍摄的照片如图所示,AB为小石子在这次曝光中留下的模糊影迹.已知每层砖(包括砖缝)的平均厚度约为6.0cm,A点距石子开始下落点的竖直距离约1.8m.估算照相机这次拍摄的“曝光时间”最接近（ ） A.2.0×10-1s B.2.0×10-2s C.2.0×10-3s D.2.0×10-4s 答案：B 解：本题考查自由落体的相关规律和估算问题中如何抓主要的因素.因为石子在曝光时间内的位移远小于A点距石子开始下落点的竖直距离,则可以用石子在A点的瞬时速度代替AB段的平均速度,由自由落体规律有vA= 6、（多选）从水平地面竖直向上抛出一物体，物体在空中运动到最后又落回地面.在不计空气阻力的条件下，以下判断正确的是( ) A.物体上升阶段的加速度与物体下落阶段的加速度相同 B.物体上升阶段的加速度与物体下落阶段的加速度方向相反 C.物体上升过程经历的时间等于物体下落过程经历的时间 D.物体上升过程经历的时间小于物体下落过程经历的时间 答案:AC 解: 物体竖直上抛，不计空气阻力，只受重力，则物体上升和下落阶段加速度相同，大小为g，方向向上，所以A正确；又上升和下落阶段位移大小相等，加速度大小相等，所以上升和下落过程所经历的时间相等，C项正确；此题考查竖直上抛运动，它是一个特殊的匀变速运动. 7、（多选）某物体以30m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10m/s2.5s内物体的( ) A.路程为65m B.位移大小为25m，方向向上 C.速度改变量的大小为10m/s D.平均速度大小为13m/s，方向向上 答案:AB 解: 上抛时间5s内的路程A对；5s内的位移方向向上，B正确；速度的改变量Δv=vt-v0=-gt下-v0=-10×2m·s-1-30m·s-1=-50m·s-1，C错，平均速度，D错误. 8、（多选）在平直公路上行驶的汽车中，某人从车窗相对于车静止释放一个小球，不计空气阻力，用固定在路边的照相机对汽车进行闪光照相，照相机闪两次光，得到清晰的两张照片，对照片进行分析，知道了如下信息：①两次闪光的时间间隔为0.5s；②第一次闪光时，小球刚释放，第二次闪光时，小球刚好落地；③两次闪光的时间间隔内，汽车前进了5m；④两次闪光时间间隔内，小球的水平位移为5m，根据以上信息能确定的是（已知g取10m/s2）( ) A.小球释放点离地的高度 B.第一次闪光时小球的速度大小 C.汽车做匀速直线运动 D.两次闪光的时间间隔内汽车的平均速度大小 答案:ABD 解析:根据题中信息能确定小球释放点离地的高度为h=gT2=1.25m； 第一次闪光时小球与汽车速度相同，大小为v0==10m/s; 两次闪光的时间间隔内汽车的平均速度大小为=10m/s, 但不能判断汽车是否做匀速直线运动.故选A、B、D. 9、如图是自由落体（小球）的频闪照相的照片，照片上相邻的像是相隔同样的时间拍摄的，如果照相机的频闪周期为s，则小球下落的加速度是多少？ 解:从图中可读出最后两个 s内位移分别为：s6=0.138m,s5=0.114m. 由Δs=gt2,得 10、在一部电梯内，用绳子将一只小球悬挂在顶板上，小球离电梯底板高为h=2.5m.电梯从静止开始，以加速度a=10m/s2竖直向上运动，在电梯运动过程中，悬挂小球的绳突然断掉，求： （1）小球落到底板所需要的时间是多少； （2）悬绳若是在电梯运动1s后断开的，在小球落向底板的时间内，从地面上的人看来，小球是怎样运动的；位移是多少. 答案:（1）0.5s（2）竖起上抛3.75m 解:(1)以小球为运动质点，以运动的电梯为参考系，则绳断后，小球对电梯做初速度为0的匀加速直线运动.加速度的方向竖直向下，大小为：a′=g+a=10+10=20m/s2 由位移公式有h= a′t2 所以，小球落到底板所需要的时间为 （2）以球为运动质点，选取地面为参考系，则绳断后，小球相对地面及地面上的观察者做竖直上抛运动. 由位移公式可得小球对地面发生的位移为： s=v0t- gt2=at1t- gt2=10×1×0.5- ×10×0.52=3.75m. 11、一矿井深为125m，在井口每隔一段时间落下一小球，当第十一个小球刚好从井口开始下落时，第一个小球恰好到达井底，相邻两个小球开始下落的时间间隔是多少？此时第三个小球和第五个小球相距多远？ 解:把11个小球看做是1个小球的自由落体运动，则从第十一个小球刚离开井口的时刻算起，通过相等的时间间隔内各相邻小球的间距之比为 ΔsⅠ：ΔsⅡ：ΔsⅢ：…：ΔsN=1：3：5：…：(2n-1) n=10, 则Δs1===1.25m ΔsⅡ=×3=3.75m 根据Δs=gT2 所以，相邻两个小球下落时间间隔为 此时第三个小球与第五个小球相距 s=×(13+15)=35m. 12、如图所示，一个气球以4m/s的速度从地面匀速竖直上升，气球下悬挂着一个物体，气球上升到217m的高度时，悬挂物体的绳子断了，则从这时起，物体经过多少时间落到地面？（不计空气阻力） 解: 物体在A点离开气球后，由于具有向上的速度，要继续上升到B点，如图所示. 上升时间 上升高度 设物体从B点自由下落的时间为t2, 根据 则 故物体落到地面的时间t=t1+t2=0.4+6.6=7s. 提 高 练 习 1、从某高处释放一粒小石子，经过1 s从同一地点再释放另一粒小石子，不计空气阻力，则在它们落地之前的任一时刻(　　) A．两粒石子间的距离将保持不变，速度之差保持不变 B．两粒石子间的距离将不断增大，速度之差保持不变 C．两粒石子间的距离将不断增大，速度之差也越来越大 D．两粒石子间的距离将不断减小，速度之差也越来越小 答案：B 解：当第一个石子运动的时间为t时，第二个石子运动的时间为(t－1)． h1＝gt2① v1＝gt② h2＝g(t－1)2③ v2＝g(t－1)④ 由①③得：Δh＝gt－g 由②④ 得：Δv＝g 因此，Δh随t增大，Δv不变，B选项正确． 2、如右图所示，A、B两小球用长为L的细线连接悬挂在空中，A距湖面高度为H，释放小球，让它们自由落下，测得它们落水声相差Δt.如果球A距湖面的高度H减小，则Δt将(　　) A．增大　　　　　　B．不变 C．减小 D．无法判断 答案：A 解：B落水时，A、B的速度为v＝，A再落水时有L＝vΔt＋gΔt2.由两式可知H减小， v变小，则Δt增大． 3、甲球从离地面H高处从静止开始自由下落，同时使乙球从甲球的正下方地面处做竖直上抛运动。欲使乙球上升到处与甲球相撞，则乙球上抛的初速度应为(　　) A. 　　　　　　B. C. D. 答案：B 解：由竖直上抛运动规律知＝v0t－gt2，由自由落体运动规律知H－＝gt2， 联立可得t＝，v0＝，B对。 4、小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某高度，其v－t图象如下图所示，则由图可知(g＝10 m/s2)以下说法正确的是(　　) A．小球下落的最大速度为5 m/s B．第一次反弹初速度的大小为3 m/s C．小球能弹起的最大高度0.45 m D．小球能弹起的最大高度1.25 m 答案：　ABC 5、从离地面80 m的空中自由落下一个小球，取g＝10 m/s2，求： (1)经过多长时间落到地面； (2)自开始下落时计时，在第1 s内和最后1 s内的位移； (3)下落时间为总时间的一半时的位移． 答案：　(1)4 s　(2)5 m　35 m　(3)20 m 解：(1)由h＝gt2得，下落总时间为：t＝＝ s＝4 s. (2)小球第1 s内的位移为：h1＝gt＝×10×12 m＝5 m 小球前3 s内的位移为：h3＝gt＝×10×32 m＝45 m 小球从第3 s末到第4 s末的位移，即最后1 s内的位移为：h4＝h－h3＝80 m－45 m＝35 m. (3)小球下落时间的一半为：t′＝＝2 s这段时间内的位移为：h′＝gt′2＝×10×22 m＝20 m. 6、跳水是一项优美的水上运动，运动员从离水面10 m的跳台向上跃起，举双臂直体离开台面，重心(此时其重心位于从手到脚全长的中点)升高0.45 m达到最高点．落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)，从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是多长？(不计空气阻力，g取10 m/s2) 答案：　1.75 s 解：把运动员看成一个质点，把上升阶段看成自由落体运动的逆运动，根据对称性原理，运动员上升的时间t1等于做自由落体运动下落0.45 m所用的时间：t1＝＝ s＝0.3 s. 下降过程，自由落体，t2＝＝ s≈1.45 s. 从离开跳台到手触水面，运动员可用于完成空中动作的时间：t＝t1＋t2＝1.75 s. ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理（一轮复习） 第二部分 直线运动 第三节 自由落体与竖直上抛运动 知识点一 自由落体运动 1、定义:物体只在重力作用下从静止开始下落的运动,叫自由落体运动. 2、特点： ①初速度v0=0. ②受力特点:只受重力作用,没有空气阻力或空气阻力可以忽略不计. ③加速度是重力加速度g,方向始终竖直向下. 3、运动性质：自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动. 4、自由落体加速度： 在同一地点,一切物体在自由落体运动中的加速度都相同,这个加速度叫自由落体加速度,也叫重力加速度. ①方向:重力加速度g的方向总是竖直向下. ②大小:随地点的不同而不同.一般计算中取g=9.8m/s2,题中有说明或粗略计算中也可取g=10m/s2. 在地球表面上从赤道到两极,重力加速度随纬度的增大而逐渐增大;在地球表面上方越高处的重力加速度越小.在其他星球表面的重力加速度不可简单认为与地球表面的重力加速度相同. 典例1、关于重力加速度的说法不正确的是(　　) A．重力加速度g是标量，只有大小没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2 B．在地球上不同的地方，g值的大小不同，但它们相差不是很大 C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同 D．在地球上的同一地方，离地面高度越大重力加速度g越小 随堂练习：关于自由落体运动,下列说法正确的是（ ） A.物体竖直向下的运动就是自由落体运动 B.加速度等于重力加速度的运动就是自由落体运动 C.在自由落体运动过程中,不同质量的物体运动规律相同 D.物体做自由落体运动位移与时间成反比 典例2、跳水运动员训练时从10 m跳台双脚朝下自由落下，某同学利用手机的连拍功能，连拍了多张照片.从其中两张连续的照片中可知，运动员双脚离水面的实际高度分别为5.0 m和2.8 m.由此估算手机连拍时间间隔最接近以下哪个数值(　　) A.1×10－1 s B.2×10－1 s C.1×10－2 s D.2×10－2 s 随堂练习：1、一个物体从某一高度做自由落体运动.已知它在第1 s内的位移恰为它在最后1 s内位移的三分之一.则它开始下落时距地面的高度为(不计空气阻力，g＝10 m/s2)(　　) A.15 m B.20 m C.11.25 m D.31.25 m 2、科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(取g＝10 m/s2)(　　) A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tAB＜tBC＜tCD B．闪光的间隔时间是 s C．水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD＝1∶4∶9 D．水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶3∶5 知识点二 竖直上抛运动 1、概念:将物体以一定的初速度竖直向上抛出去,物体只在重力作用下的运动叫竖直上抛运动. 2、基本特征:只受重力作用且初速度竖直向上,以初速度方向为正方向则a=-g. 3、竖直上抛运动的基本规律 速度公式:v=v0-gt 位移公式:x=v0t-gt2 速度—位移关系:v2- =-2gx 4、竖直上抛运动的基本特点 ①上升到最高点的时间t=v0/g. ②上升到最高点所用时间与从最高点落回到抛出点所用时间相等. 落回到抛出点的速度与抛出时速度大小相等,方向相反,上升过程与下落过程具有对称性,利用其运动的对称性解决问题有时很方便. ③上升的最大高度H= 注：上升阶段与下降阶段（回到抛出点的过程）具有对称性。 时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA. 且可得，从A→B与从B→A所需时间相等 ： 速度大小对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等. 当运动时间t>t2即时，物体在抛出点之下，位移为负值。 5、多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性. 6、研究方法 分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动 全程法 初速度v0向上，加速度g向下的匀减速直线运动(以竖直向上为正方向) 若v>0，物体上升，若v<0，物体下降 若x>0，物体在抛出点上方，若x<0，物体在抛出点下方 典例3、一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是5 s，两次经过一个较高点B的时间间隔是3 s，则A、B之间的距离是(不计空气阻力，g＝10 m/s2)(　　) A.80 m B.40 m C.20 m D.无法确定 随堂练习：1、如图所示，将一小球以10 m/s的初速度在某高台边沿竖直上抛，不计空气阻力，取抛出点为坐标原点，向上为坐标轴正方向，g取10 m/s2。则3 s内小球运动的(　　) A．路程为25 m B．位移为15 m C．速度改变量为30 m/s D．平均速度为5 m/s 2、在离地高h处，沿竖直方向同时向上和向下抛出两个小球，它们的初速度大小均为v，不计空气阻 力，两球落地的时间差为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 3、在h=12m高的塔上,以一定初速度竖直上抛出一个物体,经t=2s到达地面,则物体抛出时初速度v0多大?物体上升的最大高度是多少?(离地面的高度)(g取10m/s2) 解题思路与方法 一、竖直上抛运动的基本处理方法 处理竖直上抛运动的基本方法有两种:分段法和整体法. 1、分段法: 把竖直上抛运动分为两段:上升阶段和下降阶段.上升阶段可以看作初速度为v0、末速度为0、加速度a=-g的匀减速直线运动；下降阶段可以看作是自由落体运动.这两段都符合匀变速直线运动的规律. 2、整体法：从整体看来，运动全过程中的加速度恒定，且方向与初速度v0方向相反，因此，可以把竖直上抛运动看作是一个统一的匀减速直线运动，而上升阶段和下降阶段不过是整体运动的两个过程，在取初速度v0的方向为正方向的条件下，可以直接应用公式vt=v0-gt和s=v0t-gt2等进行计算.若物体位于抛出点上方，则位移s为正值；若物体位于抛出点下方，则位移s为负值. 注：如果把竖直上抛运动按整体来处理，各量要严格按照正负号法则代入公式，且这种方法求出的是物体的位移，而不是路程，如果求路程则用分段法. 随堂练习：气球以5m/s的速度匀速上升，当它上升到150m时，气球下面绳子吊的重物掉下，则重物经多长时间才能落回到地面？到达地面时的速度是多大？ 二、运用对称性巧解竖直上抛问题 竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段具有对称性，包括速度对称和时间对称. 1、速度对称：上升和下降过程经过同一位置时的速度大小相等、方向相反. 2、时间对称：上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等. 随堂练习：以v0=20m/s的速度竖直上抛一小球，2s后以同一初速度在同一位置上抛另一小球，则两球相遇处离抛出点的高度是多少？ 三、利用匀变速运动推论解自由落体运动 自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，是匀变速直线运动中的一种具体而又特殊的运动.在求解有关问题时，除注意应用其他规律外，还要特别注意初速度为零的匀加速直线运动的特殊规律在自由落体运动中的应用. 随堂练习：在一座高25m的屋顶边，每隔一定时间有一滴水滴落下.第一滴水落到地面的时刻，正好是第六滴水离开屋顶的时刻.如果水滴的运动是自由落体运动，求第一个水滴落地的时刻空中各相邻的两个水滴间的距离.(g=10m/s2) 课 堂 练 习 1、1971年7月26号发射的阿波罗—15号飞船首次把一辆月球车送上月球，美国宇航员科特驾驶月球车行驶28千米，并做了一个落体实验：在月球上的同一高度同时释放羽毛和铁锤，如图所示.出现的现象是( ) A.羽毛先落地，铁锤后落地 B.铁锤先落地，羽毛后落地 C.铁锤和羽毛都做自由落体运动，重力加速度为9.8m/s2 D.铁锤和羽毛都做自由落体运动，同时落地 2、在一根轻绳的上、下两端各拴一个小球，一人用手拿住上端的小球站在某高台上，放手后小球自由下落，两小球落地的时间差为Δt.如果将它们开始下落的高度提高一些,用同样的方法让它们自由下落，不计空气阻力，则两小球落地的时间差将( ) A.减小 B.增大 C.不变 D.无法判定 3、某科技馆中有一个展品，该展品放在较暗处，有一个不断均匀滴水的水龙头（刚滴出的水滴速度为零），在某种光源的照射下，可以观察到一种奇特的现象：只要耐心地缓慢调节水滴下落的时间间隔，在适当的情况下，看到的水滴好像都静止在各自固定的位置不动（如图中A、B、C、D所示，其右边数值的单位是cm）.要出现这一现象，所用光源应满足的条件是（取g=10m/s2）( ) A.普通的白炽光源即可 B.频闪发光，间歇时间为0.30s C.频闪发光，间歇时间为0.14s D.频闪发光，间歇时间为0.17s 4、从高处释放一粒小石子,经过0.5s,从同一地点再释放一粒小石子,在两石子落地前,它们之间的距离( ) A.保持不变 B.不断减小 C.不断增大 D.根据两石子的质量的大小来决定 5、某同学身高1.8m,在运动会上他参加跳高比赛,起跳后身体横着越过了1.8m高度的横杆.据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为(g取10m/s2)( ) A.2m/s B.4m/s C.6m/s D.8m/s 6、（多选）从地面竖直上抛一个物体甲,同时在离地面某一高度处有另一物体乙自由下落,两物体在空中相遇(未发生碰撞)时的速率都是V,则( ) A、竖直上抛物体甲的初速度大小与物体 乙落地时的速度大小相等,都是2V B、甲、乙在空中运动时间相等 C、甲上升的最大高度与乙开始下落时高度相同 D、两物体在空中相遇处一定是乙开始下落时高度的中点 7、(多选)气球以10m/s的速度匀速上升，某时刻在气球正下方距气球4m处有一石子以20m/s的速度竖直上抛，不计阻力，取g=10m/s2.则石子（ ） A、一定能击中气球 B、一定不能击中气球 C、若气球速度减小，一定还能击中气球 D、若气球速度增大，一定不能击中气球 8、从地面竖直上抛一物体A，同时在离地面某一高度处有另一物体B自由落下，两物体在空中同时到达同一高度时速度都为v，则下列说法中正确的是( ) A.物体A上抛的初速度和物体B落地时速度的大小相等 B.物体A、B在空中运动的时间相等 C.物体A能上升的最大高度和B开始下落的高度相同 D.两物体在空中同时达到同一高度处一定是B物体开始下落时高度的中点 9、（多选）某人在高层楼房的阳台外侧上以20m/s的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15m处所经历的时间可以是(空气阻力不计，g取10m/s2)( ) A.1s B.2s C.3s D.(2+)s 10、从离地面500 m的空中自由落下一个小球，取g＝10m/s2，求小球： （1）经过多长时间落到地面？ （2）自开始下落计时，在第1 s内的位移、最后l s内的位移。 （3）下落时间为总时间的一半时的位移。 课 后 练 习 1、一物体在做自由落体运动的过程中( ) A.位移与时间成正比 B.加速度与时间成正比 C.加速度不变化 D.速度与位移成正比 2、一个小石块从空中a点自由落下，先后经过b点和c点.不计空气阻力.已知它经过b点时的速度为v，经过c点时的速度为3v.则ab段与ac段位移之比为( ) A.1：3 B.1；5 C.1：8 D.1：9 3、将一小球以初速度为v从地面竖直上抛后，经过4s小球离地面高度为6m.若要使小球竖直上抛后经2s到达相同高度，g取10m/s2，不计阻力，则初速度v0应( ) A.大于v B.小于v C.等于v D.无法确定 4、某同学在一根不计质量且不可伸长的细绳两端各拴一个可视为质点的小球，然后拿住绳子一端的小球让绳子竖直静止后，从三楼的阳台上由静止无初速度释放小球，两个小球落地的时间差为T.如果该同学用同样的装置和同样的方法从该楼四楼的阳台上放手后，让两小球自由下落，那么，两小球落地的时间差将（空气阻力不计）( ) A.不变 B.增加 C.减小 D.无法确定 5、在一竖直砖墙前让一个小石子自由下落,小石子下落的轨迹距离砖墙很近.现用照相机对下落的石子进行拍摄.某次拍摄的照片如图所示,AB为小石子在这次曝光中留下的模糊影迹.已知每层砖(包括砖缝)的平均厚度约为6.0cm,A点距石子开始下落点的竖直距离约1.8m.估算照相机这次拍摄的“曝光时间”最接近（ ） A.2.0×10-1s B.2.0×10-2s C.2.0×10-3s D.2.0×10-4s 6、（多选）从水平地面竖直向上抛出一物体，物体在空中运动到最后又落回地面.在不计空气阻力的条件下，以下判断正确的是( ) A.物体上升阶段的加速度与物体下落阶段的加速度相同 B.物体上升阶段的加速度与物体下落阶段的加速度方向相反 C.物体上升过程经历的时间等于物体下落过程经历的时间 D.物体上升过程经历的时间小于物体下落过程经历的时间 7、（多选）某物体以30m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10m/s2.5s内物体的( ) A.路程为65m B.位移大小为25m，方向向上 C.速度改变量的大小为10m/s D.平均速度大小为13m/s，方向向上 8、（多选）在平直公路上行驶的汽车中，某人从车窗相对于车静止释放一个小球，不计空气阻力，用固定在路边的照相机对汽车进行闪光照相，照相机闪两次光，得到清晰的两张照片，对照片进行分析，知道了如下信息：①两次闪光的时间间隔为0.5s；②第一次闪光时，小球刚释放，第二次闪光时，小球刚好落地；③两次闪光的时间间隔内，汽车前进了5m；④两次闪光时间间隔内，小球的水平位移为5m，根据以上信息能确定的是（已知g取10m/s2）( ) A.小球释放点离地的高度 B.第一次闪光时小球的速度大小 C.汽车做匀速直线运动 D.两次闪光的时间间隔内汽车的平均速度大小 9、如图是自由落体（小球）的频闪照相的照片，照片上相邻的像是相隔同样的时间拍摄的，如果照相机的频闪周期为s，则小球下落的加速度是多少？ 10、在一部电梯内，用绳子将一只小球悬挂在顶板上，小球离电梯底板高为h=2.5m.电梯从静止开始，以加速度a=10m/s2竖直向上运动，在电梯运动过程中，悬挂小球的绳突然断掉，求： （1）小球落到底板所需要的时间是多少； （2）悬绳若是在电梯运动1s后断开的，在小球落向底板的时间内，从地面上的人看来，小球是怎样运动的；位移是多少. 11、一矿井深为125m，在井口每隔一段时间落下一小球，当第十一个小球刚好从井口开始下落时，第一个小球恰好到达井底，相邻两个小球开始下落的时间间隔是多少？此时第三个小球和第五个小球相距多远？ 12、如图所示，一个气球以4m/s的速度从地面匀速竖直上升，气球下悬挂着一个物体，气球上升到217m的高度时，悬挂物体的绳子断了，则从这时起，物体经过多少时间落到地面？（不计空气阻力） 提 高 练 习 1、从某高处释放一粒小石子，经过1 s从同一地点再释放另一粒小石子，不计空气阻力，则在它们落地之前的任一时刻(　　) A．两粒石子间的距离将保持不变，速度之差保持不变 B．两粒石子间的距离将不断增大，速度之差保持不变 C．两粒石子间的距离将不断增大，速度之差也越来越大 D．两粒石子间的距离将不断减小，速度之差也越来越小 2、如右图所示，A、B两小球用长为L的细线连接悬挂在空中，A距湖面高度为H，释放小球，让它们自由落下，测得它们落水声相差Δt.如果球A距湖面的高度H减小，则Δt将(　　) A．增大　　　　　　B．不变 C．减小 D．无法判断 3、甲球从离地面H高处从静止开始自由下落，同时使乙球从甲球的正下方地面处做竖直上抛运动。欲使乙球上升到处与甲球相撞，则乙球上抛的初速度应为(　　) A. 　　　　　　B. C. D. 4、小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某高度，其v－t图象如下图所示，则由图可知(g＝10 m/s2)以下说法正确的是(　　) A．小球下落的最大速度为5 m/s B．第一次反弹初速度的大小为3 m/s C．小球能弹起的最大高度0.45 m D．小球能弹起的最大高度1.25 m 5、从离地面80 m的空中自由落下一个小球，取g＝10 m/s2，求： (1)经过多长时间落到地面； (2)自开始下落时计时，在第1 s内和最后1 s内的位移； (3)下落时间为总时间的一半时的位移． 6、跳水是一项优美的水上运动，运动员从离水面10 m的跳台向上跃起，举双臂直体离开台面，重心(此时其重心位于从手到脚全长的中点)升高0.45 m达到最高点．落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)，从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是多长？(不计空气阻力，g取10 m/s2) ( 1 )静 能 生 慧 勤 能 补 拙 学科网（北京）股份有限公司 $