精品解析：辽宁抚顺市六校协作体2026届高三二模数学试题

辽宁抚顺市六校协作体2026届高三二模数学试题 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，则. 2. （ ） A. B. 10 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，则. 4. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得，则的最小正周期为. 5. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定的 【答案】B 【解析】 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 6. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以由在上恒成立，可得在上恒成立. 若，即，则在上单调递增，则，得. 若，即，则，化简得，得. 若，即，则在上单调递减，则，得. 综上所述，a的取值范围为. 7. 现有甲、乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个参演，又不在最后一个参演，且乙不在第三个参演，则不同的参演顺序共有（ ） A. 60种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【详解】若甲在第三个参演，则不同的参演顺序有种； 若甲不在第三个参演，则不同的参演顺序有种. 根据分类加法计数原理可知，不同的参演顺序共有种. 8. 如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案. 【详解】如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点. 设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面. 过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面. 因为，，所以，. 取的中点E连接，，可得，， 则. 设，连接，，则，解得， 故三棱锥外接球的表面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 是空气中的细小污染物，其浓度（单位：）越高，空气质量越差，浓度越低，空气质量越好.我国现行国家标准规定：若日平均浓度不超过35，则当天空气质量等级为“优”；若日平均浓度超过35但不超过75，则当天空气质量等级为“良”.某城市一周内日平均浓度如下表，则（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 日平均浓度 34 27 43 23 45 26 19 A. 该城市这周共有5天的空气质量等级为“优” B. 该城市这周日平均浓度数值的40%分位数为27 C. 该城市这周日平均浓度数值的极差为28 D. 该城市这周日平均浓度数值的平均数为31 【答案】AD 【解析】 【详解】由题可知，该城市这周共有5天的空气质量等级为“优”，A正确. 该城市这周日平均浓度的数值按从小到大的顺序排列为19，23，26，27，34，43，45，因为，所以该城市这周日平均浓度数值的40%分位数为26，极差为，B不正确，C不正确. 该城市这周日平均浓度数值的平均数为，D正确. 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 的取值范围为 C. 若，则的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项：将转化为三角恒等式，结合在内的三角函数单调性判断两个条件是否互为充要条件；选项：将已知两式相加得到的三角表达式，通过辅助角公式化简后结合角的取值范围计算值域判断正误；选项：在的条件下替换，化简的表达式，利用三角恒等变换和最值公式求最大值，验证等号成立条件判断正误；选项：将已知两式分别平方后相加，化简得到的表达式，结合余弦差角公式的有界性和角的范围求最大值判断正误. 【详解】选项，若，则显然；若，则，整理得，由，得，则，则正确． 选项,，由，得，则，则的取值范围为，正确． 选项,由，得，则，不正确． 选项,，当且仅当时，等号成立，正确． 11. 已知P是曲线上的动点，点，，且三点不共线，内切圆的圆心记为I，直线与直线交于点Q，则（ ） A. 关于直线对称 B. 存在点P，使得（O为坐标原点） C. 为定值 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对曲线方程中互换，得出方程不变，从而判断选项A；对曲线方程进行变形，利用基本不等式结合两点间距离公式计算判断选项B；根据两点间距离公式计算得出，从而判断选项C；利用选项C结论，结合内心的性质求出比例关系，判断选项D． 【详解】将方程中的x，y互换可知的方程不变，所以关于直线对称，A正确. 设.由，得，当且仅当时，等号成立， 则，从而，B不正确. ，则，是定值，C正确. 由选项C可知，是以A，B为焦点，4为长轴长，为焦距的椭圆. 因为I是的内心，Q在上，所以，则， 则，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为____________. 【答案】 【解析】 【详解】由，可得，当时，， 则曲线在点处的切线方程为. 13. 已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆与抛物线的定义及几何性质，结合等腰直角三角形的边角关系推导椭圆参数的数量关系，进而求解离心率. 【详解】如图，因为是，的公共焦点，是的另一个焦点，所以的准线经过点. 根据对称性，不妨令在第一象限，因为是等腰直角三角形，所以. 过作准线的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，则. 又，所以. 设，则，则的离心率为. 14. 已知平面内有5个互不相等的单位向量，，，，.若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用平行向量为相反向量的性质简化问题，再结合题设垂直对数约束，分类讨论并排除不可能情形，最终确定向量分布，利用向量加法的三角不等式求出和向量模长的最大值． 【详解】因为这5个单位向量互不相等，且恰有1对向量互相平行，所以这2个向量互为相反向量， 令，则，若，，中有2个或3个向量与垂直， 则这些向量也与垂直，所以这5个向量中，至少有4对向量互相垂直，不符合题意． 若，，均不与垂直，也不与垂直，则，，两两垂直，不符合平面向量的性质． 故，，中恰有1个向量同时与，垂直，令，， 则由题可知，从而，则 ， 当且仅当与同向时，等号成立，经检验，此时满足题设条件，故的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列和满足. （1）若，求的值； （2）若，且恒成立，求t的取值范围. 【答案】（1）98 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用通项公式与递推关系计算即可； （2）根据等差数列求和公式及裂项相消法先计算和，再解不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以，，， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以 则， 所以， 因为，所以，即. 由恒成立，可得， 则，得， 则，即t的取值范围为. 16. 如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接，与交于点O，可知O为的中点. 连接.因为E是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明线面平行； （2）利用正方体的性质，结合已知条件，利用几何法或向量法，求出二面角的余弦值，进而求出二面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设正方体的棱长为2，则由E，F分别为，的中点，可得. 连接，则，，所以即为二面角的大小. ，则. 连接，，则，. 在中，， 则二面角的正弦值为. 17. 为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为m，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金. （1）当时，求顾客可以获得奖金的概率； （2）当n取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列分别计算期望比较大小即可. 【小问1详解】 当时， 记事件A为“顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球”，事件B为“顾客可以获得奖金”， 则 . 【小问2详解】 当时，记顾客获得的奖金为X元，则X的所有可能取值为0，30，40， 且，，， 则. 当时，记顾客获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为0，60，80， 且，，， 则. 因为，所以当时，顾客获得奖金金额的期望更大. 18. 已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，且C的焦距为. （1）求C的方程. （2）对于C上的任意两点，定义：. （i）若A，B是C右支上两个不同的点，证明：. （ii）若，，是C右支上三个不同的点，且存在常数t，使得，证明为定值，并求该定值（用t表示）. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）利用条件及双曲线的性质计算即可； （2）（i）设直线AB方程及点坐标，利用韦达定理及点的位置、新定义计算即可；（ii）设，，，利用新定义及上问结论结合同解方程确定，分类讨论的取值，结合韦达定理计算即可. 【小问1详解】 由题可知，， 解得， 则C的方程为. 【小问2详解】 （i）依题可设直线的方程为，， 由，可得， 则，且， ，， 所以 . 因为A，B是C右支上两个不同的点，所以. 又，所以. . 由，，得， 则，故. （ii）设，，. 由和（i）可得， 且则，均在直线上. 若，则，l的方程为，由 可得，则，则. 若，则l的方程可化为， 由可得. 因为，所以上式可化为， 此时， 且， ， 则 . 综上所述，为定值，且该定值为. 19. （1）求函数在上的最值. （2）证明：，，. （3）若，，求k的值. 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）证明见解析；（3）2 【解析】 【分析】（1）通过求导分析函数单调性，利用导数符号判断函数在区间上的最值点. （2）将目标式展开为三角函数形式，利用第一问结论建立不等式关系，结合三角恒等变换完成证明. （3）通过构造函数并利用端点值分析的必要条件，再通过构造辅助函数证明充分性，最终确定的唯一值. 【详解】（1）由 ，得 . 令 ，则 . 因为，所以，，则在上恒成立， 则在上单调递减. 又，所以，即在上恒成立， 则在上单调递减， 则在上的最大值为，最小值为. （2） . 因为，所以由（1）可知， ， 则 . 又，，，所以 ， 则， ，，. （3）由题可知，，. 令，则， . 若，则，根据函数零点存在定理可知， ，，不符合题意，故. 同理可得，. 令，则， ， 若，则， 根据函数零点存在定理可知，， ，不符合题意，故. 综上所述，是原不等式成立的必要条件，下面证明当时，原不等式成立， 即，. 对于左侧不等式， 由，可得，且， 则由（2）可得，不等式成立. 对于右侧不等式， 设常数，令，， 则. 令， 则. 由，，可得，， 则，从而在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 则在上单调递增，所以. 令，，满足，代入， 即可得，不等式成立. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁抚顺市六校协作体2026届高三二模数学试题 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. 10 C. D. 2 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定的 6. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 现有甲、乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个参演，又不在最后一个参演，且乙不在第三个参演，则不同的参演顺序共有（ ） A. 60种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 8. 如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 是空气中的细小污染物，其浓度（单位：）越高，空气质量越差，浓度越低，空气质量越好.我国现行国家标准规定：若日平均浓度不超过35，则当天空气质量等级为“优”；若日平均浓度超过35但不超过75，则当天空气质量等级为“良”.某城市一周内日平均浓度如下表，则（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 日平均浓度 34 27 43 23 45 26 19 A. 该城市这周共有5天的空气质量等级为“优” B. 该城市这周日平均浓度数值的40%分位数为27 C. 该城市这周日平均浓度数值的极差为28 D. 该城市这周日平均浓度数值的平均数为31 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 的取值范围为 C. 若，则的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知P是曲线上的动点，点，，且三点不共线，内切圆的圆心记为I，直线与直线交于点Q，则（ ） A. 关于直线对称 B. 存在点P，使得（O为坐标原点） C. 为定值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为____________. 13. 已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________. 14. 已知平面内有5个互不相等的单位向量，，，，.若这5个向量中恰有1对向量互相平行，恰有3对向量互相垂直，则的最大值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列和满足. （1）若，求的值； （2）若，且恒成立，求t的取值范围. 16. 如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求二面角的正弦值. 17. 为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为m，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金. （1）当时，求顾客可以获得奖金的概率； （2）当n取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 18. 已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，且C的焦距为. （1）求C的方程. （2）对于C上的任意两点，定义：. （i）若A，B是C右支上两个不同的点，证明：. （ii）若，，是C右支上三个不同的点，且存在常数t，使得，证明为定值，并求该定值（用t表示）. 19. （1）求函数在上的最值. （2）证明：，，. （3）若，，求k的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $