精品解析：天津市静海区瀛海学校2024-2025学年第二学期第三次阶段性检测高二数学试卷

瀛海学校2024-2025年度第二学期第三次阶段性检测 高二数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1页，第II卷第2页至第4页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 第I卷 一、单选题（共9题，每题4分，共36分，均为单选） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列说法正确的个数是（ ） ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； ②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； ③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B. 随机变量，若，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 设，且，则 8. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，设事件“有4名航天员在天和核心舱”，事件“甲乙二人在天和核心舱”，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 10. 设命题，，则该命题的否定为_____________. 11. 函数的定义域是____________． 12. 的展开式中的系数是__________． 13. 天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为2∶1∶1，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为____________． 14. 设为正数，且，则的最小值为___________ 15. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答） 三、解答题（共5题，共60分） 16. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 17. 在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学各自独立竞猜一次，甲同学猜对概率为0.4，乙同学猜对概率为0.6，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： （1）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率： （2）任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率； （3）记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为，求的期望． 18. 已知某产品近5年的市场销售单价（单位：元）如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 市场销售单价 2.0 2.2 2.4 3.6 4.8 （1）已知和线性相关，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； （2）试预测该产品2026年的市场销售单价． 附：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 19. 随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 （1）从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率； （2）依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 瀛海学校2024-2025年度第二学期第三次阶段性检测 高二数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1页，第II卷第2页至第4页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 第I卷 一、单选题（共9题，每题4分，共36分，均为单选） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合间的运算即可求解. 【详解】解：， ， 即. 故选：B 2. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，解得，由，解得， 而集合真包含集合， 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 3. 下列说法正确的个数是（ ） ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； ②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； ③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据线性相关系数，独立性检验，残差图及决定系数的概念分别判断即可． 【详解】线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强，故①正确； 独立性检验并不能100%确定两个变量之间是否具有某种关系，故②错误； 回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故③正确； 回归分析中，可用判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故④正确； 故选：C． 4. 设函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的定义及导数的几何意义计算作答. 【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为，则， 所以. 故选：D 5. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 6. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可. 【详解】由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关， 所以都为正数，都为负数. 所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近1， 而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离1. 综上可得：. 故选：A. 7. 下列命题错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B. 随机变量，若，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 设，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用相关关系判断A；由随机变量条件建立方程组解出即可判断；由线性回归直线的性质判断C；由正态分布的性质判断. 【详解】根据相关系数的意义可知，两个随机变量的线性相关性越强， 相关系数的绝对值越接近于1，故A正确； 随机变量，若，， 则，故正确； 根据线性回归直线的性质可知，线性回归直线一定经过样本点的中心，故正确； 由，知，即概率密度函数的图像关于直线对称， 所以，则，故错误； 8. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，设事件“有4名航天员在天和核心舱”，事件“甲乙二人在天和核心舱”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件概率公式、古典概型概率公式求解即可. 【详解】. 9. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 10. 设命题，，则该命题的否定为_____________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解. 【详解】命题，，为存在量词命题， 其否定为：，. 故答案为：， 11. 函数的定义域是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数、对数函数以及幂函数的定义域即可求解. 【详解】要使函数有意义，当且仅当，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 12. 的展开式中的系数是__________． 【答案】35 【解析】 【分析】先求出二项展开式的通项公式，然后使的次数为2，求出的值，从而可求出的系数 【详解】解：的展开式的通项公式为， 令，得， 所以的展开式中的系数是， 故答案为：35 13. 天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为2∶1∶1，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由全概率公式即可求解. 【详解】由全概率公式可知，所求概率为. 故答案为：. 14. 设为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】 【解析】 【详解】由可得，得. ， 当且仅当时，即时等号成立. 15. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答） 【答案】504 【解析】 【分析】分两种情况求解，一是四个数字中没有奇数，二是四个数字中有一个奇数，然后根据分类加法原理可求得结果 【详解】当四个数字中没有奇数时，则这样的四位数有种， 当四个数字中有一个奇数时，则从5个奇数中选一个奇数，再从4个偶数中选3个数，然后对这4个数排列即可，所以有种， 所以由分类加法原理可得共有种， 故答案为：504 三、解答题（共5题，共60分） 16. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 【答案】（1）分别抽取人，人和人 （2）分布列： 0 1 2 4 期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用分层抽样的方法，即可求解； （2）根据题意，得到变量的可能取值为，分别求得相应的概率，列出分布列，结合期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：某单位甲乙丙三个部门的员工人数分别为， 现采用分层抽样的方法，从中抽取7人，进行睡眠时间的调查， 则从甲部门的员工中抽取人， 从乙部门的员工中抽取人， 从丙部门的员工中抽取人. 【小问2详解】 解：若抽取的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足， 现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查，用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，则的可能取值为， 则， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 4 则数学期望为 17. 在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学各自独立竞猜一次，甲同学猜对概率为0.4，乙同学猜对概率为0.6，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： （1）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率： （2）任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率； （3）记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为，求的期望． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出事件，由独立事件乘法公式求出结果； （2）根据独立重复试验概率公式求出结果； （3）判断出服从二项分布，代入公式即可求期望． 【小问1详解】 设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则，， 任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：； 【小问2详解】 任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次，乙猜对1次的概率为：； 【小问3详解】 甲猜对的次数为，，期望为. 18. 已知某产品近5年的市场销售单价（单位：元）如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 市场销售单价 2.0 2.2 2.4 3.6 4.8 （1）已知和线性相关，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； （2）试预测该产品2026年的市场销售单价． 附：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据表中数据计算出，再结合参考数据利用公式即可计算出，进而得出线性回归方程； （2）将代入即可预测. 【小问1详解】 由题意得，. 因为， . 所以，. 故经验回归方程为. 【小问2详解】 由已知2026年对应的年份编号为7，令，则. 故预测该产品2026年的市场销售单价为元. 19. 随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 （1）从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率； （2）依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）无差异 【解析】 【分析】（1）根据条件概率及古典概型计算即可； （2）代入公式计算的值，结合临界值判断即可. 【小问1详解】 用A表示事件“受访者在购买食品是要看营养说明”， B表示事件“受访者从事医疗无关行业”，“已知此人在购买食品时要看营养说明， 求这名受访者从事与医疗无关行业”的概率就是在“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为， ，，所以； 【小问2详解】 零假设为：职业与看营养说明相互独立，即两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异， 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立， 即认为两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）的单调减区间为，单调增区间为； （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的正负求解的单调区间； （3）分离参数，然后根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 由得，，，， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由已知，， ，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 【小问3详解】 由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $