专题02 解一元一次不等式(六大模型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

**基本信息** 聚焦一元一次不等式的定义、解法及应用，通过六大题型构建从概念到实践的完整训练体系，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元一次不等式的定义|4题|考查概念辨析与参数确定|从定义切入，夯实基础概念| |解一元一次不等式|4题|含解法、数轴表示及纠错|承接定义，训练基本解法| |整数解|4题|结合解集求特定整数|深化解法，关注解集应用| |解的最值|5题|含参数与新定义问题|拓展解集边界分析能力| |列一元一次不等式|5题|文字转数学语言|培养数学表达能力| |一元一次不等式的应用|6题|含经济、行程等实际问题|综合前序知识，强化模型意识|

专题02 解一元一次不等式 （六大题型） 【题型1 一元一次不等式的定义】........................................................................................1 【题型2 解一元一次不等式】................................................................................................1 【题型3 一元一次不等式的整数解】....................................................................................2 【题型4：求一元一次不等式解的最值】...............................................................................3 【题型5：列一元一次不等式】..............................................................................................3 【题型6：一元一次不等式的应用】........................................................................................4 【题型1 一元一次不等式的定义】 1．下列各式中是一元一次不等式的是（    ）． A． B． C． D． 2．下列式子：①，②，③，④，一元一次不等式的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若是关于的一元一次不等式，则__________． 4．关于x的不等式是一元一次不等式，则不等式的解集为______． 【题型2 解一元一次不等式】 5．解不等式：． 6．解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 7．下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 8．解下列不等式： (1)； (2) 【题型3 一元一次不等式的整数解】 9．求不等式的负整数解． 10．求的负整数解． 11．当x取哪些正整数时，代数式的值不小于代数式的值？ 12．在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 【题型4：求一元一次不等式解的最值】 13．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 14．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 15．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为______． 16．对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是______． 17．对于实数x，y规定“x△y＝ax﹣by（a，b为常数）”．已知2△3＝4，5△（﹣3）＝3 （1）a+b＝___． （2）已知m是实数，若2△（﹣m）≥0，则m的最大值是 ___． 【题型5：列一元一次不等式】 18．“x的2倍减去y的3倍的差是负数”，用不等式表示：______． 19．美国“阿尔忒弥斯2号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为，飞船在月球轨道附近执行任务（停留）约48小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168小时．设飞船往返的平均速度为，则应满足的不等式是______． 20．“的2倍与3的差不小于6”用不等式表示为_____． 21．小聪用120元钱去购买笔记本和钢笔共20件，已知每本笔记本5元，每支钢笔7元，设小聪能买x支钢笔．则可列不等式为 ____________ ． 22．某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为_________． 【题型6：一元一次不等式的应用】 23．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的礼品更是受到了大家的青睐，某商场销售甲，乙两种以马为主题的礼品，已知1份甲礼品和2份乙礼品价格为130元，2份甲礼品和3份乙礼品价格为210元． (1)求甲，乙两种类型的礼品单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种类型的礼品共100份作为给员工的奖励，若总费用不超过3600元，那么最多可以采购多少份乙种礼品？ 24．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： 优惠方法1：买一只茶壶送一只茶杯； 优惠方法2：按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，x只（不少于4只）茶杯，要使优惠方法2比优惠方法1更省钱，则至少需要购买多少只茶杯? 25．方程与不等式都是刻画现实世界的模型．请利用所学知识解答如下问题： 某人仅带27元去文具店，想买7本练习本和3支铅笔，但钱不够，结果买了4本练习本和6支铅笔，还剩3元．请你算一算：2本练习本和3支铅笔哪个价格高？ 26．阅读下列素材，完成任务． 素材1 近年来，我国国防力量在多个领域取得了显著的发展，国产飞机模型很受国人喜爱．某商店计划购进A，B两款飞机模型 素材2 每个A款模型的进价比每个B款模型的进价多5元 素材3 购进3个A款模型和4个B款模型花费的金额一样 完成任务 (1)任务1：确定每个A款模型和B款模型的进价分别是多少？ (2)任务2：若商店购进A，B两款飞机模型共50个，每个A款模型和B款模型的零售价分别是30元和20元，全部销售完后，为使商店的利润不低于382元，商店至少要购进多少个A款模型？ 27．吉林大学杏花节期间，不少同学想购买主题文创留作纪念，某文创摊位计划采购一批杏花节主题周边，已知购买4件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元，购买件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元． (1)求A型杏花书签和B型杏花钥匙扣每件的价格各是多少元？ (2)佳佳想买两种纪念品共10个，且总花费不超过70元，最多能买几个B型杏花钥匙扣？ 28．七年级新学期．两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在讲桌上，小英对其高度进行了测量，请根据下图中所给出的数据信息．回答下列问题： (1)每本课本的厚度为_________； (2)若有一摞上述规格的课本本．请用含有的代数式表示出这一摞课本的顶部距离地面的高度； (3)现桌面上有若干本此规格的课本，整齐地叠放成一摞，若这摞课本距离地面的高度不超过，求这摞课本最多有多少本． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解一元一次不等式 （六大题型） 【题型1 一元一次不等式的定义】........................................................................................1 【题型2 解一元一次不等式】................................................................................................3 【题型3 一元一次不等式的整数解】....................................................................................5 【题型4：求一元一次不等式解的最值】...............................................................................8 【题型5：列一元一次不等式】.............................................................................................9 【题型6：一元一次不等式的应用】........................................................................................10 【题型1 一元一次不等式的定义】 1．下列各式中是一元一次不等式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于选项A ： 只含1个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，是不等式，符合一元一次不等式的定义； 对于选项B： 含有两个未知数，不符合定义； 对于选项C： 是等式，不是不等式，不符合定义； 对于选项D ： 中未知数次数为，不符合定义． 2．下列式子：①，②，③，④，一元一次不等式的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，是方程，不是一元一次不等式； ②，是一元一次不等式； ③，是代数式，不是不等式； ④，是一元一次不等式； 综上，一元一次不等式的个数为2个， 故选：B． 3．若是关于的一元一次不等式，则__________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数为且系数不为，列方程求解． 【详解】解：∵ 是关于的一元一次不等式， ∴未知数的次数，解得； 未知数的系数，解得． 综合以上两个条件，可得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，解题关键是同时满足 “未知数次数为” 和 “系数不为” 两个条件，避免只考虑次数而忽略系数的错误． 4．关于x的不等式是一元一次不等式，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先根据一元一次不等式的概念得出的值，代入不等式，解之可得． 【详解】解：∵不等式是一元一次不等式， ∴，解得：， 则不等式为：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的步骤． 【题型2 解一元一次不等式】 5．解不等式：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ． 6．解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【详解】解：， ， ， 解得：， 在数轴上表示如下： 7．下面是小刚同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，合并同类项，得第三步 两边同时除以，得第四步 任务一： (1)以上解题过程中，从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是：_____________； 任务二： (2)请解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)二；去括号时符号错误 (2)，图见解析 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤及其依据逐步判断即可； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解，再在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时符号错误，去第二个括号的结果常数项应该是； （2）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 两边同时除以，得：． 解集在数轴上表示如下图所示： 8．解下列不等式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，熟练掌握一元一次不等式的基本解法、去分母的注意事项以及不等式两边同乘负数时不等号方向的改变规则，是解答本题的关键． （1）对于不等式，通过移项、合并同类项、系数化为，逐步求解不等式的解集； （2）对于不等式 ，先去分母消除分数，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为（注意不等号方向的变化），求解不等式的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【题型3 一元一次不等式的整数解】 9．求不等式的负整数解． 【答案】，， 【分析】按照去分母、去括号、移项及合并同类项、系数化为求解不等式即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项及合并同类项得：， 系数化为得：， 该不等式的负整数解为，． 10．求的负整数解． 【答案】， 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其负整数解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴原不等式的负整数解为，． 11．当x取哪些正整数时，代数式的值不小于代数式的值？ 【答案】1、2、3 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和求不等式的正整数解，根据题意可得不等式，求出不等式的解集，进而求出不等式的正整数解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式的值不小于代数式的值， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴x可以取的正整数有1，2，3． 12．在实数范围内定义一种新运算“★”，其运算规则为． 例如：． (1)解不等式：； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式，关键是正确理解新定义，根据新定义列出不等式． （1）根据新定义进行列出不等式进行解答便可； （2）根据新定义列出不等式进行解答便可． 【详解】（1）解：由，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得 （2）解：根据新运算定义，化简不等式左边得， 化简不等式右边得， 所以， 解得， 所以该不等式的最大整数解为． 【题型4：求一元一次不等式解的最值】 13．已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 14．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程及一元一次不等式，列出关于k的不等式求出k的取值范围是解题关键． 把k看作已知数表示出方程的解，根据解为非负数，确定出k的范围，即可得出答案． 【详解】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴k的最小值为． 故答案为：． 16．对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是______． 【答案】8 【分析】根据题干信息先求出和，再求解不等式即可． 【详解】解：对于实数对，定义偏左数为，偏右数为， 对于实数对，，， ， ， 解得：， 的最小整数值是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，新定义，解题的关键是根据题干所给信息列出不等式． 17．对于实数x，y规定“x△y＝ax﹣by（a，b为常数）”．已知2△3＝4，5△（﹣3）＝3 （1）a+b＝___． （2）已知m是实数，若2△（﹣m）≥0，则m的最大值是 ___． 【答案】 【分析】（1）根据已知条件得出关于a、b的方程组，求出方程组的解集，即可求解； （2）根据已知新运算得出不等式，再求出答案即可． 【详解】解：（1）∵2△3=4，5△（-3）=3， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； （2）∵，，2△(-m)≥0， ∴2△(-m)， 解得：， 则m的最大值是． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式等知识点，能根据新运算得出代数式是解此题的关键． 【题型5：列一元一次不等式】 18．“x的2倍减去y的3倍的差是负数”，用不等式表示：______． 【答案】 【分析】根据题干描述的数量关系列出对应不等式即可． 【详解】解：由题意可得，的倍为，的倍为，二者的差是负数，负数小于， 因此列出不等式为． 19．美国“阿尔忒弥斯2号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为，飞船在月球轨道附近执行任务（停留）约48小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168小时．设飞船往返的平均速度为，则应满足的不等式是______． 【答案】 【分析】先确定往返的路程为，往返的时间为小时，停留48小时，根据总时间不超过168小时列不等式即可． 【详解】解：根据时间得：． 20．“的2倍与3的差不小于6”用不等式表示为_____． 【答案】 【详解】解：“的2倍与3的差不小于6”用不等式表示为． 21．小聪用120元钱去购买笔记本和钢笔共20件，已知每本笔记本5元，每支钢笔7元，设小聪能买x支钢笔．则可列不等式为 ____________ ． 【答案】 【分析】设小聪购买x支钢笔，则可得到笔记本的购买数量为本，根据总价等于单价乘购买数量，结合总花费不超过120元，即可列出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设小聪购买x支钢笔，则购买了本笔记本， 根据题意得：． 22．某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道， 根据题意得，， 故答案为：． 【题型6：一元一次不等式的应用】 23．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的礼品更是受到了大家的青睐，某商场销售甲，乙两种以马为主题的礼品，已知1份甲礼品和2份乙礼品价格为130元，2份甲礼品和3份乙礼品价格为210元． (1)求甲，乙两种类型的礼品单价各是多少元？ (2)某公司计划采购两种类型的礼品共100份作为给员工的奖励，若总费用不超过3600元，那么最多可以采购多少份乙种礼品？ 【答案】(1)甲种礼品单价为30元，乙种礼品单价为50元 (2)最多可以采购30份乙种礼品 【分析】（1）设甲种礼品单价为x元，乙种礼品单价为y元，然后根据“1份甲礼品和2份乙礼品价格为130元，2份甲礼品和3份乙礼品价格为210元”，列出方程组，解之即可； （2）设采购a份乙种礼品，然后根据“总费用不超过3600元”，列出不等式，解之即可． 【详解】（1）解：设甲种礼品单价为x元，乙种礼品单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种礼品单价为30元，乙种礼品单价为50元． （2）解：设采购a份乙种礼品，则采购份甲种礼品， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以采购30份乙种礼品． 24．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： 优惠方法1：买一只茶壶送一只茶杯； 优惠方法2：按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，x只（不少于4只）茶杯，要使优惠方法2比优惠方法1更省钱，则至少需要购买多少只茶杯? 【答案】至少需要购买25只茶杯． 【详解】解：根据题意得， 解得， x为整数， x的最小值为25， 至少需要购买25只茶杯． 25．方程与不等式都是刻画现实世界的模型．请利用所学知识解答如下问题： 某人仅带27元去文具店，想买7本练习本和3支铅笔，但钱不够，结果买了4本练习本和6支铅笔，还剩3元．请你算一算：2本练习本和3支铅笔哪个价格高？ 【答案】2本练习本价格更高 【分析】设练习本每本元，铅笔每支元，根据题意可得，再化简，比较与的大小即可． 【详解】解：设练习本每本元，铅笔每支元 根据题意可得 化简第二个等式得 因此 将代入不等式得 整理得 解得 作差得 即 答：2本练习本价格更高． 26．阅读下列素材，完成任务． 素材1 近年来，我国国防力量在多个领域取得了显著的发展，国产飞机模型很受国人喜爱．某商店计划购进A，B两款飞机模型 素材2 每个A款模型的进价比每个B款模型的进价多5元 素材3 购进3个A款模型和4个B款模型花费的金额一样 完成任务 (1)任务1：确定每个A款模型和B款模型的进价分别是多少？ (2)任务2：若商店购进A，B两款飞机模型共50个，每个A款模型和B款模型的零售价分别是30元和20元，全部销售完后，为使商店的利润不低于382元，商店至少要购进多少个A款模型？ 【答案】(1)每个A款模型的进价是20元，每个B款模型的进价是15元 (2)至少购进27个A款模型 【分析】（1）设每个B款模型的进价为x元，再列方程求解即可； （2）设购进A款模型n个，结合题意列不等式求解． 【详解】（1）解：设每个B款模型的进价为x元，则A款模型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 所以每个A款模型的进价为元． 答：每个A款模型的进价是20元，每个B款模型的进价是15元． （2）设购进A款模型n个，则购进B款模型个． A款模型每个的利润为元，B款模型每个的利润为元， 要使利润不低于382元，则可列不等式， 解得． 因为n为整数，所以n的最小值为27． 答：商店至少购进27个A款模型． 27．吉林大学杏花节期间，不少同学想购买主题文创留作纪念，某文创摊位计划采购一批杏花节主题周边，已知购买4件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元，购买件A型杏花书签和件B型杏花钥匙扣共需元． (1)求A型杏花书签和B型杏花钥匙扣每件的价格各是多少元？ (2)佳佳想买两种纪念品共10个，且总花费不超过70元，最多能买几个B型杏花钥匙扣？ 【答案】(1)A型杏花书签每件6元，B型杏花钥匙扣每件8元 (2)最多能买5个B型杏花钥匙扣 【分析】（1）设A型杏花书签每件为元，B型杏花钥匙扣每件为元，根据题意列出方程组，并求解即可； （2）设购买B型杏花钥匙扣个，则购买A型杏花书签个，根据题意列出不等式，并求解即可． 【详解】（1）解：设A型杏花书签每件为元，B型杏花钥匙扣每件为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：A型杏花书签每件6元，B型杏花钥匙扣每件8元； （2）解：设购买B型杏花钥匙扣个，则购买A型杏花书签个， ∴， 解得， ∴最大为． 答：最多能买5个B型杏花钥匙扣． 28．七年级新学期．两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在讲桌上，小英对其高度进行了测量，请根据下图中所给出的数据信息．回答下列问题： (1)每本课本的厚度为_________； (2)若有一摞上述规格的课本本．请用含有的代数式表示出这一摞课本的顶部距离地面的高度； (3)现桌面上有若干本此规格的课本，整齐地叠放成一摞，若这摞课本距离地面的高度不超过，求这摞课本最多有多少本． 【答案】(1)0.6 (2) (3) 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）先求出讲台的高度，再用讲台的高度加上n本课本的高度即为所求的代数式； （3）根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：每本课本的厚度为：． （2）解：讲台高度为：， ∴这一摞课本的顶部距离地面的高度为； （3）解：由题意得，， 解得， ∵是正整数， ∴的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $