专题03 一元一次不等式组（八大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

**基本信息** 该专项通过八大题型系统构建一元一次不等式组知识体系，从基础求解到参数探究再到实际应用，逻辑递进，注重运算能力与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|8题|直接求解解集、确定整数解|概念应用基础，衔接数轴表示技能| |参数探究|10题|由解集或整数解求参数范围|深化参数思想，培养推理意识| |综合应用|27题|方程结合及实际问题建模（盈不足、方案等）|体现模型意识，强化应用能力|

专题03 一元一次不等式组 （八大题型） 【题型1 求不等式组的解集】..................................................................................................1 【题型2 求一元一次不等式组的整数解】..............................................................................2 【题型3 由一元一次不等式组的解集求参数】......................................................................3 【题型4 由不等式组的整数解的情况求参数】......................................................................3 【题型5 不等式组和方程结合的问题】..................................................................................3 【题型6 一元一次不等式组的应用-盈不足问题】................................................................4 【题型7 一元一次不等式组的应用-方案问题】....................................................................5 【题型8 一元一次不等式组的其他应用】..............................................................................7 【题型1 求不等式组的解集】 1．解不等式组： (1)； (2)，并把它的解集在数轴上表示出来． 2．解不等式组：． 解：解不等式①，得：_____________； 解不等式②，得：_____________； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 该不等式组的解集为：_______． 3．解不等式组： (1)； (2)． 4．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【题型2 求一元一次不等式组的整数解】. 5．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 6．解不等式组：并求它的所有整数解的和． 7．解不等式组：，把解集表示在数轴上并写出所有的正整数解． 8．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来，并写出解集的非负整数解． 【题型3 由一元一次不等式组的解集求参数】 9．关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．已知关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．不等式组的解集是，则的值是______． 【题型4 由不等式组的整数解的情况求参数】 14．若关于x的不等式组只有一个正整数解，则a的取值范围是________． 15．若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是________． 16．若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则a的取值范围是________． 17．关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是_______． 18．关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是______． 【题型5 不等式组和方程结合的问题】 19．已知关于x、y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是______． 20．若关于，的二元一次方程组的解为正数，则的取值范围为__． 21．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 22．若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 23．关于，的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围． 【题型6 一元一次不等式组的应用-盈不足问题】 24．有不足30个苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分3个，则剩下2个苹果；若每个小朋友分4个，则有1个小朋友没分到苹果，且最后一个分到苹果的小朋友分得的苹果数不足3个，已知小朋友的人数为偶数且多于7个，则苹果的个数为（    ） A．25 B．26 C．28 D．29 25．某单位对某村庄提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户只；若每户发放母羊只，则多出只母羊；若每户发放母羊只，则有一户可分得母羊但不足只．这批种羊共（   ） A．只 B．只 C．只 D．只 26．登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶，登山人数及矿泉水的瓶数是（       ） A．5、13 B．3、5 C．5、15 D．无法确定 27．我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为______． 【题型7 一元一次不等式组的应用-方案问题】 28．暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． (1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 29．为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 30．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 31．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 220 3 2 310 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价． (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过620万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 32．每年的4月23日为“世界读书日”，为了让学生学会读书，爱上读书，营造浓厚读书氛围，某校计划购买心理学和科技类两种书籍供学生阅读，已知购买1本心理学书籍和3本科技类书籍共需155元，购买3本心理学书籍和2本科技类书籍共需185元． (1)求心理学书籍和科技类书籍的购买单价分别为多少元？ (2)根据需求量，该校决定购入心理学书籍和科技类书籍共90本，其中心理学书籍的购入数量低于科技类书籍的数量，恰逢书店做“读书节”优惠促销活动：心理学书籍每本打8折，科技类书籍每本优惠2元．如果此次买书的总费用不超过2995元，那么有哪几种购买方案？ 【题型8一元一次不等式组的其他应用】 33．为保障八年级研学旅行顺利开展，学校计划租用、两种型号的新能源客车共13辆，用于接送师生往返研学基地．两种客车的载客量、日租金如表： 车型 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） 型客车 55 2000 型客车 19 1000 学校要求：租车总费用不超过25000元． (1)最多能租用型客车多少辆？ (2)若八年级师生共600人，且所有师生都有座位，请写出所有的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 34．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素的含量及购买这两种原料的价格如下表所示： 类别 甲种原料 乙种原料 维生素的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有不低于4000单位的维生素． (1)请列出应满足的不等式； (2)如果同时要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，请解答以下问题： ①求出满足题意的的取值范围； ②计算此时这种饮料中维生素含量的范围． 35．某同学设计了如图所示的程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于20”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于20，则用得到的这个数进行下一次操作． (1)若程序操作进行一次就停止了，求输入的x的取值范围是多少？ (2)若程序操作进行了两次才停止，求输入的x的取值范围是多少？ 36．“铭记先辈热血，筑牢信仰根基”，学校组织学生赴仁寿革命烈士陵园开展清明祭扫活动，并准备A，B两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分如表： (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用、两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多，若午餐需要选用这两种食品共包，其中食品不少于包，要使午餐中蛋白质的总含量不低于，请问有哪几种选择方案？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式组 （八大题型） 【题型1 求不等式组的解集】..................................................................................................1 【题型2 求一元一次不等式组的整数解】..............................................................................3 【题型3 由一元一次不等式组的解集求参数】......................................................................5 【题型4 由不等式组的整数解的情况求参数】......................................................................7 【题型5 不等式组和方程结合的问题】..................................................................................9 【题型6 一元一次不等式组的应用-盈不足问题】................................................................13 【题型7 一元一次不等式组的应用-方案问题】...................................................................15 【题型8 一元一次不等式组的其他应用】..............................................................................20 【题型1 求不等式组的解集】 1．解不等式组： (1)； (2)，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)无解； (2)，数轴见解析 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵， ∴不等式组无解； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示为： 2．解不等式组：． 解：解不等式①，得：_____________； 解不等式②，得：_____________； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 该不等式组的解集为：_______． 【答案】，，数轴见解析， 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再将不等式①和②的解集在数轴上表示，然后再取两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 该不等式组的解集为． 3．解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”的口诀确定不等式组的解集即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”的口诀确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：； 不等式组的解集为：． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 4．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，作图见解析 【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则找出两个解集的公共部分，然后在数轴上表示出来． 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， 将其解集在数轴上表示如下： 【题型2 求一元一次不等式组的整数解】. 5．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示其解集，确定公共部分并得到不等式组的整数解. 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 ∴原不等式组的解集是． ∴整数解为． 6．解不等式组：并求它的所有整数解的和． 【答案】，3 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， 故所有整数解的和． 7．解不等式组：，把解集表示在数轴上并写出所有的正整数解． 【答案】，数轴表示见解析，正整数解为，， 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，最后在解集范围内找出所有正整数即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 因此不等式组的解集为， 如图， 该不等式组的所有正整数解为，． 8．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来，并写出解集的非负整数解． 【答案】不等式组的解集为，非负整数解为 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的公共解集，将解集表示在数轴上，最后找出解集中符合要求的非负整数即可. 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 所以解集的非负整数解为． 【题型3 由一元一次不等式组的解集求参数】 9．关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是利用数轴确定两个不等式解集无公共部分的条件；若不等式组无解，则两个不等式解集的公共部分为空集，结合数轴即可求出 的取值范围． 【详解】解：∵不等式组为，且不等式组无解， ∴两个不等式的解集没有公共部分， 若要与没有公共部分，需满足，此时不存在同时满足两个不等式的x， ∴的取值范围是， 故选：A. 10．已知关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式组的解集是同大取大，可得答案． 【详解】解：关于x的不等式组的解集为，则． 11．不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 先分别解两个不等式，求出它们的解集，再根据解集是，即可求出m的取值范围． 【详解】解：解，得， 解，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得 ． 故选：A． 12．已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有解的情况得到关于m的不等式，即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵原不等式组有解， ∴， ∴实数m的取值范围是． 故选：A 13．不等式组的解集是，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，注意找准对应关系．根据题目中的不等式组可以求得、的值，从而可以求得的值． 【详解】解：由不等式组 得：． ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【题型4 由不等式组的整数解的情况求参数】 14．若关于x的不等式组只有一个正整数解，则a的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次不等式组的正整数解，明确解一元一次不等式的方法是解答本题的关键． 先解出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的不等式组只有一个正整数解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组只有一个正整数解， ∴． 故答案为：． 15．若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 16．若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求解不等式组，根据x的整数解得出关于a的不等式是解题关键．分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组只有2个整数解列不等式即可得答案． 【详解】解：， 解②得：，， 不等式组的解集为， 关于x的不等式组有且只有2个整数解， 不等式组的整数解为0、1， ， 故答案为：． 17．关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是由不等式组解集的情况，求参数的取值范围． 先根据原不等式组的解集中有五个整数解，求出x的取值范围，进而可得的取值范围，得出答案. 【详解】解：由，可得． ∵原不等式组的整数解仅有5个， ∴, 解得：． 故答案为：． 18．关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，即可得出的取值范围． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∵不等式组有3个整数解， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键． 【题型5 不等式组和方程结合的问题】 19．已知关于x、y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出方程组的解，再根据，列出关于a的不等式，即可求解． 【详解】解：， 由②×2-①，得：， 把代入①，得：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组，一元一次不等式的解法是解题的关键． 20．若关于，的二元一次方程组的解为正数，则的取值范围为__． 【答案】 【分析】先求出方程组的解，根据题意得出关于k的不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解方程组 得：， 关于，的二元一次方程组的解为正数， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于k的不等式组是解此题的关键． 21．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组，进而用含的式子表示，得到关于的不等式组，求解即可； （2）根据已知等式得到代入，再结合（1）所得的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：将原方程组整理为， 由得，解得：， 由得，解得：， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 即的取值范围是． 22．若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程用含k的式子表示x、y，根据方程组的解都是非负数得出关于k的不等式组，解之可得； （2）把（1）中方程组的解代入，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ∴， ∵方程组的解都是非负数， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：． 23．关于，的方程组． (1)若，求的值； (2)若、均为非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟知解方程组和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把方程组中的两个方程相加可得，则，解方程即可得到答案； （2）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据x、y均为非负数，列出关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：， 得：， ， ， 解得：； （2）解：， 解得， 、均为非负数， ，， 即， 解得； 【题型6 一元一次不等式组的应用-盈不足问题】 24．有不足30个苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分3个，则剩下2个苹果；若每个小朋友分4个，则有1个小朋友没分到苹果，且最后一个分到苹果的小朋友分得的苹果数不足3个，已知小朋友的人数为偶数且多于7个，则苹果的个数为（    ） A．25 B．26 C．28 D．29 【答案】B 【分析】设有x个小朋友，由于每位小朋友分3个苹果，则还剩2个苹果，则苹果有个；若每位小朋友分4个苹果，则有一个小朋友没分到苹果，且最后一个分到苹果的小朋友分得的苹果数不足3个，就是苹果数大于0，并且小于3，根据不等关系就可以列出不等式组，求出不等式组的解集，确定人数即可求解． 【详解】设有x个小朋友，则苹果有个，由题意得： 解得， ∵x是偶数 ∴ ∴苹果的个数（个） 故选：B． 【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 25．某单位对某村庄提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户只；若每户发放母羊只，则多出只母羊；若每户发放母羊只，则有一户可分得母羊但不足只．这批种羊共（   ） A．只 B．只 C．只 D．只 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是理解题意，正确列出一元一次不等式组． 设公羊共只，则母羊共只，根据“若每户发放母羊只，则有一户可分得母羊但不足只”列出一元一次不等式组，解答即可． 【详解】解：设公羊共只，则母羊共只， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， ， ， 这批种羊共只， 故选：D． 26．登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶，登山人数及矿泉水的瓶数是（       ） A．5、13 B．3、5 C．5、15 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设登山的有x人，则矿泉水有瓶，根据若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶可列不等式组求解即可． 【详解】解：设登山人数为x人， 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴， ∴， ∴登山人数是5人，矿泉水的瓶数是13瓶， 故选A． 27．我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，准确列出关系式是解题的关键． 根据总人数列式，利用最后一间宿舍人数大于等于1且小于5建立不等式组． 【详解】解：设宿舍间数为，则总人数为人， 若每间住7人，则前间住满，最后一间宿舍不空但所住人数不足5人， 即最后一间宿舍人数满足， 得， 即不等式组． 故答案为：． 【题型7 一元一次不等式组的应用-方案问题】 28．暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． (1)求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ (2)为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 【答案】(1)甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元 (2)一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件 【分析】（1）设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，根据题意列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元， 由题意得， 解得． 答：甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元． （2）解：设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件， 由题意得， 解得， ∵m为整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案： 方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件； 方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件； 方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件． 29．为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资 (2)有三种运输方案：方案一：有6辆大货车，6辆小货车；方案二：有7辆大货车，5辆小货车；方案三：有8辆大货车，4辆小货车；当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元 【分析】本题考查了二元一次方程组以及解不等式组： （1）设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资，根据题意列方程组求解即可； （2）设有辆大货车，辆小货车，根据题意列不等式组，确定大货车数量的可能取值，进而列出所有方案并计算费用，比较得出最少费用即可． 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资． 由题意可得：， 解得：． 答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资． （2）解：设有辆大货车，辆小货车， 由题意可得：， ， 取正整数， ，7，8， 有三种运输方案： 方案一：有6辆大货车，6辆小货车，此时费用（元， 方案二：有7辆大货车，5辆小货车，此时费用（元， 方案三：有8辆大货车，4辆小货车，此时费用（元， ， 当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元． 30．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建个地上充电桩和个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元 (2)共有3种建造方案，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该小区新建个地上充电桩需要万元，个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， m可以为18，19，20， 共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩． 31．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 220 3 2 310 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价． (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过620万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为70万元，B型智能机器人的单价为50万元． (2)共有2种方案：A型5台、B型5台；A型6台、B型4台． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元，根据信息一中给出的两种购买情况列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型台，则B型为台，根据总价不超过620万元和每天分拣快递不少于200万件列出不等式组，解不等式组得到的取值范围，再根据为整数确定购买方案． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元， 由题意得：， 解方程组得：， 答：A型智能机器人的单价为70万元，B型智能机器人的单价为50万元． （2）解：设购进A型台，则B型为台， 由题意得：， 解不等式组：， ∴，又为整数， ∴或6， 当时，，即A型5台，B型5台； 当时，，即A型6台，B型4台． 答：共有两种购买方案：方案一：A型5台，B型5台；方案二：A型6台，B型4台． 32．每年的4月23日为“世界读书日”，为了让学生学会读书，爱上读书，营造浓厚读书氛围，某校计划购买心理学和科技类两种书籍供学生阅读，已知购买1本心理学书籍和3本科技类书籍共需155元，购买3本心理学书籍和2本科技类书籍共需185元． (1)求心理学书籍和科技类书籍的购买单价分别为多少元？ (2)根据需求量，该校决定购入心理学书籍和科技类书籍共90本，其中心理学书籍的购入数量低于科技类书籍的数量，恰逢书店做“读书节”优惠促销活动：心理学书籍每本打8折，科技类书籍每本优惠2元．如果此次买书的总费用不超过2995元，那么有哪几种购买方案？ 【答案】(1)心理学书籍的购买单价为35元，科技类书籍的购买单价为40元 (2)共有两种方案，购入心理学书籍43本，购入科技类书籍47本；购入心理学书籍44本，购入科技类书籍46本 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用．理解题意，根据数量关系列出方程组或不等式是解题的关键． （1）设心理学书籍的单价是x元，科技类书籍的单价是y元，根据“1本心理学书籍和3本科技类书籍共需155元，购买3本心理学书籍和2本科技类书籍共需185元．”列方程组求解即可； （2）设购入心理学书籍m本，则购入科技类书籍本．根据此次买书的总费用不超过2995元列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设心理学书籍的购买单价为x元，科技类书籍的购买单价为y元． 根据题意，列得方程组 ， 解这个方程组，得 ， 答：心理学书籍的购买单价为35元，科技类书籍的购买单价为40元． （2）设购入心理学书籍m本，则购入科技类书籍本． 根据题意，得 解得： ∵m为正整数 ∴或44 ∴共有两种方案 方案①：购入心理学书籍43本，购入科技类书籍47本； 方案②：购入心理学书籍44本，购入科技类书籍46本． 答：共有两种方案，购入心理学书籍43本，购入科技类书籍47本；购入心理学书籍44本，购入科技类书籍46本． 【题型8一元一次不等式组的其他应用】 33．为保障八年级研学旅行顺利开展，学校计划租用、两种型号的新能源客车共13辆，用于接送师生往返研学基地．两种客车的载客量、日租金如表： 车型 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） 型客车 55 2000 型客车 19 1000 学校要求：租车总费用不超过25000元． (1)最多能租用型客车多少辆？ (2)若八年级师生共600人，且所有师生都有座位，请写出所有的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)最多能租用A型客车12辆． (2)所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆． 最省钱的租车方案是租用A型客车10辆，B型客车3辆． 【分析】（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车辆，根据租车总费用不超过25000元建立不等式求解即可； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，根据租车总费用不超过25000元，总载客量不低于600建立不等式组求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设租用A型客车x辆，则租用B型客车辆， 由题意得，， 解得， ∴x的最大值为12， 答：最多能租用A型客车12辆； （2）解：设租用A型客车m辆，则租用B型客车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可以为10或11或12， 当时，， 当时，， 当时，， 所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆； ∵一辆A型客车的租金比一辆B型客车的租金多， ∴当A型客车数量最少时，最省钱， ∴租用A型客车10辆，B型客车3辆最省钱； 答：所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆． 最省钱的租车方案是租用A型客车10辆，B型客车3辆． 34．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素的含量及购买这两种原料的价格如下表所示： 类别 甲种原料 乙种原料 维生素的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有不低于4000单位的维生素． (1)请列出应满足的不等式； (2)如果同时要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，请解答以下问题： ①求出满足题意的的取值范围； ②计算此时这种饮料中维生素含量的范围． 【答案】(1) (2)①；②维生素含量 【分析】（1）由题中表格所给数据直接列不等式即可； （2）①由（1）中得到的不等式，结合要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，组成不等式组求解即可；②设维生素的含量为单位，得到，结合①中的取值范围，由不等式性质求解即可． 【详解】（1）解：设所需甲种原料的质量为，则所需乙种原料的质量为， 则由题意可得应满足的不等式为； （2）解：设所需甲种原料的质量为，则所需乙种原料的质量为， ， 解得， 满足题意的的取值范围为； ②由①知满足题意的的取值范围为， 设维生素的含量为单位， 则， ， ， 即， 维生素含量． 35．某同学设计了如图所示的程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于20”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于20，则用得到的这个数进行下一次操作． (1)若程序操作进行一次就停止了，求输入的x的取值范围是多少？ (2)若程序操作进行了两次才停止，求输入的x的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，审清题意、正确列出不等式和不等式组是解题的关键 ． （1）根据第一次停止列一元一次不等式求解即可； （2）根据题意可知第一次不停止、第二次停止列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设输入的为x， 则， 解得：， 所以如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的x的取值范围是． （2）解：设输入的为y， 则， 解得：， 所以如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的x的取值范围是． 36．“铭记先辈热血，筑牢信仰根基”，学校组织学生赴仁寿革命烈士陵园开展清明祭扫活动，并准备A，B两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分如表： (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用、两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多，若午餐需要选用这两种食品共包，其中食品不少于包，要使午餐中蛋白质的总含量不低于，请问有哪几种选择方案？ 【答案】(1)选用种食品包，种食品包 (2)方案一：选用种食品包，选用种食品包；方案二：选用种食品包，选用种食品包；方案三：选用种食品包，选用种食品包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设选用种食品包，种食品包，再结合“要从这两种食品中摄入热量和蛋白质”，这个条件进行列方程组，再解出，即可作答． （2）根据“每份午餐选用这两种食品共包，其中食品不少于，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于”这个条件进行列不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设选用种食品包，种食品包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用种食品包，种食品包． （2）解：设选用种食品包，则选用种食品包， 根据题意，得． 解得． ∵为正整数，则 方案一：选用种食品包，选用种食品包； 方案二：选用种食品包，选用种食品包； 方案三：选用种食品包，选用种食品包． 1 学科网（北京）股份有限公司 $